Mouvement brownien branchant avec s´election

Mouvement brownien branchant avec s ´election

PASCAL MAILLARD, directeur de th `ese: ZHANSHI LPMA – Universit ´e Pierre et Marie Curie (Paris VI)

CIRM (Luminy) – 17 avril 2012

pascal.maillard upmc fr

Mouvement brownien branchant (BBM)

D ´efinition

Une particule diffuse selon un mouvement brownien issu de x ∈R.

A taux 1, ellebranche,i.e.elle meurt et donne naissance `aL enfants (VarL<∞).

Chaque enfant r ´ep `ete ce processus ind ´ependamment des autres.

position x

time

Mouvement brownien branchant (BBM)

D ´efinition

Une particule diffuse selon un mouvement brownien issu de x ∈R.

A taux 1, ellebranche,i.e.elle meurt et donne naissance `aL enfants (VarL<∞).

Chaque enfant r ´ep `ete ce processus ind ´ependamment des autres.

position x

~exp(1) time

Mouvement brownien branchant (BBM)

D ´efinition

Une particule diffuse selon un mouvement brownien issu de x ∈R.

A taux 1, ellebranche,i.e.elle meurt et donne naissance `aL enfants (VarL<∞).

Chaque enfant r ´ep `ete ce processus ind ´ependamment des autres.

position x

~exp(1) time

. . .

Mouvement brownien branchant (BBM) (2)

Context

Un exemple d’un processus de branchement multitype

(espace des types: R)

Analogue discret : Marche al ´eatoire branchante Mod `ele d’une population asexu ´ee avec mutations. Type/position =fitness. Autres interpr ´etations : verre de spin (avec hi ´erarchie∞); polym `ere dirig ´e sur un arbre; prototype detravelling wave (apr `es)

position x

~exp(1) time

. . .

Mouvement brownien branchant (BBM) (2)

Context

Un exemple d’un processus de branchement multitype

(espace des types: R) Analogue discret : Marche al ´eatoire branchante

Mod `ele d’une population asexu ´ee avec mutations. Type/position =fitness. Autres interpr ´etations : verre de spin (avec hi ´erarchie∞); polym `ere dirig ´e sur un arbre; prototype detravelling wave (apr `es)

position x

~exp(1) time

. . .

Mouvement brownien branchant (BBM) (2)

Context

Un exemple d’un processus de branchement multitype

(espace des types: R) Analogue discret : Marche al ´eatoire branchante Mod `ele d’une population asexu ´ee avec mutations.

Type/position =fitness.

Autres interpr ´etations : verre de spin (avec hi ´erarchie∞); polym `ere dirig ´e sur un arbre; prototype detravelling wave (apr `es)

position x

~exp(1) time

. . .

Mouvement brownien branchant (BBM) (2)

Context

Un exemple d’un processus de branchement multitype

(espace des types: R) Analogue discret : Marche al ´eatoire branchante Mod `ele d’une population asexu ´ee avec mutations.

Type/position =fitness.

Autres interpr ´etations : verre de spin (avec hi ´erarchie∞);

polym `ere dirig ´e sur un arbre;

position x

~exp(1) time

. . .

Mouvement brownien branchant (BBM) (3)

Particule la plus `a droite On suppose que

m:=E[L]−1>0. SoitR_t la position de la particule la plus `a droite. Alors, quand t → ∞, presque surement,

R_t t →√

2m=:v₀.

Image par ´Eric Brunet

La s ´election entre en jeu...

D ´efinition (Wikip ´edia)

En biologie, la s ´election naturelle est l’un des m ´ecanismes qui causent l’ ´evolution des esp `eces. [...] la s ´election naturelle est le fait que les traits qui favorisent la survie et la reproduction voient leur fr ´equence s’accroˆıtre d’une g ´en ´eration `a l’autre.

Pour nous : Nous tuons les individus de la population de basse fitness, pour ´eviter que la population croisse trop vite (ressources limit ´ees, espace....)

Deux mod `eles fondamentaux

1 BBM avec absorption:f(t)une fonction continue. On tue un individu quand sa position/fitnessX(t)devient plus petite quef(t).

2 BBM avec taille de population constante (N-BBM): On fixe N ∈N. D `es que le nombre d’individus d ´epasseN, on tue les individus les plus `a gauche, afin de r ´eduire la taille de la population `aN.

La s ´election entre en jeu...

