Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique MENTOURI - CONSTANTINE
Faculté des Sciences Département de Mathématiques
MÉMOIRE
Pour l’obtention du grade de MAGISTER
SPÉCIALITÉ : MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES OPTION : LA THÉORIE DU CONTRÔLE
Présenté par : BENHAMOUD TAYEB Intitulé :
Observation d’un systéme bidimensionnel gouverné
par des équations aux dérivées partielles
Soutenu publiquement le 27 janvier 2010 à l’Université de Constantine devant le jury composé de
Mr Mohamed DENCHE Professeur Université de Constantine Président Mr Abdelhamid AYADI Professeur Université d’Oum El Bouaghi Rapporteur Mr Mohamed BOUZIT Maître de conférence Université d’Oum El Bouaghi Examinateur Mr Salah DJEZZAR Maître de conférence Université de Constantine Examinateur
Notations 7
Introduction 8
1 Rappels et définitions 10
1.1 préliminaires . . . 10
1.1.1 préliminaires sur les opérateurs . . . 10
1.1.2 Ensembles et opérateurs résolvants. Spectre de A . . . 11
1.1.3 Les opérateurs maximaux et dissipatifs . . . 12
1.2 C0-Semi-groupe . . . 12
1.2.1 Définitions. Propriétés élémentaires . . . 12
1.2.2 Propriétés générales des C0-Semi-groupes . . . 14
1.2.3 théoréme de Hille -Yosida . . . 15
1.3 C0-Semi-groupes avec Propriétés spéciales . . . 16
1.3.1 C0-Semi-groupes analytiques . . . 16
1.3.2 C0-Semi-groupes différentiables . . . 18
1.3.3 C0-Semi-groupes de contractions . . . 19
1.3.4 C0-Semi-groupes compacts . . . 20
2 Contrôlabilité des systèmes évolutifs 22 2.1 préliminaires . . . 22
2.1.3 L’opérateur de contrôlabilité LT . . . 25
2.2 Contrôlabilité . . . 25
2.2.1 Contrôlabilité exacte . . . 25
2.2.2 Contrôlabilité faible . . . 27
2.2.3 Contrôlabilité régionale . . . 27
3 Observabilité des systèmes évolutifs 32 3.1 Observabilité exacte et faible . . . 33
3.1.1 Définitions . . . 33
3.1.2 Caractérisations . . . 34
3.2 Observabilité régionale des systèmes paraboliques . . . 35
3.2.1 Position du probléme . . . 35
3.2.2 Définitions et Caractérisations . . . 36
3.3 Observabilité régionale des systèmes hyperboliques . . . 40
3.3.1 système considéré . . . 40
3.3.2 Observabilité régionale . . . 42
Je tiens d’abord à remercier infiniment Mr AYADI Abdelhamid d’une part pour le choix passionnant de ce mémoire et pour son aide inestimable et les conseils précieux qu’il m’a apportés de l’autre part. Je reste et je resterai très reconnaissant.
Je remercie Mr DENCHE Mohamed, qui me fait l’honneur de présider ce jury. Je remercie Mr BOUZIT Mohamed et Mr DJEZZAR Salah d’avoir bien voulu accepter d’être examinateurs de ce jury.
J’aimerais notamment remercier Mr BOUDJMILI Mohamed Tahar pour avoir bien voulu corriger le travail ainsi que tous les collègues du lycée mixte d’Ibn-Ziad.
Je tiens aussi à exprimer ma gratitude aux deux êtres les plus chers qui ont tant attendu cet événement et qui ont tout fait pour que je sois aujourd’hui là : mon père et ma mère, merci trés chers. Le fait de penser à vous ma redonne la confiance et me rassure.
Je remercie tout particulièrement F.Ghailousse mon épouse pour ses conseils et son soutien ainsi que toue sa famille.
Je remercie tous les membres de ma famille : surtout mon frère, mes soeurs et tous ceux qui comptent pour moi.
Je me permets aussi ici de saluer tous mes amis et de les remercier, leur présence et leur soutiens constants m’ont permis de réaliser mon rêve le plus cher. Leurs amitiés me resteront à jamais un trésor inépuisable.
Je tiens également à remercier toutes les personnes qui m’ont aidé de loin au de prés à la finalisation ou mieux de ce modeste travail, je cite ici, les professeurs et les camarades de classes de l’ENS du Vieux Kouba d’Alger.
Nous avons étudié à travers ce mémoire l’observabilité régionale des systèmes évolutifs paraboliques et hyperboliques.
Nous avons déduit que les systèmes paraboliques et hyperboliques étudiés ne sont pas faiblement observables sur un domaine mais faiblement observables sur une région, conve-nablement choisie, inclue dans ce domaine.
Mots clés :
We have studied through this memoir the regional observability of parabolic and hyper-bolic evolutionary systems.
We have deduced that the parabolic and hyperbolic systems studied are not weakly ob-servable on a field but weakly obob-servable on a region, conveniently choosed, included in this field.
Key words :
H, U, V, Ω espace de Hilbert
ω un sous-domaine non vide de Ω
H0 le dual topologique de H
L(H) l’éspace vectoriel des applications linéaires continues de H
A opérateur
D(A) l’ensemble de difinition de A D(A) l’adh´erence de lensemble D(A)
ImA L’image de A
KerA le noyau de A
A−1 opérateur inverse de A
k A k= sup|x|H≤1|Ax|H la norme de A
ρ(A) l’ensemble résolvant de A
R(.; A) la résolvante de A
A∗ opérateur adjoint de A
{G(t)}t≥0 une famille dopérateurs linéaires bornés sur H
L1([0, T ], H) l’espace de Lebesgue W1,1([0, T ], H) c’est un espace de Sobolev
Ce mémoire est intitulé Observation d’un système bidimesionnel gouverné par des équations aux dérivées partielles. L’observation étant la propriété jouant un rôle primordial dans l’indentification et le contrôle optimal des’ équations aux dérivées partielles, c’est le domaine de prédilection pour une forte interaction de l’analyse fonc-tionnelle.
Le système observé est sous la forme suivante :
˙
y(t) = Ay(t) + Bu(t) , si t ∈]0, T [ y(0) = y0
(1)
z(t) = Cy(t) (2)
tels que :
1. A engendre un C0-Semi-groupe.
2. C ∈ L(D(A) ⊂ X; Y ),(X, Y sont des espaces de Hilber). 3. z(t) étant la fonction de sortie.
De tels systèmes apparaissent naturellement dans des problèmes de contrôle et d’obser-vation citons à titre d’exemples :
- des systèmes vibrants (L’équation des ondes) - dans l’électromagnétisme (L’équation de Maxwell)
- dans la mécanique quantique (L’équation de Schrödinger) - des phénomènes thermiques (L’équation de la chaleur)
Ce mémoire comporte trois chapitres :
Dans le premier chapitre, on fait un rappel sur les opérateurs,les C0-Semi-groupes ainsi
que les C0-Semi-groupes avec les propriétés spéciales dont le contenu sont les C0
-Semi-groupes analytiques, différentiables, de contraction ; et compacts.
Le deuxième chapitre qui traite les problèmes d’évolution non homogènes à travers leurs divers degrés de controlabilité : exacte, faible et régionale.
Enfin, le troisième chapitre scindé en deux parties : l’observablilité des systèmes èvolutifs à travers ses degrés : exacte, faible et régional puis l’application de l’observabilité régionale des systèmes paraboliques et hyperboliques.
