Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU M¨ unster, Sommersemester 2012
UBUNGEN ZUR VORLESUNG “DIE STEENROD-ALGEBRA” ¨
Blatt 2 ∗ , 17.04.2012
Aufgabe 2.1. Gib eine explizite bijektive Korrespondenz zwischen O d (M, N ) und die Menge der stabilen Operationen in unreduzierter Kohomologie. Beweise, dass die lange exakte Folge eines Paares in mod p Kohomologie ein Folge von A p -Moduln ist.
Aufgabe 2.2. Bestimme O( Q , m, Q , n) und O d ( Q , Q ) f¨ ur alle 0 ≤ m ≤ n und alle d ≥ 0.
Hinweis: Hier darf man benutzen, dass falls A eine Torsionsgruppe ist, so ist H n (K(A, 1); Z ) eine Torsionsgruppe f¨ ur alle n ≥ 1.
Unser Ziel in den zwei n¨ achsten Aufgaben ist es, Klassen x i ∈ H i (SO(n); F 2 ) f¨ ur 1 ≤ i ≤ n−1 zu definieren, und den folgenden Satz zu beweisen.
Satz : Die Algebra H ∗ (SO(n); F 2 ) ist die kommutative F 2 -Algebra mit Erzeugern {x 1 , . . . , x n−1 } und Relationen
x 2 i =
( x 2i falls 2i < n, 0 falls 2i ≥ n.
Hierzu verwenden wir die Abbildung
f n : R P n−1 → SO(n), f n (x) = R ∗ ◦ R x
f¨ ur ∗ der Basispunkt von R P n , wobei R y die Spiegelung von R n in y ⊥ bezeichnet. Bemerke, dass f n und f n+1 vetr¨ aglich mit den Inklusionen R P n−1 ⊂ R P n und SO(n) ⊂ SO(n + 1) sind.
Aufgabe 2.3. Beweise, dass die Serre-Spektralsequenz f¨ ur H ∗ (−; F 2 ) von der Faserung SO(n − 1) − → i SO(n) − → p S n−1
im E 2 -Term kollabiert. Folge daraus, dass die Beschreibung von H ∗ (SO(n); F 2 ) im obigen Satz mindestens additiv korrekt ist.
Hinweis: Zeige, dass pf n einen relativen Hom¨ oomorphismus ( R P n−1 , R P n−2 ) → (S n−1 , ∗) induziert. Folgere daraus, dass
p ∗ : H n−1 (S n−1 ; F 2 ) → H n−1 (SO(n); F 2 ) injektiv ist. Wir setzen x n−1 = p ∗ (ι n−1 ).
Aufgabe 2.4. Beweise den Satz durch Induktion auf n. Betrachte hierf¨ ur die kurze exakte Folge
0 → H ∗−n (SO(n); F 2 ) − x − →
n· H ∗ (SO(n + 1); F 2 ) i
∗
− → H ∗ (SO(n); F 2 ) → 0,
die wir aus der vorigen Aufgabe gewinnen. Benutze i ∗ , um x 1 , . . . , x n−1 ∈ H ∗ (SO(n + 1); F 2 ) zu definieren. Benutze f n+1 ∗ , um die multiplikative Erweiterungen zu l¨ osen.
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