A NNALES DE L ’I. H. P., SECTION A
C HRISTIANE C OUDRAY
M ARCEL C OZ
Les états liés d’ordre deux dans la diffusion par un potentiel central
Annales de l’I. H. P., section A, tome 5, n
o4 (1966), p. 357-376
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p. 357
Les états liés d’ordre deux
dans la diffusion par
unpotentiel central
Christiane COUDRAY et Marcel COZ Institut de
Physique Nucléaire,
Division dePhysique Théorique,
91-Orsay (France).
Poincaré, Section A :
Physique théorique.
RÉSUMÉ. - L’éventualité d’états liés d’ordre
multiple
estanalysée
dansles deux cas suivants : existence des dérivées secondes mixtes des
solutions ;
existence d’une fonction de Green. Dans le
premier
cas, lepotentiel
estcomplexe ;
dans lesecond,
la fonctionspectrale comporte
des 8’. Elle nepeut correspondre
à unopérateur auto-adjoint.
Unexemple
d’un telpoten-
tiel est construitexplicitement
par une extension des méthodes de Gelfand- Levitan.ABSTRACT. - The
possibility
ofmultiple
bound states isanalysed
in thetwo
following
cases : the mixed second derivatives of the Jost solutions existalthongh they
may not becontinuous ;
the Green function of theproblem
exists. In the first case, the
potential
iscomplex;
in the second one, thespectral
function has 8’s. Therefore it cannotcorrespond
to aself-adjoint operator.
Anexample
of such apotential
isexplicitely
constructedthrough
an extension of the Gelfand-Levitan methods.
Étudier
unsystème simple
revient à résoudre uneéquation
deSchrôdinger indépendante
dutemps.
Enparticulier,
pour la diffusion de deuxparticules, l’équation
à considérer s’écrit :{1 étant la masse réduite des deux
particules,
-
r leur distance
relative,
-
et
V(r)
l’interaction entre lesparticules,
oupotentiel.
358 COUDRAY ET MARCEL COZ
En se limitant à la diffusion de deux
particules
sansspin,
undéveloppement
en ondes
partielles
fournit leséquations
suivantes : .qui
ont faitl’objet
de nombreuses études.Néanmoins,
une classe limitée depotentiels
a été surtoutenvisagée.
Ce sont lespotentiels
locaux et réelstels que
[1] :
On
peut
se demander s’il ne serait pas intéressant d’éviter ces limitations.Et
quelques
auteurs ontproposé
certainstypes
depotentiels
non locaux[2].
Récemment Moses et Tuan
[3]
ont montréqu’il
était facile par une mathéma-tique simple d’ajouter
un état lié aux solutions d’unpotentiel
donné. Lesfonctions de Jost
[4] qui correspondent
à cet état lié ont un zérosimple.
Essentiellement,
leur méthode revient àajouter
à unpotentiel
local uneperturbation
locale. Cettetechnique
semblesusceptible
d’atteindre une classe depotentiels
bienplus générale
que cellesignalée précédemment.
Nous nous sommes
proposé
une extension de cette attitude : enparti- culier,
nous avons cherché à étudier s’il étaitpossible d’ajouter
des étatsliés d’ordre
multiple,
situés sur l’axeimaginaire négatif.
Pour cela nousavons dû redéfinir la « fonction »
spectrale.
Cette « fonction »qui
était unemesure dans les cas étudiés par
Newton, puis
par Moses etTuan,
est dansnotre cas une
distribution,
du fait de laprésence
de dérivées de la « fonc- tion )) 8. On est alors conduit à unsystème
de solutions nonorthogonales : l’opérateur qui
lesengendre
nepeut
pas êtreauto-adjoint.
