Sur les méthodes variationnelles en analyse multivoque

(1)

T

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En vue de l'obtention du

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Délivré par l'Université Toulouse III - Paul Sabatier Discipline ou spécialité : Mathématiques appliquées

JURY

M. D. Azé, Université Toulouse III, (Directeur de thèse) M. P. Thomas, Université Toulouse III, (Président)

M. J-P. Penot, Université de Pau et des pays de l'Adour, (Rapporteur) M. L. Thibault, Université de Montpellier 2, (Rapporteur)

M. J-B. Hiriart-Urruty, Université Toulouse III, (Membre) M. A. Jourani, Université de Bourgogne, Dijon, (Membre)

Ecole doctorale : Mathématiques, Informatiques, Télécommunication de Toulouse Unité de recherche : Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (MIP)

Directeur(s) de Thèse : M. Dominique Azé Rapporteurs : M. Jean-Paul Penot et M. Lionel Thibault

Présentée et soutenue par BENAHMED Sfya Le 25 novembre 2009

(2)

Sur les M´

ethodes Variationnelles en

Analyse Multivoque

Sfya Benahmed

1

(3)

Remerciements

Tout d’abord, un grand merci à mon directeur de thèse le professeur Dominique Azé pour m’avoir proposé ce sujet de recherche, pour sa patience, son exigence et ses questions toujours pertinentes qui m’ont souvent poussée `

a ´elargir le champ de mes connaissances et `a avancer.

Merci ensuite à messieurs les professeurs Jean-Paul Penot et Lionel Thi-bault d’avoir accepté la tâche, toujours ardue, de faire un rapport sur ce travail.

Merci `a messieurs les professeurs Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Abder-rahim Jourani et Pascal Thomas d’avoir accept´e de faire partie du jury de soutenance.

Cette thèse a pu voir le jour grâce à une bourse IMAGEEN (Internatio-nal Europ-Maghreb Education Network) dans le cadre du projet ERASMUS MUNDUS-EXTERNAL COOPERATION WINDOW. Je tiens à remercier les personnes qui m’ont aidée à obtenir cette bourse, notamment mon di-recteur de thèse et le professeur Jean-Baptiste Hiriart-Urruty qui ont re-commandé ma candidature, et aussi le professeur Naoufel Ben Abdallah qui dirigeait le comité d’attribution au moment de ma demande.

Merci à l’Institut de Mathématiques de Toulouse et à l’équipe MIP pour m’avoir accueillie durant tous mes séjours. Merci à toutes les personnes que j’ai pu rencontrer en particulier Agnès Requis et Marie-Line Domenjole pour leur disponibilité et leur gentillesse.

Je serai toujours très reconnaissante à Bernadette Rouger pour son accueil si fraternel, merci pour m’avoir offert la chaleur d’une famille et m’avoir soutenue durant mes séjours.

Mes remerciements finaux, et non les moindres, vont à toute ma famille, ma belle famille et surtout à mon mari qui m’a soutenue et m’a aidée sur les nombreux fronts de la vie quotidienne, qui m’a encouragée jusqu’au bout et qui m’a remplacée auprès de mes enfants pendant mes absences.

Merci aussi `a vous mes enfants pour avoir compris malgr´e votre jeune ˆ

age, les impératifs de cette thèse pour moi et pour m’avoir aidée à la mener `

(4)

Table des mati`

eres

1 Outils m´etriques autour du principe variationnel d’Ekeland 9

1.1 Introduction . . . 10

1.2 Notations . . . 10

1.2.1 Multiapplications . . . 13

1.3 La pente forte . . . 14

1.4 Outils m´etriques li´es au principe variationnel d’Ekeland . . . . 14

1.5 Bornes d’erreur lin´eaires et leur caract´erisation . . . 20

1.6 Bornes d’erreur param´etriques . . . 23

1.6.1 Convergence d’ensembles . . . 23

1.6.2 Théorème de borne d’erreur dans le cas paramétré . . . 27

2 Régularité Métrique 29 2.1 Introduction . . . 30

2.2 Définition de la Régularité Métrique . . . 30

2.3 Pseudo-lipschitzianit´e . . . 31

2.4 Espaces métriques ressemblant à des espaces normés . . . 34

2.5 Premi`ere fonction auxiliaire . . . 39

2.5.1 Un r´esultat de perturbation . . . 41

2.5.2 Approximation de la multiapplication inverse . . . 44

2.6 Seconde fonction auxiliaire . . . 45

2.6.1 Troisi`eme fonction auxiliaire . . . 49

3 Th´eor`emes de multiapplication implicite 53 3.1 Introduction et Notations . . . 54

3.2 Pseudo-lipschitzianit´e partielle . . . 55

3.3 Un Th´eor`eme de multiapplication implicite . . . 58

(5)

4 Points Fixes des applications contractantes généralisées 65 4.1 Introduction . . . 66 4.2 Un lemme basique . . . 66 4.3 Contractions généralisées . . . 67 4.3.1 Définitions de quelques types d’applications contractives 68 4.3.2 Théorèmes de Points Fixes . . . 74 5 Points Fixes des multiapplications contractantes généralisées 81 5.1 Introduction . . . 82 5.2 Contractions généralisées . . . 82 6 Points Fixes des Contractions Directionnelles Généralisées 89 6.1 Introduction . . . 90 6.2 Contraction Directionnelle Généralisée I . . . 90 6.3 Contraction Directionnelle Généralisée II . . . 97 7 Une inclusion différentielle à second membre non borné 103 7.1 Introduction et Notation . . . 104 7.2 Un Résultat de Point Fixe . . . 104 7.3 Inclusion Différentielle . . . 106

(6)

Introduction G´

en´

erale

En optimisation et en analyse non linéaire, le problème de trouver les conditions garantissant la régularité métrique des multiapplications est cru-cial. Nous faisons référence aux monographies [79, 80] profondes et complètes et aux références qu’ils contiennent pour avoir aper¸cu sur ces questions. On peut aussi consulter [6] et [8] pour une étude récente. Quand on s’intéresse `

a l’étude de la sensibilité d’un problème par rapport à un paramètre, on est naturellement conduit à étudier la régularité métrique uniforme d’une famille paramétrée de multiapplications, autrement dit à la recherche de résultats de multiapplications implicites. Le problème est le suivant : X et Y étant des espace de Banach, P un espace métrique de paramètres, on considère une familles de multiapplications, identifiées à leurs graphes, (Fp) ⊂ X × Y

tel que p est dans P , de X dans Y , un point p0 dans P et un point (x0, y0)

dans Fp0. On cherche alors des conditions permettant de trouver un voisinage

N0 × U0 × V0 de (p0, x0, y0) telle que la multiapplication inverse de Fp−1(y)

soit non vide pour y dans V0 et possède une certaine régularité. Remarquons

que si on pose Φ(p, y) = F_p−1(y), on a alors y ∈ F (p, Φ(p, y)) et on reconnait bien un probl`eme de multiapplication implicite. Le probl`eme est de donner des conditions pour que Φ(p, y) soit non vide pour (p, y) voisins de (p0, y0)

et pour que Φ ait un minimum de régularité, de préférence par rapport au paramètre p. Le premier travail dans ce sens nous semble être [5] prolongé dans [10] dans lesquels la non vacuité et la régularité de la multiapplication implicite est obtenue en supposant que le cône tangent aux graphes des mul-tiapplications paramétrées est uniformément inversible. Une autre approche est une approche duale basée sur les cônes normaux. Dans ce point de vue, on peut citer [73, 87, 45] et aussi [8] sous une condition plus faible. Notre ap-proche dans la première partie de notre travail est différente. Elle est proche de la démarche de Robinson dans [93] et utilise une méthode de perturbation qui remonte à [42] et qui a été aussi utilisée dans [44, 45] et qui est aussi

(7)

plus ou moins sous-jacente dans [86]. Notre approche est basée sur les outils développés dans [13] et [14] qui utilisent la notion de pente forte introduite dans [39].

L’idée principale de cette première partie est la suivante : on perturbe une application métriquement régulière (une application inversible d’inverse lipschitzien dans le cas des applications lisses) par une multiapplication pseu-do-lipschitzienne, dont la constante de lipschitzité n’est pas trop grande, et on obtient par cette approche des résultats assurant que la multiapplication implicite est à valeurs non vide et est pseudo-lipschitzienne par rapport à (p, y). Pour obtenir nos résultats, nous nous basons sur une méthode reliant la régularité métrique d’une multiapplication à l’existence d’une borne d’erreur pour la distance à un sous-niveau d’une fonction auxiliaire. Cette méthode introduite dans [13] a été indépendamment développée dans [64].

Dans ce but, nos outils principaux sont le principe variationnel d’Eke-land et la pente forte. Nous donnons dans le chapitre 1 quelques résultats de bornes d’erreurs locales et paramétrées (utilisés dans la suite), ils diffèrent légèrement des résultats connus dans [14], par l’exigence seulement de l’hy-pothèse de la semi-continuité locale des fonctions impliquées, permettant d’appliquer ces résultats à des multiapplications de graphe localement fermé. Dans le chapitre 2, nous généralisons un résultat intéressant de [44] qui permet une bonne estimation de l’approximation de la multiapplication in-verse F−1 à condition d’avoir l’approximation de la multiapplication F (Th´ e-orème 2.5.3). On améliore ainsi des résultats de [86] sur le calcul de la différentielle généralisée d’une multiapplication inverse en ne faisant plus d’hypothèses restrictives.

Dans le Chapitre 3, nous généralisons pour les multiapplications, le th´ eor-ème de fonction implicite de Robinson ([93]) et les résultats de ([86]). En particulier, nous donnons une approximation de la multiapplication implicite qui, appliquée au cas univoque lisse, permet de retrouver la formule classique de la dérivée de la fonction implicite.

Dans la deuxième partie de ce mémoire, nous nous intéressons à l’étude de l’existence de points fixes pour diverses classes de contractions et de contractions directionnelles généralisées. Dans le Chapitre 4, nous rappe-lons les définitions de quelques types d’applications contractives (dans le cas univoque) étudiées par différents auteurs dans [22, 33, 35, 91, 92, 94],

(8)

comparées dans le survol [92]. Nous montrons dans le Lemme 4.3.1 que toutes ces contractions généralisées citées ci-dessus (T : X → X définie dans un espace métrique complet (X, d)) vérifient l’hypothèse principale [H] : il existe α > 0 tel que pour tout x ∈ X avec x 6= T (x), il existe u ∈ X qui vérifie : d(u, T (u)) + αd(x, u) ≤ d(x, T (x)), puis nous donnons des théorèmes d’existence de points fixes en utilisant un lemme basique qui s’appuie sur le principe variationnel d’Ekeland et qui nécessite, en particulier, la semi-continuité inférieure de la fonction x 7→ d(x, T (x)). Dans tous les cas, nos résultats améliorent les résultats suivant, à la fois en utilisant des hypothèses plus faibles et en donnant une estimation pour la distance au point fixe qui n’étaient pas dans les résultats cités.

