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Le groupe Al-Kashi, seul groupe spécialisé en cours de répétions à domicile et aux préparations à domicile aux concours d’entrée dans les grandes écoles scientifiques. Contact : le coordonnateur aux 75 27 74 32 97 47 64 89

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préparer votre examen

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votre examen

" Quand le soleil s'éclipse, on en voit la grandeur. "

GEOMETRIE

première

premières

s c

s

c

c D

c

D

D et E

et E

" Tout ce qui peut être fait un autre jour, le peut être aujourd'hui. "

1-1 : Cercle et droites (c)

On considère, dans un repère orthonormé (O i j; , ) , les points A(1 ; −2), B(4 ; −1) et C(4 ; 4). 1. a. Déterminer une équation de la médiatrice D1 du segment [AB].

b. Déterminer une équation de la médiatrice D2 du segment [BC].

c. Déterminer les coordonnées du point d’intersection I des droites D1 et D2 .

Préparation au POBATOITRE S (math)

SESSION 2009

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d. Comment appelle-t-on le point I par rapport au triangle ABC ?

2. Soit le cercle (C) d’équation cartésienne 2 2

3 3 8 0

x +y − x− y− = .

a. Déterminer les coordonnées du centre Ω du cercle (C) ainsi que son rayon. b. Que remarquez-vous ?

c. Montrer que (C) est le cercle circonscrit au triangle ABC. Correction

1. a. D1 : K le milieu de [AB] a pour coordonnées 5; 3

2 2   −     d’où 5 3 15 3 2 . 0 0 3 0 3 6 0 3 1 2 2 2 x KM AB x y x y y   −  _{  } = ⇔ _{  }= ⇔ − + + = ⇔ + − =  ₊        .

b. D2 : J le milieu de [BC] a pour coordonnées

3 4 ; 2       d’où 4 0 3 . 0 3 0 5 0 2 3 0 5 2 2 x JM BC y y y −         = ⇔_ _ = ⇔  − = ⇔ − = −         . c. 3 6 0 3 / 2 3 / 2 3 / 2 x y x y y + − = =   ⇒   = =   .

d. Le point I est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. 2. a. 2 2 2 2 2 2 ₃ ₃ ₈ ₀ 3 9 3 9 ₈ ₀ 3 3 50 2 4 2 4 2 2 4 x +y − x− y− = ⇔x−  − +y−  − − = ⇔x−  +y−  =         . Ω a pour coordonnées 3 3; 2 2    

 , le rayon du cercle est

50 5 2 4 = 2 .

b. Ω =I.

c. Il suffit de calculer par exemple

2 2 3 3 1 49 50 1 2 2 2 4 4 4 A     Ω =  −  + − −  = + =

    ; donc (C) est le cercle

circonscrit au triangle ABC.

1-2 : Courbe (c)

Quelle est la nature de la courbe C d’équation 2 2

2x − + = −x 1 y 2y ? Correction 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 14 2 1 2 2 2 1 0 0 2 2 2 4 4 16 x − + = −x y y ⇔ x + y − − + = ⇔x y x +y − x− y+ = ⇔x−  +y−  = −     .

Cette courbe est vide. 1-3 : Lignes de niveau 1 (c)

Construire un triangle isocèle ABC tel que AB = AC = 13 et BC = 10. On note G son centre de gravité. 1. Calculer les longueurs AG, BG et GC.

2. Montrer que pour tout point M du plan on a 2 2 2 ₃ 2 2 2 2

M A +M B +M C = M G +GA +GB +GC .

3. Déterminer et construire l'ensemble des points du plan tels que 2 2 2

194

M A +M B +M C = .

4. Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que ₂ 2 2 2 ₀

M A −M B −M C = .

(3)

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58

G K J I A C B AB = AC = 13 et BC = 10, G le centre de gravité. 1. Avec Pythagore : 2 2 2 2 169 25 144 12 .12 8 3 AI =AB −BI = − = ⇒AI= ⇒AG= = ; 2 2 2 25 16 41 41 BG =BI +IG = + = ⇒BG=CG= . 2. 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ... 3 2 ( ) ... M A +M B +M C = M G+GA + = M G +GA +GB +GC + M G GA GB GC+ + = 3. 2 2 2 2 2 3 64 41 41 3 146

M A +M B +M C = M G + + + = M G + donc l’ensemble de points cherché est l’ensemble des

points M tels que ₃_{M G}2+₁₄₆=₁₉₄⇔_{M G}2=₁₆⇔_{M G}=₄_{, soit le cercle de centre G, de rayon 4.}

4. 2 2 2 2 2 2 2 2

2M A −M B −M C =2M A −M A −2M A AB. −AB −M A −2M A AC. −AC = −2M A AB( +AC) 338−

.

L’ensemble cherché est l’ensemble des points M tels que (2 ) 169 . 169

2 M A AI = − ⇔AM AI= . On se place dans le repère ( ,A AI)

où le point M a pour abscisse x tel que 169 2

x= ; c’est la droite perpendiculaire à (AI) passant par ce point.

1-4 : Lignes de niveau 2 (c)

1. Soient les points A(1 ; 1) et B(1 ; 0). Déterminer l'ensemble des points M(x ; y) tels que 2 2 10

M A +M B = .

Représenter cet ensemble.

2. Soit A(5 ; 3) et B(2 ; 4). Déterminer par une équation l'ensemble des points M du plan tels que

2 2

2

M A −M B = − . Tracez cet ensemble.

3. Soient A et B deux points du plan tels que AB = a . Déterminez l'ensemble des points M tels que 2 .

M A M B=a

. Correction

1. A(1 ; 1), B(1 ; 0); _{M A}2+_{M B}2 = −₍₁ _x₎2+ −₍₁ _y₎2+ −₍₁ _x₎2+ −₍ _y₎2=₂_x2+₂_y2−₄_x−₂_y+₃_{. On cherche donc les points}

tels que

2

2 2 ₂ 7 ₍ ₁₎2 1 7 ₁ 1 19

2 2 2 4 4

x + −y x− = ⇔ −y x +y−  = + + =

  . C’est le cercle de centre C (1 ; 1/2) et de rayon

19 2 .