Les zéros
multiples
sont interdits par leshypothèses acceptées
par New- ton : réalité deV(r)
et existence des deuxpremiers
moments. Defait,
ladémonstration que Newton utilise pour en démontrer
l’impossibilité
suppose que l’on
peut permuter
l’ordre des deux dérivations parrapport
à r et k. Nous avonsrepris
l’étude dans un casplus général,
où les dérivées secondesmixtes,
continues ou non, existent. La formule de Newton reste valable. Parsuite,
seuls despotentiels complexes peuvent
donner lieu à de tels états liés.Dans le
paragraphe I,
nousrappelons
les notations et nous prouvons que seuls lespotentiels complexes
peuvent donner lieu à des zéros d’ordremultiple.
Dans le
paragraphe II,
nous calculons la fonctionspectrale,
et nous déter-minons une condition
simple
que doivent satisfaire les solutionsirrégulières
pour que l’ensemble des solutions
régulières
donne lieu à une relation de fermeture.Dans le
paragraphe III,
nous résolvons dans un cassimple l’équation
de Gelfand-Levitan sous
l’hypothèse
d’un zéro d’ordre 2. Nous montrons la validité de la méthodeutilisée, qui
n’était pas évidente apriori.
Nous calculonsexplicitement
lepotentiel,
les solutionsrégulières,
les fonctions de Jost. Ces dernièrespossèdent
effectivement un zéro d’ordre deux aupoint choisi,
et la solutionrégulière qui
luicorrespond
en cepoint
est norma-lisable.
I. - RAPPELS ET NOTATIONS
L’équation
deSchrôdinger :
(1) qui
décrit la diffusion de deuxparticules
sansspin
par unpotentiel
cen-tral
V(r)
réel oucomplexe
tel que(2) possède
des solutionsqui
sont définiesd’après
leurscomportements
limites :- une solution
régulière r)
tellequ’à l’origine
(3)
- une solution
irrégulière fi(k, r)
obéissant à la conditionasymptotique (4)
- une solution
physique qui
s’écrit à l’infini(5) désignant
la matrice de diffusion.a) Quelques propriétés
des solutionsfi
et cpi.On notera que p/ ne
dépend
que du module dek,
tandis quefi
a unpôle
d’ordre 1 pour r = 0.
Les solutions
fi(k, r)
etfi(- k, r)
sont linéairementindépendantes
360 CHRISTTANE COUDRAY ET MARCEL COZ
pour
k #
0. On pourra doncexprimer r)
sous forme d’une de leurs combinaisons linéaires. On écritdonc,
définissant ainsi la fonction de Jostfi(k) :
(6) fi(k) peut
être obtenue en considérant le comportementasymptotique
de p/.En effet :
(7)
Il est
possible
de relier fonction de Jost et solutionirrégulière lorsqu’on
se trouve dans une
région d’analyticité
connectée avec l’axe réel.La condition aux limites
(3),
avec lapropriété de fi :
(8)
entraîne alors :
(9)
Par
ailleurs,
la condition(2)
entraînel’analyticité
des solutionsfi
et ~pl.Par
ailleurs,
si V estréel,
onpeut
deplus
montrer que, dans touterégion d’analyticité
connectée avec l’axeréel,
on a :(10)
ce
qui
entraîned’après (9)
la relationanalogue
pour les fonctions de Jost :D’après (6), (10)
et(11),
onpeut
en déduire alors quer)
est une fonc-tion réelle
lorsque
k est réel ouimaginaire
pur.b)
Zéros de la fonction deJost.
La solution
physique c~l
est donnée àpartir
de cpl et de la fonction de Jost par :(12)
Cette dernière
expression
nous amène à nous demanderquels
sont leszéros - K
k),
ce sont les zéros Kde fi(k).
Dans le cas d’unpotentiel
361
réel satisfaisant aux conditions
(2)
et pourk #
0 ils ne peuvent êtreréels,
sinonr)
seraitidentiquement nulle,
cequi
est interdit par(3).
