Finale Grand Jeu IMA 2012

Finale Grand Jeu IMA 2012

1-Quel jour ?

Si nous ne sommes pas le lendemain de lundi ou le jour avant jeudi, que demain n’est pas dimanche, que ce n’était pas dimanche hier et que le jour d’après-demain n’est pas samedi, et que le jour avant- hier n’était pas mercredi, quel jour sommes-nous ?

2-Camille et ses bougies

Camille vend des gâteaux d’anniversaire. Elle est très économe et donc elle réutilise des bouts de bougies usagés pour en faire des nouvelles. Elle est capable de reconstituer une bougie à partir de quatre bouts de bougie qu’elle fait fondre.

Combien pourra-t-elle reconstituer de bougies au total avec les 64 bouts de bougie qu’elle a récupérés hier dans son magasin ?

3- A vos pinceaux ...

Combien de possibilités existe-t-il pour colorier, avec 4 couleurs, un des sigles historiques de l’IMA, ces quatre couleurs devant être présentes dans le résultat final (les couleurs sont fixées, les quatre parties du sigle à colorier étant le cadre, le triangle, la crosse, et ima).

4- Dans l’absolu …

On a : x + + +x 1 x 1 2- = . Quelle est la valeur de x ?

5- A la base …

Les nombres que nous manipulons journellement sont écrits en base 10, c'est-à-dire qu’ils s’expriment à partir des puissances de 10 successives (10⁰=1, 10¹, 10²=100,…). Ainsi on a 231=2 x10²+3x10¹+1x10⁰. Ces nombres utilisent tous les chiffres de 0 à 9 pour leur écriture. Dans la base 6, le principe reste le même, et seuls les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, et 5 sont utilisés. Comment écrit- on 10547 en base 6 ?

6- Promo de L1

Dans la promo de L1, il a 32 garçons. Chacun d’entre eux est ami avec 5 filles de la promo, mais chaque fille est amie avec 8 garçons. Combien y a-t-il d’élèves dans la promo ?

(Attention, si une fille est amie avec un garçon, alors ce garçon compte cette fille parmi ses amies !)

7- Le planning de partiels

Monsieur Rivreau, le directeur de l’IMA, doit préparer le planning des partiels de janvier 2012 des Licences 1, 2 et 3 (L1, L2, L3) et des Master 1 (M1). Il ne peut y avoir au maximum que trois épreuves (épreuve =[promotion, matière]) en même temps, et chaque promotion ne peut passer qu’une épreuve par jour. Sachant que :

§ les L1 ont algèbre, analyse, informatique et économie,

§ les L2 ont statistiques, économie, optimisation numérique et algèbre,

§ les L3 ont statistiques, analyse, comptabilité, optimisation numérique et informatique,

§ et les M1 ont statistiques, anglais, informatique et optimisation numérique, Combien de jour minimum devra-t-il réserver pour les partiels ?

8- L’épreuve du radeau

Une épreuve du rallye IMA consiste à traverser la Maine en radeau d’un point A à point B par équipe de 4 étudiants. L’équipe gagnante est la première dont les 4 membres ont atteint le point B. Chaque équipe dispose d’un seul radeau de 2 places. Il faut donc faire plusieurs allers retours avec ce radeau pour emmener tout le monde au point B. L’équipe avec laquelle nous jouons est formée de Paul, Rodolphe, Maxime et Audrey. Chacun d’eux est capable de réaliser cette traversée (A®B) avec une performance qui lui est propre (Paul : 1mn, Rodolphe : 2mn, Maxime : 7mn, et Audrey : 10mn). La durée de traversée d’un binôme correspond à celle du moins performant des équipiers (par exemple 10 min si Paul et Audrey traversent ensemble). Quelle durée totale minimale mettra cette équipe pour réaliser l’épreuve.

9- Voyage, voyage …

Dans un jeu télévisé, un candidat, se trouve devant 3 enveloppes fermées.

Dans une de ces enveloppes, il y a un superbe voyage à gagner. Il n’y a rien dans les deux autres.

Le candidat choisit une enveloppe au hasard (sans l’ouvrir). L’animateur ouvre alors une autre enveloppe dans laquelle il n’y a rien.

