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Chapitre XXIX : Comparaison et encadrement de nombres inconnus

Liste des objectifs :

a. 4^ème : [Pas dans le socle commun] savoir comparer deux nombres en étudiant le signe de leur différence.

Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2617 Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2618

b. 4^ème : [Pas dans le socle commun] Écrire des encadrements résultant de la troncature ou de l’arrondi à un rang donné d’un nombre positif.

Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2624 Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2625 Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2626

Exercice n°1 - Sur une droite graduée

a. Trace six droites graduées les unes en dessous des autres comme celle ci-dessous :

b. Sur la première, place les points :

C

d'abscisse

2

,

L

d'abscisse

– 3

et

A

d'abscisse

x

tel que

– 3 < x < 2 (ceci est un encadrement de x)

. Quel mot lis-tu ?

c.

Sur la deuxième, on ajoute

4

à chacune des abscisses précédentes et on obtient les points

C

1,

L

1 et

A

1. Lis-tu le même mot ? Donne alors un encadrement de

x + 4

.

d.

Sur la troisième, on retranche

3 (retrancher, c’est soustraire )

à chacune des abscisses du a. et on obtient les points

C

2,

L

2 et

A

2. Lis-tu le même mot ? Donne alors un encadrement de

x – 3

.

e.

Même question si on multiplie chaque abscisse par

2

. Déduis alors un encadrement en fonction de

x

.

f.

Même question si on multiplie chaque abscisse par – 3. Déduis alors un encadrement en fonction de x.

g.

En procédant de cette façon, déduis un encadrement de 3x puis de 3x – 5.

h.

En procédant de cette façon, déduis un encadrement de -4x puis de -4x – 5.

acquis

0 1

– 1 acquis

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Cours n°1

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

Cours à compléter ^{, à} montrer au professeur puis, s’il est validé, à recopier intégralement dans le cahier de cours, sans rien oublier

I) Encadrement

Définition n°1 :

On dit que l’on encadre un nombre

a

quand on donne deux nombres

b

et

c

l’un plus petit que

a

et l’autre plus grand que

a

. C'est-à-dire que

b < a < c

. L’ampl………. est alors donnée par

c-b

Exemple n°1 :

1. un encadrement de

6

est donné par

5,9<6<6,2

. 2. « Donner un encadrement de

π

d'amplitude 0,1 »

π ≈ ^3,1415,

donc ………< π < ……… - l’amplitude est bien de 0,1, puisque ………-………=……….

II) Ordre et opérations

Propriété n°1 :

l’ordre de l’encadrement …… ……… ……… si on a………. ou si on so………. une m……… quantité à tous les membres.

Exemple n°2 :

1. « π est compris entre 3,141592 et 3,141593. Donnez alors un encadrement de π^{-3 ».}

On a : 3,141592 <π <3,141593.

Donc : 3,141592…… <π ... <3,141593……

Donc : 0,141592 < π …… < ………

2. « x est un nombre tel que : -6,24 < x <-6,23. Donnez un encadrement de x+8 ».

On a : -6,24 < x <-6,23.

Donc : -6,24…… < x ……<-6,23……

Donc : ………< x ……<………

Propriété n°2 :

l’ordre de l’encadrement …… ……… ……… si on m……… ou si on d……….. par une même quantité p……… tous les membres.

Exemple n°3:

1. « π est compris entre 3,141592 et 3,141593. Donnez alors un encadrement de 3 π ^».

On a : 3,141592 <π <3,141593.

Donc : ……3,141592 <...π <……3,141593……

Donc : ……… < ...π < ………

2. « x est un nombre tel que : -6,24 < x <-6,23. Donnez un encadrement de 8x ».

On a : -6,24 < x <-6,23.

Donc : …… -6,24 < ……x <……-6,23 Donc : ………< ……x <………

Propriété n°3 :

l’ordre de l’encadrement

c………

de sens si on multiplie ou si on divise par une même quantité

n………

tous les membres.

Exemples n°4:

1. « π est compris entre 3,141592 et 3,141593. Donnez alors un encadrement de -3 π ^».

On a : 3,141592 <π <3,141593.

Donc : ……3,141592 …...π ………3,141593……

Donc : ……… < ...π < ………

2. « x est un nombre tel que : -6,24 < x <-6,23. Donnez un encadrement de -8x ».

On a : -6,24 < x <-6,23.

Donc : …… -6,24 < ……x <……-6,23 Donc : ………< ……x <………

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥ Fin du cours n°1 ♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

Apprentissage du cours

!

Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».

COLLER L’ACCORDEON DANS LE CAHIER D’EXERCICE OU DE COURS.

Recopier le cours dans le cahier de cours (à la maison !)

