Algorithmique — M1 — 9/1/9 — corrigé
Examen du 9 janvier 2009
Université Paris Diderot
On applique les algorithmes de cours
Exercice 1–Les reines
Placer les 4 reines sur un tableau4×4 en utilisant l’algorithme backtrackingdu cours. Sans énoncer l’algorithme montrez toutes les configuration considérées lors de son fonctionnement.
Correction. Une configuration consiste à placer les reines sur les colonnes de 1 à k (k=0..4). On la représente par un vecteur de k entiers qui correspondent aux lignes de ces reines
1 13 14 142 2 24 241
2413- trouvé
Exercice 2–Flux maximum
Pour le réseau ci-dessus on cherche à trouver le flux (flot) maximum en appliquant un algo- rithme de cours.
1. Choisissez un algorithme (écrivez juste son nom s’il s’agit d’un algorithme connu).
Correction. Ford-Fulkerson.
2. Appliquez l’algorithme (dessinez toutes ses itérations).
3. Donnez le résultat final : flux maximum et sa valeur.
Correction. voir la feuille scannée
On adapte un algorithme de cours
Exercice 3–Magasin
Le nouveau magasin “Galeries Fulkerson" a nrayons (r1, r2, . . . , rn). Pour travailler dans le magasin il y am ≥ 2n vendeurs candidats(v1, v2, . . . , vm). Les compétences des vendeurs sont représentées par une relation
C={(i, j)| vendeurvipeut travailler dans le rayonrj}.
On cherche un algorithme qui décide s’il est possible d’embaucher2nvendeurs et de les affecter aux rayons en respectant les conditions suivantes :
– chaque vendeur embauché est affecté à un rayon et un seul ; – dans chaque rayon il y a exactement deux vendeurs ; – chaque vendeur est compétent dans son rayon.
L’algorithme doit aussi proposer quels candidats embaucher et comment les affecter aux rayons.
1. Proposez un algorithme efficace pour ce problème.
Correction. On définit un réseau qui contient les sommets suivants : –sourceSetT,
–un sommet pour chaque vendeur :(v1, v2, . . . , vm), –un sommet pour chaque rayon(r1, r2, . . . , rn), –targetT,
et les arcs suivants :
–deSvers chaquevi(capacité 1),
–deviversrjlorsque(i, j)∈C(capacité 1), –de chaquerjversT (capacité 2).
Ensuite on applique Ford-Fulkerson pour trouver un flux entier maximal. Si sa valeur< 2non répond
"impossible". Si sa valeur est2n, alors on embauchevisi le flux deSàviest non-nul. Lorsque le flux de viversrjest non-nul on affecte le vendeuriau rayonj.
2. Justifiez la correction de votre algorithme (donnez une ébauche de preuve).
Correction.
–Si l’algo trouve une solution, elle est correcte Effectivement, on embauche 2n vendeurs, et les contraintes de capacités et de préservation de flux nous garantissent tout ce qu’il faut :
–Chaque vendeur embauché travaille dans un rayon et un seul (flux entrant devégale 1, donc le flot sortant aussi).
–Chaque vendeur travaille dans un rayon où il est compétent (sinon on aurait un flux interdit)
–Le flux sortant de chaquervaut 2 (nécessaire pour avoir la valeur 2n), donc le flux entrant aussi. Ça signifie qu’il y a 2 vendeurs affectés à chaque rayon.
–Si une solution existe, l’algo trouve une solution. Effectivement, à partir d’une solution pour le ma- gasin il est possible de construire un flux de valeur 2n. Or, Ford-Fulkerson trouvera un flux optimal, qui aura forcément la valeur 2n aussi (par construction du réseau impossible de faire mieux que 2n). On conclut que notre algo trouve une solution.
3. Analysez sa complexité.
Correction. On aV=n+m+2sommets etE=O(nm)arcs, on peut construire le réseau enO(nm) opérations. La valeur n’excède pas|f|=2n. Or, la complexité de Ford-Fulkerson est O(|E| |f|), c’est - à direO(n2m)ce qui est raisonnable.
On invente des algorithmes
Exercice 4–Le champion
Les éléments d’un tableau donné B = (b1, b2, . . . , bn) sont des objets dont on peut tester l’égalité, mais qu’on ne peut pas comparer (ou non plus classer). LechampiondeBest l’élément présent dans le tableau strictement plus que n/2 fois.
1. Démontrer qu’un tableau peut contenir soit 0 soit 1 champion.
Correction.Supposons qu’un tableau contient 2 champions différentsaetb(et éventuellement d’autres).
Par définition de champion, y a plus den/2occurrences deaet plusn/2occurrences deb- ça fait en tout plus denobjets dans un tableau den. Contradiction. Donc on a toujours moins de 2 champions.
2. Programmez une fonction booléenneisChamp(x, B, s, f)qui teste est-ce quexest champion de (bs, . . . , bf).Indication : c’est très facile.
Correction. Voici un algo de complexitéO(n)(ou, plus précisément,O(f−s)) Boolean isChamp(x, B,s,f)
count=0 pour i de s à f
si x[i]=B
count++
si 2*count>f+1-s retourner vrai sinon retourner faux
3. Proposez un algorithme itératif “naïf” qui trouve le champion ou répond qu’il n’y en a pas.
Quelle est sa complexité ?
Correction. Il suffit de tester chaque objet avec la fonction précédente.