Rappels et définitions
1.1
préliminaires
1.1.1
préliminaires sur les opérateurs
Dans la suite,nous noterons par H un espace de Hilbert sur le corps des nombres réel R, ou complexes C muni de la norme x 7−→ kxkH,et par L(H) l éspace vectoriel des
applica-tions linéaires continues de H en lui même muni de la norme kAk = sup|x|
H≤1|Ax|H;Nous
désignerons par I l’unité de L(H).
pour un opérateur linéaire A : D(A) ⊂ H −→ H nous noterons par : ImA = {Ax/x ∈ D(A)}
L’image de A et par :
KerA = {x ∈ D(A)/Ax = 0} le noyau deA
L’opérateur A : D(A) ⊂ H −→ ImA est surjectif. Si KerA = {0} ; alors A est injectif.
Lemme 1.1.1 voir [12]
Si A ∈ L(H) et kAk < 1, alors (I − A) est inversible et (I − A)−1=P∞
n=0An.
1.1.2
Ensembles et opérateurs résolvants. Spectre de A
Définition 1.1.1
l’ensemble ρ(A) = {λ ∈ C/(λI − A)−1est inversible dansL(H)} s’appelle l’ensemble résolvant de A ∈ L(H) Définition 1.1.2 l’application : R(.; A) : ρ(A) −→ L(H) R(λ; A) = (λI − A)−1 S’appelle la résolvante de A. Définition 1.1.3
l’ensemble σ(A) = C − ρ(A). S’appelle le spectre de A ∈ L(H). Définition 1.1.4
Soit A : D(A) ⊂ X −→ Y , oú X, Y sont deux espaces de Hilbert avec D(A) dense dans X. L’opérateur adjoint A∗ de A est défini par :
hy; AxiY = hA∗y; xiX.∀x ∈ D(A), ∀y ∈ D(A∗)
défini sur :
D(A∗) = {y ∈ Y ; ∃c ≥ 0. | hy, AxiY ≤ c k x k, ∀x ∈ D(A)}
Définition 1.1.5
Soit A : D(A) ⊂ H −→ H
A est dit auto adjoint , si D(A) = D(A∗) et A = A∗. A est symétrique , si hy; Axi = hAy; xi, ∀x; y ∈ D(A).
1.1.3
Les opérateurs maximaux et dissipatifs
Définition 1.1.6
Soit (A; D(A)) un opérateur linéaire dans H, on dit que : i) A est dissipatif si : (Ax, x) ≤ 0, ∀x ∈ D(A)
ii) A est maximal si : R(I − A) = H
Théorème 1.1.1 voir [10]
(A; D(A)) est maximal dissipatif sur l’espace de Hilbert H alors : i) A est fermé.
ii) ∀λ > 0, (λI − A) est bijictif de D(A) sur H et (λI − A)−1 ∈ L(H), avec k (λI − A)−1 kL(H)≤ 1λ.
iii) D(A) est dense dans H.
1.2
C
0-Semi-groupe
1.2.1
Définitions. Propriétés élémentaires
Définition 1.2.1
Une famille {G(t)}t≥0 d’opérateurs linéaires bornés sur H, est dite Semi-groupe
forte-ment continue, ou bien C0-Semi-groupe, si elle vérifie :
i) G(0) = I (identité dans L(H)).
ii) G(t + s) = G(t)G(s), pour tout s, t ≥ 0. iii) limt−→0+G(t)x = x
Remarque 1.2.1
Comme t+s = s+t, on a G(t+s) = G(s+t) = G(t)G(s) = G(s)G(t). Donc les opérateurs d’un semi-groupe sont commutents.
Définition 1.2.2
Soit {G(t)}t≥0un semi-groupe. {G(t)}t≥0est appelé semi-groupe uniformément continu
si
lim
t−→0+kG(t) − IkL(E) = 0
Remarque 1.2.2
La premiére propriété est la propriété exponentielle. Exemple
La famille {G(t)}t≥0 défini dans H = C[0, 1] par G(t)x(ϕ) = x[(1+tϕ)ϕ ], x ∈ H, ϕ ∈ [0, 1]
est un C0-Semi-groupe dans C[0, 1].
Proposition 1.2.1
Si {G(t)}t≥0 est un C0-Semi-groupe dans H, alors l’opérateur adjoint {G∗(t)}t>0 est aussi
un semi-groupe C0-Semi-groupe dans H.
Définition 1.2.3
Le générateur infinitésimal A : D(A) ⊂ H −→ H d’un C0-Semi-groupe {G(t)}t≥0
est l’opérateur :
Ax = lim
t−→0
G(t)x − x t défini pour tout x dans son domaine :
D(A) = {x ∈ H/la limit existe} Remarque 1.2.3
1. Ax n’est autre que la dérivée en zéro de la fonction continue t 7−→ G(t)x. 2. cette définition est valable pour les cas o˜u A borné.
3. Il n’est pas clair que D(A) ne soit pas trivial. On va voir plus tard qu’en fait c’est un sous-espace dense de H.
1.2.2
Propriétés générales des C
0-Semi-groupes
Théorème 1.2.1 voir [10]
soit {G(t)}t≥0 un C0-Semi-groupe sur H de générateur infinitésimal A alors :
1. D(A) est dens dans H. 2. A est fermé.
3. Si x ∈ D(A), et : t > 0,alors G(A)x ∈ D(A), et :
d
dt(G(t)x) = G(t)Ax = AG(t)x 4. G(t)x − x =R0tG(s)Ax ds, ∀t ≥ 0
Définition 1.2.4
On dit que le C0-Semi-groupe {G(t)}t≥0 est uniformément borné s’il existe M ≥ 1,tel
que :
k G(t) k≤ M ; ∀t ≥ 0 Théorème 1.2.2 voir [12]
Soit {G(t)}t≥0 un C0-Semi-groupe pour lequel t > 0 il existe ω ∈ R et M ≥ 1 tel que :
k G(t) k≤ M eωt : ∀t ≥ 0
Alors la famille {G(t)}t≥0 ⊂ L(H) ;oú :
S(t) = e−ωG(t) : ∀t ≥ 0 est un C0-Semi-groupe, ayant la propriété :
k S(t) k≤ M, ∀t ≥ 0
De plus, si A est le générateur infinitésimal du C0-Semi-groupe {G(t)}t≥0, alors le C0
Théorème 1.2.3 (unicité de l’engendrement ) voir [12]
Soient deux C0-Semi-groupes {G(t)}t≥0 et {S(t)}t≥0 ayant pour générateur infinitésimal
le même opérateur A. Alors :
G(t) = S(t), ∀t ≥ 0
1.2.3
théoréme de Hille -Yosida
Le probléme fondamental de le théorie de semi - groupe est la caracterisation des générateurs de semi - groupe.
Dans la suit, pour ω ≥ 0 nous désignerons par Γω l’ensemble {λ ∈ C/Reλ > ω}
Définition 1.2.5
Un semi - groupe {G(t)}t≥0 est dit de contraction si pour :
k G(t) k≤ 1; ∀t ≥ 0 Théorème 1.2.4 (Hille -Yosida)voir [12]
Un opérateur linéaire A : D(A) ⊂ H −→ H est le générateur infinitésimal d’un Semi-groupes {G(t)}t≥0 si et seulement si :
1. A est un opérateur fermé et D(A) = H.
2. Il existe ω ≥ 0 et M ≥ 1 tel que Γω ⊂ ρ(A) et pour λ ∈ Γω,on a :
k R(λ; A)nk≤ M
(Reλ − ω)n; ∀n ∈ N ∗
Un résultat trés utilisé en pratique est le suivant. Théorème 1.2.5 (Lumer - Phillips) voir [12]
Soit A : D(A) ⊂ H −→ H un opérateur linéaire, les propositions suivantes sont équiva-lentes :
2. A est maximal dissipatif 3. A∗ est maximal dissipatif
1.3
C
0-Semi-groupes avec Propriétés spéciales
1.3.1
C
0-Semi-groupes analytiques
Au lieu t ∈ [ 0 ; +∞[ dans la définition de {G(t)}t≥0, on peut penser à élargir ce
domaine à ∆ ⊂ C . Choisi ∆ telle que
s ∈ ∆ et t ∈ ∆ =⇒ s + t ∈ ∆
En général ∆ = {z ∈ C : ϕ1 < arg z < ϕ2}, avec ϕ1 < 0 < ϕ2.