2. A(5 ; 3), B(2 ; 4). 2 2 2 2 2 2

(5 ) (3 ) (2 ) (4 ) 14 6 2

M A −M B = −x + −y − −x − −y = − x+ y. L’ensemble cherché est la droite

d’équation 14 6− x+2y= − ⇔2 3x− − =y 8 0. 3. AB = a. 2 2 . A B ( _A _B) ( _A _B) _A _B _A _B A B x x x x M A M B x y x x x y y y x x y y y y y y → →  −  −  =  = + − + − + + + − −

   . Prenons le centre du repère en I,

milieu de [AB], les coordonnées A(−p ; 0) et B(p ; 0) où p = a/2 ; on a alors

2

2 2 2 2 2 5 2

4 4

a

x +y =p +a = +a = a , soit le cercle de centre I et de rayon 5

2

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1-5 : Lignes de niveau 3 (c)

Soient les points A(−1 ; 1) et B(0 ; 2).

1. Déterminer l'ensemble E des points M(x ; y) tels que 2 2 2

M A +M B = AB . Tracez cet ensemble.

2. Déterminer l'ensemble F des points M du plan tels que 2 2 2

M A −M B =AB . Tracez cet ensemble. 3. Déterminer l’intersection de E et F. Correction 1. 2 2 2

(

) (

2

) (

2

) (

2

)

2 2 2 1 1 0 2 2 2 2 2 6 6 2 M A +M B =AB ⇔ − −x + −y + −x + −y = ⇔ x + y + x− y+ = , soit 2 2 2 2 1 3 1 9 3 1 0 1 1 2 2 4 4 x +y + −x y+ = ⇔x+  +y−  = − + + =

    ; c’est le cercle de centre

1 3 ; 2 2 I−    et de rayon 1. 2. 2 2 2

(

) (

2

) (

2

) (

2

)

2 1 1 0 2 2 2 2 2 2 2 0

M A −M B = AB ⇔ − −x + −y − −x − −y = ⇔ x+ y− = ⇔ + − =x y , soit une droite orthogonale au vecteur AB

.

3. Pour qu’il y ait intersection il faut que 2 2 2

M B =AB −M A et 2 2 2

M B = M A −AB , ce qui n’est possible que si

0

M B= ⇔M =B. Comme B n’est ni dans E ni dans F l’intersection est vide.

1-6 : Fonction scalaire de Leibniz

Soit ABC un triangle, on pose : a = BC, b = AC et c = AB. On note A’, B’, C’ les milieux respectifs des côtés

[ ] [

BC , AC

] [ ]

, AB et G le centre de gravité du triangle ABC.

1. a. Montrer que 2 2 1 2 1 2

2 2

GB +GC = GA + BC .

b. Après avoir écrit deux autres relations analogues, montrer que: 2 2 2 1

(

2 2 2

)

3

GA +GB +GC = a +b +c .

2. A tout point M du plan, on associe le réel :

( )

2 2 2

f M = M A +M B +M C .

a. Montrer que pour tout point M du plan,

( )

2 ² ² ²

3

a b c

f M = M G + + + .

b. Pour tout réel k, soit Lk l’ensemble des points M du plan tels que f

( )

M =k. (Lkest la ligne de niveau k de

l’application_f_:_M _֏_{M A}2₊_{M B}2₊_{M C}2_).

Déterminer suivant les valeurs du réel k, la nature de l’ensembleL_k.

3. Calculer de deux façons différentes le carré scalaire

(

M A+M B+M C

)

2

et en déduire que ² ² ² 2 ' 3 ² 6 a b c M A M A⋅ +M B M C⋅ = M G − + +    .

4. On considère les points communs aux cercles de diamètres

[

AA et BC'

] [ ]

. Montrer que lorsqu’ils existent ces points appartiennent à un cercle

( )

Γ de centre G, dont on donnera le rayon en fonction de a, b et c. (on pourra

utiliser le résultat du 3°).

Déterminer la valeur du réel k tel que

( )

Γ =Lk. 1-7 : Distance d’un point à une droite (c) Soient les points A

(

−2 ; 1

)

etB

(

3 ; 2

)

du plan.

1. Montrez que le vecteur 1

5 n₋    est orthogonal à AB

. Déduisez-en que x−5y+ =7 0 est une équation de la

droite (AB).

2. Soit D le point de coordonnées (1 ; 1). Vérifiez que D n’est pas sur (AB).

On cherche la distance de D à (AB), soit la distance DH où H est le projeté orthogonal de D sur (AB). 3. a. Montrez que le produit scalaire DH n.

vaut −3 ; on posera que H a pour coordonnées (x ; y) et on utilisera le fait que H est sur (AB).

b. En utilisant le fait que DH

est colinéaire à n , montrez que DH n. = ±DH. 26 . c. Déduisez-en la distance DH.

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4. Proposez une méthode générale permettant de donner la formule donnant la distance d’un point D x( D;yD) à

une droite d’équation ax+ + =by c 0. Correction

(

2 ; 1

)

A − ,B

(

3 ; 2

)

. 1. . 5 . 1 5 5 0 1 5 AB n=    ₋ = − =     ; équation de (AB) : . 2 . 1 2 5 5 5 7 0 1 5 x AM n x y x y y +     = ₋  ₋ = + − + = − + =     . Ok ! 2. 1 5 7− + = ≠3 0 donc D n’est pas sur (AB).

On cherche la distance de D à (AB), soit la distance DH où H est le projeté orthogonal de D sur (AB).

3. a. . 1 . 1 1 5 5 5 4 1 5 x DH n x y x y y −     =   = − − + = − + − −     ;

or H est sur (AB) donc vérifie x−5y+ = ⇔ −7 0 x 5y= −7 ; en remplaçant on a

. 5 4 7 4 3 DH n= −x y+ = − + = − . b.

(

)

2 2 . = cos , = . 1 + −( 5) . 1± = ± 26 DH n DH n DH n DH DH .

c. En faisant l’égalité des deux calculs on a 26 3 3 3

26 26

DH DH

± = − ⇔ =∓ = _{puisque DH est positif.}

4. En classe…

1-8 : Droite d’Euler (c)

On considère le triangle ABC où A(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(2 ; 4) dans un repère orthonormé de centre A. Faire une figure que vous compléterez au fur et à mesure (unités : 2cm).

1. Déterminez les coordonnées du centre Ω du cercle circonscrit (Γ) au triangle ABC. Déterminez le rayon de (Γ).

2. Déterminez les coordonnées de l’orthocentre H de ABC puis celles du centre de gravité G. 3. Montrez que Ω, H et G sont alignés. Déterminez la valeur du réel k tel que Ω = ΩH k G

; montrez alors que

H A B C

Ω = Ω + Ω + Ω .