Parailleurs K2 est nécessairement
réel,
les zéros sont doncimaginaires
purs.Pour nous trouver dans le domaine d’existence
de fi(k, r)
etde fi(k),
il nousfaut choisir K =
iko,
avecko
0.Dans ce
qui suit,
nous nous limitons auxpotentiels
tels quea)
les zérosde
.//(A:)
sont tousimaginaires
purs : K =iko
avecko 0 ; b)
les solutions sont dérivables parrapport
à k.Les fonctions
fi
et sont alorsproportionnelles :
( 13)
Les deux membres sont de carré
sommable,
etkô
est une valeur propre discrète del’équation
deSchrôdinger;
on a un état liéSi 2014
iko
se trouve dans larégion d’analyticité
de~/(A;)
connectée avecl’axe
réel,
on obtient à l’aide del’équation (6)
la valeur de c :(14)
c) Multiplicité
de ces zéros.Pour la
déterminer,
nous pouvons évaluerfz(k)
en calculant la valeur à l’infini du wronskien defi(k, r)
et der), quantité indépendante
de r.La dérivée par
rapport
à k de cetteéquation, prise
aupoint
K =iko, ko 0,
donne la valeur de(en
notant par unpoint
la dérivée parrapport
àk).
Il n’est pas évident que dans le cas
général
- et enparticulier
dans le casoù les
premiers
et seconds moments dupotentiel
n’existent pas - les fonc-tions fi
et p/ sontanalytiques,
et que l’on peut intervertir l’ordre des dériva- tions.Par
suite,
nous posons :362 c COUDRAY ET MARCEL COZ
Ona
(15)
On peut calculer les wronskiens
qui
entrent enjeu.
Pour celaintégrons
la relation
(1) :
ce
qui
donne :Dérivons par rapport à k cette dernière
égalité :
Nous obtiendrons de
façon
tout à faitanalogue
une relation semblable pour ~1.Reportons
les valeurs ainsi obtenues des wronskiens dans(15) ;
noustrouvons alors :
( 16)
La formule
(16)
estidentique
à celle de Newton[1],
où elle était établieen
supposant
que l’onpuisse
intervertir l’ordre des dérivations. Cetteopé-
ration est évidemment
permise
enprenant
pourhypothèse
l’existence des moments d’ordre 1 et 2 dupotentiel (condition (2)).
La formule
(16)
est donc valable dans la condition bienplus large
où lesdérivées secondes mixtes
de fi
et cul existent mais ne sontplus
continues.Deux situations
peuvent
seprésenter :
ou c =0,
alorsfi(iko, r)
==0,
ou cpe fonction à valeurscomplexes.
Puisque
c ne peut êtrenul,
à cause de la conditionasymptotique (4),
la(1)
La méthode utiliséeimplique
que les dérivéespremières de fi
et de ~1 existent.363
seule
possibilité
= 0 est que cp soit une fonctioncomplexe.
Parsuite,
lepotentiel
V doit êtrecomplexe.
II. - LA FONCTION SPECTRALE
Une fonction
simple
de l’obtenir est de considérer la fonction de Green.Celle-ci doit satisfaire
l’équation :
(17)
Pour
que gl
ne contienne aucune onde entrante àl’infini,
etqu’elle
soitcontinue pour r =
r’,
on devra écrire :( 18)
La fonction
fi(- k)
étant définie à l’aide de la relation(6).
Nous allons chercher si la
présence
depôles
doubles n’interdit pas ausystème
de fonctions propres d’êtrecomplet.
Pour cela nous suivrons pas à pas la démonstration que fait Newton[1]
dans le cas despôles simples.
Considérons
l’intégrale :
(19)
où
h(r)
est une fonction de carrésommable,
et où le contour ccomprend
l’axe
réel,
moinsl’origine,
évité par unpetit
demi-cercle de rayon ~ dans ledemi-plan inférieur,
et un demi-cercle de rayon infini situé dans le mêmedemi-plan.