Soit H un espace de Hilbert complexe . Définition 1.3.1
Soit ∆ = {z ∈ C : ϕ1 < arg z < ϕ2, ϕ1 < 0 < ϕ2} ou ∆ = {z ∈ C : ϕ1 <| arg z |< ϕ2} un
secteur dans C.
Une famille {G(z)}z∈∆ ⊂ L(H) forme un semi-groupe dans H analytique (
holo-morphe)dans ∆, si elle vérifie les conditions suivantes : i) G(z1+ z2) = G(z1).G(z2), pour z1, z2 ∈ ∆.
ii) G(0) = IH.
iii) limz−→0, z∈∆G(z)x = x, ∀x ∈ H.
iv) L’application z ∈ ∆∗ = ∆\{0} 7−→ G(Z)x ∈ H est analytique, ∀x ∈ H. Remarques 1.3.1
1. En général on parle d’un semi-groupe analytique lorsque le secteur ∆ contient l’inter-valle [0; +∞[.
2. Un semi-groupe analytique est fortement continu.
Théorème 1.3.1 voir [12]
Soit {G(t)}t≥0 un C0 semi-groupe et A son générateur infinitésimal. Supposons que
0 ∈ ρ(A). Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
i) {G(t)}t≥0 peut s’étendre à un semi-groupe analytique dans un secteur
∆δ = {z ∈ C :| arg z |< δ} et kG(t)kL(E) est uniformément bornée
(i.e., ∃M > 0, kG(t)k < M ) sur chaque sous-secteur fermé ∆δ0 de ∆δ tel que
∆δ0 = {z ∈ C :| arg z |≤ δ0 < δ}.
ii) il existe une constante C telles que pour chaque σ > 0, τ 6= 0. k(A − (σ + iτ ))−1k ≤ C
|τ | iii) il existe 0 < δ < π2 et M > 0 telles que
ρ(A) ⊃X= {λ ∈ C :| arg λ |< π 2 + δ} ∪ {0} et k(A − λ)−1k ≤ M |τ | pour λ ∈X et λ 6= 0
iv) G(t) est différentiable pour t > 0, il existe une constante C telle que k AG(t) k≤ C
t ; ∀t > 0 Théorème 1.3.2
Soit A le générateur infinitésimal d’un semi-groupe analytique. Si B est un opérateur borné, alors l’opérateur linéaire A + B est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe analytique
1.3.2
C
0-Semi-groupes différentiables
Définition 1.3.2
On dit que {G(t)}t≥0 est un C0-Semi-groupe différentiable si l’application :
t ∈]0; +∞[7−→ G(t)x ∈ H est différentiable pour chaque x ∈ H
Théorème 1.3.3 voir [12]
Soient {G(t)}t≥0 est C0-Semi-groupe différentiable et A son générateur infinitésimal les
affirmations suivantes sont équivalentes : i) {G(t)}t≥0 est C0-Semi-groupe différentiable
ii) Im(t) ⊂ D(A), ∀t > 0
Proposition 1.3.1 voir [12]
Soit {G(t)}t≥0 est C0-Semi-groupe différentiable, alors l’application :
t ∈]0; +∞[7−→ G(t) ∈ L(H) est continue pour la topologie de la convergence uniforme.
Remarques 1.3.2
1. Si {G(t)}t≥0 est C0-Semi-groupe différentiable, alors l’application :
t ∈]0; +∞[7−→ G(t) ∈ L(H) est de classe C]0,+∞[∞
2. Si {G(t)}t≥0 est C0-Semi-groupe différentiable, alors pour tout n ∈ N∗ on a :
G(t)(n)= AnG(t) = [AG(t n)]
n, ∀t > 0
Théorème 1.3.4 voir [12]
i) pour tout n ∈ N∗ et tout x ∈ H, on a G(t)x ∈ D(An)et :
AnG(t)x = [AG(t n)]
nx ∀t > 0
ii) pour tout n ∈ N∗,l’aplication :
t ∈]0; +∞[7−→ G(t) : H −→ D(An)
est n fois différentiable pour la topologie de la convergence uniforme et :
G(t)(n)= d
n
dtnG(t) = A n
G(t) ∈ L(H) ; ∀t > 0
iii) Pour tout n ∈ N∗ l’application :
t ∈]0; +∞[7−→ G(t)n∈ L(H)
1.3.3
C
0-Semi-groupes de contractions
Nous présentons quelque problémes cancernant la classe du C0-Semi-groupe {G(t)}t≥0
vérifiant la propriété k G(t) k≤ 1 ; pour tout t ≥ 0 Définition 1.3.3
On dit que {G(t)}t≥0 est un C0-Semi-groupe de contractions sur l’espace de Hilbert
H si k G(t) k≤ 1 ; pour tout t ≥ 0
Théorème 1.3.5 voir [12]
Soient {G(t)}t≥0 est un C0-Semi-groupe ; A sont générateur infinitésimal et :
S(t) = e−ωtG(t), ∀t ≥ 0
Alors :
i) {S(t)}t≥0 est C0-Semi-groupe de contraction.
Théorème 1.3.6 voir [12]
Un opérateur linéaire A : D(A) ⊂ H −→ H est le générateur infinitésimal d’un semi -groupe {G(t)}t≥0 de contraction si seulement si :
i) A est un opérateur fermé et D(A) = H.
ii) Γ0 = {λ ∈ C/Reλ > 0} ⊂ ρ(A) et pour λ ∈ Γ0ona :k R(λ, A)nk≤ (Reλ)1 n; ∀n ∈ N
∗
Proposition 1.3.2 voir [12]
Soit A ∈ L(H) tel que k A k≤ 1,alors {et(A−I)}
t≥0 est un semi - groupe uniformément
continu de contrations.
1.3.4
C
0-Semi-groupes compacts
Jusqu’ici nous avons classifié les semigroupes aux propriétés de régularité de famille {G(t)}t≥0,en cette sous-section que nous présentons une propriété du semi - groupe basé
sur la régularité d’un opérateur simple nous nous préparons à la définition avec le lemme suivant.
Lemme 1.3.1 voir [15]
Soient {G(t0)} est un C0-Semi-groupe sur l’espace de Hilbert H , si {G(t0)} est compact
pour certains t0 > 0 ;alors {G(t)}t≥0 est compact pour tous t > t0,et continue en norme
sur [t0, +∞[.
Définition 1.3.4
On dit que {G(t)}t≥0 est un C0-Semi-groupe immédiatement compact,si {G(t)}t≥0
est compact pour tous t > 0, et C0-Semi-groupe éventuellement compact s’il existe
t0 > 0 tel que :{G(t0)} est compact.
Définition 1.3.5
soit A un opérateur linéaire , avec ρ(A) 6= ∅ a resolvent compact. si son resolvent R(λ; A) est compact pour un λ ∈ ρ(A).
Proposition 1.3.3 voir [15]
Soit (A; D(A)) un opérateur linéaire sur l’espace de Hilbert H avec ρ(A) 6= Φ , et prise H1 = (D(A), k . kA).