Que devrait faire le candidat : garder son enveloppe ou changer d’avis et choisir la dernière enveloppe ? Justifier en précisant le nombre de chances de gagner que vous avez évalué, à l’exclusion de tout autre commentaire.

10- Qui perd gagne !

Lors d’un tournoi, deux chevaliers sont à égalité. Pour les départager, le roi leur dit : « Voyez cette tour qui pointe à l’horizon. Celui de vous deux dont le cheval arrivera le dernier à cette tour remportera le tournoi. »

A ces mots, les deux chevaliers se précipitent aux écuries, enfourchent chacun un cheval et se dirigent au grand galop vers la tour !

Comment expliquer le comportement apparemment illogique des deux chevaliers ?

11-Trouvez l’erreur !

Si x = 1 et y =1 alors : (a) x x

y

(b) x x

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

Donc 1 = 2.

Cherchez l’erreur ! On précisera la (ou les) égalité(s) incriminée(s) (parmi a,b,c, et d) et en deux ou trois mots l’erreur logique s’y rapportant.

12- Encore un plat de pâtes !

Gaspard prépare un plat de nouilles. Le temps de cuisson des nouilles est de 9 minutes. Il dispose pour ce faire de deux sabliers, un gros permettant de chronométrer 7 minutes et un petit permettant de chronométrer 4 minutes. Comment fait-il pour mesurer 9 minutes ? Il est facile de voir que les seules actions possibles sont, à chaque minute d’un horizon courant entre 0 et 9 minutes, de renverser l’un ou l’autre sablier. En conséquence, votre réponse consistera à cocher les cases associées aux actions constituant votre stratégie (p.e. cocher la case (Sablier 4mn, 0mn) signifie renverser le sablier 4mn au début de l’horizon (i.e. à l’instant 0).

13-Le triangle

Complétez ce triangle de manière que le nombre inscrit dans chaque case soit égal à la somme dans les deux cases juste au-dessus de celle-ci (utiliser la grille réponse).

Temps 0mn 1mn 2mn 3mn 4mn 5mn 6mn 7mn 8mn 9mn Sablier 7mn

Sablier 4mn

14-Les blancs et les noirs

On considère un échiquier 4x3 sur lequel sont disposés des pions noirs et blancs (cf. figure ci-jointe).

Les pions étant considérés comme des chevaux (*), comment échanger les noirs et les blancs en un nombre minimal de mouvements de pions. Un exemple : les mouvements 1®6 et 3®8, 8®1 permettent de repositionner le pion noir en case 3 en case 1. Attention, on ne peut passer ou déposer un pion sur une case que si celle-ci est libre. Reportez votre solution en complétant la grille ci-dessous (le transfert donné en exemple y figure déjà).

Votre Solution

(*) Pour les non amateurs d’échecs, les tableaux ci-dessous donnent la liste des cases arrivée possibles (dans un déplacement de type cheval aux échecs) pour chacune des cases départ possibles.

Par exemple, de la case départ 4, on peut atteindre les cases 3, 9 et 11. Attention : dans notre jeu, pour qu’un tel mouvement soit intéressant il faut que la case départ contienne un pion, et pour qu’il soit réalisable il faut que la case d’arrivée choisie soit vide.

15-Perdu dans la forêt

Vous êtes tout seul, perdu dans la forêt avec seulement deux bouts de ficelle. Chaque ficelle met exactement une heure pour brûler d’un bout à l’autre. Mais la vitesse de combustion n’est pas la même tout au long de la ficelle, si bien que celle-ci peut brûler rapidement au début et ralentir après ou brûler à une vitesse complètement aléatoire. Vous ne disposez que d’une boite d’allumettes.

Vous n’avez pas le droit de faire autre chose que brûler ces ficelles.

Comment mesurer 45 minutes avec ces deux bouts de ficelle ?

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Case départ 1 3 8 Case arrivée 6 8 1

1 6 8 7 2 6 12

2 7 9 8 1 3

3 4 8 9 2 4 10

4 3 9 11 10 5 9

5 10 12 11 4 6

6 1 7 11 12 5 7