Dans le Chapitre 5, nous nous intéressons aux points fixes de contactions multivoques généralisées. Le point de départ est une remarque de [7] dans le quel on constate que le Théorème de Nadler sur les contactions multivoque est encore vrai en affaiblissant l’hypothèse de contraction. Il suffit d’avoir seulement une information sur les projections approchées d’un point x sur son image T (x). Cette idée a été aussi utilisée dans [48, 70]. Nous améliorons leurs résultats sous une hypothèse de contraction généralisée très faible. Comme corollaire, on obtient une version très faible du Théorème de Banach-Picard. Dans ce cas aussi, la méthode variationnelle permet d’estimer la distance à l’ensemble des points fixes.

Quant au Chapitre 6, il est consacré à diverses extensions multivoques de la notion de contraction directionnelle introduite par Clarke dans [35]. Les résultats obtenus généralisent largement ceux obtenus dans [97]. On obtient ´

egalement une série de résultats étendant ceux de [74, 104], [94] et [15]. Pour terminer, dans le chapitre 7, nous donnons un résultat pour l’exis-tence d’une solution locale d’une inclusion différentielle dont le second membre n’est pas borné. L’estimation de la longueur de l’intervalle d’existence de la solution est dans le style du résultat classique de Filippov et est plus aisée à estimer que celle donnée par Ioffe dans [65] avec des méthodes entièrement différentes. Notre résultat est une conséquence d’un résultat de point fixe généralisant un résultat connu (voir [43] et aussi [17]).

(9)

(10)

Chapitre 1

Outils m´

etriques autour du

(11)

1.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous donnons quelques résultats de la borne d’erreur locale et paramétrée (utilisés dans la suite). Les idées des résultats de la borne d’erreur locale sont dûes à Corvellec et les résultats de ce chapitre sont pris de [11]. Ils différent légèrement des résultats connus dans [14], par l’exigence seulement de l’hypothèse de la semi-continuité locale des fonc-tions impliquées, permettant d’appliquer ces résultats aux multiapplications `

a graphe localement ferm´e.

1.2 Notations

Dans ce chapitre X d´esigne un espace m´etrique muni de la distance d. Exc`_{es et distance de Hausdorff}

Soit C ⊂ X. Pour x ∈ X, on note

d(x, C) := inf{d(x, y) : y ∈ C}

la distance de x à C, avec la convention d(x, ∅) = +∞ (selon la convention générale inf ∅ = +∞). Pour r ∈ ]0, +∞] (resp., r ∈ [0, +∞[), on note Br(C)

(resp., Br[C]) le r-voisinage ouvert (resp., ferm´e) de C :

Br(C) := {x ∈ X : d(x, C) < r},

Br[C] := {x ∈ X : d(x, C) ≤ r}.

Si C = {x}, on ´ecrit simplement Br(x), Br[x].

Si C et D sont des sous-ensembles de X, l’excès de Hausdorff de C par rapport à D est noté par e(C, D) et est défini par :

e(C, D) := sup

x∈C

d(x, D) ,

avec la convention e(∅, D) = 0 et e(C, ∅) = +∞ o`u C 6= ∅ ; et on note par H(C, D) la distance de Hausdorff-Pompeiu entre C et D, d´efinie par

(12)

Il est bien connu que H est une m´etrique (pouvant prendre la valeur +∞) sur l’ensemble des ferm´es non vides de X. On note aussi par

gap(C, D) := inf

(x,y)∈C×Dd(x, y) = infx∈Cd(x, D) = infy∈Cd(y, C)

l’´ecartement entre C et D, qui vaut +∞ si C ou D est vide. Ensembles de sous-niveaux des fonctions

Soit la fonction f : X → R ∪ {+∞}. Pour a ∈ R et b ∈ R ∪ {+∞}, on utilise les notations

[f ≤a] := {x ∈ X : f (x) ≤ a} , [f <b] := {x ∈ X : f (x) < b}

pour les ensembles de sous-niveaux “ferm´es” et “ouverts” respectivement, de f , et de plus, si a < b, on pose

[a<f <b] := [f <b] \ [f ≤a] Si b = +∞, on ´ecrit aussi

[f >a] := [a<f <+∞] , dom f := [f <+∞] ,

et on dit que f est propre si dom f 6= ∅. De plus, on note par inf f ≥ −∞ l’infimum de f sur X, et on pose

argmin f := {x ∈ X : f (x) = inf f } (qui peut être vide en général). De plus, on note par

epif := {(x, λ) ∈ X × R : f (x) ≤ λ} l’´epigraphe de la fonction f .

Pour a ∈ R, on pose a+ _{:= max{a, 0}. On observe que, en posant g(x) :=}

(13)

Fonctions semi-continues inf´erieurement sur un ensemble

Dans le but d’élargir le cadre utilisé par Azé et Corvellec dans [12, 13, 14] nous aurons besoin de définir la notion de fonction semi-continue inférieurement sur une partie de son ensemble de définition. La raison en est que les notions de régularité métrique étant locales, des hypothèses de nature globale ne s’imposent pas dans ce cadre.

On rappelle que la fonction f : X → R ∪ {+∞} est dite semi-continue inf´erieurement au point x dans l’espace m´etrique X si

f (x) ≤ lim inf

z→x f (z),

ce qui revient `a dire que pour toute suite (xn)n∈N ⊂ X qui converge vers x, on a

f (x) ≤ lim inf

n→+∞ f (xn) .

Définition 1.2.1 On dit que f est semi-continue inférieurement sur le sous-ensemble U de X si la restriction f|U, de f à U est semi-continue inf´

erieu-rement en tout point de U . On a alors la :

Proposition 1.2.1 Soit f : X → R ∪ {+∞} une fonction définie sur un espace métrique (X, d) et soit U ⊂ X. Alors les deux propriétés suivantes sont équivalentes :

(a) f est semi-continue inf´erieurement sur U ; (b) [f ≤a] ∩ U est ferm´_{e dans U pour tout a ∈ R.}

Preuve. Supposons que [f ≤a] ∩ U est ferm´_{e dans U pour tout a ∈ R et} consid´erons une suite (xn)n∈N ⊂ U qui converge vers x. On peut supposer, rempla¸cant ´eventuellement la suite (xn)n∈N par une sous-suite, que

a := lim inf

n→+∞ f (xn) = limn→+∞f (xn) < +∞.

Pour tout ε > 0, on a donc x ∈ [f ≤a + ε], d’o`u f (x) ≤ lim infn→+∞f (xn).

Réciproquement, supposons que f est semi-continue inférieurement sur U et consid´_{erons a ∈ R et une suite (x}n)n∈N d’éléments de [f ≤a] ∩ U qui converge vers un certain x ∈ U . On a alors f (x) ≤ lim infn→+∞f (xn) ≤ a donc

(14)

Remarque 1.2.1 Si on remplace l’hypothèse [f ≤a] ∩ U fermé dans U par l’hypothèse plus forte que [f ≤a] ∩ U est fermé, on n’a plus l’équivalence avec la propriété que f est semi-continue inférieurement en tout point x ∈ U . Remarque 1.2.2 Si U est un ouvert de X, la semi-continuité inférieure de f sur U est équivalente à la semi-continuité inférieure de f en tout point de U .

Si U = X, on dit simplement que f est semi-continue inférieurement, ce qui ´_{equivaut au fait que pour tout a ∈ R l’ensemble [f ≤a] est un fermé de} X. Notons que la fonction g(x) := f (x)+, (x ∈ X) hérite la propriété de la semi-continuité inférieure de f .

Symétriquement, on dit que f est semi-continue supérieurement (en x, sur U , etc.) si −f est semi-continue inférieurement (en x, sur U , etc...).

Finalement, pour le sous-ensemble S de X, on notera par ιS la fonction

indicatrice de S, d´efinie par ιS(x) :=

(

0 if x ∈ S +∞ if x /∈ S . ´

Evidemment, ιS est semi-continue inf´erieurement si et seulement si S est

ferm´e.

1.2.1 Multiapplications

Si X et Z sont deux espaces métriques, on définit une multifonction de X vers Z comme un sous-ensemble F du produit cartésien X × Z. La mul-tiapplication inverse de la mulmul-tiapplication F ⊂ X × Z est notée par F−1 et est définie par

F−1 := {(z, x) : (x, z) ∈ F } ⊂ Z × X . Pour F ⊂ X × Z et x ∈ X, on pose

F (x) := {z ∈ Z : (x, z) ∈ F } ,

qui est dite la valeur de F en x, et permet de considérer une multiapplication de X vers Z comme une correspondance qui associe à tout x ∈ X un sous-ensemble (peut être vide) F (x) de Z. On pose

dom F := {x ∈ X : F (x) 6= ∅} le domaine de la multiapplication F .

(15)

1.3 La pente forte

La notion de pente forte a été introduite par De Giorgi, Marino et Tosques dans [39]. Son utilisation a ouvert la voie à une théorie unifiée de la régularité métrique.

D´efinition 1.3.1 Soit (X, d) un espace m´etrique et soit la fonction f : X → R ∪ {+∞}. Pour tout x ∈ dom f , on pose

|∇f |(x) :=       

0 si x est un minimum local de f , lim sup

y→x6=

f (x) − f (y)

d(x, y) sinon.

Pour x /∈ dom f , soit |∇f |(x) := +∞. Le nombre positif |∇f |(x) est nomm´e pente forte de f en x.

Les propriétés suivantes de la pente forte sont faciles à vérifier à partir de sa définition.

Proposition 1.3.1 Soit (X, d) un espace m´etrique, soit une fonction f : X → R ∪ {+∞}, et soient a ∈ R, b ∈ R ∪ {+∞}, σ > 0.

(a) |∇(f + a)| = |∇f | et |∇(σf )| = σ|∇f |.

(b) |∇f|[f ≤a]|(x) = |∇f |(x) pour tout x ∈ [f ≤a], et |∇f|[f <b]|(x) = |∇f |(x)

pour tout x ∈ [f <b].

(c) Si g : X → R est κ-lipschitzienne dans un voisinage de x ∈ X, on a |∇f |(x) − κ ≤ |∇(f + g)|(x) ≤ |∇f |(x) + κ .

1.4 Outils m´

etriques li´

es au principe

varia-tionnel d’Ekeland

D´efinition 1.4.1 Soit X un espace m´etrique muni de la distance d, et soit la fonction f : X → R ∪ {+∞}. Un point x ∈ X est dit un d-point de f si

(16)

On observe que les d-points de f sont dans dom f , et que les points de minimum global sont des points de f . En connection avec la notion de d-point, la proposition élémentaire suivante joue un rôle très important dans la suite.