Les affirmations suivantes sont équivalentes : i) L’opérateur A a résolvent compact.
ii) L’injection canonique i : H1 ,→ H est compact.
Théorème 1.3.7 voir [15]
Soient {G(t)}t≥0 est un C0-Semi-groupe, les propriétés suivantes sont équivalentes :
i) {G(t)}t≥0 est immédiatement compact.
ii) {G(t)}t≥0 est immédiatement la norme continue, et son générateur a resolvent
Contrôlabilité des systèmes évolutifs
2.1
préliminaires
2.1.1
problémes d’évolution non homogènes
Soit (A, D(A)) le générateur infinitésimal d’un C0-Semi-groupe {G(t)}t≥0 sur un
es-pace de Hilbert H, on veut résoudre. ˙ y(t) = Ay(t) + f (t) , si t ∈]0, T [ y(0) = y0 (2.1) où : f : [0, T ] −→ H Définition 2.1.1
Soit f ∈ L1([0, T ], H) et y0 ∈ H,on appelle solution faible de (2.1) la fonction
y ∈ C([0, T ], H) donnée par :
y(t) = G(t)y0+
Z t
0
G(t − s)f (s)ds, t ∈ [0, T ] (2.2) On appelle solution classique de (2.1) tout fonction y ∈ C([0, T ], H)T C1([0, T ], H) tel
que : y ∈ D(A) pour tout t ∈ [0, T ], et vérifiant (2.2) dans [0, T ] Remarques 2.1.1
Théorème 2.1.1
Soit f ∈ L1([0, T ], H) et y
0 ∈ H, le probléme (2.1) admet au plus une solution classique
et s’il en existe une alors elle est donnée par la formule (2.2) Démonstration
Il suffit de démontrer que toute solution classique est donnée par la formule (2.2). Soit y une solution classique , pour tout t ∈ [0, T ] on considère la fonction : z : [0, T ] −→ H défini par
z(s) = G(t − s)y(s), s ∈ [0, t]
Puisque y ∈ D(A), la fonction τ 7−→ G(τ )y(s) est dérivable pour tout τ > 0. Par consé-quent z est dérivable sur [0, t] et on a :
˙z(t) = −G(t − s)Ay(s) + G(t − s) ˙y(s)
= −G(t − s)Ay(s) + G(t − s)[Ay(t) + f (t)
= −G(t − s)Ay(s) + G(t − s)Ay(t) + G(t − s)f (t) = G(t − s)f (t)
comme f ∈ L1([0, T ], H), on en déduit que ˙z ∈ L1([0, t], H) et en l’intégrant entre 0 et t on obtient : z(t) = z(o) + Z t 0 G(t − s)f (s)ds c’est-à-dire : y(t) = G(t)y0+ Z t 0 G(t − s)f (s)ds Théorème 2.1.2 voir [10]
Si f ∈ C1([0, T ], H), alors pour tout y
0 ∈ D(A), le problème (2.1) admet une solution
Définition 2.1.2
Un fonction y ∈ W1,1([0, T ], H) est solution forte de (2.1) si elle vérifie y(0) = y 0 et
l’équation presque partout dans [0, T ]
Théorème 2.1.3
Si fonction y ∈ W1,1([0, T ], H) alors pour tout y0 ∈ D(A) le problème (2.1) admet une
solution forte.
2.1.2
Position du probléme
Dans ce chapitre ; donnons les principes généraux qui concernent l ’analyse des sys-témes distribués plus précisément, nous introduisons les notions de contrôlabilité exacte et faible, et en plus nous introduisons la contrôlabilité régionale des systèmes distribués. On considère les systèmes décrits par l’équation différentielle opérationnelle.
Trouver y(t) tel que :
˙
y(t) = Ay(t) + Bu(t) , si t ∈]0, T [ y(0) = y0
(2.3)
Oú :
A ∈ L(V, H) B ∈ L(U, H)
u ∈ L2([0, T ]; U ) la fonction u dite contrôle
y l’état du systéme y0 l’état initial
Dans l’étude du systéme (2.3),on fait les hypothèses suivantes
H1) H, U sont des espaces de Hilbert séparables désignant respectivement l’espace d’état
de contrôle
H2) u ∈ L2([0, T ], U ); B ∈ L(U, H)
H3) A est auto-adjoint à résolvante compacte et engendre un C0-Semi-groupe {G(t)}t≥0
2.1.3
L’opérateur de contrôlabilité L
TSoit H un espace de Hilbert, et (A, D(A)) le générateur infinitésimal d’un semi-groupe {G(t)}t≥0 dans H.
Soit U un espace de Hilbert, et B ∈ L(U, H), pour chaque u ∈ L2([0, T ], U ), le problème
d’évolution (2.3) admet pour y0 ∈ H un unique solution y ∈ L2([0, T ], H), de plus
y ∈ C0([0, T ], H) et est donnée par :
y(t) = G(t)y0+
Z t
0
G(t − s)Bu(s)ds (2.4)
On peut donc introduire l’opérateur : LT : L2([0, T ], U ) −→ H u 7−→RT 0 G(t − s)Bu(s)ds (2.5)
on remarquera que LT peut aussi être défini comme : LTu = y(t, 0, u), c’est-ã-dire comme
la solution, à l’instant t, du problème correspondant à la donnée initiale 0 et au second membre (contrôle) Bu.
Proposition 2.1.1
On a LT ∈ L(L2([0, T ], U ), H) et k LT k≤
√
T k G kC([0,T ],H)k B kL(U,H)
2.2
Contrôlabilité
Ceci amène à introduire divers degrés de Contrôlabilité
2.2.1
Contrôlabilité exacte
Le système considéré est (2.3), et H désigne l’espace d’état T > 0. Définition 2.2.1
On dit que le système (2.3) est exactement contrôlable au temps T > 0, si pour tout yd∈ H
il existe u ∈ L2([0, T ], U ) tel que :y(T ) = yd.
Remarques 2.2.1
L’opérateur LT étant défini en (2.5) équivaut à :Im(LT) = H
Définition 2.2.2
Soit H1 un sous-espace vectoriel de H le système (2.3) est dit exactement contrôlable dans
H1, si pour tout yd∈ H1, il existe u ∈ L2([0, T ], U ) tel que : y(T ) = yd
Remarques 2.2.2
la définition (2.5) équivaut à :H1 ⊂ Im(LT)
Proposition 2.2.1 voir [14]
Le système (2.3) est exactement contrôlable sur [0, T ] si et seulement si : ∃c > 0, telque :k y∗ kH∗≤ c k B∗G∗(.)y∗ kL2([0,T ],U∗)
Théorème 2.2.1 voir [14]
Le système (2.3) est exactement contrôlable sur [0, T ] si et seulement si : ∃c > 0, telque : Z T 0 k y∗G∗(T )y0 k2U≥ c k G ∗ (T )y0 k2H, ∀y0 ∈ H Proposition 2.2.2 voir [14]
Soit LT l’opérateur linéaire étant défini en (2.5).
Si pour tout t ≥ 0, LT est compact alors le système (2.3) n’est pas exactement contrôlable.
Corollaire 2.2.1 voir [14]
Si {G(t)}t≥0 est compacte pour tout t > 0, alors le système (2.3) n’est pas exactement
contrôlable.
Corollaire 2.2.2 voir [14]
2.2.2
Contrôlabilité faible
Le système considéré est (2.3), et H désigne l’espace d’état T > 0. Définition 2.2.3
le système (2.3) est faiblement contrôlable sur [0, T ], si pour tout yd ∈ H, et pour tout
> 0, il existe u ∈ L2([0, T ], U ) tel que : k y(T ) − ydk≤ .