A l’intérieur de cedomaine,
nous supposerons lafonction g analytique partout,
sauf en des valeurs discrètes sur l’axeimaginaire :
oùelle
possède
une série depôles simples
k =iks (ks 0)
et depôles
doublesk
= ikd (kd 0) correspondant
aux zérossimples
et doubles de la fonction de Jost. On pose :(20)
364 CHRISTIANE COUDRAY ET MARCEL COZ
La valeur de
l’intégrale I,(r)
s’obtient à l’aide du théorème deCauchy.
La somme des résidus
correspondant
auxpôles simples
a été calculée par Newton :(21)
avec
(22)
Nous voulons évaluer les résidus
Ild correspondant
à despôles
doublesikd.
Si nous posons
et par ailleurs :
Alors
(23)
Pour calculer
(23)
en fonction de et de remarquons que pour un étatlié fi
et çi sontproportionnels.
On aQuant
à la valeur de nous l’obtenons par dérivation de la rela- tion(6) :
Pour k =
ikd, fi(k)
est nul ainsi que sapremière
dérivée. Et l’on a :D’où
Et la valeur du résidu :
Ii(r) s’exprime
alors sous la forme suivante :(24)
(25) (26)
Par
ailleurs,
onpeut
évaluer directementl’intégrale Ii(r).
sur lepetit
cercle autour de
l’origine
tend verszéro,
saufsi fi(0)
= 0 et / >1, auquel
cas elle vaut :
où
Sur le
demi-grand cercle,
nous aurons,d’après (4)
et(7),
ensupposant
que ces relations sont encore valables dans la situation que nous envisa-366 C COUDRAY ET MARCEL COZ
geons
ici,
c’est-à-dire en supposantfi(k, r)
continue en k(nous
vérifierons que tel est bien le cas dansl’exemple
que nousconsidérons)
La dernière contribution
1~
estl’intégrale
sur l’axe réel. Elle vaut,lorsque
l’on fait tendre e vers 0Finalement donc :
(27)
Somme
qui
inclut éventuellement l’état liéd’énergie
nulle. Le traitement deIz(r)
estidentique.
On obtientfinalement, après
addition des deux for- mules ainsiobtenues,
et division par 2 :(28)
La formule
(28)
est une relation de fermeture. L’ensemble des fonctions d’onderégulières correspondant
au spectre continu et auspectre
discretest
complet.
Laprésence
de termes en cpl montre que les fonctions cp/ ne constituentplus
unsystème orthogonal.
Ceci confirme le fait quel’opéra-
teur différentiel ne peut pas être
hermitique.
On peut définir une fonction
spectrale généralisée p[(E)
de tellefaçon
que
(28)
s’écrive comme unepseudo-intégrale
deStieltjes
définissant lamesure
8(r
-r’).
(29)
Le
signe ~ indiquant
que l’onn’intègre
que sur les valeurs de k réellespositives
ouimaginaires
pures,d’argument - 3 2.
On aura alors :
D’une manière
précise
la démonstration n’a été faite que pour des fonc- tionsh(r)
de carrésommable,
et le résultat final s’obtient en tenantcompte
de ce que cet ensemble de fonctions est dense dansl’espace
des fonctionscontinues.
La formule
(29)
s’écrivant :On retrouve la forme habituelle de la fonction de Green :
(30) Remarquons qu’en
cours de route nous avons démontré laproposition
suivante :
Si les extensions dans le
plan complexe
des solutionsirrégulières fi(k, r)
tendent vers e-ikr
lorsque k ~ 2014~
oo, l’ensemble des solutionsrégulières
constitue un ensemble
complet
dansl’espace
des fonctions de carré som-mable.
III. - CONSTRUCTION D’UN POTENTIEL
Le but de ce
paragraphe
est de construire et d’étudier unpotentiel
dontla fonction de Jost
possède
un zéro d’ordre deux. La méthode que nousutilisons est la méthode standard de Gelfand-Levitan
qui
relie lepotentiel
à une certaine fonction
K(r, ri)
par :(31)
368 CHRISTTANE COUDRAY ET MARCEL COZ
Cette dernière étant elle-même solution de
l’équation :
(32)
L’existence de
(32)
estprouvée [6] lorsque
l’ensemble des solutionsrégu-
lières est
complet -
cequi
ne veut pas direqu’elle
nes’applique
pas à descas
plus larges.