ChampNaif(B,s,f) pour i de s à f
si isChamp(B[i],B,s,f)
retourner B[i]
retourner null
Il y au pirenitérations de complexitéO(n)chacune, donc la complexité totale estO(n2)
4. Proposez un algorithme plus efficace de type Diviser-Pour-Régner qui trouve le champion ou répond qu’il n’y en a pas.
Indication.
– On cherche à programmer la fonction Champ(B, s, f) qui renvoie la valeur du champion de (bs, . . . , bf)ou null s’il n’y a pas de champion
– Coupez le tableau en deux moitiés.
– Chaque moitié peut avoir ou non son champion (il y a en tout 4 cas). Qu’est-ce qu’on peut affirmer sur le champion du grand tableau pour chacun de ces 4 cas. Justifiez vos réponses.
– Donnez un algorithme récursif pourChamp(B, s, f).
Correction. L’observation clé est que le champion de tableau doit être aussi champion d’une de ses moitiés (peut-être des deux). Autrement dit les seuls candidats à tester dans le grand tableau sont les champions de la moitié gauche et le champion de la moitié droite. Ceci justifie l’algo DPR suivant : Champ(B,s,f)
si chGauche !=null ET IsChamp(chGauche,B,s,f) retourner chGauche
chDroite=Champ(B,m+1,f)
si chDroite !=null ET IsChamp(chDroite,B,s,f) retourner chDroite
retourner null
5. Analysez la complexité de votre algorithme Diviser-Pour-Régner.
Correction. La fonction fait deux appels récursifs et encore O(1) opérations. DoncT(n) =2T(n/2) + O(n), ce qui correspond au cas moyen du Master Theorem, et la complexité estO(nlogn).
Exercice 5–La monnaie
On a un stock illimité de pièces de monnaie de chacune demvaleurs différentesα=p1, p2, . . . , pm. On peut représenter certains montantsAavec ces monnaies. Par exemple, pour les pièces de2, 3, 5 (centimes) et le montantA= 11il existe des représentations suivantes (et d’autres - à la fin de l’exercice on saura combien)
11 = 2+2+2+5 11 = 2+3+3+3
Le problème algorithmique à résoudre dans cet exercice est le suivant : étant donné α = p1, p2, . . . , pm et A trouver le nombre de représentations différentes (sans tenir compte de l’ordre) du montantApar les pièces α. On utilisera la programmation dynamique pour conce- voir un algorithme qui résolve ce problème.
1. SoitR(i, j)le nombre de représentations du montantjavec lesi premières pièces p1, . . . , pi Écrivez les équations de récurrence pour cette fonction sans oublier les cas de base.
Correction. L’idée de la récurrence est la suivante : sij≥pi, alors soit on utilise la dernière pièce (et ensuite on fait la monnaie pourj−pi), soit on ne l ’utilise pas. Dans le cas oùj < pila piècepiest inutile.
R(i, j) =
1 si j=0
0 sinon si i=0
R(i−1, j) sinon si j < pi
R(i, j−pi) +R(i−1, j) sinon
Une petite optimisation possible mais optionnelle concerne le cas d’une seule pièce :
R(i, j) =
1 si i=1∧j( modi=0) 0 si i=1∧(j modi6=0) . . .
2. Écrivez un algorithme efficace (récursif avec “marquage” ou itératif) pour calculerR.
Correction. On crée un tableau memo[0..m,0..A] pour mémoriser les résultats de nos calculs , et on le remplit de -1.
Ensuite on utilise la fonction suivante int R(i,j)
si on l’a déjà calculé on retourne if memo[i,j]>-1 return memo[i,j]
sinon on calcule en utilisant les équations de récurrence if (j==0)
R=1 else if (i==0) R=0
else if (i=1) AND j mod i =0 R=1
else if (i=1)AND j mod i !=0 R=0
else if (j<p[i]) R= R(i-1,j) else
R= R(i,j-p[i])+R(i-1,j) on mémorise et on retourne
memo[i,j]=R return R
3. En sachant calculer la fonction choisieR, comment répondre à la question initiale : trouver le nombre de représentations différentes du montantApar les piècesα.
Correction. Il suffit d’appeler R(m,A).
4. Analysez la complexité de votre algorithme.
Correction. L’initialisation de memo coûteO(mA). La première visite de chaque case coûte O(1)+ 2 visites d’autres cases. Une re-visite coûte O(1). Toutes les premières visites ensemble coûtentO(mA)plus encoreO(mA)de re-visites, ce qui donne O(mA).
On conclut que la complexité est O(mA).
5. Appliquez votre algorithme à l’exemple ci-dessus (α=2, 3, 5etA=11).
Correction.
R(3, 11) = R(3, 6) +R(2, 11) R(3, 6) = R(3, 1) +R(2, 6)
R(3, 1) = R(2, 1) =R(1, 1) =R(0, 1) =0 R(2, 6) = R(2, 3) +R(1, 6)
R(2, 3) = R(2, 0) +R(1, 3) =1+R(1, 3) R(1, 3) = 0
R(1, 6) = 1
R(2, 11) = R(2, 8) +R(1, 11) =R(2, 8) +0
On remonte
R(2, 5) = 1 R(2, 8) = 2 R(2, 11) = 2 R(2, 3) = 1 R(2, 6) = 2 R(3, 6) = 2 R(3, 11) = 4
On a trouvé la réponse : 4.