Nous pouvons la caractériser par la : Proposition 2.2.3 voir [14] Il y a équivalence entre :
1. (2.3) faiblement contrôlable sur [0, T ]. 2. Im(LT) = H.
3. Ker(L∗T) = Ker(L∗TLT) = {0}.
4. {hy, G(s)Bvi = 0, ∀s ∈ [0, T ]et∀v ∈ U } =⇒ y = 0 5. Si le semi-groupe {G(t)}t≥0 est analytique :
S
n∈N(AnG(s)B) = H, pour tout s dans[0, T ]
2.2.3
Contrôlabilité régionale
Les concepts d’état de système sont attachés à un certain nombre qui jouent un rôle fondamental dans la théorie de la commande, il s’agit en général d’amener l’état du sys-tème à des valeurs désirées sur une partie de Ω.
Soit yd∈ L2(ω) un état désiré donné, le problème de la contrôlabilité régionale consiste à
savoir si l’on peut trouver un contrôle u ∈ U permet d’amener l’état du système (2.3) de y0 à yd sur la région ω.
Définition 2.2.4
Le système (2.3) est dit exactement régionalement contrôlable sur ω si : ∀yd∈ H, ∃u ∈ U : y(T )|ω = yd
Définition 2.2.5
Le système (2.3) est dit faiblement régionalement contrôlable sur ω si : ∀ ≥ 0, ∃u ∈ U :k y(T )|ω− ydkL2(ω)≤
Remarques 2.2.3
Les définitions ci-dessus signifient que l’on ne s’intéresse qu’à l’état atteint sur la région ω.
Le contrôle u dépend de la variable du temps mais implicitement, il dépend aussi du sous-domaine ω. On pose : LT : L2([0, T ]; U ) −→ H défini par : LTu = Z T 0 G(T − s)Bu(s)ds et χω : L2(Ω) −→ L2(ω) défini par : χωy = y|ω l’adjoint de χω est : χ∗ω : L2(ω) −→ L2(Ω) défini par : (χ∗ωy)(x) = y(x), si x ∈ ω 0, si x ∈ Ω\ω (2.6) Définition 2.2.6
L’opérateur LT étant défini, les définitions précédentes sont équivalentes à :
2. ImχωLT = L2(ω) pour le cas de la contrôlabilité régionale faible.
La contrôlabilité régionale exacte peut être caractérisée par : Proposition 2.2.4
Si u ∈ L2([0, T ]; U ), alors le système (2.3) est exactement régionalement contrôlable si et
seulement si :
∀y∗ ∈ L2(ω), ∃c > 0 : c k B∗
G∗(.)χ∗ωy∗ kL2([0,T ];U )≥k y∗ kL2(ω)
Proposition 2.2.5
1. Le système (2.3) est exactement régionalement contrôlable si et seulement si : Kerχω+ ImLT = L2(Ω)
2. Le système (2.3) est faiblement régionalement contrôlable si et seulement si : Kerχω+ ImLT = L2(Ω)
Démonstration
1. Soit y ∈ L2(Ω) on a y = y1+ y2, avec y1 = 0 sur ω et y2 = 0 sur Ω\ω.
Le système est exactement régionalement contrôlable, donc y2 ∈ ImχωLT autrement :
dit :
∃u ∈ U : y2 = LTu, et y1 = 0 surω
donc :
y1 ∈ Kerχω
alors :
y ∈ Kerχω+ ImLT =⇒ Kerχω+ ImLT = L2(Ω)
Maintenant, soit y ∈ L2(ω) alors :
tel que :
χ∗ωy = y1+ y2 =⇒ ∃y1 ∈ Kerχω, ∃y2 ∈ ImLT
tel que :
χωχ∗ωy = χωy1 + χωy2 =⇒ ∃y1 ∈ Kerχω, ∃y2 ∈ ImLT
tel que :
y = χωy2 =⇒ y ∈ ImχωLT
donc :
ImχωLT = L2(ω)
alors le système (2.3) est exactement régionalement contrôlable.
2. Si le système (2.3) est faiblement régionalement contrôlable y2 ∈ ImχωLT
ou encore ∀ > 0 il existe u ∈ U tel que : k y2− χωLTu kL2(ω)≤
il vient : k y2− LTu kL2(ω)≤ c’est-à-dire : y2 ∈ ImLT alors : y ∈ Kerχω+ ImLT donc : Kerχω+ ImLT = L2(Ω) Remarques 2.2.4
Le système (2.3) est faiblement régionalement contrôlable sur ω si et seulement si :
KerL∗T ∩ Imχ∗ω = {0}
Corollaire 2.2.3
Le système (2.3) est faiblement régionalement contrôlable dans L2(ω) sur [0, T ] si et seule-ment si l’une des propriétés suivantes sont satisfaites :
1. (χωLT)∗(χωLT) est inversible.
2. Im(χωLT) = L2(ω).
3. Ker(χωLT)∗ = Ker(χωLT)∗(χωLT) = {0}.
4. (B∗G∗(s)χ∗ω)y = 0, ∀s ∈ [0, T ]) =⇒ y = o. 5. Si le semi-groupe est analytique tel que :
S
n≥0[Im(χωAnG(s)B)] = L
Observabilité des systèmes évolutifs
L’observabilité de certains systèmes de dimension infinie est une propriété jouant un rôle essentiel dans des questions d’identification et de contrôle optimal des équations aux dérivées partielles, avec de nombreuses applications aux sciences physiques. La théorie de l’observabilité pour des systèmes de dimension infinie est un domaine de prédilection pour une forte interaction de l’analyse fonctionnelle.
Soit X un espace de Hilbert de dimension infinie et A un opérateur, défini sur un sous-espace dense D(A) ⊂ X, non borné dans X. On suppose que A engendre un C0
-Semi-groupe d’opérateurs linéaires et bornés agissant sur X, étant donné un second espace de Hilbert Y et un opérateur d’observaion C ∈ L(D(A), Y ),saisfaisant une conditions d’admissibilié,on s’intéresse aux systèmes de dimension infinie de la forme
˙
y(t) = Ay(t) + Bu(t) , si t ∈]0, T [ y(0) = y0
(3.1)
z(t) = Cy(t) (3.2)
Des systèmes de ce type apparaissent naturellement dans des problèmes de contrôle et d’observation des systèmes vibrants ( comme l’équation des ondes), dans l’électromagné-tisme (équation de maxwell), dans la mécanique quantique (équation de Schrödinger) ou des phénomènes thermiques (l’équation de la chaleur).
3.1
Observabilité exacte et faible
Considérons le système (3.1) augmenté de la sortie (3.2) Il s’agit donc de déterminer y0, solution de l’équation
z(t) = CG(t)y0 = K(t)y0, t ∈ [0, T ]
Où K = CG(.) est un opérateur linéaire borné. L’opérateur adjoint K∗ est donné par : K∗z =
Z T
0
G∗(t)C∗z(t)dt
3.1.1
Définitions
Définition 3.1.1 (exacte observabilité)
Le système (3.1) augmenté de l’équation de sortie (3.2) est dit exactement observable sur [0, T ] si :
H0 ⊂ Im(K∗) Définition 3.1.2 (faible observabilité)
Le système (3.1) augmenté de l’équation de sortie (3.2) est dit faiblement observable sur [0, T ] si :
Ker(K) = {0}
Cette nouvelle définition traduit l’injectivié de l’opérateur K, c’est à dire encore que deux états distincts conduisent à deux mesures distinctes.