D ´efinition (Wikip ´edia)

En biologie, la s ´election naturelle est l’un des m ´ecanismes qui causent l’ ´evolution des esp `eces. [...] la s ´election naturelle est le fait que les traits qui favorisent la survie et la reproduction voient leur fr ´equence s’accroˆıtre d’une g ´en ´eration `a l’autre.

Pour nous : Nous tuons les individus de la population de basse fitness, pour ´eviter que la population croisse trop vite (ressources limit ´ees, espace....)

Deux mod `eles fondamentaux

1 BBM avec absorption:f(t)une fonction continue. On tue un individu quand sa position/fitnessX(t)devient plus petite quef(t).

2 BBM avec taille de population constante (N-BBM): On fixe N ∈N. D `es que le nombre d’individus d ´epasseN, on tue les individus les plus `a gauche, afin de r ´eduire la taille de la population `aN.

La s ´election entre en jeu...

D ´efinition (Wikip ´edia)

En biologie, la s ´election naturelle est l’un des m ´ecanismes qui causent l’ ´evolution des esp `eces. [...] la s ´election naturelle est le fait que les traits qui favorisent la survie et la reproduction voient leur fr ´equence s’accroˆıtre d’une g ´en ´eration `a l’autre.

Pour nous : Nous tuons les individus de la population de basse fitness, pour ´eviter que la population croisse trop vite (ressources limit ´ees, espace....)

Deux mod `eles fondamentaux

1 BBM avec absorption:f(t)une fonction continue. On tue un individu quand sa position/fitnessX(t)devient plus petite quef(t).

2 BBM avec taille de population constante (N-BBM): On fixe N ∈N. D `es que le nombre d’individus d ´epasseN, on tue les individus les plus `a gauche, afin de r ´eduire la taille de la population `aN.

La s ´election entre en jeu...

D ´efinition (Wikip ´edia)

En biologie, la s ´election naturelle est l’un des m ´ecanismes qui causent l’ ´evolution des esp `eces. [...] la s ´election naturelle est le fait que les traits qui favorisent la survie et la reproduction voient leur fr ´equence s’accroˆıtre d’une g ´en ´eration `a l’autre.

Pour nous : Nous tuons les individus de la population de basse fitness, pour ´eviter que la population croisse trop vite (ressources limit ´ees, espace....)

Deux mod `eles fondamentaux

1 BBM avec absorption:f(t)une fonction continue. On tue un individu quand sa position/fitnessX(t)devient plus petite quef(t).

2 BBM avec taille de population constante (N-BBM): On fixe N ∈N. D `es que le nombre d’individus d ´epasseN, on tue les individus les plus `a gauche, afin de r ´eduire la taille de la population `aN.

Branching Brownian motion with absorption

position 0

time

. . . -x

y = -x + ct

Normalement on prendf(t) =−x+ct (barri `ere lin ´eaire). A ´et ´e ´etudi ´e en d ´etail, entre autre par

Kesten(78), Neveu(87),

Biggins–Kyprianou(04), Kyprianou(04), Harris–Harris–Kyprianou(06),

Gantert–Hu–Shi(11),

2×Berestycki–Schweinsberg(10,10), Addario-Berry–Broutin(10), A¨ıd ´ekon(10), M.(10), A¨ıd ´ekon–Hu–Zindy(11)... et dans la litt ´erature physique...

BBM avec taille de population constante (N-BBM)

Image par ´Eric Brunet

Beaucoup plus dur que BBM avec absorption:

forte interaction entre les particules

pas de description exacte par des ´equations diff ´erentielles

A pr ´esent seulement deux ´etudes rigoureuses : B ´erard–Gou ´er ´e(10), Durrett–Remenik(09)

MAIS : Heuristique d ´etaill ´ee gr ˆace aux travaux de physiciens :

Brunet–Derrida(97,99,01,04), Brunet–Derrida–Mueller– Munier(06,06,07)

BBM avec taille de population constante (N-BBM)

Image par ´Eric Brunet

Beaucoup plus dur que BBM avec absorption:

forte interaction entre les particules

pas de description exacte par des ´equations diff ´erentielles A pr ´esent seulement deux ´etudes rigoureuses : B ´erard–Gou ´er ´e(10), Durrett–Remenik(09)

MAIS : Heuristique d ´etaill ´ee gr ˆace aux travaux de physiciens :

Brunet–Derrida(97,99,01,04), Brunet–Derrida–Mueller– Munier(06,06,07)

BBM avec taille de population constante (N-BBM)

