Modélisation géométrique

(1)

Modélisation Géométrique 1

Modélisation géométrique

Marc DANIEL

Ecole Polytech Marseille,

Campus de Luminy, case 925, 13288 Marseille cedex 9 Marc.Daniel@univ-amu.fr

Avril 2021 1

Plan

Première partie : Introduction à la Modélisation Géométrique

• « Définition »

• Un peu d'histoire

• La place et le rôle du modèle

• Qualité et complexité

Deuxième partie : Rappels et Compléments de Géométrie

• Enveloppe convexe

• Barycentre, fonctions de poids

• Coordonnées homogènes

• Transformations géométriques et invariance : Rotations, Translations, Projections

• Produits scalaire et vectoriels - applications

• Géométrie des courbes

• Géométrie des surfaces

• Continuité géométrique

(2)

Plan (suite)

Troisième partie : Modélisation de Courbes et Surfaces

• Représentations cartésienne - paramétrique

• Un peu d'histoire

• Outils de base

– Représentation paramétrique – Courbes de Bézier

– Courbes B-splines

– Surfaces sous forme produit tensoriel – Courbes et surfaces rationnelles – Modélisation de volumes – Modèles implicites

• Création et manipulation de courbes et surfaces – cas des courbes

– cas des surfaces

– limitations de la forme produit tensoriel

3

Plan (suite)

Troisième partie : suite

• Topologies triangulaires

– modélisation Bézier triangulaire

• Quelques problèmes dérivés – raccordement

– restriction – décalage – ...

Quatrième partie : Maillages et Surfaces de subdivision – Maillages – Triangulation - Modélisation sur des triangles – Surfaces de subdivision

(3)

Plan (suite)

Cinquième partie : Modélisation de solides - Modélisation volumique – Propriétés topologiques pour la modélisation de solides

– Modélisation volumique B-Rep

– Opérations booléennes pour la modélisation de solides – Modélisation volumique constructive ou CSG

Sixième partie : Intersections de courbes et surfaces – Position du problème

– Intersection de courbes – Intersections de surfaces

5

Plan (fin)

Septième partie : Différentes Approches de la Modélisation Géométrique

– Modélisation paramétrique – Modélisation variationnelle

– Modélisation par entités ou « features » – Modélisation déclarative

– Matrices d'énumération spatiale – Quadtree – Octree

Huitième partie : Conclusions et Problèmes Ouverts Bibliographie succincte

(4)

Un logiciel utile pour cet enseignement

• http://www.cs.mtu.edu/~shene/NSF-2/DM2-BETA/index.html

• Téléchargez curve, surface et validez l'exécution pour les dll

7

Première partie Introduction à la

Modélisation Géométrique

(5)

Que disent les dictionnaires ?

Wikipedia

• Modélisation n. f.: La modélisationest la conception d'un modèle. Selon son objectif et les moyens utilisés, la

modélisation est dite mathématique, géométrique, 3D, mécaniste (ex : modélisation de réseau trophique dans un écosystème), cinématique … Elle nécessite généralement d'être calée par des vérifications « in situ », lesquelles passent par la paramétrisation et le calibrage des « modèles » utilisés.

9

« Définition »

La modélisation géométrique nous entoure au quotidien (1/3)

• La CFAO (Conception et Fabrication Assistée par Ordinateur)

– automobile – aéronautique – construction navale – sport

– habillement – …

• Le milieu médical – modélisation d'organe

– simulation fonctionnelle, opératoire – chirurgie assistée

– ...

(6)

• De la simulation à la réalité virtuelle – robotique

– les simulateurs – les mondes virtuels – …

• Le monde du jeu

– actuellement simplifié, mais exigences croissantes

• qualité, performances

• Le calcul et la visualisation scientifique

Souvent des approximations par des facettes planes

11

•L'internet et ses applications graphiques

–En particulier avec l'apparition de WEB-GL et les tablettes et smartphones

•La télévision

•Le cinéma

La modélisation géométrique n'a de sens qu'avec une utilisation informatique.