Remarques 3.1.1
On peut également parler d’exacte observabilité dans l’espace H1 ⊂ H, quand
H10 ⊂ Im(K∗)
3.1.2
Caractérisations
Proposition 3.1.1
Le système (3.1) augmenté de l’équation de sortie (3.2) est exactement observable sur [0, T ] si et seulement si il existe γ > 0, tel que
γ k y0 k≤k Ky0 kL2([0,T ],O) ∀y0 ∈ L2(Ω)
Définition 3.1.3
Soit H un espace de Hilbert
1. On dit qu’ un opérateur N , défini de H dans H est défini positif s’ il existe α > 0 tel que :
hN y, yi ≥ α k y k2 ∀y ∈ H 2. N est dit positif si :
(hN y, yi ≥ 0, ∀y ∈ H), et(hN y, yi = 0 =⇒ y = 0)
Considérons l’opérateur N = K∗K défini de H dans H nous avons alors : Proposition 3.1.2 voir [14]
Le système (3.1) augmenté de la sortie (3.2) est exactement (respectivement faiblement) observable sur [0, T ] si et seulement si l’opérateur N est défini positif (respectivement positif ).
Proposition 3.1.3 voir [14] Il y a équivalence entre :
1. (3.1), (3.2) est faiblement observable 2. ImK∗ = L(Ω)
3. ImK∗K = L(Ω)
4. S
3.2
Observabilité régionale des systèmes paraboliques
3.2.1
Position du probléme
Soit Ω un ouvert borné de IRn(n = 1, 2, 3) de frontière ∂Ω assez régulière, soit ]0; T [ l’intervalle du temps et ω une région (cible)de Ω de mesure de Lebesgue non nulle. On note Q = Ω×]0; T [ et Σ = ∂Ω×]0; T [ avec 0 < T < +∞.
Considèrons le système autonome décrit par : ∂y ∂t(x, t) = Ay(x, t) Q y(x, 0) = y0(x) Ω y(ξ, t) = 0 Σ (3.3)
Où l’opérateur A est générateur d’un semi-groupe fortement continu sur l’etat. Le système (3.3) est augmenté de la fonction de sortie :
z(t) = Cy(t) (3.4)
On considère la fonction restriction :
χω : L2(Ω) −→ L2(ω)
y 7−→ χωy = y|ω
dont l’adjoint χ∗ω : L2(ω) −→ L2(Ω)
est défini par :
(χ∗ωy)(x) = y(x), si x ∈ ω 0, si x ∈ Ω\ω (3.5)
3.2.2
Définitions et Caractérisations
Définition 3.2.1
1. Le système (3.3), (3.4) est dit exactement régionalement observable sur ω si :
ImχωK∗ = L2(ω)
2. Le système (3.3), (3.4) est dit faiblement régionalement observable sur ω si : ImχωK∗ = L2(ω)
De ces définitions résultent diverses propositions : Proposition 3.2.1 voir [16]
1. Le système (3.3), (3.4) est dit exactement régionalement observable sur ω si et seule-ment si : il exitse γ > 0 tel que :
∀y ∈ L2(ω) : γkyk
L2(ω) ≤k Kχ∗ωykL2(0,T ;θ)
2. Le système (3.3), (3.4) est dit faiblement régionalement observable sur ω si et seule-ment si :
KerKχ∗ω = {0}
Proposition 3.2.2
Le système (3.3), (3.4) est exactement régionalement observable sur ω (respectivement, faiblement observable sur ω sur [0, T ]) si et seulement si l’opérateur χωK∗Kχ∗ω est défini
Preuve
1. Si χωK∗Kχ∗ω est défini positif, alors il existe α > 0 tel que :
hχωK∗Kχ∗ωy, yiL2(ω) ≥ α k y k2L2(ω), ∀y ∈ L2(ω)
⇐⇒ hK∗Kχ∗ωy, χωyiL2(Ω) ≥ α k y k2L2(ω), ∀y ∈ L2(ω)
⇐⇒ h Z T
0
G∗(t)C∗CG(t)χ∗ωydt, χ∗ωyiL2(Ω) ≥ αkyk2L2(Ω), ∀y ∈ L2(ω)
⇐⇒ Z T 0 hCG(t)χ∗ωy, CG(t)χ∗ωyiθdt ≥ αkyk2L2(ω), ∀y ∈ L2(ω) ⇐⇒ Z T 0 k K(t)χ∗ωy k2θ dt ≥ αkyk2L2(ω), ∀y ∈ L2(ω) ⇐⇒ k Kχ∗ωy k2L2(0,T ;θ)≥ αkyk2L2(ω), ∀y ∈ L2(ω)
donc le système (3.3), (3.4) est régionalement observable sur ω 2. Si χωK∗Kχ∗ω est positif, alors :
hχωK∗Kχ∗ωy, yiL2(ω) ≥ 0, ∀y ∈ L2(ω) et hχωK∗Kχ∗ωy, yiL2(ω) ≥ 0 =⇒ y = 0 On a : hχωK∗Kχ∗ωy, yiL2(ω) = hK∗Kχ∗ωy, χ∗ωyiL2(ω) = h Z T 0 G∗(t)C∗CG(t)χ∗ωydt, χ∗ωyiL2(Ω) = Z T 0 hG∗(t)C∗CG(t)χ∗ωydt, χ∗ωyiL2(Ω) = Z T 0 hCG(t)χ∗ωydt, CG(t)χ∗ωyiL2(Ω) = Z T 0 k K(t)χ∗ωy k2θ dt = k Kχ∗ωy k2L2(0,T ;θ)≥ 0
d’autre part
hχωK∗Kχ∗ωy, yiL2(ω) ≥ 0 =⇒ y = 0
⇐⇒ k Kχ∗ωy k2L2(0,T ;θ)= 0 =⇒ y = 0
⇐⇒ Kχ∗ωy = 0 =⇒ y = 0
donc le système (3.3), (3.4) est régionalement observable sur ω
Dans les deux cas (exacet et faible observable sur la région ω) ; l’opérateur (χωK∗Kχ∗ω)−1
existe
Proposition 3.2.3
Le système (3.3), (3.4) est exactement observable sur [0, T ] ; alors l’opérateur (χωK∗Kχ∗ω) −1
est continu Preuve
Le système (3.3), (3.4) étant exactement observable (d’aprés la proposition 3.2.2) il existe α > 0 tel que :
hχωK∗Kχ∗ωy, yiL2(ω) ≥ α k y k2L2(ω), ∀y ∈ L2(ω)
et un opérateur κ ; linéaire et continu, est inversible d’inverse continu si et seulement si il existe m > 0 tel que :
m k y k≤k κy k or : k χωK∗Kχ∗ωy kL2(ω)k y kL2(ω)≥ hχωK∗Kχ∗ωy, yiL2(ω)≥ α k y k2L2(ω) d’où : k χωK∗Kχ∗ωy kL2(ω)≥ α k y k2L2(ω) et donc le résultat.
Dans le cas où le système (3.3), (3.4) est faiblement régionalement observable sur ω l’opé-rateur (χωK∗Kχ∗ω)−1 n’est plus continu.
