D1906. Un carrefour sans giratoire
Premier point: Qest sur la droiteDH qui coupeBC en son milieuM: Pour prouver ce point, on construit le triangle N F A0 transform´e de HP Q dans l’homoth´etie de centre A et de rapport AQA0A. La parall`ele `a HP passant parM coupeABenF, et la parall`ele `aP Qpassant parF coupeAA0enA0 (M,B,F et A0 sont sur le cercleΓ1de diam`etreA0B).
D’autre part les vecteurs−−−→ M0A,−−→
M N et −−→
DA0 sont ´egaux⇒M N A0D est un parall´elogramme,A0N est parall`ele `a DM et doncQest surDH.
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Deuxi`eme point: ST passe parM et est perpendiculaire `aDH:
Les triangles OBS et OT C sont semblables: par construction on a BOC\ = T OS\(mˆeme angle au centre) et doncBOS\ =T OC.\
D’autre part,ACO\ = CAO\
et OSA\ =π−AOS\−OAS\= CAB\ −OAS\= CAO.\
Il en r´esulte queDCBetT DSsont aussi semblables, ce qui permet de prouver que les 3 quadrilat`eres AT DS, DM BS et DM T C sont inscriptibles. Dans les 2 derniers cas, les cercles ont pour diam`etresDSetDT, donc les angles en M sont droits:
⇒T,M et S sont align´es etST est perpendiculaire `a DH.
Enfin, dans la transformation de centreDo`uS est l’image deB(etT celle de C), le milieuM deBC devient le milieuM1deST; commeH est sym´etrique deD par rapport `aM,M1 appartient `a la hauteurAH.
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