(7)

Les objectifs : – Concevoir – Fabriquer – Calculer – Simuler – Visualiser – Manipuler

Avec comme contraintes – mieux

– plus vite

– savoir traiter des problèmes de plus en plus complexes – qualité - efficacité - rentabilité

13

Cela conduit pour les applications « traditionnelles » à

• Supprimer les informations papier – esquisses

– plans classiques – documents divers

• Diminuer le rôle du modèle réduit (argile, bois, plâtre) – augmenter au maximum la part de simulation virtuelle – mais pas supprimer le modèle réel : indispensable à ce jour

• L'expérimentation n'est pas encore morte – calibrage et contrôle indispensable

– aspect psychologique

(8)

Quelques chiffres 2018

• Réalisation d’une maquette physique de la voiture : 100 000 € (Renault)

• Réalisation d’une maquette partielle de l’intérieur très réaliste (avant de l’habitacle plus une partie du toit (Peugeot)) : 250 000 € et 8 semaines de fabrication

15

La modélisation géométrique implique

• La construction de formes élémentaires

• L'assemblage de formes élémentaires – pour créer des objets de plus en plus complexes

• Des manipulations géométriques pour représenter, modifier, analyser

– processus « élémentaires » (transformations géométriques, calcul, ...)

• manipulations « élémentaires » mais délicates et lourdes de conséquences

– processus complexes (intersections d'objets)

– processus spécifiques (objets décalés (fabrication), raccordements et congés)

– ...

(9)

Des contraintes nouvelles autour de la modélisation géométrique :

• Application clients – serveur

– Client = ordinateur, tablette, smartphone

• Compromis entre bande-passante – traitement local

• Compression des modèles

• Modèles multi-échelles

• Sécurité des modèles et des données

17

Un peu d'histoire

Evolution simultanée et conditionnée par l'évolution de l'informatique

– puissance

– simplicité et efficacité

– outils de tracé et de désignation – diffusion (« démocratisation ») du graphique :

– modèle fil de fer, élimination des parties cachées, rendu réaliste, texture, ombrage

des moyens de fabrication :

– première séquence automatisée pour piloter une machine outil – machines CN performantes

• jusqu'à 5 axes

• usinage de pièces de plusieurs mètres

(10)

Un peu d'histoire

Les débuts - les grands noms

• Modélisation surfacique (années 60-70) – De Casteljau (Citroën)

– Bézier (Renault) – Coons (General Motors) – Ferguson (Boeing)

• Modélisation volumique (début des années 80) – Réquicha

– Mäntylä – Hoffmann

• Les grands systèmes de CFAO (années 80) – Euclid

– Catia, ...

• La « démocratisation » (années 90-95)

Idée : contrôler les formes à partir de grandeurs géométriques simples (par opposition à certaines équations algébriques ou implicites)

19

Un peu d'« histoire »

• Courbes rationnelles : années 85-90

• Fin du duel Bézier - B-splines : 90

– vision globale - passage d'une approche à l'autre – complémentarité

• Années 90 :

– explosion de la modélisation géométrique – apparition du problème de reconstruction

• Années 95 : apparition des surfaces de subdivision – très utilisées dans l'image et le film de synthèse

• Années 2015-2020 :

– explosion des masses de données (numérisation laser) – « réinvention » des surfaces implicites

(11)

•

La CAO

• Un poste « actuel »

Un peu d'histoire : le poste de travail

21

La CAO

• Et son environnement du « futur »

(12)

La CAO

• Et du présent

• https://sites.google.com/site/m2sisprojetsurfaces3d/

1

23

La CAO

• Et du présent, quid de :

• Kinect

• Leap motion

• Occulus touch

• Il faut aussi réfléchir à

• l'ergonomie du poste de travail

• La définition d'outils travaillant à un autre niveau

(13)

Le poste de travail

• 1 ordinateur et une bonne carte graphique

• 1 ou plusieurs périphériques d'entrée – Souris

– Tablette ou table à numériser (jusqu'à A0) – Potentiomètre(s), boites de boutons de sélection – Trackball, …