4. On note HC le pied de la hauteur issue de C. Déterminez les coordonnées de H’, symétrique de H par rapport

à la droite (AB). Montrez que H’ est sur (Γ). Correction

1. Médiatrice de [AB] : x = 3 ; médiatrice de [AC] : le milieu est I(1 ; 2), on a l’équation en faisant le

p.s. : . 1 2 2 4 10 0 2 4 x IM AC x y y −     =   = + − = −    

. Le point d’intersection est Ω(3 ; 1). Le rayon du cercle est Ω =A 10. 2. Pareil pour H ; hauteur issue de C : x = 2, hauteur issue de B : x+2y−6 = 0, H a pour coordonnées (2 ; 2). Pour

G on fait : 2 6 2 / 3(1 6) 8 / 3 0 2 / 3(2 0) 4 / 3 3 x x BG BI y y − − =      = ⇔  = ⇔ − − =      . 3. On calcule 2 3 1 2 1 1 H  −  −  Ω =  =  −     et 1 / 3 1 / 3 G −  Ω =   

; on vérifie facilement que Ω = ΩH 3 G

donc les points sont alignés… Pour le reste on a facilement que Ω + Ω + Ω = ΩA B C 3 G

.

4. Le symétrique de H est H’(2 ; −2) ; il appartient au cercle car ΩH'= 1 9+ = 10.

1-9 : Droite d’Euler - 2 (c)

Soit ABC un triangle, O le centre de son centre circonscrit, G son centre de gravité et H le point tel que

OH=OA OB OC+ + . 1. Démontrer que AH BC. =0 . Qu’en déduit-on ?

2. Donner deux relations semblables faisant intervenir A, B, C et H. 3. Montrer que H est l’orthocentre du triangle ABC.

4. Démontrer que O, G et H sont alignés. Correction

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1. OH=OA OB OC+ + ⇔OH−OA=OB OC+ ⇔AH=2OI

où I est le milieu de [BC]. On a alors AH BC. =2OI BC. =0

car O est le centre du cercle cisrconscrit, soit le point d’intersection des médiatrices (OI est donc perpendiculaire à BC).

2. Avec les deux autres côtés du triangle on a de la même manière BH CA. =0

et CH AB. =0

. 3. H est sur la hauteur passant par A (AH BC. =0

), sur celle passant par B (BH CA. =0

) et sur celle passant par C (CH AB. =0

). C’est bien l’orthocentre de ABC. 4. Introduisons I dans OH=OA OB OC+ + : OH=OA OI+ + +IB OI+IC=OA+2OI ; par ailleurs on a 2 3 AG= AI , soit en introduisant O : 2 2 1 2 3 2 3 3 3 3 AO+OG= AO+ OI⇔OG= OA+ OI⇔ OG=OA+ OI

d’où on tire bien OH=3OG

.

1-10 : Puissance d’un point - analytique (c)

On se donne un cercle (C) de centre O, de rayon R ainsi qu’un point A. Le but de l’exercice est de montrer que si (d) est une droite passant par A et coupant (C) alors AM AM. '=cste où M et M’ sont les points d’intersection de (d) avec (C).

1. Faire la figure en prenant un repère de centre A et O sur (Ox). Pour simplifier on prendra O à l’abscisse 1 (ça ne change pas grand-chose au final).

2. Ecrire l’équation d’une droite de coefficient directeur t passant par A. Déterminer l’équation du 2nd degré (E) satisfaite par les abscisses des points M et M’.

3. Le discriminant de cette équation (E) est 2 2 2

4[R − −(1 R t) ]. Discuter suivant les valeurs de t le nombre de points d’intersection entre (C) et (d). Que se passe-t-il (géométriquement parlant) lorsque ce discriminant est nul ?

4. On note u et v les solutions de (E) lorsqu’elles existent. Montrer que

2 2 1 1 R uv t − = + .

5. Vérifier que AM AM. '=k est équivalent à ₂

1 k uv t = ± + . Conclure. Correction 1. M' M A _E O F

2. Comme A est à l’origine, l’équation d’une telle droite est y = tx.

Le cercle quand à lui a pour équation : ₍_x₋₁₎2_{+ −}₍_y ₀₎2 ₌_R2 _{⇔ −}₍_x ₁₎2₊_y2 ₌_R2_{. Les points M et M’ ont des} coordonnées x et y qui satisfont les deux équations, soit

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2 2 2 2 2 2

(x−1) +( )tx =R ⇔ +(1 t x) −2x+ −1 R =0. 3. C’est une équation du second degré avec _a_{= +}₁ _t2_,_b_{= −}_2,_c_{= −}₁ _R2_{. On a bien}

2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 4(1 t )(1 R ) 4 4(1 t R t R ) 4[R (1 R t) ]

∆ = − + − = − + − − = − − .

Lorsque R>1, ₁₋_R2 _<₀_et_{∆ =}_4[_R2₊₍_R2₋_{1) ]}_t2 _>₀_{, il y a deux points d’intersection pour n’importe quelle valeur} de t (heureusement puisque c’est le cas où A est à l’intérieur du cercle…).

Lorsque R = 1, ∆ =4, l’équation est 2 2

(1+t x) −2x=0 qui a toujours deux solutions : 0 (solution A) et autre chose. Lorsque R<1, il faut factoriser ∆ :

(

2

)(

2

)

4 R t 1 R R t 1 R

∆ = − − + − qui est positif lorsque

2 2 1 1 R R t R R − _{≤ ≤}

− − puisque dans ce cas le coefficient de

2

t dans ∆ est _R2₋₁_{qui est négatif (signe du trinôme : deux racines, coefficient a négatif, donc}_∆_{est positif} entre les racines).

Lorsque 2 1 R t R = ±

− , ∆ =0, il y a racine double, c’est le cas où (C) et (d) sont tangents.

4. D’une manière générale le produit des racines est

2 2 1 2 ₂ ( 4 ) . 2 2 4 b b b b ac c x x a a a a − − ∆ − + ∆ − − = = = , on a donc ici 2 2 1 1 R uv t − = + . 5. On a au carré : ( )2 2 2 2 2

(

) (

2

) (

2

) (

2

)

2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . '

AM AM =_x +y  _{ }x +y _= x x + y y + x y + y x ; mais x1 et x2 sont les

abscisses de M et M’, les ordonnées sont alors y1 = tx1 et y2 = tx2, ce qui donne :

( )

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

2 2 2 ₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 ₂ 2 1 . ' 1 1 1 1 R AM AM x t x x t x t x x t R t −     =_ + _{ } + _= + = + = − + d’où _{AM AM}_. _'_{= −}₁ _R2 ₌_k_. 1-11 : Classique (c)

Dans le repère orthonormal (O i j; , )

on considère les points A( –1 ; 2), B(0 ; –3) et C(3 ; 1). Un graphique complet, montrant l’ensemble de l’exercice sera réalisé.