Nous devrons vérifier quel’emploi
que nous en faisons estjustifié.
Il existe une
équation
de Gelfand-Levitan pour toute onde 1 et pour toutpotentiel Vo(r)
suffisammentrégulier. V(r)
donné par(31)
sera unepertur-
bation pourVo(r).
Lepotentiel
cherché sera la sommeVo
+ V. Pour obtenirun
exemple simple
oùl’analyse
pourra être menée de bout enbout,
nouschoisissons les ondes S et le
potentiel Vo(r) identiquement
nul. On a alors :(33) a(E) étant,
à une constanteprès,
la différence entre la fonctionspectrale considérée,
et cellequi correspondrait
à unpotentiel identiquement
nul.Si nous voulons
ajouter
à celui-ci unpotentiel
additionnelqui
donneraitun état lié d’ordre
deux,
aupoint k
=iko (ko 0) da(E)
se réduit à un seulterme :
(34)
Il est alors facile d’écrire
P(r, ri) :
Soit,
enposant
(35)
(36)
ou encore
369
Nous chercherons
K(r, ri)
sous la forme(37)
Il est en effet évident
d’après (32)
queK(r, ri) peut s’exprimer
ainsi :les deux fonctions sh
kori
=s(ri)
et rl chkori
= sont linéairementindépendantes,
car il n’est paspossible
de trouver deux coefficients X et Ynon tous deux nuls tels
qu’on
ait :(sauf
aupoint
ri = 0 mais alorsP(r, 0)
étantnul, K(r, 0)
est nulégalement).
Un calcul immédiat forme le
système
(38)
où l’on a
posé
(39)
On en déduit les
équations
définissant etw(r) :
(40)
On obtiendra ensuite
r)
par : 1(41)
ANN. INST. POINCARÉ, A-V-4 26
370 NE COUDRAY ET MARCEL COZ
équation qui s’intègre
suivant(42)
Nous devons prouver que
r) correspond
à un état lié et que les fonctions de Jostcorrespondantes
ont les bonnespropriétés.
1)
Solutionrégulière pour k
=iko.
Nous allons montrer que
ço(iko, r)
est normalisable. Pour cela il suffit de considérer la continuité en r et les limites de po. Revenons à la formeexpli-
cite
(40)
dev(r)
et dew(r),
et résolvons un certain nombre dequestions
rela-tives à ce
sujet :
a)
Lesfonctions v(r)
etw(r)
sont-elles continues ?Nous poserons
D(r)
=Vi(r)W2(r) - Wi(r)V2(r). Après calculs, D(r)
seréduit à :
(43)
En
supposant
B’imaginaire
pur, lepremier
terme s’écrit :(44)
où P est une
quantité toujours positive.
La
présence
d’un termeimaginaire
dans(43)
montrequ’il
suffira dechoisir A’ réel
(hypothèse
non contradictoire avec leséquations (35))
pour que le second terme de(43)
soit unequantité toujours réelle,
éventuellement nulle d’ailleurs. AlorsD(r)
ne pourra s’annuler.Nous pouvons déduire de ce
qui précède
la continuité en toutpoint
desfonctions
1(r)
etw(r) :
leurs numérateurs sont en effet des fonctions continues de r.371
b)
Continuité àl’origine.
Nous avions
remarqué
queK(r, 0)
=0,
maisqu’alors
la méthodegéné-
rale n’était
plus
utilisable.La
question
de la continuité se pose donc àl’origine.
Or
D(0)
= 1 doncv(0)
etw(0)
sont tous deux finis. Parconséquent
Ces deux
points
nous assurent une fonctionpo(k, r)
continue en r en toutpoint,
et dont la limite àl’origine
est nulle.Quant
aupotentiel V(r)
il s’écrit :(45)
où
N(r)
etD(r)
sont des fonctionscontinues,
et oùD(r)
ne s’annule pasV(r)
est doncégalement
continue pour toutes les valeurs de r.c) Comportement asymptotique.