• 1 ou plusieurs périphériques de sortie – Imprimante

– Traceur (jusqu'à plusieurs mètres)

• Les périphériques de la Réalité Virtuelle

• 1 difficulté majeure : – Visualiser du 3D en 2D – Saisir du 3D en 2D

+ facteur d’échelle du rendu perte de la notion de profondeur

25

Place et rôle du modèle

• Question fondamentale sous-jacente :

Modèle X de Y pour Z

Quel ? Quoi ? Pourquoi ?

(14)

Un modèle - des modèles ?

• Avec un modèle par point de vue

– Incohérence rapide au niveau de la géométrie

• Le modèle géométrique est-il un modèle d'application ? – comme un modèle pour le calcul,

– comme un modèle pour l'usinage, – comme un modèle pour la visualisation.

• Ou une structure centrale ?

• La géométrie est fédératrice

– même s'il ne s'agit pas toujours de la même géométrie.

• La géométrie apparaît quasiment dans tous les points de vue.

27

Le modèle géométrique est au cœur du modèle de l'objet

•N'est pas le modèle de l'objet,

•Doit permettre des points de vue adaptés – pour les différents acteurs agissant sur l'objet – en gardant la cohérence

•Doit pouvoir intégrer les actions des acteurs sur les différentes vues

Modèle de l'objet

Point de vue 1

Point de

Traitement 1

Traitement n

(15)

• “Un problème” de chirurgie plastique

crâne

29

• Etude en cours au Commissariat à l'Energie Atomique (CEA)

(16)

• Le plan « d'antan » contenait beaucoup d'autres informations que la géométrie

– Épaisseur des traits – Cotation

– Texte – Cartouche – …

• Tendance actuelle :

– Essayer de retrouver cette richesse

– Introduire de la sémantique dans le modèle

• Features ou entités

• Modélisation déclarative

• Apport d’XML

• L’IA et les « algorithmes » ?????

31

La normalisation

• Normalisation

– Interne, régionale, professionnelle, internationale – AFNOR

– ANSI – ISO

• Unification des paramètres – Simplification

– Diminution des coûts

– Valorisation par rapport aux clients

– Facilité des échanges (clients, sous-traitants)

• Capitalisation du savoir

(17)

• Intérêt d'un format neutre pour les échanges

33

• Un vrai besoin d'échange entre systèmes

• En 1980 création de la version 1 d'IGES – Initial Graphics Exchange Specification – Géométrie, données graphiques, annotations – Norme ANSI en 1981

• IGES : format d'échange de modèles 2 ou 3D (version 6) – Format ASCII de plus en plus riche

• Certains formats propriétaires s'imposent de fait – DXF avec Autocad

(18)

• STEP Standard for the Exchange of Product Model Data, norme ISO (ISO 10303)

– comment représenter et échanger les informations entre les modèles numériques.

• Doit permettre de couvrir tout le cycle de vie du produit

• Norme « multi-parties », extensible

• Projet excessivement ambitieux (déjà une dizaine d'années) – Les parties de bases sont terminées

– Nombreuses AP à faire (Application Parts)

• Langage de description permettant de décrire n'importe quelle information d'ingénierie : EXPRESS

35

Qualité et complexité

Le premier souci doit être la qualité du modèle et des procédures

•Correction

•Adéquation aux besoins

•Robustesse

•Précision

•Stabilité

•Gestion des cas particuliers

(19)

Qualité et complexité

Le deuxième souci doit être celui de la complexité à qualité équivalente

•Dimensionnelle (2D, 3D, nD)

•Mémoire

– attention à l'explosion possible

•Temporelle

– pas théorique mais réelle – dans les différents cas de figure

37

Deuxième partie

Rappels et Compléments de

Géométrie

(20)

Deuxième partie :

Enveloppe convexe, barycentre, fonctions de poids

39

Enveloppe convexe

•Polygone convexe :

Un polygone est convexe si toute droite le coupe en au plus deux points (exceptés les supports des côtés !)