1. a. Déterminer les coordonnées des vecteurs AB

, AC et BC . b. Calculer les longueurs AB, AC et BC.

c. En déduire une valeur approchée au degré près de l’angle ACB. 2. Calculer CA CB.

puis CH CB.

où H est le pied de la hauteur issue de A, dans le triangle ABC. 3. a. Citer un vecteur normal de la hauteur (AH).

b. Déterminer une équation de (AH).

4. a. Déterminer les coordonnées de G, centre de gravité du triangle ABC. b. G est-il un point de (AH) ?

5. a. Déterminer les coordonnées du point D tel que ACDB soit un parallélogramme.

b. Déterminer l’ensemble des points M du plan 1

2

M C+M B = AD

.

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H D B C A j i O 1. a. 1 5 AB=  −   , 4 1 AC=  −   , 3 4 BC=    . b. AB= 1 25+ = 26, AC= 16 1+ = 17, BC= 9 16+ = 25 =5. c. Avec AL-Kashi, on a 2 2 2 26 17 25 16 cos 2 . 10 17 10 17 AB AC BC ACB AB AC − − − − = = = − d’où ACB≈ °67 . 2. . 4 . 3 12 4 8 . 1 4 CA CB=−   − = − = =CH CB −    

puisque H est le projeté orthogonal de A sur (BC). 3. a. (AH) est orthogonale à (BC), donc BC

est un vecteur normal de la hauteur (AH).

b. . 0 1 . 3 0 3 4 5 0 2 4 x AM BC x y y +     = ⇔   = ⇔ + − = −     .

4. a. On cherche les coordonnées de I, milieu de [BC] : I(3/2, −1) et on a

1 3 / 2 1 2 / 3 2 2 2 1 2 0 3 3 G G G G x x AG AI y y + + =      = ⇒_ _₌ _ __{⇒ } − − − =      .

b. Remplaçons x et y par les coordonnées de G dans l’équation de (AH) : 3(2 / 3) 4(0) 5+ − ≠0 donc non.

5. a. Il faut que 4 4 1 3 4 D D D D x x AC BD y y =      = ⇔  = ⇔ − + = −      . b. 1 2 M C+M B = AD

: posons M x y( , ) et remplaçons en élevant au carré :

(

)

2 2 1 ₂ 3 1 ₂ ₂ ₂ ₂ 61 (4 1) ( 4 2) (3 2 ) ( 2 2 ) 1 3 4 4 4 x x M C M B AD x y y y − −     + = ⇔   +  = + + − − ⇔ − + − − = − − −     ,

soit en divisant par 2 dans les parenthèses :

(

)

2 2 3 61 1 2 16 x y   − + + =  

  , ce qui correspond à un cercle de centre I et

de rayon 61

4 .

1-12 : Un triangle très spécial (c)

ABC est un triangle isocèle de sommet principal A tel que BC = 1 et les angles à la base vérifient _Bɵ_{= =}_C ₇₂_{° ;}

(BD) est la bissectrice de l’angle ɵ_B_{; E est le milieu de [AB] et H celui de [BC] (figure ci-dessous, inutile de la}

refaire).

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b. En déduire que BC = BD = AD = 1.

c. En déduire que (ED) est perpendiculaire à (AB).

2. On pose AB= x. Exprimer cos 36° et sin 18° en fonction de x en utilisant des triangles rectangles convenables.

3. a. En utilisant la formule _{cos 2}α _{= −}_{1 2sin}2α_{, montrer que x vérifie l’équation}_x3₋₂_x2_{+ =}₁ ₀_.

b. Développer 2

(x−1)(x − −x 1) et résoudre l’équation ci-dessus.

4. En déduire en les justifiant les valeurs exactes de cos 36°, sin 36°, sin 18° et cos 18°.

E D A H C B Correction

ABC est un triangle isocèle de sommet principal A tel que BC = 1 et les angles à la base vérifient Bɵ= =C 72° ; (BD) est la bissectrice de l’angle ɵB ; E est le milieu de [AB] et H celui de [BC] (figure ci-dessous, inutile de la refaire).

1. a. On a évidemment BAD=DBA= °36 donc BDA est isocèle. De même CBD= °36 et BCD= °72 donc

₁₈₀ ₃₆ ₇₂ ₇₂

BDC= − − = °, BCD est isocèle.

b. Comme BC = 1, BC = BD = 1 et BD = AD = 1.

c. Comme E est le milieu de [AB], et que ABD est isocèle, DE est la médiatrice de [AB] et est donc perpendiculaire à (AB).

2. Si on prend le triangle ABH, on a BH = 1/2 et AB = x d’où cos 72 sin 18 1 / 2 1 2

BH

AB x x

° = ° = = = . Prenon

maintenant le triangle AED :

2 x AE= , DA=1 d’où cos 36 2 AE x AD ° = = .

3. a. On remplace α par 18° dans _{cos 2}α = −_{1 2sin}2α_:_{cos 36}° = −_{1 2sin 18}2 °_{, soit} 2 3 2 3 2 2 2 1 2 1 1 2 2 4 2 2 1 0 2 4 2 2 x x x x x x x x x − = − ⇔ = ⇔ = − ⇔ − + = .

b. ₍_x−₁₎₍_x2− − =_x ₁₎ _x3−₂_x2+₁_{d’où les solutions}

0 1 2

1 5 1 5

1, ,

2 2

x = x = + x = − .

4. Tous les cosinus et sinus cherchés sont positifs, on doit donc garder 1

1 5 2 x = + ce qui donne 1 1 1 5 1 sin 18 2x 1 5 4 − ° = = = + d’où 2 5 1 2 5 10 2 5 10 2 5 cos18 1 sin 18 1 16 16 4 + − + + ° = − ° = − = = , 1 5 1 cos 36 2 4 x + ° = = et 2 10 2 5 sin 36 1 cos 36 4 − ° = − ° = .

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1-13 : 3 carrés (c)

c b

a

Soit les trois carrés ci-dessus. Calculer cos a, sin a, cos b, sin b, sin c et cos c puis sin cosa b+sin cosb a. Qu'en

déduit on entre a, b et c ? Correction

On prend le côté égal à 1, ce qui donne cos 3 , sin 1 , cos 2 , sin 1

10 10 5 5

a= a= b= b= . On en déduit

1 2 1 3 5 1 2

sin cos sin cos sin( ) sin

2 4 10 5 5 10 50 2 a b+ b a= + = = = ⇔ a b+ = π d’où 4 a b+ =π . 1-14 : Repérage

Un bateau avance à 24 km/h. Pour aller de B en A, il devra passer par C car la profondeur est insuffisante entre la terre et l'île. A 8 heures il passe en B et le capitaine trouve ABC= °32 .