D’après (40),
il est facile de déterminer lescomportements asymptotiques.
de et
w(r) quand r
- o0(46)
On voit donc que v et w ont une décroissance
exponentielle.
po(iko, r)
fonction continuede r,
s’annulant àl’origine,
et décroissantexponentiellement
à l’infini est normalisable.2)
Lepotentiel.
a) Étude
dupotentiel
obtenu.On
peut
déduire de cequi précède
lecomportement asymptotique
deV(r).
En effet la dérivation de
(37)
donne :(47)
Quand
r - 00 on aura donc372 CHMSTIANE COUDRAY ET MARCEL COZ
Il suffit de
remplacer
les v et les w par lesexpressions (46)
et de les dériver pours’apercevoir
que lepotentiel
tend vers zéro à l’infiniplus
vite que toutepuissance de 1 .
Enfait,
un calculplus détaillé, qui
tientcompte
dupremier
terme
négligé
dans lesdéveloppements
de v et w,permet
depréciser
la formede
V(r) :
(48) Pi
etP2
étant deuxpolynômes
en r.Le
potentiel
additionnel tend vers zéroexponentiellement
à l’infini.V(r)
est donc une fonctioncomplexe
de rpartout
continue. Al’origine,
on
peut
voir queV(0)
= 0(il
suffit de déterminer dans(47) V(e)
et de fairetendre e vers
zéro).
Il en résulte que
V(r)
est borné en module etqu’on peut
déduire l’exis- tence despremier
et second momentsb) Éventualité
d’unpotentiel
réel.Nous pouvons remarquer que les calculs nous conduisent à la situation
prévue théoriquement :
la continuité en toutpoint
r deK(r, ri) (la
conti-nuité en ri est
triviale),
donc celle deV(r) peuvent
s’obtenir par un choix desparamètres qui
rendracomplexes
les fonctions considérées.Il est à cet endroit intéressant de chercher si un
potentiel
réel amèneraitéventuellement à la même conclusion.
Pour obtenir une solution
K(r, r) réelle,
il faut choisir A’ et B’ réels.Alors d K(r, r)
sera lui aussi réel. Or on a :Si B’ est
réel, D(r)
tend vers zéro par valeursnégatives.
Par ailleursD(0)=1.
Il en résulte que
D(r)
s’annule au moins unefois, quel
que soit A’.K(r, r)
est,au moins en ce
point,
une fonction discontinue. Les fonctionspo(k, r)
don-nées par
(41)
sont toutes discontinues.?o(iko, r)
ne peutplus
être normalisa-ble : ce n’est pas un état lié. Par ailleurs on est en dehors du
champ d’appli-
cation des
équations
de Gelfand-Levitan. On ne sait donc pas side d dr K(r, r)
on peut déduire un
potentiel. Remarquons
à cet endroit que Bell et Goe-373
bel
[7]
ont construit des fonctions de Jostqui
ont un zéro d’ordredeux,
mais elles necorrespondent
pas à des étatsliés,
et lespotentiels qui
lesengendrent
renferment des « fonctions » S.3)
Fonction deJost.
S’il est
possible
d’écrirel’équation
de Gelfand-Levitan pour en déduireV(r),
la solutionrégulière
del’équation
deSchrôdinger qui
s’en déduitaura la forme donnée par
(42).
Nous savonsdéjà qu’elle
est continue entout
point
r. Il est maintenantimportant
de montrer que la fonction de Jostcorrespondante possède
effectivement un zéro double pour la valeur k =iko
de la variable.
1. Calculons
po(iko, r) (égalité (42)).