Proposition 1.4.1 Soit X un espace m´etrique muni de la distance d, et soit la fonction f : X → R ∪ {+∞} . Pour x ∈ X, posons

Mf(x) := {z ∈ X : f (z) + d(z, x) ≤ f (x)} . (1.1)

Alors :

(a) x est un d-point de f si et seulement si Mf(x) = {x}.

(b) Si x ∈ dom f et µ := inf f ∈ R, alors Mf(x) ⊂ Bf (x)−µ[x] ∩ [f ≤f (x)].

(c) Si y ∈ Mf(x), alors Mf(y) ⊂ Mf(x).

(d) Si, pour un x ∈ X, ¯x est un d-point de la restriction de f `a Mf(x), alors

¯

x est un d-point de f .

Preuve. Des d´efinitions du d-point et de l’ensemble Mf(x), (a) et (b) sont

´

evidentes. Pour (c), soit y ∈ Mf(x), et soit z ∈ Mf(y). Alors,

f (z) + d(z, x) ≤ f (z) + d(z, y) + d(y, x) ≤ f (y) + d(y, x) ≤ f (x) , ainsi z ∈ Mf(x). Pour (d), on a f (¯x) < f (z) + d(z, ¯x) quand z ∈ Mf(x),

z 6= ¯x, pendant que z /∈ Mf(x), comme ¯x ∈ Mf(x), on a

f (¯x) ≤ f (x) − d(¯x, x) < f (z) + d(z, x) − d(¯x, x) ≤ f (z) + d(z, ¯x) , et par suite ¯x est un d-point de f .

Théorème 1.4.1 Les propriétés suivantes sont équivalentes : (a) L’espace métrique (X, d) est complet.

(b) Toute fonction f : X → R∪{+∞} propre, semi-continue inf´erieurement, et born´ee a un d-point.

Preuve. (a)⇒(b) : Soit x0 ∈ dom f , et on d´efinit par r´ecurrence une suite

(xn)n∈N∈ X par

xn∈ Mf(xn−1) , f (xn) ≤ inf Mf(xn−1)

f + 1 n .

(17)

Alors, Mf(xn) ⊂ Mf(xn−1) pour tout n, ainsi pour tout n, p ∈ N et tout

y ∈ Mf(xn+p−1) ⊂ Mf(xn−1), on a

d(y, xn) ≤ f (xn) − f (y) ≤

1

n. (1.2) En posant, dans ces in´egalit´es, y := xn+p, on voit que (xn) est une suite

de Cauchy dans (X, d), et alors, comme f est semi-continue inf´erieurement, quand p → +∞ pour n fix´e, on a x := lim xn ∈

\ n∈N Mf(xn). Donc, Mf(x) ⊂ \ n∈N Mf(xn)

d’apr´es la Proposition 1.4.1 (c), si y ∈ Mf(x), (1.2) montre aussi que y = x.

Ainsi, Mf(x) = {x},c’est `a dire que, selon la Proposition 1.4.1 (a) x est un

d-point de f .

(b)⇒(a) : Soit (xn)n∈N une suite de Cauchy dans (X, d). Alors, en posant f (x) := 2 lim d(x, xn), on d´efinit une fonction continue f : X → R avec

f (xn) → 0 = inf f . Soit x ∈ X un d-point de f . On a

f (x) ≤ f (xn) + d(x, xn) pour tout n ∈ N .

En passant `a la limite sur n, on obtient 2f (x) ≤ f (x). Ainsi, f (x) = 0, donc x = lim xn.

Donnons maintenant quelques corollaires du Th´eor`eme 1.4.1.

Corollaire 1.4.1 Soit (X, d) un espace métrique, et soit une fonction f : X → R ∪ {+∞} propre, semi-continue inférieurement, et bornée.On suppose que pour tout x ∈ X \argmin f l’ensemble Mf(x) défini par (1.1) est complet.

Les propositions suivantes sont ´equivalentes : (a) f n’a pas de d-point dans X \ argmin f .

(b) Pour tout x ∈ X \argmin f , il existe ¯x ∈ Mf(x)∩argmin f . En particulier,

f (x) − inf f ≥ d(x, argmin f ) pour tout x ∈ X . (1.3) Preuve. (a)⇒(b) : Soit x ∈ X \ argmin f . En appliquant le Th´eor`eme 1.4.1 `

(18)

compte de la Proposition 1.4.1 (d), on conclut que ¯x est un d-point de f dans Mf(x). Si (a) est v´erifi´ee, alors ¯x ∈ argmin f , et on a

f (x) − inf f = f (x) − f (¯x) ≥ d(x, ¯x) ≥ d(x, argmin f ) , cette in´egalit´e devient trivialement satisfaite si x ∈ argmin f .

(b)⇒(a) : Si (b) est vraie, alors Mf(x) 6= {x} pour x /∈ argmin f , ce qui

montre, selon la Proposition 1.4.1 (a), (a).

Corollaire 1.4.2 Soit (X, d) un espace métrique, soit une fonction f : X → R ∪ {+∞} semi-continue inférieurement, soit −∞ < a < b ≤ +∞, et soit σ > 0. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

(a) Pour tout x ∈ [a<f <b] il existe y 6= x avec

f (x) − a ≥ (f (y) − a)++ σ d(x, y).

(b) Pour tout x ∈ [a<f <b] il existe ¯x ∈ [f ≤a] avec f (x) − a ≥ σ d(x, ¯x). Preuve. Le r´esultat est trivial si [a<f <b] = ∅. D´efinissons une fonction g : X → R+ par :

g(x) := (f (x) − a)

+

σ .

Comme f est semi-continue inf´erieurememt g l’est aussi, et Mg(x) est ferm´e

pour tout x ∈ X et comme (X, d) est complet, (Mg(x), d) l’est aussi. De plus,

[f ≤a] ⊂ argmin g avec ´egalit´e si [f ≤a] 6= ∅, et si x ∈ [a<f <b]

[g≤g(x)] = [f ≤f (x)] ⊂ [f <b].

Consid´erons maintenant la restriction ˜g de g `a [f <b]. Alors, argmin ˜g = argmin g et, comme Mg(x) ⊂ [g≤g(x)] ( Proposition 1.4.1 (b)), on a M˜g(x) =

Mg(x) pour tout x ∈ [a<f <b]. De plus, (a) assure que ˜g n’a pas de

d-point dans [a<f <b] (notons que dans (a) f (y) < f (x)), ce qui implique que argmin ˜g ⊂ [f ≤a]. Ainsi, le résultat est obtenu en appliquant le Corol-laire 1.4.1 à l’espace métrique ([f <b], d) et à la fonction ˜g.

(19)

Remarque 1.4.1 Les deux précédents corollaires peuvent être vus comme des résultats de “type global”. L’implication (a)⇒ (b) dans le Corollaire 1.4.1 peut être vue comme une borne d’erreur basique principale .

Maintenant on donne trois corollaires de “type local ” du Théorème 1.4.1. Le premier est un résultat de densité, les deux derniers sont des versions locales du Corollaire 1.4.2.

Corollaire 1.4.3 On suppose que (X, d) est complet. Soit f : X → R ∪ {+∞}, soit x ∈ dom f et soit > 0 tel que f soit semi-continue sup´ erieu-rement sur B[x]. Alors, il existe ¯x ∈ B[x] ∩ [f ≤f (x)], ¯ > 0, et σ > 0 tel

que

f (¯x) < f (y) + σ d(y, ¯x) pour tout y ∈ B¯(¯x) \ {¯x} .

Preuve. En utilisant la semi-continuit´e inf´erieure de f en x, on choisit 0 < ¯

≤ ε et δ > 0 tel que

f (y) > f (x) − δ pour tout y ∈ B2¯(x) . (1.4)

On d´_{efinit g : X → R ∪ {+∞} par :} g(y) := ¯

δ(f (y) − f (x) + δ)

+_.

Comme g n’est pas n´egative et g(x) = ¯, on a

Mg(x) ⊂ B[x] ∩ [f ≤f (x)] , (1.5)

selon la Proposition 1.4.1 (b). Comme f est semi-continue inférieurement sur la boule fermée B[x], g l’est aussi, donc Mg(x) est fermé, ainsi (Mg(x), d) est

complet. Selon le Th´eor`eme 1.4.1, et en tenant compte de la Proposition 1.4.1 (d), g a un d-point ¯x dans Mg(x). De (1.4) et (1.5), on remarque que ¯x ∈

B[x] ∩ [f ≤f (x)] et que

g(y) = ¯

δ(f (y) − f (x) + δ) pour tout y ∈ B¯(¯x) .

En particulier, c’est le cas pour y := ¯x, ainsi le fait que ¯x est un d-point de g donne la propriété citée avec σ := δ_¯.

(20)

Corollaire 1.4.4 Soit (X, d) un espace m´etrique complet, et soit f : X → R ∪ {+∞}, U ⊂ X, a ∈ R, b ∈ R ∪ {+∞}, σ > 0, et ρ ∈ ]0, +∞] tels que a < b ≤ a+σρ et f est semi-continue inf´erieurement sur Bρ(U ). On suppose,

en plus, que pour tout ¯x ∈ Bρ(U ) ∩ [a<f <b], il existe y 6= ¯x tel que

f (¯x) − a ≥ (f (y) − a)++ σ d(y, ¯x) . (1.6) Alors, pour tout x ∈ U ∩ [a<f <b], il existe ¯x ∈ Bρ(U ) ∩ [f ≤a] tel que

f (x) − a ≥ σ d(x, ¯x) . (1.7) Preuve. On doit supposer que U ∩[a<f <b] 6= ∅ (sinon, il n’y a rien `a montrer). On d´_{efinit g : X → R ∪ {+∞} par}

g(x) := (f (x) − a)

+

σ .

Soit x ∈ U ∩ [a<f <b] fix´e. Comme g n’est pas n´egative et g(x) < ρ, on a, selon la Proposition 1.4.1 (b) :

Mg(x) ⊂ Bg(x)[x] ⊂ Bρ(U ) .

Comme f est semi-continue inf´erieurement sur le dernier ensemble, alors g l’est ; comme, de plus, Bg(x)[x] est ferm´e, Mg(x) l’est aussi, ainsi (Mg(x), d)

est complet comme (X, d). Selon le Th´eor`eme 1.4.1, et en tenant compte de la Proposition 1.4.1 (d), g a un d-point ¯x ∈ Mg(x). Comme (1.6) affirme que g

n’a pas de d-point dans Bρ(U ) ∩ [a<f <b], on remarque que ¯x doit appartenir

`

a [f ≤a], ainsi g(¯x) = 0 et (1.7) suit quand on ´ecrit que ¯x ∈ Mg(x).

