Nier et contraposer

MatDis Exos4

Nier et contraposer

1.

Nier

a) Discuter un contexte plausible et nier les ´enonc´es suivants (il n’est pas interdit de se demander s’ils sont vrais) :

∀n, p∈N,

n

p

= n!

p!(n−p)!; sinx= 0⇒ ∃k ∈Z, x=kπ; ∀x∈R,cosx= 1 ⇒ ∃k∈Z, x= π 2+kπ;

∀x∈I, f(x)>0; ∃x∈I, f⁰(x)>0; ∀x, y ∈I, x≤y⇒x² ≤y²; ∀x, y ∈I, x < y ⇒f(x)< f(y).

b) Choisir, pour chacun des ´enonc´es suivants, un contexte et une interpr´etration plausibles, puis donner la n´egation formelle de l’ ´enonc´e en question :

-n est pair; nest un multiple dep; n divisep; n est premier; n etp sont premiers entre eux;

- I est un intervalle; I est born´e; I etJ sont disjoints; I et J sont ´egaux; I est ouvert;

- sur I, f est major´ee par g; f est croissante; f et g sont ´egales; f est constante;

- f est monotone sur I; surI, f garde un signe fixe; f est major´ee; f est continue ena;

-uest p´eriodique; uest une suite arithm´etique; uetv encadrentw; uetv sont ´equivalentes;

- f est injective; f est surjective; f est bijective;

- f est lin´eaire; P est un sous-espace vectoriel; Kerf est r´eduit `a z´ero;

- tout nombre entier est somme de cinq carr´es; entre deux cubes cons´ecutifs, il y a toujours un carr´e;

- il y a une infinit´e de nombres premiers; tout nombre est somme de deux nombres premiers.

2.

Respecter l’ordre des quantificateurs

On consid`ere les deux ´enonc´es suivants :

∃T ∈R^∗,∀x∈R, f(x+T) =f(x); ∀x∈R,∃T ∈R^∗, f(x+T) =f(x).

Pr´eciser un contexte plausible, montrer que l’un de ces deux ´enonc´es implique l’autre et qu’ils ne sont pas ´equivalents.

3.

Formuler la r´ eciproque puis la contrapos´ ee

∀x, y ∈I, x≤y⇒x² ≤y²; ∀x, y ∈I, x < y ⇒f(x)< f(y); ∀x, y ∈I, x6=y⇒x⁴ 6=y⁴.