Image par ´Eric Brunet

Beaucoup plus dur que BBM avec absorption:

forte interaction entre les particules

pas de description exacte par des ´equations diff ´erentielles A pr ´esent seulement deux ´etudes rigoureuses : B ´erard–Gou ´er ´e(10), Durrett–Remenik(09)

MAIS : Heuristique d ´etaill ´ee gr ˆace aux travaux de physiciens :

Brunet–Derrida(97,99,01,04), Brunet–Derrida–Mueller–

Munier(06,06,07)

Heuristique du N-BBM (BDMM 06)

La plupart du temps, le nuage de particule se d ´eplace `a vitesse constantev_N^det=v₀q

1− ^π2

log²N, ayant un profil “stationnaire”.

Apr `es un temps d’ordre log³N, une particule “s’ ´evade” vers la droite

Cette particule g ´en `ere un grand nombre de descendants (d’ordre N), ce qui entraˆıne un saut (d’ordre 1) du syst `eme vers la droite. Le syst `eme retrouve sa forme stationnaire au bout d’un temps d’ordre log<sup>2</sup>N, puis r ´ep `ete ce processus.

En total, la vitesse du syst `eme estv<sub>N</sub>+O(1), o `u

v_N =v₀ s

1− π²

(logN+3 log logN)² =v_N^det+v₀3π²log logN

log³N +o(1), avec des fluctuations d’ordre 1/log³N.

Heuristique du N-BBM (BDMM 06)

La plupart du temps, le nuage de particule se d ´eplace `a vitesse constantev_N^det=v₀q

1− ^π2

log²N, ayant un profil “stationnaire”.

Apr `es un temps d’ordre log³N, une particule “s’ ´evade” vers la droite

Cette particule g ´en `ere un grand nombre de descendants (d’ordre N), ce qui entraˆıne un saut (d’ordre 1) du syst `eme vers la droite. Le syst `eme retrouve sa forme stationnaire au bout d’un temps d’ordre log<sup>2</sup>N, puis r ´ep `ete ce processus.

En total, la vitesse du syst `eme estv<sub>N</sub>+O(1), o `u

v_N =v₀ s

1− π²

(logN+3 log logN)² =v_N^det+v₀3π²log logN

log³N +o(1), avec des fluctuations d’ordre 1/log³N.

Heuristique du N-BBM (BDMM 06)

La plupart du temps, le nuage de particule se d ´eplace `a vitesse constantev_N^det=v₀q

1− ^π2

log²N, ayant un profil “stationnaire”.

Apr `es un temps d’ordre log³N, une particule “s’ ´evade” vers la droite

Cette particule g ´en `ere un grand nombre de descendants (d’ordre N), ce qui entraˆıne un saut (d’ordre 1) du syst `eme vers la droite.

Le syst `eme retrouve sa forme stationnaire au bout d’un temps d’ordre log<sup>2</sup>N, puis r ´ep `ete ce processus.

En total, la vitesse du syst `eme estv<sub>N</sub>+O(1), o `u

v_N =v₀ s

1− π²

(logN+3 log logN)² =v_N^det+v₀3π²log logN

log³N +o(1), avec des fluctuations d’ordre 1/log³N.

Heuristique du N-BBM (BDMM 06)

La plupart du temps, le nuage de particule se d ´eplace `a vitesse constantev_N^det=v₀q

1− ^π2

log²N, ayant un profil “stationnaire”.

Apr `es un temps d’ordre log³N, une particule “s’ ´evade” vers la droite

Cette particule g ´en `ere un grand nombre de descendants (d’ordre N), ce qui entraˆıne un saut (d’ordre 1) du syst `eme vers la droite.

Le syst `eme retrouve sa forme stationnaire au bout d’un temps d’ordre log<sup>2</sup>N, puis r ´ep `ete ce processus.

En total, la vitesse du syst `eme estv<sub>N</sub>+O(1), o `u

v_N =v₀ s

1− π²

(logN+3 log logN)² =v_N^det+v₀3π²log logN

log³N +o(1), avec des fluctuations d’ordre 1/log³N.

Heuristique du N-BBM (BDMM 06)

La plupart du temps, le nuage de particule se d ´eplace `a vitesse constantev_N^det=v₀q

1− ^π2

log²N, ayant un profil “stationnaire”.

Apr `es un temps d’ordrelog³N, une particule “s’ ´evade” vers la droite

Cette particule g ´en `ere un grand nombre de descendants (d’ordre N), ce qui entraˆıne un saut (d’ordre 1) du syst `eme vers la droite.

