TITRE DU SUJET DE RECHERCHE/ RESEARCH SUJECT TITLE : Quantification et propagation des incertitudes en dynamique des structures Uncertainty quantification and propagation in structural dynamics
Laboratory/laboratoire :
Laboratoire de Biomécanique et de Mécanique des Chocs – LBMC UMR_T 9406 – Université Lyon 1 – Ifsttar
Biomechanics and Impact Mechanics Laboratory - – LBMC UMR_T 9406 – Université Lyon 1 – Ifsttar Site web : http://www.lbmc.ifsttar.fr/
Sujet de thèse :
Cette thèse vise à étudier les systèmes dynamiques incertains. Ces systèmes sont soumis à des sollicitations de type impact/choc. Typiquement, ils peuvent représenter le comportement de véhicules lors d’un crash : on est donc dans le cadre de la dynamique rapide où les réponses transitoires sont prépondérantes. Ces systèmes peuvent être non-linéaires : cela représente un éventuel comportement plastique représentant la dissipation d’énergie lors de l’impact.
Démarche de travail, méthode
La bibliographie doit dans un premier temps permettre de développer les résultats de référence. Cela implique de connaitre les méthodes d’échantillonnage pour effectuer des simulations de Monte Carlo.
La résolution de problèmes liés à l’évolution temporelle de systèmes dynamiques incertains a été essentiellement étudiée en mécanique des fluides. En particulier des outils spécifiques (chaos polynomiaux) ont été mis en place afin de mettre en évidence la stabilité des régimes d’écoulement des fluides. Une bibliographie doit donc être effectuée afin de connaitre les stratégies de résolution de ces problèmes, dans ce contexte.
En mécanique des structures et des solides, les systèmes dynamiques incertains ont été essentiellement étudiés lorsqu’ils sont soumis à une excitation harmonique ou périodique. Dans ce cadre, les réponses obtenues correspondent au régime permanent. Avant de s’intéresser au régime transitoire de systèmes dynamiques, il faudra s’approprier ce qui a été fait dans la littérature sur les systèmes dynamiques incertains en régime permanent.
Le travail de recherche s’effectuera par étapes en partant de systèmes simples (linéaires) et en se complexifiant au fur et à mesure de l’avancée du travail. De même, dans un premier temps, l’excitation sera modélisée par une force extérieure de type « demi-sinus », puis elle sera la conséquence d’une interaction avec un solide rigide indéformable venant percuter le système incertain, via une loi d’interaction (loi de Hertz par exemple) : le système global étudié aura donc une non-linéarité non-régulière. On pourra également s’intéresser à la réponse incertaine du projectile.
Une réflexion particulière doit être faite tout au long de ce travail sur la description des résultats et sur leur pertinence dans un contexte d’ingénierie. En particulier, on étudiera l’intérêt des deux premiers moments statistiques (moyenne, écart-type) pour décrire la réponse d’un système aléatoire.
De même, le choix de la nature de l’incertitude devra être posé. En effet, les incertitudes ne sont pas toujours connues à travers une description statistique (variable aléatoire), mais à travers un intervalle de variation (variable floue). Dans ce dernier cas, il est clair que la réponse ne peut pas se faire sous forme statistique.
Mots-clefs : Incertitudes, métamodèles, chaos polynomial, régime transitoire, dynamique des structures.
English version
Most of the response of the uncertain dynamical system undertaken an impact has a very short duration.
In practice, a deterministic simulation is carried out and the time discretization is chosen so as achieving the convergence of numerical results. Indeed, the most widely technique to propagate uncertainties and assess sensitivity to parameters is the Monte Carlo simulation (MCS). This technique is quite versatile but time consuming due to its slow convergence rate.
Expansion methods have been developed to tackle the Monte Carlo simulation drawbacks. Among them, the polynomial chaos expansion emerged as an efficient surrogate model.
This work lays on the use of the polynomial chaos (PC) to describe and to propagate uncertainties.
Obviously, one of the complexities of this problem comes from the impact nonlinearity that is not differentiable. So a smooth nonlinearity will be studied first. In particular, a Duffing oscillator with random parameters will be studied for uncertainty propagation. Stochastic steady-state and transient dynamic response will be obtained using PC expansion and validated using MCS.
However the specificity of impact solicitation is not only the nonlinearity but also the non- differentiability: this action is locally governed by contact interaction laws, such as Hertz’s law. Hertz’s stiffness is a function of mechanical and geometrical properties of the structures involved in the impact. So a statistical description of the contact stiffness must be achieved from the statistics of the Young’s modulus and the geometry of the structures.
Further, the influence of the time discretization and the integration scheme will be studied: the simulation involves time discretization, which may influence the detection of contacts and then the response.
So, briefly, the study will be performed on an uncertain dynamical system with few degrees of freedom that experiences contacts with a stop modelled by an uncertain nonlinear spring, which statistical features have to be determined. However, this nonlinearity is non-regular. So a first study will be carried out on the same system connected to a rigid wall by a nonlinear spring (cubic). The uncertainties will be propagated with the polynomial chaos approach for example.
This first step will give progresses in describing the uncertain response of an impacted structure. The next step will be the study of an uncertain dynamical system that includes elastic-plastic like behaviour (sliding frictional element). This is more complicated but more representative of a (simplified) car-crash event.
Describing the response in time domain of an uncertain dynamical system submitted to an impact- like action is new and arises many questions. In particular, usually, the response are described through the first two statistical moments (mean, standard deviation), which are used to describe
“safety corridors”. However, the statistical response distribution may be far from the Gaussian distribution: then there is no reason to define a corridor from the first two statistical moments. So it
is of the utmost importance to define the right quantities that must be evaluated to design a structure, a car, a plane. That requires linking the world of statistics to the Engineering world.
Keywords : uncertainties, surrogate models, polynomial chaos, transient response, structural dynamics.