Contrôle du savoir faire (SANS REGARDER LE COURS) :

Exemple n°1 :

1. un encadrement de

6

est donné par

5,9<6<6,2

. 2. « Donner un encadrement de

π

d'amplitude 0,1 »

π ≈ ^3,1415,

donc ………< π < ……… - l’amplitude est bien de 0,1, puisque ………-………=……….

Exemple n°2 :

3. « π est compris entre 3,141592 et 3,141593. Donnez alors un encadrement de π^{-3 ».}

On a : 3,141592 <π <3,141593.

Donc : 3,141592…… <π ... <3,141593……

Donc : 0,141592 < π …… < ………

4. « x est un nombre tel que : -6,24 < x <-6,23. Donnez un encadrement de x+8 ».

On a : -6,24 < x <-6,23.

Donc : -6,24…… < x ……<-6,23……

Donc : ………< x ……<………

Exemple n°3:

3. « π est compris entre 3,141592 et 3,141593. Donnez alors un encadrement de 3 π ^».

On a : 3,141592 <π <3,141593.

Donc : ……3,141592 <...π <……3,141593……

Donc : ……… < ...π < ………

4. « x est un nombre tel que : -6,24 < x <-6,23. Donnez un encadrement de 8x ».

On a : -6,24 < x <-6,23.

Donc : …… -6,24 < ……x <……-6,23 Donc : ………< ……x <………

Exemples n°4:

3. « π est compris entre 3,141592 et 3,141593. Donnez alors un encadrement de -3 π ^».

On a : 3,141592 <π <3,141593.

Donc : ……3,141592 …...π ………3,141593……

Donc : ……… < ...π < ………

4. « x est un nombre tel que : -6,24 < x <-6,23. Donnez un encadrement de -8x ».

On a : -6,24 < x <-6,23.

Donc : …… -6,24 < ……x <……-6,23 Donc : ………< ……x <………

Exercice n°2

En t’aidant d’une calculatrice, donne un encadrement d’amplitude

0,01

des nombres suivants : a.

5

6

^{; b.}

7 6

^{; c.}

5 7

^{; d.}

8

3

^{; e.}

π

^{; f.}

π

9 ;

g.

2

; h.

7

; i.

8× 10

Exercice n°3

a. Donne les valeurs approchées indiquées par la calculatrice pour :

355

113

^,

10

et

π

^.

b. Donne un encadrement d’amplitude un dixième de

10

. c. Donne l'arrondi au millième de

355

113

^.

d. Donne la valeur approchée de

π

à 0,001 près par défaut puis celle à 0,01 près par excès.

e. Compare

π

^avec

355

113

^{puis avec}

10

.

Exercice n°4

a. Donnez l'encadrement de

π

avec une amplitude d’un dixième.

b. Déduisez-en un encadrement de : 1.

π

+ 1,5

. 2.

4π.

3.

6π−5.

(Procéder étape par étape) 4.

(2 + π) ÷ 5

. (Procéder étape par étape)

c. Donnez un encadrement d'amplitude 0,01 du périmètre d'un cercle de rayon 4 cm.

Exercice n°5

On a :

1,4 < 2 < 1,5.

Encadrez : a.

4 2

; b.

4 2 – 6 ;

c.

-3 2 +5 ;

d.

-5 2 – 2.

Exercice n°6 - Longueur d'un terrain

- Sésamath

Le périmètre du terrain rectangulaire ci-contre est compris entre 286 m et 288 m. Détermine un encadrement de la longueur de ce terrain.

L

4 0 m

Résultats ou indices – rappel : si une réponse est fausse, la question doit être recommencée en classe.

Ex.1 : b.LAC c.Oui,1<x+4<6 d.Oui, -6<x-3<-1 e.Oui,-6<2x<4 f. Non, 9>-3x>-6 g.Oui,-14<3x-5<1 h.7>-4x-5>- 13 Ex.2 a.0,83<5/6<0,84 b. 1,16<7/6<….. c. ……<5/7<0,72 d. 2,6…<8/3<2,6… e. 3,14< π <3,15 f. 0,34<

π/9<…… g. 1,4…< 2<1,4… h. 2,64< 7<…… i. 25,29<8 10<… Ex.3 : a.

3.1415929203539823008849557522124 ; 3.1622776601683793319988935444327 ;

3.1415926535897932384626433832795 b. 3,1< 10<…. c.3,14…<355/113<3,142 d.3,141 ; 3,15 e. π<355/113 et π< 10 Ex.4 : a. 3,1< π<…. b. 4,6< π+1,5<…. ; 12,4<4π<12,8 ; 13,6<6π−5<14,2 ; 1,02<(2+π)÷5<1,04 c.

25,13<P<25,14 Ex.5 : a. 5,6<4 2<6,0 b. -0,4<4 2-6<0 c. 0,8>-3 2+5>0,5 d. -9>-5 2-2>-9,5 Ex.6 51,5<l<52