O point

1 point

2 points

(21)

•Un polygone qui n'est pas convexe est non convexe :

•Il peut ne pas être simple en étant croisé :

4 points

41

• Un cas intéressant : le polygone étoilé par rapport à un point toute demi-droite issue de ce point coupe une seule fois le polygone

– existence d'une zone d'étoilement

• Utilisé dans les problèmes de triangulation

• Tout polygone convexe est étoilé par rapport à tout point de

oui ! non !

(22)

Enveloppe convexe d'un ensemble de points :

•C'est le plus petit polygone convexe incluant tous les points – c'est l'enveloppe de l'ensemble des segments joignant tous les points

deux à deux

•La frontière ne passe par nécessairement par tous les points

•Techniques de construction et de manipulation : géométrie algorithmique

à

43

Barycentre

• Soit O une origine, (n+1) points Piaffectés des masses mi

• Le barycentre des points P_iaffectés des masses m_iest le point G défini par :

• on a aussi :

• notion d'« équivalent » de points

i n

i i n

i

OG m OP

m ∑

∑

= =

=

0 0

) (

0

∑ =

=

i n

i

GP

m

P0

P1

P2

P3

P4

G

Rem : abus d'écriture

i n

i mP

m

∑

⁾^G⁼

(

(23)

Barycentre

•Propriété fondamentale 1 :

– Si la masse est nulle le point ne compte pas

– Si la masse est positive, plus celle-ci augmente, plus G est attiré par ce point

– Si la masse est négative, plus celle-ci augmente (en valeur absolue), plus G est repoussé par ce point

•Propriété fondamentale 2 :

Si ∀i mi≥ 0, (hypothèse systématique), le barycentre des points Pi

affectés des masses miest dans l'enveloppe convexe des points Pi

P0

P1

P2

P3

P4

Démonstration évidente par G récurrence à partir de 2 points (forme m0P0+ m1P1)

45

Fonctions de poids

• Des fonctions de poids permettent d'associer un ensemble de masse à un ensemble de points

• Fonctions d'un même paramètre t – (n+1) fonctions pour (n+1) points – fonctions positives

– même domaine de définition (par défaut [0,1]) – un ensemble de masse pour chaque valeur de t

• On définit ainsi une courbe C

t P

t

_i

n i

i n

i

= ∑ ∀

∑

= =

)

( C(t)

)) ( (

0 0

ϕ

(24)

Fonctions de poids

•Propriété supplémentaire

Propriété de Cauchy ou dite de partition de l'unité

Chaque point C(t) est le barycentre des points Piaffectés des masses j_i(t)

C'est la base de la modélisation de courbes et surfaces

t P

t

_i

n i

i

∀

= ∑

=

)

( C(t)

0

ϕ

1 ) ( t

ou 1

0 0

=

∀

≡ ∑

∑

= =

n i

i n

i

ϕ t

ϕ

Revient à être écrit pour chaque coordonnée

47

Deuxième partie : Coordonnées homogènes

(25)

Coordonnées homogènes

• Idée travailler dans un espace de dimension (n+1) – appelé espace projectif

• pour représenter un espace affine euclidien de dimension n

• La dernière coordonnée s'appelle – coordonnée d'homogénéisation – le poids

• n=2 ou n=3

• coordonnées cartésiennes àcoordonnées homogènes 0

avec associe on

A ≠

""

"

#

$

%%

%

&

'

"

#

$

%%

%

&

'

v v

vz vy vx

z y

x Association

non unique

49

• coordonnées homogènesàcoordonnées cartésiennes

• Correspond à la projection perspective de En+1àEnde centre l'origine et sur l'hyperplan w=1

0 si /

/ / associe on

A ≠

"

#

$

%%

%

&

'

""

"

#

$

%%

%

&

'

w w

z w y

w x

w z y x

Association unique

W=1

(26)

• Si w=0, on a un point à l'infini ou une direction – premier intérêt des coordonnées homogènes

• Projection à la base des courbes et surfaces rationnelles

• Deuxième intérêt des coordonnées homogènes

– représenter les transformations géométriques affines par des matrices 0

si projettent se

points les

Tous ≠

"

#

$

%%

%

&

'

""

"

#

$

%%

%

&

'

w z

y x

w wz wy wx

Points équivalents

51

• Translation

• Rotations

!!