Nous remarquons que les termes
Faisons tendre r vers l’infini. La fonction de Jost
f(iko)
est le facteur corres-pondant
au terme e-kor. Elle vaut alorsDonc f(iko)
= 0.Nous avons donc un zéro de la fonction de
Jost,
mais dont lamultiplicité
reste inconnue. Pour la
déterminer,
il suffira d’intervertir l’ordre danslequel
nous passons aux limites. De
(42)
nous obtenons directementl’expression
de la fonction de Jost
374 CHRISTIANE COUDRAY ET MARCEL COZ
D’où
Nous trouvons donc bien le résultat
prévu :
la fonction de Jostpossède
un
pôle
doublepour k
=iko.
4)
Lesystème
des fonctionsrégulières
est-ilcomplet ?
Ce dernier
point
estcapital.
C’est lui seulementqui justifiera,
le caséchéant,
tout notre calcul. Pour le montrer, il suffit de voir que l’on a
Or
Si nous essayons de résoudre cette
équation
par la méthode d’itérationen
supposant qu’elle
soitjustifiée,
nous obtenons :Nous voyons donc
qu’il
interviendra danschaque
terme de la sommela
quantité A(k, r)
que nous allons étudier. Nous avons(49)
Or, V(r)
est continuepartout
et tend à l’infini vers zéro comme uneexponentielle, j 1 V(r’) dr’ est donc une certaine fonction de r toujours
bornée. Soit
W(r)
savaleur [ W(r) 1
W constante > 0.Par ailleurs posons k = =
R(cos
e - i sin6)
quantité qui
tend vers zéroquand
R - oo. Considérons maintenant lepremier
terme de la série suivantA(k, r) :
On a
Nous sommes donc ramenés à
l’expression (49),
etNous aurons donc
série dont on connaît la somme
quand W
1 cequi
est le cas pour R trèsgrand, quel
que soit W :et ceci tend vers zéro.
La méthode d’itérations- se trouve donc
justifiée pour 1 k -~
oo et nousobtenons le résultat
résultat
qui implique
que lesystème
des fonctions propresrégulières
estcomplet,
etqui justifie
notre méthode.CONCLUSION
Il est bien connu
qu’un potentiel réel,
dont les deuxpremiers
momentsexistent, participe
à la formation d’unopérateur
différentielauto-adjoint
et
qu’un opérateur auto-adjoint
nepeut posséder
d’états liésmultiples [8].
Nous avons voulu faire un pas vers les
réciproques
desprécédents
énoncés etavons considéré les états liés
multiples
dans les deux cas suivants :simple
existence des dérivées secondes mixtes des solutions de
Jost,
existence d’une fonction de Green. Le résultat essentiel de notre travail est le suivant :L’impossibilité
des zérosmultiples provient
dans lepremier
cas de laréalité du
potentiel
et dans le second de laprésence
de 8’ dans la fonction376 CHRISTIANE COUDRAY ET MARCEL COZ
spectrale
cequi
n’est paspossible
sil’opérateur
estauto-adjoint. Lorsque
les deux circonstances
précédentes
sont simultanément réalisées lespotentiels complexes
pourrontposséder
des états liésmultiples
dont les fonctions de Jost ont des zéros doubles sur l’axeimaginaire
et, parsuite,
des matrices Spossédant
despôles
doubles.Nous avons construit dans ce
qui précède
unpotentiel V(r)
tel que :V (0)
=0,
V(r)
décroîtexponentiellement
àl’infini, V(r)
continu en toutpoint.
Il est donc borné en module et
possède
deuxpremiers
moments, mais il estcomplexe
et donne lieu en unpoint
à un état lié d’ordre deux.Dans ce
travail,
nous nous sommes limités à un cassimple,
mais l’exten- sion de la méthode aux ondes 1 # 0 necomporterait
pas de difficulté deprincipe.
Il en serait de même si l’on voulaitajouter
un zéro d’ordre deux à unpotentiel
dont les solutions seraient calculables.BIBLIOGRAPHIE
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[8] R. G. NEWTON
(communication personnelle).
(Manuscrit reçu le 15