Leçon 36 Symétrie axiale et application

Leçon 36 Symétrie axiale et application

Activités

l.Dans

chaque cas, préciser

s'il s'agit d'une

symétrie axiale.

2.

Décalquer la

figure

ci-dessous puis

construire

^les symétriques

A'

de A,

B'

de

B, C'

de C,

D'

de

D

par rapport à

la

droite

(d).

Tracer le quadrilatère

A'B'G'D'

symétrique du quadrilatère

ABCD.

3. À

I'aide des données de la figure ci-après, répondre aux questions suivantes.

a. les triangles

PMR et P'MR sont-ils

égaux ^? pourquoi ?

b. Les longueurs

PR et P'R

sont-elles égales ?

pourquoi ?

c. PR+RQ:P'R+RQ?

^{Pourquoi ?}

+,.

_l.

P'

b.

d

d

M;

b. PS+SQ:

c.

Comparer

d.

Comparer

P'S+SQ

^?

P'R

+ RQ

PR+RQ

Pourquoi ?

et P'S + SQ . Justifier la réponse.

et

PS+ SQ .

Justifier

la réponse.

Le cours

La symétrie orthogonale par rapport à une

droite,

on dit aussi ^<< syrnétrie axiale ^{>> -,} est associée à I'idée de

pliage

autour d'une

droite

^(d'un axe).

l.

^Figures symétriques

Défrnition:

Deux figures sont dites symétriques par rapport à une droite lorsqu pliage

autour de cette droite.

2. Symétrique d'un point

'elles

se superposent par

Définition

. A

n'appartient pas à la

droite

(d).

Le

symétrique de

A

par rapport à

la droite (d) est le

point A'

^{tel que}

(d)

est la médiatrice du segm ent

l,l,l'1.

.

C appartient à la droite

(d).

Le

symétrique

C'

du

point

C par rapport à

la droite (d) est le

point C

lui-même.

Propriétés

Une syurétrie axiale conserye ^:

-

les alignements;

-

les distances;

-

les angles et les aires.

3.

Axe de symétrie

d'une figure Définition

Une droite est un axe de symétrie d'une

figure

symétrique

par rapport à cette drorte.

Exemples:

A

a-

B

lorsque cette

figure

est ^sa propre

P

AAB

Le

carré ABCD a quatre axes de

symétrie:

(AC), (BD), (EF), (PQ).

_c

Le triangle (AD).

ABCa

un

seul axe de srrmétrie ^:

4. Symétriques

de

figures

usuelles

Propriétés

Par

symétrie par

rapport

à une

droite

^:

1. ^la

symétrique

d'une

droite est

lrne droite

;

2. le

symétrique

d'un

segment est

un

segment de mêrne

lorlgueur

;

3. ^le

symétrique

d'un

cercle est

un cercle

de même

rayon et qui

a pour

centre

le symétrique

de

O.

Exemple l:

Le

triangle A'B'C'

est le symétrique du

hiangle ABCparrapport

à la

droite

t.

-

Les

triangle ABC e A'B'C'

sont superposables.

-

/,

^{axe de}

sy étrie

est perpendi ulaire

aux

segments

lrAA,f,InA,f, [CCl

-

L

s droites

(AA'), (BB'), (CC')

sont parallèles.

Exemple 2 : Les triangles A'

ABC

et

A'B'C'

sont

syrnétriques par

rappor

^A

à une droite

A qui

a été

e

^cée. Retr ruver

A \

I'ai

e d'une règle

gra

uée ou

d'une ,/

équerre...

B

Exemple

3: Dans un repère orthonormé ci-dessous, les points

p', e', ^{R' et}

^{S' sont les}

symétriques des

points

_{P, Q,}

R

et S par

rapport

à

l'axe

(Oy).

On

constate que ^:

-

les

points

S et S', son symétrique

ont

les mêmes coordonnées car S est sur I'axe de symétrie.

-

les

points

R et

R',

son symétrique

ont

les mêmes coordonnées car

R

est sur I'axe de symétrie.

-

les abscisses des points

Q

^et

Q'

^{sont opposées car}

^ils

^sont symétriques par rapport à

I'axe (Oy).

-

les abscisses des points P et

P'

sont opposées car

ils

sont symétriques par rapport à

I'axe

(oy).

Y

ecz; +)

1

^e'(2;4)

---\t- 4l

--'---

p@:st{ *r)>rl*- ^-)rro,r,

Exemple 4: Dans un repère orthonormé, on considère le

point

,4(0 _; 3) -

on

détermine les coordonnées du

point

^8, symétrique

de A

par rapport à la

droite d :y =2t

^.

Solution:

-

Le

point B(x;y)

est symétrique de

A(O;3)

par à la

droite d:y =2t ^donc la droite (AB)

est perpendiculaire

à (d) ^en

^son

milieu l(x,;y,) tel

que :

(AB\:/:lr2 x-0'2 : -t ^{soit v=-I+3}

-Ona:

. I eU\' ^Y+3 :2tI

...(l)

22

. I e(AB\'Y+3 :-x ir...rzt

24

On résout le système :

(2x-

_v

=3 ^(qx-2v =6 t: ? l2

i - <+{ ' +

lx+2y =$ _lx+2y =6 _{,,_}

⁹

t=12

,rit n(!;

La

symétrie axiale

dans la

vie courante.

Dans la vie courante, on a trouvé beaucoup de choses qui _sont liées à la symétrie

axiale

exemple : une frise, un motif, un

miroir...

ExÇmple 5 : Deux villages

A

et

B

situés du même côté

d'un

canal veulent construire un puits

pour

qu'ils

puisent accueillir de I'eau. Chacun

s'interroge

pour trouver l'emplacement de ce puits

afin que le trajet soit le plus court possible.

Solution ^:

A'

- On construit

A',

symétrique de A par rapport au canal;

- On

joint

les points

B

et

A'

_{; la} droite (A'

B)

coupe le canal en S ;

- On a AS+

SB

:

A'S + SB

: _A'B puisque

A'

B

est le irlus

court

chemin donc S est

I'endroit

où

l'on construit

le puits.

Exercices

Sur la

figure

ci-dessous, (Ox) est I'axe de symétrie,

a. Construire le triangle

A'B'C'

,-symétrique du

triangle

ABC ^.

b.

Donner les coordonnées des

points

A' _,

B' et C.

l.

2.

Dans chaque cas, les deux figures sont symétriques par rapport à une

droite

effacée. Retrouver

A

à

I'aide

du quadrillage,

d'une

règle graduée ou

d'une

équene...(en

cas d'échec, on porrra

plier).

A

qui a été

Deux villages

A

et B situés dans un même côté

d'uhe

route veulent construire un arrêt c.

3.

de

cet arrêt

afin

que le trajet soit le plus court possible.

Trouver

I'endroit

oir

l'on

doit construire cet arrêt.

B

Calculer

I'aire de chaque

figure

ci-dessous.

b.

AB: DE:3 cm

CE=2

cm

BE: I

cm 2cm

2cm

La

figure

ci-dessous,

ABCD

est

un

trapèze isocèle.

E

est

le milieu de la

grande base

AB

et F est le milieu de la petite base

DC. Montrer

que :

a. BAD: ABC b. BDC:

nÔ.1.

Dans un repère orthonormé, on considère le

point A(2;

O)- Déterminer les coordonnées du

point B

, syrnétrique

de A _Wr

rapport à la droite

d'équation )=3x.

a

A

4.

a

5.

6.