Le risque et sa relation avec le rendement

(1)

(2)

3.1 Espérance mathématique 3.2 Variance et volatilité

3.3 Covariance et corrélation

3.4 Un portefeuille composé de “N” titres Section 2

Le risque et sa relation avec le rendement

3 Chapter

(3)

La variance ou volatilité comme mesure de risque (I)

La variance est une mesure de la déviation par rapport à la moyenne. Elle prend en compte la somme de tous les écarts entre les valeurs observés et l’espérance mathématique.

Elle prend en compte la somme de tous les écarts entre les valeurs observés et l’espérance mathématique. On ne peut se contenter de mesurer ces écarts par une simple différence entre les deux,

puisque, par définition de la moyenne, la somme des écarts par rapport à la moyenne est toujours égale à zéro (les écarts positifs étant compensés par les écarts négatifs). On fait donc abstraction du signe positif ou négatif en élevant chaque différence au carré.

On va considérer aussi deux formules, une plus générale lorsque les probabilités de chaque valeur observé ne sont pas identiques et

une deuxième lorsque ces probabilités sont identiques.

(4)

σ_x² = (x₁ − x)¯ ² ⋅ p₁ + (x₂ − x)¯ ² ⋅ p₂ + . . . + (x_n − x)¯ ² ⋅ p_n

La variance ou volatilité comme mesure de risque (I)

La variance est une mesure de la déviation par rapport à la moyenne. Elle prend en compte la somme de tous les écarts entre les valeurs observés et l’espérance mathématique. On ne peut se contenter de mesurer ces écarts par une simple différence entre les deux,

puisque, par définition de la moyenne, la somme des écarts par rapport à la moyenne est toujours égale à zéro (les écarts positifs étant compensés par les écarts négatifs). On fait donc abstraction du signe positif ou négatif en élevant chaque différence au carré.

On va considérer aussi deux formules, une plus générale lorsque les probabilités de

chaque valeur observé ne sont pas identiques et une deuxième lorsque ces probabilités sont identiques.

On a des probabilités

différentes pour chaque

observation et elles sont connues.

Les probabilités attachées à chaque observation sont identiques.

¯

x = E(x)

V(x) = σ_x² = 1 T − 1

T

∑t=1

(x_i − x)¯ ²

(5)

La variance ou volatilité Probabilités DIFFÉRENTES, Projet X

Calculons l’espérance mathématique et variance d’un projet X avec des possibles valeurs et probabilités comme montré dans le tableau en bas.

Variance:

L’écart type est la racine carrée de la variance:

E(x) = ¯x

Distribution de Probabilité de la variable “projet X VAN”

σ

_x²

= (x

₁

− x) ¯

²

⋅ p

₁

+ (x

₂

− x) ¯

²

⋅ p

₂

+ . . . + (x

_n

− x) ¯

²

⋅ p

_n

E(x) = ¯x = ∑^T

t=1

P_t ⋅ x_t

(6)

Variance:

La variance ou volatilité Probabilités DIFFÉRENTES, Projet Y

Calculons l’espérance mathématique et variance d’un projet Y avec des possibles valeurs et probabilités comme montré dans le tableau en bas.

E(y) = ¯y = (2000$) (0,20) + (5000$) (0,40) + (6500$) (0,40)

= 400$ + 2000$ + 2600$

= 5000$

Distribution de Probabilité de la variable “projet Y VAN”

σ_y² = (y₁ − y)¯ ² ⋅ p₁ + (y₂ − y)¯ ² ⋅ p₂ + . . . + (y_n − y)¯ ² ⋅ p_n

E(y) = ¯y = ∑^T

t=1

P_t ⋅ y_t

(7)

Le projet Y présente un risque beaucoup plus élevé que le projet X, car l’écart type de 1,643.17 $ indique une dispersion de sa VAN beaucoup plus large que celle de X, qui se chiffre à 1,095.45 $. En d’autres termes, le projet Y peut se

distinguer par une VAN positive plus élevée et par une VAN négative plus élevée que celles du projet X. Il est bien évident qu’un projet comme Y, qui peut

éventuellement atteindre un résultat négatif plus élevé, est plus risqué.

Variance:

projet X projet Y

La variance ou volatilité

Probabilités DIFFÉRENTES, Projets X et Y

(8)

La variance ou volatilité Probabilités IDENTIQUES

σ_i = 0.050 r_i = 0.042

(9)

3.) La variance de la somme d’un produit par une variable doit tenir compte de la covariance entre les deux variables.

1.) La variance d’une constante est égale à zéro.

La variance ou volatilité Propriétés

2.) La variance du produit d’une constante par une variable est égale a la constante au carré multipliée par la variance de la variable.

4.) La variance de l’addition ou soustraction de une constante et une variable est égale à la variance de la variable, puisque la variance de la constante est zero.

Var(a) = V(a) = 0

V(a X_t) = a² V(X_t)

V(a + X_t) = V (a) + V (X_t) + 2 ⋅ Cov(a, X_t) = 0 + V (X_t) + 0 = V(X_t) V( X_t) = V( −X_t)

V( X_t + Y_t) = V (X_t) + V(Y_t) + 2 ⋅ Cov(X_t, Y_t)

V(a X_t + b Y_t) = a² V (X_t) + b² V(Y_t) + 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ Cov(X_t, Y_t) V(X_t) = σ_X²

(10)

3.1 Espérance mathématique 3.2 Variance et volatilité

3.3 Covariance et corrélation

3.4 Un portefeuille composé de “N” titres Section 3

Le risque et sa relation avec le rendement

3 Chapter

(11)

La statistique bi-variée

On entend par statistique bi-variée l’étude des

relations entre deux variables, celles-ci pouvant être quantitatives ou qualitatives. Cela nous permettra de faire de prévisions pour une d’entre elle si on connaît la valeur de la deuxième et la relation entre les deux.