Corollaire 1.4.5 Soit (X, d) un espace m´etrique complet, et soit f : X → R ∪ {+∞}, −∞ < a < b ≤ +∞, U ⊂ [f ≤a], et σ, ρ > 0. On suppose que f est semi-continue inf´erieurement sur B2ρ(U ), et que pour tout ¯x ∈

B2ρ(U ) ∩ [a<f <b] il existe y 6= ¯x tel que

f (¯x) − a ≥ (f (y) − a)++ σ d(y, ¯x) . (1.8) Alors, pour tout x ∈ Bρ(U ) ∩ [a<f <b], il existe ¯x ∈ [f ≤a] tel que

(21)

Preuve. On doit supposer que Bρ(U ) ∩ [a<f <b] 6= ∅.On d´efinit g : X →

R ∪ {+∞} par

g(x) := (f (x) − a)

+

σ .

Soit x ∈ Bρ(U ) ∩ [a<f <b] fix´e. Comme d(x, [f ≤a]) ≤ d(x, U ) < ρ, on doit

assurer que g(x) < ρ (autrement, il n’y a rien `a prouver). Alors, comme dans la preuve du Corollaire 1.4.4, on a

Mg(x) ⊂ Bg(x)[x] ⊂ B2ρ(U ) ,

on doit appliquer le Th´eor`eme 1.4.1 pour avoir un d-point ¯x de g dans Mg(x),

et on remarque bien que ¯x ∈ [f ≤a] `a cause de (1.8), ainsi g(x) ≥ d(x, ¯x), ce qui donne (1.9).

Remarque 1.4.2 Une autre conclusion du Corollaire 1.4.5 est f (x) − a ≥ σ d(x, [f ≤a]) pour tout x ∈ Bρ[U ] ∩ [a<f <b] ,

la preuve est exactement la mˆeme, mais pour le fait que maintenant d(x, U ) ≤ ρ pour un x ∈ Bρ[U ] ∩ [a<f <b] fix´e.

1.5 Bornes d’erreur lin´

eaires et leur caract´

e-risation

D´efinition 1.5.1 Soit (X, d) un espace m´etrique, soit la fonction f : X → R ∪ {+∞}, soit U un sous-ensemble de X, et soit −∞ < a < b ≤ +∞. On note σU,a,b(f ) le supremum des σ dans [0, +∞) tels que

f (x) − a ≥ σd(x, [f ≤a]) pour tout x ∈ U ∩ [a<f <b] , avec la convention

σU,a,b(f ) =

( ₀ _{si [f ≤a] = ∅ et U ∩ [a<f <b] 6= ∅ ,}

+∞ si U ∩ [a<f <b] = ∅ . En tenant compte de cette convention, on peut ´ecrire

σU,a,b(f ) = inf x∈U ∩[a<f <b]

f (x) − a

(22)

Si U = X, ou si b = +∞, on enl`evera l’indice X ou +∞, dans la notation, i.e, on ´ecrit

σa,b(f ) := σX,a,b(f ) , σa(f ) := σX,a,+∞(f ) .

Remarque 1.5.1 Observant que dans la D´efinition 1.5.1, on a aussi σU,a,b(f ) = +∞

quand d(x, [f ≤a]) = 0 pour tout x ∈ U ∩ [a<f <b], et ceci, en tenant compte, dans la formule (1.10), de la convention c₀ = +∞ pour c > 0 . Par ailleurs, notons que si U est un sous-ensemble ouvert de X, et si f est semi-continue inférieurement sur U , alors d(x, [f ≤a]) > 0 pour tout x ∈ U ∩ [a<f <b]. Définition 1.5.2 Avec les mêmes notations que dans la Définition 1.5.1. On dit que f a une borne d’erreur linéaire dans U entre les niveaux a et b, si σU,a,b(f ) > 0. Si U = X, on dit que f a une borne d’erreur linéaire globale

entre les niveaux a et b.

La proposition fondamentale suivante que l’on trouve dans [13, 14] donne les conditions n´ecessaires d’existence de la borne d’erreur lin´eaire de f dans U entre les niveaux c et b, pour tout a ≤ c < b, dans le terme de la pente forte de f .

Proposition 1.5.1 Soit X, f , U , a, et b comme dans la D´efinition 1.5.1. Alors,

inf

U ∩[a<f <b]|∇f | ≥ infa≤c<bσU,c,b(f ) = infa≤c<bx∈U ∩[c<f <b]inf

f (x) − c d(x, [f ≤c]).

En fait on montre aussi dans [13, 14] que la condition suffisante d’existence de la borne d’erreur linéaire, donnée par la Proposition 1.5.1, est aussi une condition nécessaire.

Théorème 1.5.1 Soit (X, d) un espace m´_{etrique, soit f : X → R ∪ {+∞}} une fonction semi-continue inférieurement, et soit −∞ < a < b ≤ +∞. Alors,

inf

[a<f <b]|∇f | = infa≤c<bσc,b(f ) := infa≤c<b x∈[c<f <b]inf

f (x) − c d(x, [f ≤c]).

(23)

Remarque 1.5.2 Observons que, sous les hypoth`eses du Th´eoreme 1.5.1 et si

[a<f <b] 6= ∅ et inf

[a<f <b]|∇f | ≥ σ > 0 ,

alors

[f ≤a] 6= ∅ et f (x) − a ≥ σ d(x, [f ≤a]) pour tout x ∈ [a<f <b] . Le r´esultat suivant est un r´esultat de borne locale d’erreur. On remarque que sa conclusion implique que le sous-niveau [f ≤a] est non vide.

Théorème 1.5.2 Soit (X, d) un espace métrique complet, et soit f : X → R ∪ {+∞}, U ⊂ X, a ∈ R, b ∈ R ∪ {+∞}, σ > 0, et ρ ∈ ]0, +∞] tels que a < b ≤ a + σρ, U ∩ [f <b] 6= ∅, et f est semi-continue inférieurement sur Bρ(U ). On supose de plus que :

|∇f |(x) > σ > 0 pour tout x ∈ Bρ(U ) ∩ [a<f <b].

Alors, Bρ(U ) ∩ [f ≤a] 6= ∅ et inf x∈U ∩[a<f <b] f (x) − a d(x, Bρ(U ) ∩ [f ≤a]) ≥ σ.

Preuve. Observons que si U ∩ [a<f <b] = ∅, alors U ∩ [f ≤a] 6= ∅, et il n’y a rien à démontrer. Si U ∩ [a<f <b] 6= ∅, on argumente comme dans la preuve du Théorème 1.5.1, mais en utilisant le Corollaire 1.4.4 à la place du Corollaire 1.4.2.

Le résultat suivant est aussi un résultat de borne locale d’erreur, mais cette fois, le fait que [f ≤a est non vide est une hypothèse.

Théorème 1.5.3 Soit (X, d) un espace métrique complet, et soit f : X → R ∪ {+∞}, −∞ < a < b ≤ +∞, ∅ 6= U ⊂ [f ≤a], et ρ > 0, avec f semi-continue inférieurement sur B2ρ(U ). Alors,

inf

a≤c<b x∈Bρ[U ]∩[c<f <b]inf

f (x) − c

d(x, [f ≤c]) ≥B2ρ(U )∩[a<f <b]inf

|∇f | . (1.11) Preuve. De nouveau, la démonstration est similaire à celle du Théorème 1.5.1, cette fois-ci en appliquant le Corollaire 1.4.5, et en tenant compte de la Remarque 1.4.2 .

(24)

Remarque 1.5.3 En combinant le Théorème 1.5.3 et la Proposition 1.5.1 on obtient en fait la caractérisation de la borne d’erreur locale de f . En effet, avec f , a, b, U , et ρ comme dans le Théorème 1.5.3, la Proposition 1.5.1 affirme que inf Bρ(U )∩[a<f <b] |∇f | ≥ inf a≤c<b x∈Bρ(U )∩[c<f <b]inf f (x) − c d(x, [f ≤c]) .

Ainsi, étant donné σ > 0, et en prenant compte de (1.11), on a équivalence de ce qui suit :

(a) Il existe r > 0 tel que |∇f |(x) ≥ σ pour tout x ∈ Br(U ) ∩ [a<f <b].

(b) Il existe ρ > 0 tel que f (x) − c ≥ σ d(x, [f ≤c]) pour tout a ≤ c < b et tout x ∈ Bρ(U ) ∩ [c<f <b].

1.6 Bornes d’erreur param´

etriques

Notre outil principal pour établir des résultats de multiapplications impli-cites est un résultat de borne d’erreur uniforme pour une famille de fonctions dépendant d’un paramètre. Pour établir ce résultat (Théorème 1.6.1) qui est un raffinement des résultats de [13, 14, 8] nous aurons besoin de quelques définitions.

1.6.1 Convergence d’ensembles

Dans cette section, X est un espace métrique muni de la distance d, et P est un autre espace métrique, qui sert à “l’espace des paramètres ”. On n’a pas besoin de spécifier la notation de la distance dans P , mais on doit utiliser quelques notations de la section 1.2, surtout les boules dans P . Limite supérieure et inférieure d’une famille de sous-ensembles

Soit (Cp)p∈P une famille de sous-ensemble de l’espace m´etrique (X, d), et

soit p0 ∈ P . ´Etant donn´ee la fonction f : X → R ∪ {+∞}, on pose

lim inf p→p0 d(x, Cp) := sup δ>0 inf p∈Bδ[p0] d(x, Cp) = lim δ&0p∈Binfδ[p0] d(x, Cp) , lim sup p→p0 d(x, Cp) := inf δ>0_p∈Bsup δ[p0] d(x, Cp) = lim δ&0_p∈Bsup δ[p0] d(x, Cp) .

(25)

La limite sup´erieure de la famille (Cp) quand p → p0 est l’ensemble Lim sup p→p0 Cp := {x ∈ X : lim inf_p→p 0 d(x, Cp) = 0} .

En d’autres termes, Lim sup_p→p₀Cp est l’ensemble des x ∈ X tel que pour

tout ε, δ > 0, il existe p ∈ Bδ[p0] tel que Bε[x] ∩ Cp 6= ∅.

De mˆeme, la limite inf´erieure de la famille (Cp)p∈P quand p → p0 est

l’ensemble Lim inf p→p0 Cp := {x ∈ X : lim sup p→p0 d(x, Cp) = 0} .

En d’autres termes, Lim infp→p0Cp est l’ensemble des points x ∈ X tel que

pour tout ε > 0 il existe δ > 0 avec Bε[x] ∩ Cp 6= ∅ pour tout p ∈ Bδ[p0].

Comme d(x, Cp) ≥ 0, on a Lim inf p→p0 Cp = {x ∈ X : lim_p→p 0 d(x, Cp) = 0} ,

et le fait que limp→p0d(x, Cp) = 0 est clairement e´quivalent `a l’existence d’une

fonction p 7→ x(p), d´efinie au voisinage de p0 et `a valeurs dans X, tel que

x(p) ∈ Cp pour tout p et x(p) → x quand p → p0.