!

"

#

$$

$

%

&

=

1 0 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

z y x

T t

t t M

!!

!

"

#

$$

$

%

&

= −

1 0 0 0

0 cos 0 sin

0 0 1 0

0 sin 0 cos

b b

M_Ry

x

y z

a

!!

!

"

#

$$

$

%

&

= −

1 0 0 0

0 cos sin 0

0 sin cos 0

0 0 0 1

a a

a M_Rx a

!

!!

#

$

$$

& −

= 0 0 1 0

0 0 cos sin

0 0 sin cos

c c

c c M_Rz

x

y z

b z

Rôle « inversés » de x et z

(27)

• Transformation d'échelle – avec ou sans déformation

– si e_x= e_y= e_z= k : homothétie de rapport k

• Rotation quelconque autour d'une droite : se ramène à une composition de rotations autour des 3 axes (attention !) + translations éventuelles

– ramener la droite à l'origine – ramener la droite sur un des axes

!!

!

"

#

$$

$

%

&

=

1 0 0 0

0 0 0

z y x

E e

e e M

53

• La suite des transformations géométriques se résume à un produit non commutatifde matrices

– pratique, mais vraiment peu performant (beaucoup de calculs inutiles) – parfois remplacé par des calculs spécifiques optimisés

– la vision dans l'espace n'a rien d'évident.

– les transformations géométriques sont difficiles à appréhender

(28)

Transformations géométriques et invariance : Rotations, Translations, Projections

55

Invariance

Un objet défini par des points (coefficients) est invariant par transformation géométrique si pour obtenir l'objet après transformation il suffit :

! d'effectuer la transformation géométrique sur les points (coefficients) de définition

! de construire l'objet à partir des points transformés

Pour obtenir

1) Transformer les points

2) Calculer l 'objet correspondant

(29)

Invariance

Propriété fondamentale en modélisation géométrique :

• Transformation géométrique fiable pour tout point de l'objet

• Très rapidement réalisée (sur les données définissant l'objet)

• Obtention d'un vrai modèle de l'objet transformé Dépend évidemment :

• du modèle de l'objet

• de la transformation géométrique

57

Invariance par rotation

Soit une courbe définie par : (1)

• Une rotation s'exprime par une transformation linéaire

• La linéarité rend l'invariance par rotation évidente

• Elle s'applique à tous les objets modélisés sur le principe (1) – toutes les courbes à pôles en CAO

t P t _i

n i

i ∀

=

∑

=

) ( C(t)

0

ϕ

t Pz t

Py t

Px t

i n i

i i n i

i

∀

"

#

"

$

%

=

∑

=

) ( z(t)

) ( y(t)

) ( x(t)

0 0 0

ϕ ϕ ϕ

3 ..., 1, i

' ³

1

=

∑

= j j

ij

i a x

x

(30)

Invariance par rotation

Un exemple en 2D !

• Une rotation :

cos sin

'

sin cos

'

!"

#

+

=

−

=

y x

y

y x

x

θ θ

t Py t

Px t

i n

i i

i n i

i

∀

"

#

""

$

%

=

∑

=

) ( y(t)

) ( x(t)

0 0

ϕ ϕ

t Py t Px

t

Py t Px

t

i n i

i i

n i

i

i n

i i

i n

i i

∀

"

#

""

$

%

+

=

−

=

∑

=

) ( cos ) ( sin (t) y'

) ( sin ) ( cos (t) x'

0 0

ϕ θ ϕ

θ

ϕ θ ϕ

θ

t y x

t

y x

t

i i

n

i i

n i

i

∀

"