Remarque 3.2.1
i) Un système qui est exactement (resp.faiblement) observable est exactement (resp.faiblement) régionalement observable.
ii) Un système qui est exactement (resp.faiblement)régionalement observable sur ω1 est
exectement (resp.faiblement) régionalement observable sur tout ω2 ⊂ ω1.
iii) Il existe des systèmes qui peuvent être régionalement observables sans être observables. Exemple
C’est le cas du système décrit par l’équation parabolique suivante : ∂y ∂t(x, t) = ∂2y ∂x2(x, t) ]0, 1[×]0, T [ y(0, t) = y(1, t) ]0, T [ y(0) = y0 ]0, 1[ (3.6)
Où y0 est supposé inconnu. Le système (3.6) est auggmenté de la sortie :
z(t) = y(b, t) (3.7)
Nous sommes dans le cas d’ une mesure ponctuelle localisée b(b ∈]0, 1[∩Q). Le système (3.6) s’ écrit : ˙ y(t) = Ay(t) y(0) = y0 (3.8)
Où A = ∂x∂22, génère un semi-groupe fortement continu (G(t))t≥0 donné par :
G(t)y = +∞ X i=0 eλithy, w iiwi
(wi)i≥1,(λi)i≥1 étant respectivement les fonctions et les valeurs propres de l’ opérateur A.
La fonction de sortie (3.7) s’ écrit alors :
z(t) = +∞ X i=0 eλithy0, w iiwi(b) .
Corollaire 3.2.1 voir [4]
Le système (3.6),(3.7) n’est pas faiblement observable sur ]0, 1[ mais être faiblement ob-servable sur une région ω = [α, β] ⊂]0, 1[ pour α; β convenablement choisis.
3.3
Observabilité régionale des systèmes hyperboliques
3.3.1
système considéré
Ω étant ouvert borné de IRn(n = 1, 2, 3)de frontière ∂Ω assez régulière
Considérons le système décrit par l’équation hyperbolique ∂2y ∂t2(x, t) = Ay(x, t) Q y(x, 0) = y0(x),∂y ∂t(x; 0) = y 1(x) Ω y(ξ, t) = 0 Σ (3.9)
A étant l’opérateur ellipique linèaire du second ordre donné par :
A = n X i;j=1 ∂ ∂xi (aij ∂ ∂xj ) (3.10) et vérifiant : aij ∈ C1(Ω) : tel qu0il existe : α > 0, et Pn i;j=1aijζiζj ≥ α Pn j=1 | ζi | 2 ∀ζ = (ζ 1, ζ2, ζ3, ..., ζn) ∈ IRn avec : aij = aji1 ≤ i; j ≤ n (3.11)
Le système (3.7) est augmenté de la sortie :
z(t) = Cy(t) (3.12)
Le système suivant équivalent au système (3.7). En effet, il suffit de considérer :
˙¯
y(t) = ¯A¯y(t) 0 < t < T ¯
y(0) = ¯y0
tel que l’opéraeur ¯ A = 0 I A 0 Défini par : ¯ A y1 y2 = y2 Ay1 ∀(y1, y2) ∈ D( ¯A), d’où : D( ¯A) = D(A) × H1 0(Ω)
Dont la variable d’état est : ¯y = y(t) ∂y(t) ∂t ; ¯y0 = y0 y1 , et ˙¯y = ∂y(t) ∂t ∂2y(t) ∂t2
Le système (3.13) est augmenté de la sortie : ¯
z(t) = ¯C ¯y(t) (3.14)
Où on a pris ¯C = (C, 0), Le système (3.13) admet une solution unique donnée par : ¯
y(t) = ¯G(t)¯y0 (3.15)
(3.14) peut s’écrire alors sous la forme ¯z(t) = ¯K ¯y0, où ¯K = ¯C ¯G(.)
apparait comme un opérateur linéaire borné, ¯K∗ est l’opérateur adjoint de ¯K. Définition 3.3.1
1. Le système (3.13), (3.14) est dit exactement observable si :
Im ¯K∗ = ¯H
2. Le système (3.13), (3.14) est dit faiblement observable si : Im ¯K∗ = ¯H
3.3.2
Observabilité régionale
Soit A l’opérateur différentiel linéaire d’ordre deux défini par (3.10) et vérifiant (3.11). Soit Ω un ouvert borné de IRn(n = 1, 2, 3) de frontière ∂Ω assez régulière.
On considère le système décrit par l’équation (3.9).
Les conditions initiales y0 et y1 sont supposées inconnues et le système augmenté de la sortie (3.12)
Où C désigne l’opérateur d’observaion dépendant de la nature et du nombre p de capeurs considérés.
Soit ω un sous-domaine du domaine Ω supposé non vide. On définit l’opérateur restriction suivant :
¯
χω : L2(Ω) × L2(Ω) −→ L2(ω) × L2(ω)
(y1, y2) −→ (y1, y2)|ω
dont l’adjoint ¯χ∗ω : L2(ω) × L2(ω) −→ L2(Ω) × L2(Ω) est donné par :
χ∗ω(y1, y2) = (y1, y2)(x), si x ∈ ω 0, si x ∈ Ω\ω (3.16) Définition 3.3.2
1. Le système (3.9), (3.12) est dit exactement régionalement observable sur ω si :
Im ¯χωK¯∗ = L2(ω) × L2(ω)
2. Le système (3.9), (3.12) est dit faiblement régionalement observable sur ω si : Im( ¯χωK¯∗) = L2(ω) × L2(ω)
1. Le système (3.9), (3.12) est dit exactement régionalement observable sur ω si et seule-ment si :
Ker ¯χω+ Im ¯χ∗ωχ¯ωK¯∗ = L2(Ω) × L2(Ω)
2. Le système (3.9), (3.12) est dit faiblement régionalement observable sur ω si et seule-ment si :
Ker ¯χω+ Im ¯χ∗ωχ¯ωK¯∗ = L2(Ω) × L2(Ω)
Preuve
1. i) Soit ¯y ∈ L2(Ω) × L2(Ω) donc : ¯χ
ωy ∈ L¯ 2(ω) × L2(ω)
Puisque le système (3.9), (3.12) est exactement régionalement observable sur ω : il existe z ∈ L2(0, T ; θ) tel que :
¯ χωy = ¯¯ χωK¯∗z = ¯χωχ¯∗ωχ¯ωK¯∗z donc : ¯ χω(¯y − ¯χ∗ωχ¯ωK¯∗z) = 0 en posant : ¯ y = ¯y1+ ¯y2 avec : ¯ y1 = ¯y − ¯χ∗ωχ¯ωK¯∗z ¯ y2 = ¯χ∗ωχ¯ωK¯∗z (3.17) il vient : ¯ y1 ∈ Ker ¯χω ¯ y2 ∈ Im ¯χ∗ωχ¯ωK¯∗ (3.18) d’où : ¯ y ∈ Ker ¯χω+ Im ¯χ∗ωχ¯ωK¯∗ ii) Inversement Soit ¯y ∈ L2(ω) × L2(ω) donc : ¯χ∗ ωy ∈ L¯ 2(Ω) × L2(Ω)
il existe alors : ¯ y1 ∈ Ker ¯χω ¯ y2 ∈ Im ¯χ∗ωχ¯ωK¯∗ (3.19)
tel que : ¯χ∗ωy = ¯¯ y1+ ¯y2 ceci implique ¯χωχ¯∗ωy = ¯¯ χωy¯1+ ¯χωy¯2 = ¯χωy¯2
ie : ¯y = ¯χωy¯2 or ¯y2 = ¯χ∗ωχ¯ωK¯∗z
d’où :
¯
y = ¯χωχ¯∗ωχ¯ωK¯∗z = ¯χωK¯∗z