Clairement, on a Lim inf p→p0 Cp ⊂ Lim sup p→p0 Cp,

et il est facile de vérifier que Lim inf p→p0 Cp = \ Lim inf n→∞ Cpn : (pn)n∈N ⊂ P , pn→ p0 quand n → ∞ , où Lim infn→∞Cpn est, bien sûr, l’ensemble des points x ∈ X tel que pour

tout ε > 0 il existe nε∈ N avec Bε[x] ∩ Cpn 6= ∅ pour tout n ≥ nε.

Finalement on remarque que Lim sup_p→p₀Cp et Lim infp→p0Cp sont des

sous-ensembles ferm´es de X. ´

Epi semi-continuit´e sup´erieure d’une famille de fonctions On consid`_{ere X × R muni de la distance}

(26)

Soit une fonction f : X × P → R ∪ {+∞}, et soit p0 ∈ P . Pour x ∈ X, on d´efinit ˜ fp0(x) := sup ε>0 inf δ>0_p∈Bsup δ[p0] inf z∈Bε[x] f (z, p) , (1.12) c’est donc en fait

˜ fp0(x) = sup ε>0 lim sup p→p0 ( inf z∈Bε[x] fp(z)) = lim ε&0 lim sup p→p0 ( inf z∈Bε[x] fp(z)) . (1.13) En posant, pour p ∈ P : fp := f (·, p) : X → R ∪ {+∞}, on remarque que

epi ˜fp0 = Lim inf_p→p 0

epifp. (1.14)

En effet, (x, λ) ∈ Lim infp→p0epifp veut dire que limp→p0d((x, λ), epifp) = 0,

ce qui est facilement vu ´equivalent au fait que pour tout ε > 0 lim sup

p→p0

( inf

z∈Bε[x]

fp(z)) ≤ λ + ε ,

ce qui est donc, selon (1.13), ´equivalent `a (x, λ) ∈ epi ˜fp0, .

D´_{efinition 1.6.1 On dit qu’une fonction f : X × P → R ∪ {+∞} est} ´epi-semi-continue sup´erieurement en (x0, p0) ∈ X × P si

˜

fp0(x0) ≤ fp0(x0) ,

o`u ˜fp0 : X → [−∞, +∞] est d´efinie dans (1.12).

La fonction ˜fp0 est dite l’ ´epi-limite sup´erieure de la famille (fp)p∈P quand

p → p0, et sera not´ee `a partir de maintenant par

e - lim sup

p→p0

fp := ˜fp0.

Remarque 1.6.1 On observe que si a ∈ R est tel que a ≤ f (x0, p0), alors f

est ´epi-semicontinue sup´erieurement en (x0, p0) quand x0 ∈ Lim infp→p0[fp≤a]

( c’est, quand limp→p0d(x0, [fp≤a]) = 0).

Remarque 1.6.2 En observant que e - lim sup p→p0 fp ! (x0) ≤ lim sup p→p0 fp(x0) ,

il s’ensuit que f est ´epi-semicontinue sup´erieurement en (x0, p0) quand la

(27)

La proposition suivante sera utilis´ee dans la suite.

Proposition 1.6.1 Soit f, g : X × P → R ∪ {+∞}, et soit (x0, p0) ∈ X × P ,

N0 un voisinage de p0, ε0 > 0, et κ ≥ 0, tel que pour tout p ∈ N0 la fonction

gp est continue κlLipschitzienne sur Bε0(x0). Alors,

e - lim sup p→p0 (fp+ gp) (x0) ≤ e - lim sup p→p0 fp (x0) + lim sup p→p0 gp(x0) . Preuve. Pour 0 < ε ≤ ε0 et p ∈ N0, on a inf z∈Bε(x0) (fp + gp)(z) ≤ inf z∈Bε(x0) fp(z) + gp(x0) + κε . Ainsi : lim sup p→p0 inf z∈Bε(x0) (fp+ gp)(z) ≤ lim sup p→p0 inf z∈Bε(x0) fp(z) + lim sup p→p0 gp(x0) + cε ,

et en tenant compte de (1.13),la conclusion suit en laissant tendre ε vers 0. Cette proposition donne imm´ediatement la suivante.

Proposition 1.6.2 Soit f, g : X × P → R ∪ {+∞} et (x0, p0) ∈ X × P . On

suppose que

(i) f est ´epi-semicontinue sup´erieurement en (p0, x0).

(ii) lim sup

p→p0

gp(x0) ≤ gp0(x0).

(iii) Il existe un voisinage N0 de p0, ε0 > 0, et κ ≥ 0 tel que pour tout p ∈ N0

la fonction gp est continue κ-Lipschitzienne sur Bε0(x0).

Alors, f + g est ´epi-semicontinue sup´erieurement en (x0, p0).

Semi-continuit´e inf´erieure des multiapplications

D´efinition 1.6.2 Une multiapplication F ⊂ P × X est dite semi-continue inf´erieurement en (p0, x0) ∈ F si x0 ∈ Lim infp→p0F (p).

Proposition 1.6.3 Soit P , X des espaces m´etriques, F ⊂ P × X une mul-tiapplication, et (p0, x0) ∈ F . On d´efinit f : X × P → R ∪ {+∞} par

f (x, p) := ιF (p)(x). Les propriétés suivantes sont équivalentes :

(a) f est ´epi-semicontinue sup´erieurement en (x0, p0).

(28)

Preuve. Pour tout p ∈ P , on a fp = ιF (p) := ( 0 si x ∈ F (p) +∞ sinon ,

en posant ˜fp0 := e - lim supp→p0fp et en utilisant (1.14), on a f est ´

epi-semicontinue sup´erieurement en (x0, p0) si et seulement si

(x0, 0) ∈ epi ˜fp0 = Lim inf_p→p 0

epifp = Lim inf_p→p

0 (F (p)×R+

) = ( Lim inf

p→p0 F (p))×R+

, c’est, si et seulement si F est semi-continue inf´erieurement en (p0, x0).

1.6.2 Th´

eor`

eme de borne d’erreur dans le cas param´

etr´

e

Dans le but d’appliquer les bornes d’erreur à la régularité métrique des multiapplications, on a besoin des résultats paramétrés suivants.

Théorème 1.6.1 Soit (X, d) un espace métrique, P un espace métrique, f : X × P → R ∪ {+∞}, (x0, p0) ∈ X × P avec f (x0, p0) = 0, b ∈ ]0, +∞],

V0 un voisinage de x0, N0 un voisinage de p0, et σ > 0. Supposons que :

(i) f est ´epi semi-continue sup´erieurement en (x0, p0).

(ii) Pour tout p ∈ N0, fp := f (·, p) est semi-continue inf´erieurement sur V0.

(iii) inf(x,p)∈[0<f <b]∩(V0×N0)|∇fp|(x) ≥ σ.

Alors, pour tout ε > 0 suffisamment petit, il existe un voisinage N de p0

tel que

[fp≤0] ∩ Bε(x0) 6= ∅ pour tout p ∈ N (1.15)

et

f (x, p) − c ≥ σ d(x, [fp≤c] ∩ B2ε(x0)) (1.16)

pour tout 0 ≤ c < b, pour tout p ∈ N , et pour tout x ∈ [c<fp<b] ∩ Bε(x0).

Preuve. Soit ε > 0 tel que σε ≤ b et B8ε(x0) ⊂ V0. De la propri´et´e (i), on

peut trouver un voisinage N ⊂ N0 de p0 tel que

sup

p∈N

inf

x∈Bε(x0)

(29)

et que, Bε(x0) ∩ [fp<σε] 6= ∅ pour tout p ∈ N . En posant U := Bε(x0), on a

aussi, selon (ii) et (iii), pour tout p ∈ N , fp est semi-continue inf´erieurement

sur Bε(U ) et

inf

x∈Bε(U )∩[0<fp<σε]

|∇fp|(x) ≥ σ .

On obtient ainsi du Th´eor`eme 1.5.2 que [fp≤0] ∩ Bε(U ) 6= ∅ pour tout p ∈ N ,

ce qui donne (1.15). Maintenant, soit p ∈ N et soit xp ∈ [fp≤0] ∩ B2ε(x0)

fix´e. On a

inf

[0<fp<b]∩B6ε(xp)

|∇fp| ≥ σ ,

et en appliquant le Th´eor`eme 1.5.3 avec f := fp, a := 0, U := {xp}, et

ρ := 3ε, on obtient que

fp(x) − c ≥ σ d(x, [fp≤c])

pour tout 0 ≤ c < b, tout p ∈ N , et tout x ∈ B3ε(xp) ∩ [c<fp<b]. Ce qui

donne (1.16) comme Bε(x0) ⊂ B3ε(xp), et comme

d(x, [fp≤c]) = d(x, [fp≤c] ∩ B4ε(x0))

pour tout x ∈ Bε(x0) et tout 0 ≤ c < b, car, pour de tels x et c, xp ∈ [fp≤c]

et d(x, xp) < 3ε ≤ d(x, X \ B4ε(x0)).

Remarque 1.6.3 Les hypothèses du Théorème 1.6.1 sont optimales. A sa-voir que, (1.16) et la Proposition 1.5.1 impliquent l’hypothèse (iii) du théorème (avec V0 := Bε(x0) et N0 := N ), pendant que (1.15) mène clairement à

x0 ∈ Lim inf_p→p 0

[fp≤0] ,

ce qui implique l’hypothèse (i), c’est à dire que, f est épi semi-continue su-périeurement en (x0, p0).

(30)

Chapitre 2

(31)

2.1 Introduction

Dans ce chapitre, on étudie les conditions assurant (relativement aux pa-ramètres) la régularité métrique uniforme d’une famille paramétrée de mul-tiapplications. Dans ce cadre, on a besoin, par équivalence, des théorèmes de multiapplications implicites que l’on peut trouver dans [73, 87, 13, 8, 86] en utilisant les outils développés dans [13] et [14] basés sur la notion de pente forte introduite dans [39] et qu’on se propose, dans une première partie, d’étendre et de simplifier.

2.2 D´

efinition de la R´

egularit´

e M´

etrique

On considère une multiapplication F ⊂ X × Y entre deux ensembles X et Y identifiée à son graphe ; pour

x ∈ X et y ∈ Y on pose :

F (x) := {y ∈ Y : (x, y) ∈ F } , F−1(y) := {x ∈ X : (x, y) ∈ F } . La définition suivante joue un rôle très important dans la suite.

Définition 2.2.1 On dit que la multiapplication F ⊂ X×Y est métriquement régulière au voisinage de (x0, y0) ∈ F s’il existe τ > 0 et un voisinage W de

(x0, y0) tel que

τ d(x, F−1(y)) ≤ d(y, F (x)) pour tout (x, y) ∈ W, (2.1) et on dit que F est τ -métriquement régulière au voisinage de (x0, y0) si l’on

peut trouver un voisinage W de (x0, y0) tel que (2.1) soit satisfaite.