#

""

$

%

+

=

−

=

∑

=

) P cos P )(sin ( (t)

y'

) P sin P )(cos ( (t)

x'

0 0

θ θ

ϕ

θ θ

ϕ

t Py t

Px t

i n

i i

i n

i i

∀

"

#

""

$

%

=

∑

=

' ) ( (t) y'

' ) ( (t) x'

0 0

ϕ ϕ

cqfd

59

Invariance par translation

• Une translation s'exprime par une transformation affine

• Il apparaît immédiatement les termes

• L'invariance par translation est obtenue pour tous les objets modélisés sur le principe (1) si les fonctions de poids vérifient

t P t _i

n i

i ∀

=

∑

=

) ( C(t)

0

ϕ

t Pz t

Py t

Px t

i n i

i i n i

i

∀

"

#

"

$

%

=

∑

=

) ( z(t)

) ( y(t)

) ( x(t)

0 0 0

ϕ ϕ ϕ

x'_i=x_i+tr_x

tr_x et ϕj i=0

n

∑

^(t).tr^x idem pour y et z y'_i=y_i+tr_y z'_i=z_i+tr_z

(31)

Invariance par transformation affine

Tous les objets modélisés sur le principe (1) – toutes les courbes à pôles en CAO

– toutes les surfaces à pôles en CAO

sont invariants par transformation affine si les fonctions de poids considérées vérifient la propriété de partition de l'unité

• Résultat fondamental en modélisation géométrique t P t _i

n i

i ∀

=

∑

=

) ( C(t)

0

ϕ

61

Projections

• Représentation dans un espace de dimension (n-1) d'un objet d'un espace de dimension n (en général n=2 ou 3)

• Projection de type dessin industriel : parallèles ou cylindriques

point de vue à l'infini (optique) àtous les rayons sont parallèles

Projection orthogonale au point de vue : projection axionométrique

Projection inclinée par rapport au point de vue

cas classique a= 45 ° a

(32)

Projections

• Projection « réalistes » : perspectives ou coniques cas général :

– un point de vue (centre de projection) – un plan de projection

OP(X) = (1-t) OX + t OC et

QP (X).N = 0

Une équation en t à une inconnue

! Q

C

X

Origine

"(X)

63

Projections

• D'un point de vue matriciel : les projections s'expriment en coordonnées homogènes en faisant intervenir la coordonnée d'homogénéisation

• Il s'agit de transformations projectives !

• Attention les matrices associées ne sont pas inversibles – une fois projeté, on ne peut plus revenir en arrière

– il faut plus d'une vue pour reconstruire un objet projeté

(33)

Invariance par projection

• Projection parallèle (traité sur une courbe plane) 1) Projection axionométrique

2) Projection oblique

x ' = x + y/ tg a ( y/(x '-x) = tg a)

Translation et

rotations éventuelles se ramène à

i j

x y

x'

!

se ramène à

65

Tous les objets modélisés sur le principe (1) – toutes les courbes à pôles en CAO

– toutes les surfaces à pôles en CAO sont invariants par projection parallèle

t P t _i

n i

i ∀

=

∑

=

) ( C(t)

0

ϕ

(34)

• Projection perspective (traité sur une courbe plane)

D'après Thalès : (x,y) à(x/y,1)

t P t _i

n i

i ∀

=

∑

=

) ( C(t)

0

ϕ

Un point de la courbe est transformé en : Un point de la courbe définie

par les points projetés est : O

(x,y)

(x',1) y=1

67

Les objets modélisés sur le principe (1)

– les courbes à pôles en CAO (y compris les courbes rationnelles) – les surfaces à pôles en CAO (y compris les courbes rationnelles) ne sont pas invariants par projection perspective

• Les objets polynomiaux sont transformés en des objets rationnels

• On parle d'invariance projective des courbes et surfaces rationnelles : ce n'est pas du tout la même propriété

– une courbe rationnelle se projette suivant une courbe rationnelle

t P t _i

n i

i ∀

=

∑

=

) ( C(t)

0

ϕ

(35)

Produits scalaire et vectoriel et applications

69

Définitions

• Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur R – en pratique dim = 2 ou 3

– une base orthonormée directe (produit vectoriel)

• Produit scalaire : forme bilinéaire symétrique définie positive de ExEàR

• Interprétation

2 1 2 1 2 1 2 2 2

1 1 1

. .