En économie on utilise souvent des relations entre deux (ou plusieurs) variables qu’on représente par des fonctions

mathématiques. Ce chapitre nous montre comment on arrive à

produire ces fonctions qui nous sont données dans des exercices.

Par exemple: la consommation en fonction du revenu ou le prix en fonction de la quantité dans une fonction de demande ou offre.

C = f(Y) = a + bY

p = f(X) = a + bX

(12)

La statistique bi-variée

Supposons deux variables x et y pour lesquelles on une série statistique qui est une suite de n couples des valeurs prises par les deux variables.

Taille (x) et Poids (y)

Graph: Nuage de points (scatter plot)

(13)

La statistique bi-variée

Supposons deux variables x et y pour lesquelles on une série statistique qui est une suite de n couples des valeurs prises par les deux variables.

On peut calculer la moyenne et la variance de chaque série séparément et la covariance et correlation de ces deux séries.

Moyenne

Covariance

Variance

σ

_x²

σ

_y²

σ

_x,y

(14)

Coefficient de corrélation

La covariance, la correlation et le coefficient de détermination

Supposons deux variables x et y pour lesquelles on une série statistique qui est une suite de n couples des valeurs prises par les deux variables.

Covariance

Coefficient de détermination

Ce coefficient représente la proportion de variance expliquée par le modèle, si l’approximation faite par la droite de régression est bonne ou mauvaise.

ρ

_x,y

= σ

_x,y

σ

_x

σ

_y

σ

_x,y

= 1

T − 1

T

∑

i=1

(x

_i

− x)(y ¯

_i

− y) ¯

ρ

_x,y²

= σ

_x,y²

σ

_x²

σ

_y²

−1 ≤ ρ_x,y ≤ 1

0 ≤ ρ

_x,y²

≤ 1

(

σ

_x²

σ

_x,y

σ

_y,x

σ

_y²

)

(15)

Le coefficient de corrélation

Si le coefficient de corrélation est positif, les points sont alignés le long d’une droite croissante. Si le coefficient de corrélation est négatif, les points sont alignés le long

d’une droite décroissante. Si le coefficient de corrélation est nul ou proche de zéro, il n’y a pas de dépendance linéaire. On peut cependant avoir une dépendance non-linéaire avec un coefficient de corrélation nul.

0 < corrélation < 1

-1 < corrélation < 0 corrélation = 0

corrélation = 0

corrélation = 1

corrélation = -1

(16)

La covariance /correlation entre deux variables (I)

Les graphiques en bas permettent de mieux comprendre les différents types de relation (covariance) entre les variables. Ce concept permet de

mesurer l’évolution simultanée des valeurs actuelles nettes des projets X et Y, par exemple, selon les phases du cycle économique.

(17)

La covariance /correlation

Probabilités DIFFÉRENTES ou IDENTIQUES

La covariance permet de chiffrer dans quelle mesure et de quelle façon deux variables évoluent ensemble dans le temps par rapport à leurs

moyennes respectives. Comme dans les cas de l’espérance mathématique et variance, la covariance aussi peut être calculée de deux façons

différentes selon si les probabilités associées à chaque observation sont différentes ou identiques.

u = E(r_i)

cov(r_i,r_j) = [(r_i,1 −u) (r_j,1 − v)] p₁ + [(r_i,2 − u) (r_i,2 − v)] p₂. . . + [(r_i,T − u) (r_j,T − v)] p_T v = E(r_j)

On a des probabilités différentes pour

chaque

observation et elles

sont

connues.

Les probabilités attachées à chaque observation sont identiques.

¯

r_i = E(r_i)

¯

r_j = E(r_j)

(18)

Pour calculez la covariance entre les variables X et Y:

1.) Identifiez la formule à utiliser selon si les probabilités des observations sont identiques ou différentes.

2.) Si les probabilités sont IDENTIQUES, calculez la moyenne simple des observations des chacune des séries.

3.) Calculez les écart-types (différence entre chaque observation et

l’espérance mathématique) pour chaque observation ou valeur pour les deux series.

4.) Multipliez les écart-types des deux series pour chaque instant “t” , on respecte le signe, qu’il soit négative ou positive.

5.) Additionnez le résultat de ces produits.

6.) Comptez le nombre d’observations (représenté par “T” ou “n”).

7.) Diviser le résultat des produits par “T-1” (ou “n-1”).

La covariance

Probabilités IDENTIQUES

(19)

La covariance entre les deux va tenir compte des similitudes (covariance élevée) ou des différences (covariance faible) dans l’évolution des

rendements observés, respectivement par rapport à leur moyenne.

La covariance

Probabilités IDENTIQUES

(20)

Calculez la co-variance entre les variables X et Y:

La covariance Probabilités IDENTIQUES, Exemple (I)

X_avg = E(X) Y_avg = E(Y)

average (avg) = moyenne

(21)

On calcule le produit entre les “écart-types” pour chaque valeur de ces

deux variables qui multiplie . Ensuite on fait l’addition de tous ces produits.

X

_i

− X

_avg

Y

_i

− Y

_avg

La covariance

Probabilités IDENTIQUES, Exemple (I)

(22)

Calculez la co-variance entre les variables X et Y:

La covariance Probabilités IDENTIQUES, Exemple (II)

r_i = E(r_i) r_j = E(r_j)