par conséquent : Im( ¯χωK¯∗) = L2(ω) × L2(ω)
2. i) Soit ¯y ∈ L2(Ω) × L2(Ω) donc : ¯χ
ωy ∈ L¯ 2(ω) × L2(ω)
Puisque le système (3.9), (3.12) est faiblement régionalement observable sur ω : il existe z ∈ L2(0, T ; θ) tel que :
∀ > 0 :k ¯χωy − ¯¯ χωK¯∗z kω< en posant : ¯ y = ¯y1+ ¯y2 avec : ¯ y1 = ¯y − ¯χ∗ωχ¯ωy¯ ¯ y2 = ¯χ∗ωχ¯ωy¯ (3.20) il vient : ¯ χωy¯1 = ¯χωy − ¯¯ χωχ¯∗ωχ¯ωy = 0¯ et : k ¯y2− ¯χ∗ωχ¯ωK¯∗z kΩ=k ¯χω( ¯χωy − ¯¯ χωK¯∗z) kΩ=k ¯χωy − ¯¯ χωK¯∗z kΩ< d’où : ¯ y2 ∈ Im ¯χ∗ωχ¯ωK¯∗ et donc : ¯ y ∈ Ker ¯χω+ Im ¯χ∗ωχ¯ωK¯∗
ii) Iversement Soit ¯y ∈ L2(ω) × L2(ω) donc : ¯χ∗ ωy ∈ L¯ 2(Ω) × L2(Ω) il existe alors : (¯y1, ¯y2) ∈ Ker ¯χω× Im ¯χ∗ωχ¯ωK¯∗ tel que : ¯ χ∗ωy = ¯¯ y1+ ¯y2 ceci donne : ¯ χωχ¯∗ωy = ¯¯ χω(¯y1+ ¯y2) = ¯χωy¯2 et on a : k¯y − ¯χωK¯∗zkω = k ¯χωy¯2 − ¯χωK¯∗zkΩ = k ¯χ∗ωχ¯ωy¯2− ¯χ∗ωχ¯ωK¯ω∗zkΩ = k ¯χω(¯y2− ¯χω∗χ¯ωK¯ω∗z)kω ≤ k¯y2− ¯χ∗ωχ¯ωK¯ω∗zkΩ < , ∀ > 0 d’où : ¯ y ∈ Im ¯χωK¯∗ ie : Im ¯χωK¯∗ = L2(ω) × L2(ω) Remarque 3.3.1
– Le système (3.9), (3.12) est faiblement régionalement observable sur ω si et seule-mentsi :
Ker ¯K∗χ¯∗ω = 0
Ceci est illustré par l’exemple suivant : Exemple ∂2y ∂t2(x, t) = ∂2y ∂x2(x, t) ]0, 1[×]0, T [ y(x, 0) = y0(x),∂y ∂t(x; 0) = y 1(x) ]0, 1[ y(0, t) = y(1, t) = 0 ]0, T [ (3.21)
y0 et y1 sont supposés inconnus sur ]0, 1[
Le sysème (3.21) est augmenté de la fonction de sortie donnée par :
z(t) = y(b, t) (3.22)
On prend b = 12 et on choisit :
y0(x) = cos(πx) et y1(x) = sin(2πx)
y0 et y1 ne sont pas observables sur ]0, 1[ mais peuvent être observables sur une région ω
choisi, en effet On a : ¯ K(y0, y1) =X j≥1 [hy0, wji cosp−λjt + 1 p−λj hy1, w ji sinp−λjt]wj(b) =√2 X j∈2IN +1 [hy0, wji cosp−λjt + 1 p−λj hy1, w ji sinp−λjt] sin(j π 2)
Comme hy0, w
1i et nous avons :∀j ∈ 2IN + 1
hy0, w ji = √ 2 Z 1 0 cos(πx) sin(jπx)dx = √ 2 2 Z 1 0 [sin(j + 1)πx + sin(j − 1)πx]dx = − √ 2 2 [ 1 (j + 1)π(cos(j + 1)π − 1) + 1 (j + 1)π(cos(j − 1)π − 1)] = 0 et : hy1, wji = √ 2 Z 1 0 sin(2πx) sin(jπx)dx = √ 2 2 Z 1 0 [cos(j − 2)πx + cos(j + 2)πx]dx = √ 2 2 [ 1 (j − 2)πsin(j − 2)π − 1 (j + 2)π sin(j + 2)π] = 0 il vient : ¯ K(y0, y1) = 0
et donc le système (3.21), (3.22) n’est pas faiblement observable sur ]0, 1[ d’autre part on prend ω =]13,56[, on montre alors que :
¯
K ¯χ∗ωχ¯ω(y0, y1) 6= 0
pour cela on procède par l’absurde. On suppose donc que : ¯K ¯χ∗ωχ¯ω(y0, y1) = 0
ie :
Σj≥1[hy0, wjiL2(ω)cosp−λjt +
1 p−λj
hy1, wjiL2(ω)sinp−λjt]wj(b) = 0
comme pour T assez grand, les fonctions (sinp−λj)j≥1 et (cosp−λj)j≥1 constituent un
il vient alors :
hy0, w
jiL2(ω)wj(b) = hy1, wjiL2(ω)wj(b) = 0, ∀j ≥ 1
mais pour tout j ∈ 2IN + 1 on a :
wj(b) =
√
2 sin(jπ 2) 6= 0 ce qui donne ;cessairement :
hy0, w jiL2(ω) = hy1, wjiL2(ω) = 0, ∀j ∈ 2IN + 1 or pour j = 5 on a : hy0, w5iL2(ω) = √ 2 Z 56 2 6 cos(πx) sin(5πx)dx = √ 2 2 Z 56 2 6 (sin(6πx) + sin(4πx))dx = √ 2 6π d’où : ¯ K ¯χ∗ωχ¯ω(y0, y1) 6= 0
[1] A.AYADI,M.DJEBARNI ;Pollution terms estimaion in parabolic system wih incomplete data, Far east Math.Sci. (FJMS), Publishing House 2005. [2] A.AYADI, A.BERAHAIL, Système parabôlique F- controlable et les
actionneurs frontières , Tech. AN22, Déc 2004pp13-16 univ Mentouri Constantine.
[3] A. BOUTOULOUT, Contrôlabilité régionale, Cible frontière et contrôlabi-lité du gradient dans les Systèmes distribues. Thèse de doctorat L’ université Moulay Ismail 2000.
[4] E.H.ZERRIK, Analyse régionale des systèmes distribues . Thèse Univ Mo-hammed V.Maroc.1993.
[5] JERZY KLAMKA, Controlability of dynamical system, Kluwer Academic Publishers 1990.
[6] J.L.LIONS, Contrôlabilité exacte, stabilisation e perturbations des sys-tèmes disribués, Masson.Vol.1.1988.
[7] S.BARNETT,R.G.CAMERON, Introduction to mathematical conrol Theory, Second edition calendon press, OXFORD, 1984.
[8] J.L.LIONS, Problèmes optimal des systèmes ouvernés par des équations aux dérivées partielles, Dunod authier,Villars, Paris1968.
[9] A.PAZY, Smigroups of linear operators and applications to partial diffe-rential equation, Springer, Applied Mathematical Sciences,1983.
[10] F.A.KHODJA,A.BENABDALLAH Une inroduction à la théorie du contrôle, Univ de France,13453 Marseille Cedex 13 ;2005.
[11] M.JAZAR, Problèmes d’évolutions linéaires, Univ Libanaise 2001.
[12] L.DAN LEMLE, La formule de lie trotter pour les semi-groupes fortement continus, Univ Claude Bernard Lyon 1, 2001.
[13] S.BENHADID, Observabilite regionale des systemes hyperboliques ap-proches e simulations. Thèse de doctorat en sciences Univ Mentouri de Constantine2008 .
[14] A.EL JAI,A.J.PRITCHARD, Cateurs et aconneurs dans lanalyse des sys-tèmes disribués, Masson 1986.
[15] K.JOCHEN ENGEL, R.NAGEL, One - parameer Semiroups for linear Evo-lution Equation , Springer,Mathematics Subjec Calassificaion 1991.
