B138 – Carré magique géométrique [**** à la main]
Problème proposé par Michel Lafond
Justifier l’existence d’un carré "magique" pouvant être partagé par 4 segments en 9 quadrilatères dont les aires sont exactement 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.
Figure approximative :
Solution proposée par Diophante Remarque liminaire
La grille carrée ABCD a une aire égale à 81. Son côté est donc égal à 9.
Les quatre sécantes intérieures à la grille ABCD délimitent quatre trapèzes latéraux,chacun avec deux angles droits, de même aire 27. Si on prend un repère orthonormé dont l’origine est au centre de la grille et dont les axes des abscisses et des ordonnées sont parallèles aux côtés de la grille,ces quatre sécantes passent par les points E,F,G et H de coordonnées respectives (1.5 ;0), (0;– 1.5), (– 1.5 ;0) et (0;1.5).
Par commodité, afin de faciliter les calculs avec des coordonnées entières,on retient une grille carrée de côté 18 de telle sorte que les quatre sécantes passent par les points de coordonnées (3 ;0), (0;– 3),(– 3 ;0), (0;3) et les aires des quadrilatères situés aux quatre coins sont respectivement égales à : Q₁=48 (coin Nord Est), Q₂ = 40 (coin Sud Est), Q₃ = 24 (coin Sud Ouest) et Q₄= 32 (coin Nord Ouest).
Pour justifier l’existence du carré magique géométrique,on adopte la démarche suivante:
Soit le point De sur le côté BC de coordonnées (3,9).On trace le point P variable situé entre A et De tel que DeP = a. D’où BP = 6 + a. On trace la sécante [PQ] qui passe par le point E de coordonnées (3,0) puis la sécante [RS] qui passe par le point H de coordonnées (0,3). Les deux sécantes [PQ] et [RS] se coupent en I.
Soit H’ la projection de H sur le côté BC. On pose SH’ = b > 0. L’aire du quadrilatère IPBS s’exprime en
fonction des paramètres a et b. En admettant que le quadrilatère IPBS a pour aire Q₁ = 48, on déduit b en fonction de a, soit b = f₁(a).
De la même manière, on trace la sécante [TU] qui passe par le point F de coordonnées (0,–3).Les deux sécantes [PQ] et [TU] se coupent en J. Soit F’ la projection de F sur la côté BC. On pose F’U = c > 0. L’aire du quadrilatère JQCU s’exprime en fonction des paramètres a et c. En admettant que le quadrilatère JQCU a pour aire Q₂= 40, on déduit c en fonction de a, soit c = f₂(a).
On trace ensuite la sécante [WX] qui passe par le point G de coordonnées (–3,0).Les deux sécantes [TU] et [WX] se coupent en K. Soit G’ la projection de G sur la côté CD. On pose G’X = d > 0. L’aire du
quadrilatère KTDX s’exprime en fonction des paramètres c et d. En admettant que le quadrilatère KTDX a pour aire Q₃= 24, on déduit d en fonction de c ou encore d en fonction de a, soit d = f₃(a).
Enfin,les sécantes [RS] et [WX] se coupent en L. L’aire Q₄ du quadrilatère LRAW s’exprime en fonction des paramètres b et d.Comme ces deux paramètres se calculent en fonction de a, on a Q₄ = f₄(a). Il ne reste plus qu’à résoudre l’équation f₄(a) = 32 pour obtenir la ou les valeur(s) de a qui rend(ent) la grille magique.
La droite [PQ] a pour équation y = – 9(x – 3)/a et la droite [RS] a pour équation y = 3 – bx/9.
D’où les coordonnées de I : xi = 27(9 – a)/(81 – ab) et yi = 27(9 – b)/(81 – ab).
L’aire Q₁ du quadrilatère IPBS est égale à la somme des aires des triangles IBP et IBS.
Or BP = 6 + a, BS = 6 + b, hauteur du triangle IBP issue de I = 9 – y = 9(54 – ab + 3b)/(81 –ab), hauteur du triangle IBS issue de I = 9 – x = = 9(54 – ab + 3a)/(81 –ab).