Le syst `eme retrouve sa forme stationnaire au bout d’un temps d’ordre log<sup>2</sup>N, puis r ´ep `ete ce processus.

En total, la vitesse du syst `eme estv<sub>N</sub>+O(1), o `u

v_N =v₀ s

1− π²

(logN+3 log logN)² =v_N^det+v₀3π²log logN

log³N +o(1), avec des fluctuations d’ordre 1/log³N.

Heuristique du N-BBM (BDMM 06)

La plupart du temps, le nuage de particule se d ´eplace `a vitesse constantev_N^det=v₀q

1− ^π2

log²N, ayant un profil “stationnaire”.

Apr `es un temps d’ordrelog³N, une particule “s’ ´evade” vers la droite

Cette particule g ´en `ere un grand nombre de descendants (d’ordre N), ce qui entraˆıne un saut (d’ordre 1) du syst `eme vers la droite.

Le syst `eme retrouve sa forme stationnaire au bout d’un temps d’ordrelog<sup>2</sup>N, puis r ´ep `ete ce processus.

En total, la vitesse du syst `eme estv<sub>N</sub>+O(1), o `u

v_N =v₀ s

1− π²

(logN+3 log logN)² =v_N^det+v₀3π²log logN

log³N +o(1), avec des fluctuations d’ordre 1/log³N.

Heuristique du N-BBM (BDMM 06)

La plupart du temps, le nuage de particule se d ´eplace `a vitesse constantev_N^det=v₀q

1− ^π2

log²N, ayant un profil “stationnaire”.

Apr `es un temps d’ordrelog³N, une particule “s’ ´evade” vers la droite

Cette particule g ´en `ere un grand nombre de descendants (d’ordre N), ce qui entraˆıne un saut (d’ordre 1) du syst `eme vers la droite.

Le syst `eme retrouve sa forme stationnaire au bout d’un temps d’ordrelog<sup>2</sup>N, puis r ´ep `ete ce processus.

En total, la vitesse du syst `eme estv<sub>N</sub>+O(1), o `u

v_N =v₀ s

1− π²

(logN+3 log logN)² =v_N^det+v₀3π²log logN

log³N +o(1),

R ´esultat principal

L_N(t): position de la particule la plus `a gauche (barycentre, m ´edian...) au tempst.

Theorem (M. (en pr ´eparation))

On suppose qu’au temps0les N particules se trouvent en “phase stationnaire”. Alors,

L_N(tlog³N)−v_Ntlog³N

t≥0 fidis

=⇒(Lt)t≥0.

o `u(Lt)<sub>t</sub>≥0est un processus de L ´evy avec une certaine d ´erive c ∈R, sans composant brownien et de mesure de L ´evyν, o `u

ν([x,∞)) =v₀²π² 1

e^v0x −1 and suppν = (0,∞).

R ´esultat principal

L_N(t): position de la particule la plus `a gauche (barycentre, m ´edian...) au tempst.

Theorem (M. (en pr ´eparation))

On suppose qu’au temps0les N particules se trouvent en “phase stationnaire”. Alors,

L_N(tlog³N)−v_Ntlog³N

t≥0 fidis

=⇒(Lt)t≥0.

o `u(Lt)t≥0est un processus de L ´evy avec une certaine d ´erive c ∈R, sans composant brownien et de mesure de L ´evyν, o `u

ν([x,∞)) =v₀²π² 1

e^v0x −1 and suppν = (0,∞).

Simulation – position (recentr ´ee) du barycentre

10¹⁰particles

Simulation – position (recentr ´ee) du barycentre (2)

Id ´ee de la preuve

Approcher leN-BBM par le BBM avec une barri `ere absorbante bien choisie ; on note sa positionX_t.

1 Tant qu’aucune particule ne s’ ´evade,X_t = (v_N−A)t, pourAgrand

−→r ´egime ´etudi ´e par BBS (10)

2 Quant une particule s’ ´evade, on pose

X_t = (v_N−A)t+f_∆(tlog²N),

pour une certaine variable al ´eatoire∆et une certaine famille de fonctions croissantes(f_x)_x≥0donn ´ees explicitement (par la fonction theta de Jacobi), et satisfaisantf_x(0) =0,f_x(∞) =x.

3 Apr `es relaxation: r ´ep ´eter.

Id ´ee de la preuve

Approcher leN-BBM par le BBM avec une barri `ere absorbante bien choisie ; on note sa positionX_t.