A 8 heures 20 mn le bateau arrive en C. Juste avant de virer vers A le capitaine mesure ACx et trouve 57°. A quelle heure le bateau arrivera-t’il en A ?

ile des palmiers côte ... B A C terre x 1-15 : Projeté orthogonal (c)

Un parallélogramme ABCD est tel que AB = 15 cm, BC = 12 cm et AC = 13 cm. 1. Faire une figure exacte. Soit b l’angle (BA BC, )

.

2. Donnez les valeurs exactes de cos b, sin b et tan b. Calculez une valeur approchée de l’angle (BA BC, )

. 3. Donnez alors une valeur approchée de l’aire du parallélogramme, puis sa valeur exacte.

4. Soit H le projeté orthogonal de C sur (AB). Calculer l’aire du triangle ACH. Correction

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H D C B A 2. 2 2 2 2 2 2 ₂ _. _.cos _cos 169 225 144 5 2 . 2.15.12 9 AC AB BC AC AB BC AB BC b b AB BC − − − − = + − ⇒ ₌ ₌ ₌

− − ; comme l’angle est inférieur à 90°

on a _sin _{1 cos}2 ₁ 25 2 14

81 9

b= − b= − = et t an 2 14

5

b= et finalement _b=_{cos (5 / 9)}−1 ≈_{56, 25}°_.

3. L’aire du parallélogramme ABCD vaut . . .sin 15.12.2 14 40 14

9

AB CH= AB BC b= = .

4. Pour le triangle ACH on a _cos 1 _. 1 2_{sin cos} _{72. .}5 2 14 80 14

2 2 9 9 9

BH =BC b⇒Aire= CH BH = BC b b= = .

1-16 : Equation trigo (c)

1. Montrer que pour tout réel x, 2 cos 3 cos 3( ) 3 sin 3( ) 3 x π x x   + = −     .

2. Résoudre l'équation cos 3( )x − 3 sin 3( )x = −1. Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique. Correction

1. 2 cos 3 2 cos cos 3( ) 2sin sin 3( ) cos 3( ) 3 sin 3( )

3 3 3 x π π x π x x x   + = − = −     .

2. cos 3( ) 3 sin 3( ) 1 2 cos 3 1 cos 3 1

3 3 2 x − x = − ⇔  x+π= − ⇔  x+π= −     . On a donc 2 2 3 2 3 3 9 3 2 2 3 2 3 3 3 3 k x k x k x k x π π _π π π π π _π π π  + = + ⇔ = +    _{+ = −} ₊ _{⇔ = − +}  .

Les solutions sur le cercle trigonométrique entre 0 et 2

π

sont , 2 7 , 4 13 9 9 3 9 9 3 9

π π ₊ π ₌ π π ₊ π ₌ π _{pour la première ligne}

et 2 , 4 , 6 5

3 3 3 3 3 3 3 3

π π π π π _π π π π

− + = − + = − + = pour la deuxième.

1-17 : Plan et plan (c)

L’espace est rapporté à un repère orthonormé (O i j k; , , )

. On appelle P le plan d’équation 2x− + =y 5 0 et P’ celui d’équation 3x+ − =y z 0.

1. Montrer que P et P’ sont sécants suivant une droite D dont une représentation paramétrique est 5 2 5 5 x t y t z t =   = +   _{= +}  où t est un réel quelconque.

2. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier précisément vos réponses : * D est parallèle au plan R d’équation − +5x 5y− =z 0.

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* Soit D’ la droite de représentation paramétrique

3 1 2 2 x u y u z u = −   = +   _{= +} 

où u est un réel quelconque. Les droites D et D’ ont un point commun.

Correction

P le plan d’équation 2x− + =y 5 0 et P’ celui d’équation 3x+ − =y z 0.

1. On essaie de résoudre : 2 5 0 2 5 0 2 5 3 0 3 0 3 5 5 x t x t x y t y y t x y z t y z z t y t = =   − + =    ⇔ − + = ⇔ = +    + − =   _{+ − =}  _{= + = +}   .

2. * Vrai : Un vecteur directeur de D est 1 2 5 u     =     

; un vecteur normal à R est

5 5 1 n −     =  ₋    . Si D est parallèle à R son vecteur directeur doit être orthogonal à n

, et c’est le cas : u n. = − +5 10− =5 0

.

* Faux : Si D et D’ ont un point en commun ce point satisfait les deux systèmes d’équation :

3 3 3 1 2 5 1 6 5 7 4 2 2 5 5 2 2 15 5 17 3 x u t t u t u y u t u u u z u t u u u = − = = − = −       = + = + ⇒ _{+ = − +} _⇔ ₌     _{= +} _{= +}  ₊ _{= −} ₊  ₌   

ce qui est manifestement impossible.

On considère la suite un définie par 0 1 5 2 5 3 n n u u₊ u =    = − +  .

1. Calculer les 6 premiers termes de cette suite ; que pouvez vous conjecturer sur son comportement (sens de variation, limite) ?

2. On pose vn= −un 3 ; montrer que vn est une suite géométrique, donner l’expression de vn puis celle de un en fonction de n. Prouver les résultats obtenus de manière divinatoire au a.

3. On considère sn =v0+ + +v1 ... vn et Sn =u0+ + +u1 ... un. Donner les expressions de sn et Sn en fonction de n ; déterminer leurs limites quand n tend vers l’infini

1-18 : Distance d’un point à un plan (c)

Soient les points A

(

−2 ; 1 ; 0)

)

, B

(

1 ; 2 ; 1

)

et C

(

0 ; 1 ; 1−

)

de l’espace. 1. Montrez que A, B et C ne sont pas alignés.

2. Montrez que le vecteur 1 5 2 n     −       est orthogonal à AB et AC

. Déduisez-en que x−5y+2z+ =7 0 est une équation du plan (ABC).

3. Soit D le point de coordonnées (1 ; 1 ; −2). Vérifiez que D n’est pas dans (ABC).

On cherche la distance de D à (ABC), soit la distance DH où H est le projeté orthogonal de D sur (ABC). 4. a. Montrez que le produit scalaire DH n.

vaut 1 ; on posera que H a pour coordonnées (x ; y ; z) et on utilisera le fait que H est dans (ABC).

b. En utilisant le fait que DH

est colinéaire à n , montrez que DH n. =DH. 30 . c. Déduisez-en la distance DH.