On obtient Q₁ = [9(6 + a)(54 – ab + 3b) + 9(6 + b)(54 – ab + 3a)] / (162 – 2ab) = 48 D’où l’équation du second degré en b: 3ab² + (3a² – 14a – 216)b +216(3 – a) = 0
De la même manière à partir de la troisième sécante [TU] qui passe par le point F de coordonnées (0,–3) tel que CU = 6 + c on obtient l’équation de la droite [TU] y = – 3 + cx/9.D’où les coordonnées de J point d’intersection des droites [PQ] et [TU] : xj = 27(9 + a)/(81 + ac) et yj = 27(c – 9)/(81 + ac).
Avec Q₂ = 40, on obtient l’équation du second degré en c: 9ac²–(9a² + 26a – 648)c – 648(a + 1) = 0 On poursuit avec la quatrième sécante [WX] d’équation y = 9(c = 3)/d.D’où les coordonnées de K point d’intersection des droites [TU] et [WX] : xk = –27(d + 9)/(81 – cd) et yk = – 27(c + 9)/(81 – cd).
Avec Q₃ = 24, on obtient l’équation du second degré en d: 3cd² + (3c² – 2c – 216)d – 216(c – 3) = 0.
Enfin le point L à l’intersection des sécantes [RS] et [WX] a pour coordonnées xl = 27(d – 9)/(81 + bd) et yl = 27(b + 9)/(81 + bd). D’où l’aire Q₄ du quadrilatère LRAW :
Q₄= [9(6 – b)(54 + 3d + bd) + 9(6 + d)(54 – 3b + bd)]/(162 + 2bd) Il ne reste plus qu’à résoudre l’équation Q₄ = f₄(a) = 32.
Le logiciel Geogebra permet de simuler la valeur de Q₄ en fonction de a et de vérifier que pour chacune des trois équations du second degré il existe :
- une seule solution telle que b = f₁(a)
avec b = (– 3a² + 14a + 216 – √Δ₁)/6a et Δ₁ = (3a² – 14a – 216)² –2592a(3 – a), - une seule solution telle que c = f₂(a)
avec c = (9a² + 26a –648 + √Δ₂)/18a et Δ₂ = (9a² +26a – 648)² + 23328a(a + 1 ) - une seule solution telle que d = f₃(a)
avec d = (– 3c² + 2c + 216 + √Δ₃)/6c et Δ₃ = (3c² – 2c – 216)² + 2592c(c – 3)
En faisant varier a entre 0 et 3, on observe qu’il y a deux valeurs de a pour lesquelles Q₄ s’annule.
D’une part pour a = 0.723 on a Q₄ = 31.9999144.. et pour a = 0.724 on a Q₄= 32.0001455..
D’autre part pour a = 1.218 on a Q₄= 32,00022127.. et pour a = 1.219 on a Q₄ = 31.99998695..
Comme f₄(a) est une fonction continue de a, il existe pour chacune de ces deux valeurs de a une solution unique telle que f₄(a) = 32. avec a = 0.723...puis a = 1,218...
Un tableur Excel (voir Annexe) permet d’obtenir une meilleure précision et l’on obtient :a = 0,723326982...
puis a = 1,2189444...
Annexe
a delta1 b delta2 c delta3 d Q4
0,723 46157,2805 2,23867172 419057,417 1,75572492 38548,3447 1,32200056 31,99991443067 0,724 46157,5931 2,23763566 419065,763 1,75678891 38545,9383 1,32091953 32,00014552224 0,72336982 46157,3958 2,23828856 419060,501 1,7561184 38547,4544 1,32160079 31,99999999965 0,72336983 46157,3958 2,23828855 419060,501 1,75611841 38547,4544 1,32160078 32,00000000196 1,218 46632,7391 1,73170216 426606,375 2,28839754 37749,3961 0,77015077 32,00022127665 1,219 46634,3381 1,73068993 426628,75 2,28948543 37748,6154 0,76900184 31,99998695549 1,2189445 46634,2493 1,73074611 426627,507 2,28942505 37748,6587 0,76906561 31,99999998543 1,2189444 46634,2491 1,73074621 426627,505 2,28942494 37748,6588 0,76906573 32,00000000891