1 Tant qu’aucune particule ne s’ ´evade,X_t = (v_N−A)t, pourAgrand

−→r ´egime ´etudi ´e par BBS (10)

2 Quant une particule s’ ´evade, on pose

X_t = (v_N−A)t+f_∆(tlog²N),

pour une certaine variable al ´eatoire∆et une certaine famille de fonctions croissantes(f_x)_x≥0donn ´ees explicitement (par la fonction theta de Jacobi), et satisfaisantf_x(0) =0,f_x(∞) =x.

3 Apr `es relaxation: r ´ep ´eter.

Id ´ee de la preuve

Approcher leN-BBM par le BBM avec une barri `ere absorbante bien choisie ; on note sa positionX_t.

1 Tant qu’aucune particule ne s’ ´evade,X_t = (v_N−A)t, pourAgrand

−→r ´egime ´etudi ´e par BBS (10)

2 Quant une particule s’ ´evade, on pose

X_t = (v_N−A)t+f_∆(tlog²N),

pour une certaine variable al ´eatoire∆et une certaine famille de fonctions croissantes(f_x)_x≥0donn ´ees explicitement (par la fonction theta de Jacobi), et satisfaisantfx(0) =0,fx(∞) =x.

3 Apr `es relaxation: r ´ep ´eter.

Id ´ee de la preuve

Approcher leN-BBM par le BBM avec une barri `ere absorbante bien choisie ; on note sa positionX_t.

1 Tant qu’aucune particule ne s’ ´evade,X_t = (v_N−A)t, pourAgrand

−→r ´egime ´etudi ´e par BBS (10)

2 Quant une particule s’ ´evade, on pose

X_t = (v_N−A)t+f_∆(tlog²N),

pour une certaine variable al ´eatoire∆et une certaine famille de fonctions croissantes(f_x)_x≥0donn ´ees explicitement (par la fonction theta de Jacobi), et satisfaisantfx(0) =0,fx(∞) =x.

3 Apr `es relaxation: r ´ep ´eter.

Les fonctions f

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

2 4 6 8

NB : Preuve simple que cette fonction est monotone−→question sur MathOverflow.

Les fonctions f

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

2 4 6 8

NB : Preuve simple que cette fonction est monotone−→question sur MathOverflow.

Les fonctions f

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

2 4 6 8

NB : Preuve simple que cette fonction est monotone−→question sur MathOverflow.

Relation avec ´equation FKPP bruit ´ee

Equation FKPP bruit ´ee´







u(t,x) :R+×R→[0,1]

∂tu=∂_xx² u+u(1−u)+εp

u(1−u) ˙W u(0,x) =1_(x<0) (IC)

Admet des solutions “travelling wave” de ph ´enom ´enologie identique `a celle duN-BBM (N∼ε⁻²)

Duale au BBM avec coalescence de particules `a tauxε².

Relation avec ´equation FKPP bruit ´ee

Equation FKPP bruit ´ee´







u(t,x) :R+×R→[0,1]

∂tu=∂_xx² u+u(1−u)+εp

u(1−u) ˙W u(0,x) =1_(x<0) (IC)

Admet des solutions “travelling wave” de ph ´enom ´enologie identique `a celle duN-BBM (N∼ε⁻²)

Duale au BBM avec coalescence de particules `a tauxε².

Relation avec ´equation FKPP bruit ´ee

Equation FKPP bruit ´ee´







u(t,x) :R+×R→[0,1]

∂tu=∂_xx² u+u(1−u)+εp

u(1−u) ˙W u(0,x) =1_(x<0) (IC)

Admet des solutions “travelling wave” de ph ´enom ´enologie identique `a celle duN-BBM (N∼ε⁻²)

Duale au BBM avec coalescence de particules `a tauxε².

TODO

G ´en ´ealogie (coalescent de Bolthausen–Sznitman) Vitesse

Lien avec processus de Fleming–Viot

Processus de L ´evy branchants, marches al ´eatoires branchantes Milieux inhomog `enes/al ´eatoires

...

Merci pour votre attention !

(et bon ap’)

TODO

G ´en ´ealogie (coalescent de Bolthausen–Sznitman) Vitesse

Lien avec processus de Fleming–Viot

Processus de L ´evy branchants, marches al ´eatoires branchantes Milieux inhomog `enes/al ´eatoires

...

Merci pour votre attention !

(et bon ap’)