5. Proposez une méthode générale permettant de donner la formule donnant la distance d’un point D x( D ;yD ;zD) à un plan d’équation ax+ + + =by cz d 0.

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1. 1 2 3 2 1 1 1 0 1 AB +         =_ − =_{  }  ₋        , 0 2 2 1 1 0 1 0 1 AC +         =_ − _{ }= _ _{− −}  ₋     

; il est impossible que AC=k AB

. 2. AB n. =3.1 5.1 2.1− + =0 et AC n. =2.1 5.0− +2.( 1)− =0 ; 2 1 . 1 . 5 ( 2) 5( 1) 2 5 2 7 0 2 x AM n y x y z x y z z +         =_ − _{ }− _= + − − + = − + + =         .

3. On remplace dans x−5y+2z+ =7 0 : 1 5 4 7− − + = − ≠1 0, donc pas dans (ABC). 4. a. 1 1 . 1 . 5 1 5 5 2 4 5 2 8 7 8 1 2 2 x DH n y x y z x y z z −         =_ − _{ }− = − −_ + + + = − + + = − + =  ₊        puisque x−5y+2z= −7. b. 2 2 2 . . . 1 ( 5) 2 30 DH n=DH n =DH + − + =DH . c. Finalement 1 30 DH = DH = . 5. a n b c     =_ _     , on calcule . . D D D D D D D D D x x a DH n y y b ax by cz ax by cz ax by cz d z z c −         =_ − _{ } _= + + − − − = − − − −  ₋        ; par ailleurs 2 2 2 . . . DH n axD byD czD d DH n DH n DH n a b c + + + = ⇒ ₌ ₌ + + .

1-19 : Distance d’un point à un plan 2 (c)

J N M R L K I O

L'espace étant rapporté à un repère orthonormal de sens direct (O, OI, O J, OK)

, on considère le cube de sommets O, I, R, J, N, K, L, M dont une représentation est jointe sur la feuille annexe.

On note A le milieu de l'arête [IL] et B le point défini par : KB 2KN. 3

=

On appelle P le plan passant par les points O, A et B.

1. a. Préciser les coordonnées des points A et B.

b. Déterminer les coordonnées d’un vecteur u orthogonal à OA

et OB

. 2. a. Montrer que l'aire du triangle OAB vaut 14.

6 b. Le point C 1 ; ;11

3

 

 

 appartient-il à P ? Justifier votre réponse. 3. On considère le tétraèdre OABK.

a. Montrer que son volume vaut1 9.

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N.B. : On rappelle que le volume d'un tétraèdre est le tiers du produit de l'aire d'une base par la longueur de la hauteur correspondante. Correction A B J N _M R L K I O

A le milieu de l'arête [IL] et B le point défini par 2 . 3

KB= KN

P le plan passant par les points O, A et B. 1. a. A est le milieu de I(1, 0, 0) et L(1, 0, 1), il a pour coordonnées : 1, 0,1

2

 

 

  ; B est tel que

0 0 0 0 2 0 1 0 2 / 3 3 1 1 1 1 B B B B B B x x y y z z − − =           − = − ⇔ =       ₋   ₋  ₌      . b. On pose a u b c     =_{ }    

et on effectue les produits scalaires : . 1 0, . 2 0

2 3 u OA= +a c= u OB= b c+ = . On obtient alors en posant c = t : / 2 3 / 2 a t b t c t = −   = −   ₌ 

qui sont les équations paramétriques d’une droite passant par O et de vecteur directeur 1 / 2 3 / 2 1 u −     = −_ _    

, lequel est un des vecteurs cherchés (il y en a une infinité possible…).

2. a. Avec Pythagore on a 5

2

OA= et 1 4 13

9 3

OB= + = ; l’aire du triangle est (avec D le projeté orthogonal de

B sur OA) : 1 . 1 . .sin

2OA BD=2OA OB AOB. On cherche le cosinus : 1 0 . 6 6 1 3 9 56 2 14 cos 0 2 / 3 sin 1 . 65 652 65 65 65 65 1 / 2 1 OA OB AOB AOB OA OB         = = _ _{ } _= = ⇒ ₌ ₋ ₌ ₌         . On termine : 1 . .sin 1 5 13 2 14 14 2OA OB AOB=2 2 3 65 = 6 .

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A B J N _M R L K I O b. 1 ; ;11 3 C    appartient à P si OC est orthogonal à u : 1 1 / 2 1 1 . 1 / 3 . 3 / 2 1 0 2 2 1 1 OC u −         =_ _{ }− _= − − + =         donc oui.

3. a. Le tétraèdre OABK a pour volume base x haut eur

3 ; on peut prendre comme base le triangle OAK et comme

hauteur KB. Ceci nous donne une base de 1/2 et une hauteur de 2/3, soit un volume de 1 9. b. Si on prend comme volume 1aire( ).dist ance( , )

3 OAB K OAB , on a 1 14 1 2 14 ( , ) ( , ) 3 6 d K OAB =9 d K OAB 14 7 ⇒ ₌ ₌ _. 1-20 : Pyramide (c)

SABCD est une pyramide régulière. Sa base ABCD est un carré de côté a et de centre H. La hauteur [SH]

mesure 2a. On appelle I le milieu de [SA] et J le milieu de [SC].

On rappelle que, dans une pyramide régulière, toutes les faces latérales sont des triangles isocèles isométriques.

J I S H A _B C D

Partie I : Les tracés demandés dans cette partie se feront sur la figure de la page suivante que vous joindrez à votre copie.

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1. Dessiner l'intersection du plan (BIJ) avec les faces SAB et SBC.

2. La droite (IJ) coupe le segment [SH] en K. Montrer que (BK) et (SD) sont sécantes.

3. On appelle L le point d'intersection des droites (BK) et (SD). Dessiner l'intersection du plan (BIJ) avec les faces SAD et SDC.

4. Tracer en rouge la section de la pyramide SABCD par le plan (BIJ). Partie II

1. Calculer la longueur AC. En déduire la longueur IJ. 2. Montrer que la longueur SA est égale à 3 2

2

a

. 3. Calculer, en fonction de a, les longueurs BI et BJ. 4. Déterminer à un degré près la mesure de l'angle IBJ. Correction

1. En vert.

2. (IJ) coupe [SH] en K. (BK) et (SD) sont sécantes : (BK) est dans le plan BSD de même que (SD) ; elles ne sont pas parallèles sinon BSD ne serait pas un triangle…

3. Intersection du plan (BIJ) avec les faces SAD et SDC : comme (BK) est dans le plan (BIJ), et qu’elle coupe (SD) en L cette intersection est constituée des segments [LI] et [LJ].