Remarque 2.2.1 Il est facile de voir que F est métriquement régulière au voisinage de (x0, y0) ∈ F s’il existe , τ > 0 et un voisinage W de (x0, y0)

tels que

τ d(x, F−1(y)) ≤ d(y, F (x)) pour tout (x, y) ∈ W tel que d(y, F (x)) < . En effet, si cette propri´et´e est satisfaite, alors pour r = min(η, (1 + τ )−1) et (x, y) ∈ Br(x0) × Br(y0) avec d(y, F (x)) ≥ , comme d(y, F (x0)) ≤ d(y, y0) <

on a

τ d(x, F−1(y)) ≤ τ d(x, x0) + τ d(x0, F−1(y)) ≤ τ d(x, x0) + d(y, y0) ≤ ,

(32)

2.3 Pseudo-lipschitzianit´

e

D´efinition 2.3.1 Soit X, Y des espaces m´etriques, soit une multiapplication F ⊂ X × Y et soit (x0, y0) ∈ F . On dit que F est c-pseudo-lipschitzienne au

voisinage de (x0, y0) quand il existe des voisinages U de x0 et V de y0 tels

que

e(F (x1) ∩ V, F (x2)) ≤ c d(x1, x2) pour tout x1, x2 ∈ U ; (2.2)

et on note

pdil F(x0,y0)

la plus petite des constantes positives c tel que (2.2) soit satisfaite pour un certain c ≥ 0 et pour certains voisinages U de x0 et V de y0.

On dit alors que F est pseudo-lipschitzienne au voisinage (x0, y0) si

pdil F(x0,y0) < +∞.

Ainsi F est pseudo-lipschitzienne au voisinage de (x0, y0) s’il existe c ≥ 0 tel

que F est c-pseudo-lipschitzienne au voisinage de (x0, y0). Observons qu’en

supposant que pdil F(x0,y0)< c, alors on peut trouver des voisinages U de x0

et V de y0 tels que

e(F (x1) ∩ V, F (x2)) ≤ c d(x1, x2) pour tout x1, x2 ∈ U.

Dans le cas o`u F : X → Y est une application, on ´ecrit simplement dil Fx0

et on a

dil Fx0 = lim sup

_(x 1,x2)→(x0,x0) x16=x2 d(F (x1), F (x2)) d(x1, x2) ,

ainsi dil Fx0 < +∞ si et seulement si on peut trouver un voisinage U de x0

et c ≥ 0 tels que d(F (x1), F (x2)) ≤ c d(x1, x2) pour tout x1, x2 ∈ U .

Quand on travaille avec l’approximation des multiapplications, le lemme sui-vant (qui est [86, Lemma 16]) est int´eressant.

Lemme 2.3.1 Soit X, Y des espaces m´etriques, soit F ⊂ X × Y une mul-tifonction, soit (x0, y0) ∈ F , et soit A une application d´efinie et continue au

voisinage de x0 à valeurs dans Y . Soit κ la borne inférieure des réels positifs

c tel qu’on peut trouver des voisinages U de x0 et V de y0 tels que

(33)

Alors on a

pdil (F − A)(x0,y0−A(x0))= κ.

Preuve. Soit c > κ, ainsi on peut trouver η, ε > 0 tel que

e(F (x1) ∩ B2(y0), A(x1) − A(x2) + F (x2)) ≤ cd(x1, x2),

pour tout x1, x2 ∈ Bη(x0). On peut supposer que A(Bη(x0)) ⊂ Bε(A(x0)),

donc

(F (x1) − A(x1)) ∩ Bε(y0 − A(x0)) ⊂ F (x1) ∩ B2ε(y0) − A(x1),

et alors

e((F (x1) − A(x1)) ∩ Bε(y0 − A(x0)), F (x2) − A(x2)) ≤ cd(x1, c2),

ainsi pdil F(x0,y0−A(x0)) ≤ c ce qui donne pdil F(x0,y0−A(x0)) ≤ κ en faisant

d´ecroitre c vers κ.

R´eciproquement, si c > pdil F(x0,y0−A(x0)), alors il existe η, ε > 0 tel que

e((F (x1) − A(x1)) ∩ B2ε(y0− A(x0)), F (x2) − A(x2)) ≤ cd(x1, x2)

pour tout x1, x2 ∈ Bη(x0). De nouveau, on peut supposer que A(Bη(x0)) ⊂

B2ε(A(x0)), pour que

(F (x1) ∩ Bε(y0) − A(x1) ⊂ (F (x1) − A(x1)) ∩ B2ε(y0− A(x0)),

et alors

e(F (x1) ∩ Bε(y0) − A(x1), F (x2) − A(x2)) ≤ cd(x1, x2),

et alors, comme κ ≤ c, on a, en faisant d´ecroitre c vers pdil F(x0,y0−A(x0),

κ ≤ pdil F(x0,y0−A(x0)) .

La proposition suivante est bien connue.

Proposition 2.3.1 Soit une multiapplication F ⊂ X × Y et soit (x0, y0) ∈

F . Alors F−1 est τ−1-pseudo-lipschitzienne au voisinage de (y0, x0) si et

(34)

Preuve. Supposons que F−1 est τ−1-pseudo-lipschitzienne au voisinage de (y0, x0) et soit ε > 0 tel que e(F−1(y1) ∩ Bε(x0), F (y2)) ≤ τ−1d(y1, y2) pour

tout y1, y2 ∈ B2ε(y0). Alors, ´etant donn´es x ∈ Bε(x0) et y ∈ Bε(y0) tels que

d(y, F (x)) < ε, et ´etant donn´e δ ∈ (d(y, F (x)), ε), on peut trouver z ∈ F (x) tel que d(z, y) < δ, pour que z ∈ B2ε(y0) et x ∈ F−1(z) ∩ Bε(x0), ainsi

d(x, F−1(y)) ≤ τ−1d(y, z) ≤ τ−1δ et alors τ d(x, F−1(y)) ≤ d(y, F (x)) en laissant tendre δ vers d(y, F (x)), ainsi, en tenant compte de la Remarque 2.2.1, F est τ -métriquement régulière au voisinage de (x0, y0).

Réciproquement, supposons que F est τ -métriquement régulière au voi-sinage de (x0, y0) et soit ε > 0 tel que τ d(x, F−1(y)) ≤ d(y, F (x)) pour tout

(x, y) ∈ Bε(x0)×Bε(y0). ´Etant donn´es y1, y2 ∈ Bε(y0), x1 ∈ F−1(y1)∩Bε(x0),

on a alors

τ d(x1, F−1(y2)) ≤ d(y2, F (x1)) ≤ d(y2, y1),

ce qui m`ene `a e(F−1(y1) ∩ Bε(x0), F (y2)) ≤ τ−1d(y1, y2) et donc F−1 est

τ−1-pseudo-lipschitzienne au voisinage de (y0, x0).

Remarque 2.3.1 (a) Observons que si F est pseudo-lipschitzienne en (x0, y0)

et satisfait (2.2), alors, pour tout ε > 0 assez petit, on peut trouver un voisi-nage W de x0 tel que F (x) ∩ Bε(y0) 6= ∅ pour tout x ∈ W et tel que

e(F (x1) ∩ Bε(y0), F (x2)) ≤ c d(x1, x2) pour tout x1, x2 ∈ W. (2.3)

En effet, en choisissant ε > 0 tel que Bε(y0) ⊂ V et en posant W = U ∩

Bc−1_ε(x₀), on a, pour tout x ∈ W , d(y₀, F (x)) ≤ cd(x₀, x) < ε, ainsi F (x) ∩

Bε(y0) 6= ∅ ce qui donne (2.3).

(b) De plus, si F satisfait (2.2) et si F (x) ∩ V est une application uni-voque pour tout x ∈ U , alors la fonction x 7→ f (x) où {f (x)} = F (x) ∩ V est c-lipschitzienne au voisinage de x0. En effet, étant donné ε > 0 tel que

B3ε(y0) ⊂ V , ´etant donn´es x1, x2 ∈ W = U ∩ Bc−1_ε(x₀), et en prenant

y1 ∈ F (x1) ∩ Bε(y0) = F (x1) ∩ V , on a

d(y1, F (x2)) ≤ d(y1, y0) + d(y0, F (x2)) < 2ε

ainsi d(y1, F (x2)) = d(y1, F (x2) ∩ V ) = d(y1, f (x2)), alors

(35)

2.4 Espaces m´

etriques ressemblant `

a des

es-paces norm´

es

Pour établir des conditions nécessaires de Ioffé, nous aurons besoin de la définition suivante due à Ursescu dans [100].

Définition 2.4.1 On dit qu’un espace métrique ressemble à un espace normé quand

Br(Bs(x)) = Br+s(x) pour tout x ∈ X et pour tous r, s > 0. (2.4)

Il existe de nombreuses formulations équivalentes à la propriété (2.4). On cite, dans ce qui suit, quelques unes :

Proposition 2.4.1 Soit (X, d) un espace métrique, alors, les propriétés sui-vantes sont équivalentes :

(a) X ressemble `a un espace norm´e

(b) pour tous r ≥ 0 et x, z ∈ X avec d(z, x) ≥ r, d(z, Br(x)) = d(z, x) − r;

(c) pour tous x, z ∈ X avec x 6= z, pour tout δ ∈ (0, 1) et pour tout ε > 0, on peut trouver y ∈ X tel que

     d(x, y) < δd(x, z) d(y, z) < (1 − δ)d(x, z) + ε ; (d) pour tous r ≥ 0 et x, z ∈ X avec d(z, x) ≥ r,

d(z, Br[x]) = d(z, x) − r;

(e) pour tous x ∈ X et pour tout r, s ≥ 0, Br[Bs[x]] = Br+s[x];

(f ) pour tous x, z ∈ X, pour tout δ ∈ [0, 1] et pour tout ε > 0, on peut trouver y ∈ X tels que

     d(x, y) ≤ δd(x, z) d(y, z) ≤ (1 − δ)d(x, z) + ε ;

(36)

(g) pour tous x ∈ X et r, s ≥ 0,

h(Br[x], Bs[x]) ≤ |r − s|;

(h) pour tous x, z ∈ X et r, s ≥ 0 tels que r + s ≤ d(x, z), on a d(Bs[z], Br[x]) ≤ d(x, z) − r − s,

o`u d(C, D) = infx∈Cd(x, D).

Preuve. (a) ⇐⇒ (b). Supposons (a) vraie et consid´erons r > 0, x, z ∈ X tels que d(z, x) ≥ r, on obtient z ∈ Br+s(x) pour tout s > d(z, x)−r, ce qui m`ene,

en laissant d´ecroitre s vers d(z, x) − r, `a d(z, Br(x)) < s ainsi d(z, Br(x)) ≤

d(z, x) − r , comme on a toujours, par l’in´egalit´e triangulaire, d(z, Br(x)) ≥

d(z, x) − r, on obtient d(z, Br(x)) = d(z, x) − r. R´eciproquement, si (b) est

vraie et si z ∈ Br+s(x) \ Bs(x), on a d(z, Bs(x)) = d(z, x) − s < r + s − s,

donc z ∈ Br(Bs(x)).