.

, x x y y z z

z y x v z y x

u + +

!!

!

"

#

$$

$

%

&

!!

!

"

#

$$

$

%

&

 



1) u 2) Opérateur de projection

q v

u

 p =u.ii

(36)

Définitions

• Produit vectoriel : loi interne de ExEàE

!!

!

"

#

$$

$

%

&

!!

!

"

#

$$

$

%

&

!!

!

"

#

$$

$

%

&

z y x w z

y x v z y x

u ,   

2 2 2

1 1 1

) sin(

.v θ

u v u

w    

=

∧

=

u, v, w forment une base directe

q

u v

w x₁

y₁ z₁ x₁ y₁

x₂ y₂ z₂ x₂ y₂

x=y₁z₂-z₁y₂ y=x₁z₂-x₂z₁ z=x₁y₂-y₁x₂

⎧

⎨⎪

⎩

⎪⎪

y z x

Orientation « classique »

71

Définitions

• Interprétations du produit vectoriel

) sin(

.v θ

u v

u   

=

∧

L'aire du parallélogramme ABDC est AB.h

q

u

A

D

B C

h

) sin(

. θ

AC h=

v u 

∧ = aire parallélogramme ABDC

= 2 (aire triangle ABC) 1)

2) Soient (i,j) base d'un plan et (i, j, k) base directe de E u et v deux vecteurs du plan

w et k sont colinéaires

k v

u

w = .  sin(θ)

q

u v

w v

q positif dans le sens direct

k w 

α

= ^a^{> 0} : 0 < q < p

(37)

Applications

• Recherche d'orientation dans le plan

– étude de convexité, changement de courbure d'une courbe plane, …

• Mesure d'angles

– attention : en radians ! 0.1 rad ~ 6 °1°~ 0.017 rad) – accès au sin, cos, tg

– estimations d'angles petits

i

j k

) ( )

(

) (

2 1

3 2 2

1

θ θ signe signe

u u signe u

u signe

=

⇒

∧

=

∧  



(angles entre -pet p q1

q2

v θ u v

u∧ ≈ . 

73

Applications

• Mesure d'angles (suite)

– applications : 3 points définissent-ils convenablement un plan ?

• recherche d'un objet plat (ex: intersection), ...

• norme des vecteurs

• angle du bivecteur

• Points voisins : imprécisions numériques sur les normes et donc les angles

• Parenthèse : cas des valeurs petites obtenues par différences

1

a = 0.c1c2…ck…cm 10^a

b = 0.c'1c'2…c'k…c'm 10^a a et b voisins tels que ci=c'ipour i =1, …, k en float m~7, en double m~ 6 en pratique a et b imprécis : mvrai chiffres corrects (mvrai < m)

a-b = 0.s1s2…smvrai-k…sm 10^a-k mvrai-k chiffres significatifs : résultat imprécis

(38)

Applications

• Aire S d'un polygone M1, M2, …, Mn (Mn+1=M1) )

2 ( 1

1 1 1

2

1 +

−

=

∧

=

∑

ⁱ

n i

i M M

M M

S 1/2 : aire du triangle,

| | : nécessaire suivant le sens de parcours

+ -

convexe étoilé / M1

non-convexe

M1

M2

Mn

M1

M2

M1

Mn

75

Applications

• Hyperplan H d'un espace E de dim k

• 1 point M0

• (k-1) vecteurs a1, a2, …, ak-1engendrant H

• ou un vecteur normal n (codim = 1)

– M ÎH ssi

• développement du déterminant suivant la 1ère colonne

•

• k= 2 : a x + b y + (-a x₀- b y₀) = 0

• k=3 : a x + b y + c z + (-a x₀- b y₀- c z₀) = 0

0 . ou 0 ) ,..., , ,

det(M₀M a₁ a₂ a_k₋₁ = M₀M n=

n OM n OM n

M

M₀ . =0= . − ₀.