4. En rouge. L K J I S H A _B C D Partie II 1. AC=a 2. 1 2 2 2 a IJ= AC= (Thalès). 2. Pythagore : 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 9 3 3 2 4 4 2 2 2 2 a a a SA = AH +HS = AC +HS = a + a = ⇒SA= = .

3. On peut par exemple se fixer un repère en prenant comme origine H et comme vecteurs directeurs HA

, HB et HK : on a alors 2, 0, 0 2 a A   , 2 0, , 0 2 a B   , S

(

0, 0, 2a

)

d’où 2 , 0, 4 a I a   et la longueur BI :

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( ) 2 2 ₂ ₂ ₂ ₂ 2 2 2 2 2 2 2 13 26 26 0 0 0 4 2 16 4 8 16 4 a a a a a a BI = −  + −  + a− = + +a = = ⇒BI=a     .

4. On en déduit avec Al-Kashi :

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 26 26 11 4 16 16 cos , 2 . ₂₆ 13 2 4 a a a IJ BI BJ BI BJ BI BJ a − − − − = = = −   −     d’où IBJ≈32, 2°.

" Trois choses donnent la mesure de l'homme : la richesse, le pouvoir,

l'adversité. "

2. Barycentres +Homothétie

Dans le plan, on considère un triangle équilatéral ABC tel que ( , ) 3

AB AC =π

. On appelle Γ le cercle circonscrit à

ABC, I le milieu de [AB] et J celui de [OI]. Les droites (OA) et (OC) recoupent Γ respectivement en D et E. 1. Faire la figure (unité : OA = 4 cm)

2. On note G l’isobarycentre de A, B, C, D et E. Exprimer OG

en fonction de OB puis en fonction de OJ et OD

. En déduire une construction géométrique simple de G.

3. A tout point M du plan on fait correspondre le point M’ = f(M) défini par :

(

)

1 ' 4 M M = M A+M B+ M C+ M D+M E . Montrer que f est une homothétie dont on donnera le centre et le rapport.

3. Transformation1

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal (O i j; , )

.

1. On considère l’application f de P dans lui-même qui, à tout point M(x ; y), associe le point M’(x’ ; y’) défini par 3 3 1 ' 4 4 2 3 1 3 ' 4 4 2 x x y y x y  = + −     = + +  .

Montrer que, pour tout point M, le vecteur M M'

est colinéaire à un vecteur fixe. 2. Déterminer l’ensemble des points invariants par f.

3. Quelle est la nature de l’application f ? 3 Transformation2

Dans le plan on considère un triangle équilatéral ABC tel que ( , ) 3

AB AC =π

. On appelle Γ le cercle circonscrit à

ABC, I le milieu de [AB] et J celui de [OI]. Les droites (OA) et (OC) recoupent Γ respectivement en D et E. 1. Faire la figure (unité : OA = 4 cm)

2. On note G l’isobarycentre de A, B, C, D et E. Exprimer OG

en fonction de OB puis en fonction de OJ et OD

. En déduire une construction géométrique simple de G.

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1 ' 4 M M = M A+M B+M C+M D+M E . Montrer que f est une homothétie dont on donnera le centre et le rapport.

" L'homme arrive novice à chaque âge de la vie. "

SUITES NIMERIQUES PREMIERES C D ET E

3-21 : Basique 1

1. (un) désigne une suite arithmétique de premier terme u0 = 1 et de raison 4.

a. Calculer u1, u2, u3.

b. Donner un en fonction de n et calculer u19.

2. (vn) désigne une suite géométrique de premier terme v0 = 2 et de raison 3.

a. Calculer v1, v2, v3.

b. Donner vn en fonction de n et calculer v10.

c. Calculer la somme des 10 premiers termes de la suite (vn).

3-22 : Basique 2

Au pays des plantes géantes, les nénuphars poussent en doublant chaque jour leur surface. Un matin un nénuphar éclôt au centre d'un étang circulaire d'un rayon de 100 m ; le nénuphar mesure alors 1 cm de rayon. 1. Exprimer la surface S_n du nénuphar après n jours en fonction de l'entier n.

2. À l'aide de la calculatrice, déterminer le jour au cours duquel le nénuphar recouvrira tout l'étang.

3. Montrer que le rayon r_n du nénuphar, après n jours, est le terme général d'une suite géométrique dont on précisera la raison.

4. Deux nénuphars éclosent un certain jour à une distance de 20 m l'un de l'autre. L'un mesure 1 cm de rayon, l'autre 2 cm. A l'aide d'une calculatrice, déterminer le jour au cours duquel leurs feuilles se chevaucheront.

3-23 : Basique 3

(un) est la suite définie sur ℝ par 2 ₂3

1

n u

n = −

+ . Déterminer le sens de variation de cette suite. Préciser sa limite. 3-24 : Basique 4

(un) est la suite géométrique de premier terme u0 = 8 et de raison q = 1

2. 1. Calculer les termes u1, u2, u20.

2. Montrer que la somme S=u0+ + +u1 ... u20 est égale à 21 17 2 1 2 − 3-25 : Basique 5

Soit la suite (un) définie par u0 = 1 et 1 2 2 3 n n n u u u + = ₊ .

1. Calculer les termes u1 et u2.

2. La suite (un) est-elle arithmétique ? géométrique ?

3. Reprsenter graphiquement les premiers termes de un. Quelles conjectures émettez-vous ?

4. On admet que, pour tout n, un n’est pas nul. On pose n 1 2 n v

u = + . a. Calculer v0, v1, et v2.

b. Calculer vn+1 en fonction de vn. En déduire que (vn) est une suite arithmétique.

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3-26 : Basique 7

Déterminer la monotonie des suites

( )

un et

( )

vn définies par

3 2 2007 1 2008 2 3 n u = + n − n et 2 n _n n v = (on pourra comparer n 1 n v v + et1). 3-27 : Basique 6 On considère la suite

( )

1 n n w ≥ définie par 1 1 1 1 ... 1 2 3 n w n n = − + + + + + .

1. Écrire le terme général wn à l'aide du symbole Σ.

2. Donner une valeur approchée de w1, w2 et w3 à 0,1 près. Conjecturer la monotonie de la suite

( )

wn . 3. Démontrer votre conjecture.

3-28 : Salaires

Un chef d’entreprise paie 60 000 F par an pour l’entretien de ses machines. Lors du renouvellement du contrat pour les dix prochaines années, une société lui propose deux formules :

Contrat A : Le contrat augmente de 5% par an.