(b) ⇐⇒ (c). Imm´ediat en posant r = δd(x, z).

(b) =⇒ (e). En effet, on a d(z, Br[x]) ≤ d(z, Br(x)) ≤ d(z, x) − r pour tout

r > 0 et pour tout x, z ∈ X avec d(z, x) ≥ r. (d) ⇐⇒ (f). Imm´ediat en posant r = δd(x, z).

(d) =⇒ (e). Si z ∈ Br+s[x] \ Bs[x], on a d(z, Bs[x]) ≤ d(z, x) − z ≤ r, ainsi

z ∈ Br[Bs[x]] et Br+s[x] ⊂ Br[Bs[x]]. L’inclusion inverse est ´evidente.

(e) =⇒ (g). Pour tout r ≤ s, et pour tout z ∈ Bs[x]\Br[x], on a d(z, Br[x]) ≤

d(z, x) − r ≤ s − r .Comme e(Br[x], Bs[x]) = 0 on obtient e(Bs[x], Br[x]) ≤

|r − s|.

(g) =⇒ (d). ´Etant donn´es r ≥ 0 et x, z ∈ X avec d(x, z) ≥ r, on a z ∈ Bs[x]

o`u s = d(x, z), tel que d(z, Br[x]) ≤ e(Bs[x], Br[x]) ≤ |s − r| = d(x, z) − r.

(d) =⇒ (h). ´Etant donn´es x, z ∈ X, r, s > 0 tels que r + s ≤ d(x, z), on a d(x, Bs[z]) ≤ d(x, z) − s ; ainsi pour tout ε > 0, on peut trouver y ∈ Bs[z] tel

que d(x, y) ≤ d(x, z) − s + ε ce qui donne

gap(Bs[z], Br[x]) ≤ d(y, Br[x]) ≤ d(x, y) − r ≤ d(x, z) − r − s + ε,

ainsi, le r´esultat est obtenu en laissant tendre ε vers 0. (h) =⇒ (b). Imm´ediat en prenant s = 0.

(37)

On note aussi que toutes ces propriétés équivalentes impliquent

|∇dx|(z) = 1 pour tout x ∈ X et z 6= x, (2.5)

o`u dx(z) = d(x, z). En effet, en posant f (z) = dx(z) = d(x, z), on a Br[x] =

[f ≤r], ainsi (2.5) est une conséquence de (d) par la Proposition 1.5.1 et le fait qu’on a toujours |∇dx|(z) ≤ 1 inégalité due au fait que dx est lipschitzienne

de constante 1. En fait, on a en plus, le résultat général suivant :

Proposition 2.4.2 Soit (X, d) un espace métrique ressemblant à un espace normé. Alors, pour tout sous-ensemble non vide A ⊂ X et pour tout x /∈ cl A, on a |∇dA|(x) = 1.

Preuve. Soit δ ∈ (0, 1) et soit z ∈ A tels que d(x, z) ≤ dA(x) + δ2. De par la

Proposition 2.4.1,(f), on peut trouver xδ ∈ X tel que d(x, xδ) ≤ δd(x, z) et

d(xδ, z) ≤ (1−δ)d(x, z)+δ2. Pour δ assez petit, comme d(x, xδ) ≥ δ(d(x, z)−

δ) on a xδ 6= x, et dA(x) − dA(xδ) d(xδ, x) ≥ dA(x) + δ 2_{− d} A(xδ) δd(z, x) − δ2 δd(x, z) ≥ d(x, z) − (1 − δ)d(x, z) δd(x, z) − 2δ d(x, z)) ≥ 1 − 2δ d(x, z) ≥ 1 − 2δ dA(x) , ce qui donne |∇dA|(x) ≥ lim sup δ↓0 dA(x) − dA(xδ) d(xδ, x) ≥ 1

ainsi, comme dA est lipschitzienne de constante 1, |∇dA|(x) = 1.

Remarque 2.4.1 Si (X, d) ressemble `a un espace norm´e, alors, pour tout sous-ensemble non vide A ⊂ X et pour tout r > 0, on a

Br[A] = cl (Br(A)). (2.6)

En effet, si x ∈ Br[A] \ cl (A), alors, comme |∇dA|(x) 6= 0, la fonction dA

n’a pas de minimum local en x. Ainsi, il existe une suite (xn)n∈_N convergeant

(38)

Remarque 2.4.2 Les propriétés suivantes sont aussi des caractérisations du fait que (X, d) ressemble à un espace normé :

(a) pour tout sous-ensemble non vide A ⊂ X, pour tout r ≥ 0, et pour tout z ∈ X tel que dA(z) ≥ r, on a

d(z, Br[A]) = dA(z) − r;

(b) pour tout sous-ensemble non vide A ⊂ X et pour tout r, s ≥ 0, Br[Bs[A]] = Br+s[A] = Bs[Br[A]];

(c) pour tout sous-ensemble non vide A ⊂ X, pour tout r > 0, et pour tout z ∈ X tel que dA(z) ≥ r, on a

d(z, Br(A)) = dA(z) − r;

(d) pour tout sous-ensemble non vide A ⊂ X et pour tout r, s > 0, Br(Bs(A)) = Br+s(A) = Bs(Br(A)).

En effet, supposons que (X, d) ressemble `a un espace norm´e et soit r ≥ 0 et z ∈ X tel que dA(z) ≥ r. Pour tout x ∈ A, on a d(z, Br[A]) ≤

d(z, Br[x]) ≤ d(z, x) − r ce qui donne, en prenant la borne inf´erieure sur

x ∈ A, d(z, Br[A]) ≤ dA(z) − r et l’égalité. La réciproque est évidente en

posant A = {x}. Il est clair que (b) est ´equivalente `a (a). En dernier les preuves de (c) et (d) sont analogues.

On a aussi la :

Proposition 2.4.3 Un espace métrique (Z, d) ressemble à un espace normé si et seulement si, pour tout x, z ∈ Z, r ∈ [0, d(x, z)] et ε > 0, on peut trouver y ∈ Z tel que

     d(x, y) ≤ r d(y, z) ≤ d(x, z) − r + ε .

(39)

Preuve.On suppose que (Z, d) ressemble `a un espace norm´e et soit x, z ∈ Z, r ∈ [0, d(x, z)] et ε > 0. On a alors d(z, Br[x]) ≤ d(x, z) − r, ainsi on peut

trouver y ∈ Br[x] tel que d(y, z) ≤ d(x, z) − r + ε. R´eciproquement, pour tout

x, z ∈ Z, ε > 0 et 0 ≤ r ≤ d(x, z), on peut trouver y ∈ Z tel que d(x, y) ≤ r et d(y, z) ≤ d(x, z) − r + ε, ce qui donne d(z, Br[x]) ≤ d(x, z) − r en faisant

tendre ε vers 0.

Lemme 2.4.1 Soient (Z1, d1), (Z2, d2) des espaces m´etriques ressemblants `a

des espaces norm´es. Alors Z1 × Z2 muni de la distance

d((x1, x2), (z1, z2)) = d1(x1, z1) + d2(x2, z2)

ressemble aussi `a un espace norm´e

Preuve. soit (x1, x2), (z1, z2) ∈ Z1 × Z2, soit r ∈ [0, d((x1, x2), (z1, z2))] et

soit ε > 0. Selon la Proposition 2.4.3, ´etant donn´es r1 ∈ [0, d1(x1, x2)] et

r2 ∈ [0, d2(z1, z2)] tel que r1+ r2 = r, on peut trouver

y1 ∈ Z1 et y2 ∈ Z2 tels que      d1(x1, y1) ≤ r1 d1(y1, z1) ≤ d1(x1, z1) − r1+ ε , et      d2(x2, y2) ≤ r2 d2(y2, z2) ≤ d2(x2, z2) − r2+ ε . ainsi on a      d((x1, x2), (y1, y2))) ≤ r d((y1, y2), (z1, z2))) ≤ d((x1, x2), (z1, z2)) − r + 2ε ,

ce qui m`ene `a la conclusion du lemme en appliquant encore la Proposition 2.4.3.

(40)

2.5 Premi`

ere fonction auxiliaire

Caractérisation de la régularité métrique

On considère maintenant deux espaces métriques X et Y (on utilisera la même notation d pour leurs distances) et pour δ > 0, l’espace produit X × Y est muni de la distance :

dδ((x, y), (x0, y0)) := max{d(x, x0), δd(y0, y0)} .

En cons´_{equence, si f : X × Y → R ∪ {+∞} est une fonction, on notera} |∇δf | la pente forte de f relativement `a la distance dδ . Pour z ∈ Z ⊂ Y et

F ⊂ X × Y, ond´_{ef initlaf onctionf :(X×Y ) × Z → R ∪ {+∞} par :} f ((x, y), z) := d(z, y) + ιF(x, y) =    d(z, y) si (x, y) ∈ F +∞ sinon ,

et on pose fz = f ((·, ·), z). La fonction fz ´etant δ−1-lipschitzienne sur son

domaine relativement `a la distance dδ, il s’ensuit qu’on a

|∇δfz|(x, y) ≤ δ−1 pour tout (x, y) ∈ F.

Remarquons aussi que si pour un certain voisinage W de (x0, y0) ∈ F , F ∩ W

est ferm´e dans W , alors fz est semi-continue inf´erieurement sur W . De plus,

pour tout c ≥ 0, on a :

[fz≤c] =

[

y∈Bc[z]

(F−1(y) × {y}) (2.7) (o`u, bien sˆur, F−1(y) × {y} = ∅ si F−1(y) = ∅).

Le théorème suivant est une variante légère de [14, Theorem 5.3].

Théorème 2.5.1 Soient X, Y des espaces métriques, soit (x0, y0) ∈ F où

F ⊂ X × Y est une multifonction et soit Z 3 y0 un sous-ensemble de Y .

(a) Supposons que X et Y sont complets, que F est ferm´ee en (x0, y0) et

que, pour un certain τ > 0, δ ∈ (0, 1/τ ] et pour un certain voisinage W de (x0, y0) :

(41)

o`u fz(x, y) = d(z, y) + ιF(x, y). Alors, il existe ε > 0 tel que :

τ d(x, F−1(z)) ≤ d(z, F (x)) pour tout (x, z) ∈ Bε(x0) × (Bε(y0) ∩ Z) ,

(en particulier Bε(y0) ∩ Z ⊂ F (X)).

