Universit´e Paris-Dauphine UE 15 Outils math´ematiques D´epartement LSO
DEGEAD 1`ere ann´ee
Examen du 13 octobre 2012
1heure 30
Les calculatrices, les t´el´ephones portables et tous les documents sont interdits.
Vous marquerez votre num´ero de TD sur la copie dans l’espace pr´evu
`
a cet effet.
Il sera tenu compte de la pr´esentation, de la lisibilit´e et de la r´edaction. Tous les calculs doivent figurer sur la copie : un r´esultat exact, mais non justifi´e sera consid´er´e comme nul.
On consid`ere la fonctionf d´efinie sur le domaineD par :
∀x∈D, f(x) = ln(x+p
x2+ 1).
1. Quel est le domaine de d´efinitionD de la fonctionf.
On admet que f est C2 sur D.
2. Montrer que
∀x∈IR, (x+p
x2+ 1)(−x+p
x2+ 1) = 1.
En d´eduire que la fonctionf est impaire sur son domaineD c’est-`a-dire
∀x∈D, f(x) +f(−x) = 0.
3. Calculer la limite def quandxtend vers +∞. En d´eduire la limite def quandxtend vers−∞.
4. Calculer la limite de f(x)x quandxtend vers +∞.
5. Montrer que la d´eriv´ee de f surDest
∀x∈D, f0(x) = 1
√x2+ 1.
6. Etudier les variations def.
7. Sur quel intervalle la fonctionf est-elle convexe, concave ?
1
8. Ecrire l’´equation de la tangente `a la courbe repr´esentative def au point x= 0.
9. En d´eduire que
∀x≥0, ln(x+p
x2+ 1)≤x.
10. Montrer quef est une bijection deD surf(D). On d´etermineraf(D).
11. D´eterminer f−1. 12. On pose
∀x∈IR, F(x) =xln(x+p
x2+ 1)−p x2+ 1.
On admet queF est d´erivable surIR.
(a) Calculer la d´eriv´ee de F.
(b) Calculer
I= Z 1
0
f(t)dt.
13. Tracer le graphe de f et hachurez l’aire correspondante au calcul deI.
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