1. Exprimer en fonction de n le montant un du contrat lors de la nième année.

2. Calculer le montant du contrat pour la 10ème année.

3. Au bout de combien d’années le contrat dépasserait-il le double du contrat initial ? 4. Calculer la somme payée, au total, au bout de ces 10 années.

Contrat B : Le contrat augmente de 3500 F par an.

1. Exprimer en fonction de n le montant vn du contrat lors de la nième année.

2. Calculer le montant du contrat pour la 10ème année.

3. Calculer la somme payée, au total, au bout de ces 10 années. 4. Quel est le contrat le plus avantageux ?

3-29 : Les lettres de Gaston (c)

On définit la suite (un) par 0 1 3

2000, 200

4

n n

u = u₊ = u + .

1. Dans un repère de votre choix, représenter les droites d’équation respectives y=x et 3 200 4

y= x+ , puis les premiers termes de la suite (un).

2. On pose pour tout n vn=un−800. Montrer que la suite (vn) est géométrique. En déduire l’expression de un en fonction de n et la limite de (un). Au bout de combien de temps a-t-on un<810 ?

3. Gaston L, garçon de bureau aux éditions Dupuis, se plaint à sa dulcinée : « Voyez-vous, m’oiselle Jeanne, tous les jours je sais traiter le quart de mon courrier en retard, mais il m’arrive 200 lettres de plus chaque matin .» « Monsieur Gaston, vous arriverez bien à trouver une solution, vous êtes si intelligent… » Oui, mais quelle solution, sachant qu’hier soir il y avait 2000 lettres sur le bureau de notre héros ?

4. La question a. est indépendante de ce qui précède a. Si (xn)est une suite croissante, on définit (yn) par

0 1... 1 n n x x x y n + + =

+ . Montrer que (yn)est croissante et que pour tout n on a yn≤xn. Que peut-on dire pour une suite (xn)décroissante (on ne justifiera pas ses affirmations). b. On appelle Mn la quantité de lettres qu’il y eu en moyenne sur le bureau de Gaston pendant les n premiers jours (en comptant comme jour 0 le soir où il y avait 2000 lettres). Exprimer Mn en fonction de n. Quel est le sens de variation de

(

Mn

)

. La suite

(

Mn

)

est-elle convergente ?

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Généralisation : On considère une suite v donnée (???) et la suite u dont le terme général un est la moyenne

arithmétique : 1 1 n n k k u v n ₌ =

∑

.

A partir du calcul des premiers termes et d’une représentation graphique, on demande de conjecturer une expression de un en fonction de n, que l’on demande de démontrer.

Correction 1. 0 500 1000 1500 2000 2500 0 500 1000 1500 2000 2500 2. vn =un−800. 1 1

(

)

3 3 3 800 200 800 800 600 4 4 4 n n n n n v₊ =u₊ − = u + − = v + − = v . On a donc v0 =u0−800=2000 800− =1200 et 3 1200 4 n n v =     puis 3 800 1200 800 4 n n n u = +v =   +   . n un n un 0 2000 9 890,1016235 1 1700 10 867,5762177 2 1475 11 850,6821632 3 1306,25 12 838,0116224 4 1179,6875 13 828,5087168 5 1084,765625 14 821,3815376 6 1013,574219 15 816,0361532 7 960,1806641 16 812,0271149 8 920,135498 17 809,0203362 A n = 17 on a un<810.

3. Le pauvre Gaston L. n’arrivera jamais à éliminer son courrier en retard… : il en restera toujours au moins 800. Et m’oiselle Jeanne sera bien déçue…

4. a. Remarquons que : 0 ( ) 0 ... ... 1 1 n n n n x x y x x n y n + + = ⇒ _{+ +} ₌ ₊ + ; cherchons yn+1 :

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( ) 1 0 1 1 1 1 ... 2 2 n n n n n n y x x x x x y n n + + + = + +₊ + = + ₊ + .

Si yn est croissante on a yn+1≥yn d’où

( ) 1 ₍ ₎ ₍ ₎ 1 1 1 1 2 2 n n n n n n n n n y x y n y x n y x y n + + + + + _≥ _⇔ ₊ ₊ _≥ ₊ _⇔ _≥ + .

Comme (xn) est croissante, on a x0+x1...+xn≤xn+1+xn+1+ +... xn+1=(n+1)xn+1 donc

( ) 1 0 1 1 1 ... 1 1 n n n n n x x x x y x n n + + + + + = ≤ = + + . CQFD. En fait on avait 0 1 ( ) ( ) 1 ... ... 1 1 n n n n n n n n n x x x x x x x n x y x n + + + ≤ + + + = + ⇒ _≤ ₌ + .

Voici un exemple sur une suite décroissante : xn+1=0,9xn.

n _x n 0 n k k x =

∑

0 1 1 n k k x n+

∑

₌ 0 10 10 10 1 9 19 9,5 2 8,1 27,1 9,03333333 3 7,29 34,39 8,5975 4 6,561 40,951 8,1902 5 5,9049 46,8559 7,80931667 6 5,31441 52,17031 7,45290143 7 4,782969 56,953279 7,11915988 8 4,3046721 61,2579511 6,80643901 9 3,87420489 65,132156 6,5132156 10 3,4867844 68,6189404 6,23808549 11 3,13810596 71,7570464 5,97975386 12 2,82429536 74,5813417 5,73702629 13 2,54186583 77,1232075 5,50880054 14 2,28767925 79,4108868 5,29405912 15 2,05891132 81,4697981 5,09186238 16 1,85302019 83,3228183 4,90134225 17 1,66771817 84,9905365 4,72169647 18 1,50094635 86,4914828 4,55218331 19 1,35085172 87,8423345 4,39211673 20 1,21576655 89,0581011 4,24086196 21 1,09418989 90,152291 4,09783141 22 0,9847709 91,1370619 3,96248095

La suite yn semble également décroissante.

On peut remarquer simplement que yn est la moyenne des termes de xn.

b. 0 1 ... 0 800 1 800 ... 800 0 1 ... 800( 1) 1 1 1 1 n n n n n u u u v v v v v v M n n n n + + + + + + + + + + + + + = = = + + + + + ;

or vn est géométrique donc

1 1 1 0 1 0 1 1 (3 / 4) 3 ... 1200 4800 1 1 1 / 4 4 n n n n q v v v v q + + +   − −   + + + = = = _ −_ _ _ − _   _ d’où 1 1 0,75 4800 800 1 n n M n + − = + + .