(b) R´eciproquement, supposons que y0 a un voisinage V0 ressemblant `a

un espace norm´e et que :

τ d(x, F−1(z)) ≤ d(z, F (x)) pour tout (x, z) ∈ Bε(x0) × Bε(y0) , (2.8)

pour un certain τ , ε > 0. Alors, il existe r > 0 tel que, pour tout δ ∈ (0, 1/τ ], |∇δfz|(x, y) ≥ τ pour tout (x, y, z) ∈ Br(x0) × Br(y0) × Br(y0) , y 6= z .

Preuve. (a) Soit W0un voisinage de (x0, y0) tel que F ∩W0 est ferm´e dans W0,

ainsi la fonction fz est semi-continue inf´erieurement sur W0 pour tout z ∈ Z.

Comme la fonction f ((x0, y0), ·) est continue en y0, on a alors, fy0(x0, y0) ≤ 0

et f est ´epi-semicontinue sup´erieurement en ((x0, y0), y0) . En appliquant le

Th´eor`eme 1.6.1, on peut trouver ε > 0 tel que

τ dδ((x, y), [fz≤0]) ≤ fz(x, y) (2.9)

pour tout z ∈ B2ε(y0) ∩ Z et (x, y) ∈ Bε(x0) × Bε(y0).

Maintenant soit x ∈ Bε(x0) et soit z ∈ Bε(y0) ∩ Z tels que d(z, F (x)) < ε.

Ainsi

d(z, F (x)) = d(z, F (x) ∩ B2ε(y0)).

Alors, pour y ∈ F (x) ∩ B2ε(y0), on obtient de (2.9) que

τ dδ((x, y), [fz≤0]) ≤ fz(x, y),

de l`a

τ d(x, F−1(z)) ≤ d(y, z),

et alors, τ d(x, F−1(z)) ≤ d(z, F (x)) pour tout (x, z) ∈ Bε(x0) × (Bε(y0) ∩ Z)

on a d(z, F (x)) < ε, ce qui donne (2.8) comme dans la Remarque 2.2.1. (b) On suppose que Bε(y0) ⊂ V0. Soit r = ε/5 et soient z ∈ Br(y0) fix´e.

c ≥ 0 donn´e et (x, y) ∈ F ∩ (Br(x0) × Br(y0)) ∩ [fz>c]. On a c < d(z, y) < 2r.

Alors, pour tout y0 ∈ Bc[z] ⊂ Bε(y0), on a :

(42)

(en particulier, F−1(y0) 6= ∅ pour chaque tel y0), ainsi, en utilisant le fait que τ δ ≤ 1 :

τ dδ((x, y), F−1(y0) × {y0}) ≤ d(y0, y),

et finalement, comme y0 est arbitraire dans Bc[z] et Bc[z] ⊂ V0 :

τ dδ((x, y), [fz≤c]) ≤ d(y, Bc[z]) = d(y, z) − c .

en posant U := Br(x0) × Br(y0), on a : inf c>0(x,y)∈U ∩[finf z>c] fz(x, y) − c dδ((x, y), [fz≤c]) ≥ τ ,

pour tout z ∈ Br(y0), et la conclusion suit `a partir de la Proposition 1.5.1

appliqu´ee `a fz avec a := 0 et b := +∞.

2.5.1 Un r´

esultat de perturbation

Théorème 2.5.2 Soit X un espace métrique complet, soit Y un espace de Banach, soit F ⊂ X × Y une multiapplication qui est localement fermée en (x0, y0) ∈ F , et soit A une application définie au voisinage de x0 à

va-leurs dans Y . Supposons que F est τ -métriquement régulière au voisinage de (x0, y0) et que dil Ax0 < τ . Alors (F + A)

−1 _{est pseudo-lipschitzienne au} voisinage de (y0+ A(x0), x0) et pdil (F + A)−1_(y 0+A(x0),x0) ≤ (τ − dil Ax0) −1 . (2.10) Preuve. Soit c ∈ (dil Ax0, τ ) et, ´etant donn´e δ ∈ (0, τ

−1_{], on munit X × Y de}

la distance

dδ((x1, y1), (x2, y2)) = max(d(x1, x2), δky1− y2k).

On d´_{efinit une fonction f : (X × Y ) × Y → R ∪ {+∞} par} fz(x, y) = f ((x, y), z) = kz − A(x) − yk + ιF(x, y).

Comme F est τ - métriquement régulière au voisinage de (x0, y0), Le Théorème

2.5.1, (b) donne ε > 0 tel que, pour tout (x, y, v) ∈ Bε(x0) × Bε(y0) × Bε(y0)

avec (x, y) ∈ F et v 6= y, on peut trouver une suite ((xn, yn))n∈N ⊂ F qui converge vers (x, y) tel que (xn, yn) 6= (x, y) et

(43)

Consid´erons η ∈ (0, ε) tel que

kz − A(x) − y0k < ε pour tout (x, z) ∈ Bη(x0) × Bη(z0)

où z0 = y0 + A(x0). On conclut que, étant donné

(x, y, z) ∈ (Bη(x0) × Bη(y0) × Bη(z0)) ∩ [0<f < + ∞],

on peut trouver une suite ((xn, yn))n∈N ⊂ F qui converge vers (x, y) tel que kz − A(x) − yk − kz − A(x) − ynk ≥ (τ − n−1)dδ((x, xn), (y, yn)).

Pour n assez grand, on a

kz − A(x) − ynk ≥ kz − A(xn) − ynk − cd(x, xn) ≥ kz − A(xn) − ynk − cdδ((x, xn), (y, yn)) ce qui donne fz(x, y) − fz(xn, yn) ≥ (τ − c − n−1)dδ((x, xn), (y, yn)), et alors |∇δfz| ≥ τ − c pour tout (x, y, z) ∈ (Bη(x0) × Bη(y0) × Bη(z0)) ∩ [0<f < + ∞]

De plus, la fonction fz est semi-continue inf´erieurement sur un voisinage de

(x0, y0) et comme F est localement ferm´ee en (x0, y0), on a f ((x0, y0), z0) = 0

et la fonction f est ´epi-semicontinue sup´erieurement en ((x0, y0), z0) due au

fait que f ((x0, y0), ·) est continue en z0. Ainsi on peut appliquer le Th´eor`eme

1.6.1, pour qu’on puisse trouver α, β > 0 tel que (τ − c)d((x, y), [fz≤0]) ≤ fz(x, y),

pour tout (x, y, z) ∈ Bβ(x0) × Bα(y0) × B2β(z0), et on peut supposer que

kv − A(x) − y0k < α pour tout (x, v) ∈ Bβ(x0) × B2β(z0).

Maintenant, soit x ∈ Bα(x0) et z ∈ Bβ(z0) tel que d(z, (F + A)(x)) < β,

alors

(44)

´

Etant donn´e v ∈ (F + A)(x) ∩ B2β(z0), on a y = v − A(x) ∈ F (x) ∩ Bα(y0),

et

(τ − c)d((x, y), [fz≤0]) ≤ fz(x, y).

Comme [fz≤0] = {(u, z − A(u)) : u ∈ (F + A)−1(z)}, on a

(τ − c)d(x, (F + A)−1(z)) ≤ kz − y − A(x)k = kz − vk, Ce qui donne, en prenant l’infimum de v ∈ (F + A)(x) ∩ B2β(z0)),

(τ − c)d(x, (F + A)−1(z)) ≤ d(z, (F + A)(x))

pour tout (x, z) ∈ Bα(x0) × B2β(z0) tel que d(z, (F + A)(x)) < β ce qui

donne la conclusion du théorème en utilisant la Remarque 2.2.1 et en faisant décroitre c vers dil Ax0.

En cons´equence, on retrouve le r´esultat principal de [44].

Corollaire 2.5.1 Soit X un espace m´etrique complet, soit Y un espace de Banach, soit F ⊂ X ×Y une multiapplication localement ferm´ee en (x0, y0) ∈

F , et soit A une application d´efinie au voisinage de x0 `a valeurs dans Y .

Supposons que dil Ax0 = 0, et que F

−1 _{est pseudo-lipschitzienne au voisinage}

de (y0, x0). Alors

pdil (F + A)−1_(y

0+A(x0),x0) = pdil F −1

(y0,x0). (2.11)

Preuve. Soit τ−1 = pdil F−1(y0,x0). on déduit du Théorème 2.5.2 que pour

tout ε > 0, pdil (F + A)−1_(y 0+A(x0),x0)≤ (τ − ε) −1 ainsi pdil (F + A)−1_(y 0+A(x0),x0)≤ pdil F −1 (y0,x0),

et sachant que F = F + A − A on a alors (2.11).

Remarque 2.5.1 On remarque (voir [86, Lemma 16]) que pdil (F − A)(x0,y0−A(x0))

est aussi égal à la borne inférieure des c ≥ 0 tels qu’on puisse trouver des voisinages U de x0 et V de y0 tels que

(45)

2.5.2 Approximation de la multiapplication inverse

Le Théorème 2.5.2 mène à un résultat d’approximation de la multiappli-cation inverse par le lemme technique suivant.

Lemme 2.5.1 Soient X, Y des espaces de Banach, soient M, N ∈ Isom (Y, X),

soit Φ ⊂ X × Y une multiapplication, et soit Ψ ⊂ Y × X d´efinie par Ψ(y) = N ◦ Φ ◦ M.

Alors, pour tout (u0, v0) ∈ Φ, on a, en posant z0 = M−1(u0) et w0 = N (v0),

pdil Ψ(z0,w0) ≤ kN kkM kpdil Φ(u0,v0).

Preuve. On peut supposer que pdil Φ(u0,v0)< +∞. Soit c > pdil Φ(u0,v0), soit

ε, ρ > 0 donn´es tels que Φ(u) ∩ Bρ(v0) ⊂ Φ(x) + cku − xkB1[0] pour tout u,

x ∈ Bε(u0), et soit y, z ∈ Bη(z0) o`u η = kM k−1ε. On a

ΦM (y) ∩ Bρ(v0) ⊂ ΦM (z) + ckM kky − zkB1[0],

et alors, en posant r = kN−1k−1_ρ

N ΦM (y) ∩ Br(w0) ⊂ N (ΦM (y) ∩ Bρ(v0))

⊂ N ΦM (z) + ckN kkM kkz − ykB1[0]

on a la conclusion du lemme en faisant d´ecroitre c vers pdil Φ(v0,w0).

Théorème 2.5.3 Soit X, Y des espaces de Banach, soit F ⊂ X × Y une multiapplication qui est localement fermée en (x0, y0) ∈ F et soit A un

iso-morphisme lin´eaire de X vers Y . Supposons que κ := pdil (F − A)(x0,y0−A(x0))< τ,

o`u τ = kA−1k−1_{. Alors, en supposant que κ < τ}2_kAk−1_{, on a}

pdil (F−1− A−1)(y0,x0−A−1(x0))≤ κ(τ

2_{− κkAk)}−1