M0

O h La distance de l'origine à l'hyperplan est : ^OM_n₀.ⁿ

n

!!

#

$$

&

b a n

(39)

Applications

• Distance d'un point à un hyperplan

• k=2

• k=3

h

n

M0

M

P

n PM  :

a

On =α

n PM

h 

et = =α

2

0M.n PM.n n.n n

M     

α

α =

= . =

0

n n M h M 



=

2

0 :

droite

, a b

c by h ax

c by y ax

M x

+ +

= +

! +

"

$ #

%

&

2 2

2

0 :

plan

, a b c

d cz by h ax

d cz by ax z

yx M

+ +

= +

= + +

! +

!

"

#

$$

%

&

77

Applications

• Distance point-droite (espace)

– droite connue par un point P_Oet un vecteur v

• Distance droite D -plan P

– P et D un point commun : distance nulle – sinon : P(x₀,y₀,z₀) = 0 D incluse dans P

) //

(

v P₀M v PM P₀P v

∧

=

∧

v PM h v 

∧

= h

P0

v P M

M P M

P

v v .

=

∧

!"

!#

$ +

= +

=

%%

&

' (( )

*

%%

&

' (( )

*

%%

&

' (( )

*

r.c z z y r.b y

r.a x x bc

v a z y x P D

0 0 0

0 sur D

z yx M par

déterminée 

0 h w.z v.y u.x z) y, (x, par

déterminé P = + + + =

P

) , , ( P ) . . . r.(

0 h ) . w.(z ) . v.(y ) . u.(x : D P

de ₀ ra ₀ rb ₀ rc ua vb wc x₀ y₀ z₀

M ∩ + + + + + + = = + + +

np

v. 0

.n_p ≠ v 

(40)

Deuxième partie : Géométrie des courbes

79

Tangente, courbure, ...

• Tangente :

• Abscisse curviligne – soit un point de départ fixé –

–

– On choisit une orientation (fixe e : longueur orientéede la courbe

• intrinsèque à la courbe C(t) de classe C^p

C(t0)

Tangente à la courbe en C(t) :

donnée par le premier vecteur C^(k)(t0) ≠ 0 et C^(k)(t0) continu en t0 (k ≤ p) t0singulier : C'(t0) = 0 (ou stationnaire)

du u C t

s( )⁼ε

∫

_t^t0 '( ) ds

dt =ε C'(t) =0 ⇔ C stationnaire en t

(41)

Trièdre de Frenet courbes planes

• Vecteur tangent

• Vecteur courbure

– courbe C²: à courbure continue

– courbe C¹: a priori pas à courbure continue (voir continuité géométrique)

ds dt dt dC ds dC =

t T C

t C ds

dC = =

) ( '

) (

' T vecteur tangent (vecteur normé de la tangente) dt

ds = ds dt

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

−1

= 1

C'(t) (ε=1)

N k ds N d ds d d dT ds

dT = ϕ = ϕ = ϕ

x y

N Tj

2 / ) ,

(Ox N =ϕ+π

algébrique courbure

de rayon R algébrique 1

courbure =

ds dϕ

N vecteur normal (normé)

81

Trièdre de Frenet courbes planes

• Première formule de Frenet

• Centre de courbure

– I associé au point M de la courbe tq : – I est dans la concavité de la courbe – centre du cercle osculateur

– R=∞ : courbe plate localement : I à l'infini N

k RN ds dT 1

=

= '( ) "( )

) ( '

"

'

"

' ) ' '

( ² ² ³^/² ³

t C t C

t C x

y y x

y R x

= ∧

−

= +

N R MI=

N T M I

R > 0 ^N T

M I R < 0