8-Les planètes du Système solaire

(1)

Version 2021 8 –Les planètes1

1.

On trouve le rayon minimal avec

( )

2

8 11 ² 2

² ³

3 2

3 2 10

2 6, 674 10 2750

435

Nm kg

kg m

R S

G R Pa

R km

π ρ

π ⁻

>

> ⋅ ×

⋅ × ⋅

>

2.

Pour avoir une planète sphérique en roche, on doit avoir

( )

2

8 11 ² 2

² ³

3 2

3 2 10

2 6, 674 10 2300

520

Nm kg

kg m

R S

G R Pa

R km

π ρ

π ⁻

>

> ⋅ ×

⋅ × ⋅

>

Est-ce qu’on atteint ce rayon avec 10²¹ kg. Si on frome une boule avec cette quantité de roche, on a

21

³ 4 3

3

2300 10

470

kg m

masse volume

kg R

R km

ρ

π

=

= La planète n’est donc pas sphérique.

3.

On trouve le rayon maximal avec

(2)

Version 2021 8 – Les planètes2

3

23 3 10

30 6

2

3, 302 10

4, 6 10 2 1, 9885 10

2 10 200 000

c pert

d M r

M

kg m

km

=

= × ⋅ ×

⋅ ×

= ×

=

4.

a) La densité est de

M volume ρ=

La masse est formée de deux parties : le noyau et le manteau. La masse du noyau est égal à sa densité multipliée par son volume. Disons que le volume du noyau est de V′. On a donc

1 1

M =ρV′

La masse du manteau est aussi égale à la masse multipliée par le volume. Dans ce cas, le volume est celui d’une sphère de volume V dans laquelle il y a une cavité de rayon V′. La masse est donc

( )

2 2

M =ρ V V− ^′ On a donc

( )

1 2

4 3 3

1 2

2 1 2

1 M M

V

V V V

R

V V V

V

V V

V V ρ

ρ ρ

π

ρ ρ

ρ ρ ρ

= +

′+ − ′

=

′+ − ′

=

′  ′ 

   

=  +  − 

    

 ′

= + −  

 

En utilisant les valeurs pour la Terre, on a

(3)

( )

2 1 2

³ ³ ³ ³

4400 3000 12000 3000

1400 9000 0,156

kg kg kg kg

m m m m

V V

V V V

V V

V

ρ=ρ + ρ −ρ ^ ^′^

 

 ′

= + − ⋅ 

 

 ′

= ⋅ 

 

′ =

(Ce n’est pas très loin de la véritable valeur de 0,17)

b) En utilisant les valeurs pour Mercure, on a

( )

2 1 2

³ ³ ³ ³

5300 3000 12000 3000

2300 9000 0, 256

kg kg kg kg

m m m m

V V

V V V

V V

V

ρ =ρ + ρ −ρ ^ ^′^

 

 ′

= + −  

 

 ′

=  

 

′=

(C’est quand même assez loin de la véritable valeur de 0,42 .)

5.

a) La température est

( )

4

2

26

4 8 11 2

²

1 16

3,828 10 1 0, 90 16 5, 67 10 1, 082 10 184

89

étoile

W m K

L A

T D

W

m K

C πσ

π ⁻

= −

× ⋅ −

=

⋅ × ⋅ ×

=

= − °

b) Puisque la température est de 462 °C et qu’elle devrait être de -89,1 °C, l’effet de serre fait augmenter la température de 551 °C

(4)

6.

Le champ gravitationnel sur Mars est

( )

2

11 ² 23

² 6 2

, 674 10 6, 4185 10 3, 386 10

3, 736

Nm kg

N kg

g GM R

kg m

−

=

6 × ⋅ ×

=

×

=

E E

a) On trouve la durée de chute avec

2

0 0

2

1 2 7000 1 3, 736

2 61, 21

y

N kg

y y v t at

m t

t s

= + +

= ⋅ ⋅

= b) On peut trouver la vitesse avec

0

3, 736 61, 21 228, 7

y y

N kg m s

v v at

s

= +

= ⋅

=

7.

Au plus près, la distance entre Mars et la Terre est de 0,52 UA. Ainsi, l’angle entre la Terre et la Lune à cette distance est

8 11

3,844 10 0, 52 1, 496 10 0, 00494

0, 283 17, 0

m m rad

θ = ^×

⋅ ×

=

= °

= ′

On peut donc voir la Terre et la Lune séparément.

8.

a) La variation d’énergie thermique est

(5)

( )

f i

E E E MCT MCT MC T T MC T

∆ = −

= −

= ∆

On doit donc trouver la masse de cette planète. Puisque le rayon est de 10 000 km et que la densité est de 7800 kg/m³, la masse est

( )

4 3 3

7 3 4

³ 3 25

7800 10

3, 267 10

kg m

M volume R

m kg ρ

ρ π π

= ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

= ×

La variation d’énergie thermique est donc

( )

28 30

3, 267 10 0, 444 200

2, 9 10

J g C

E MC T

g C

J

°

∆ = ∆

= × ⋅ ⋅ − °

= − × Il y aura donc 2,9 x 10³⁰ J d’émise.

b) Le changement de rayon est

( )

5 1

7 1,17 10 200

10

23 400

R T

R

R C C

m

R m

α

− −

∆ = ∆

∆ = × ° ⋅ − °

∆ = − Le rayon diminue donc de 23 400 m.

c) La variation d’énergie gravitationnelle est

(6)

( )

2

2 2

2

1

11 ² 25 2

7 31

3 3

5 5

3 1 1

5

3 6, 674 10 3, 267 10 1 1

5 9976600 10

1 10

f i

f Nm

kg

GM GM

R R

GM

R R

kg

m m

J

−

= − − −

 

= −  − 

 

⋅ × ⋅ ×  

= − ⋅ − 

 

= − ×

L’énergie émise par contraction gravitationnelle est donc de 10³¹ J.

d) La proportion est

31

31 30

10 10 2,9 10 77, 6%

g

g t

E J

E E = J J

+ + ×

=

9.

La vitesse de libération est

11 ² 23

² 6

2

2 6, 674 10 1, 48 10 2, 634 10

2739

lib

Nm kg

m s

v GM R

kg m

−

=

⋅ × ⋅ ×

= ×

= La vitesse des molécules est

23 27

2 1,38 10 110 28 1, 66 10 256

J K azote

m s

v K

kg

−

⋅ × ⋅

= ⋅ ×

=

On a donc

2739 10, 7 313

m

lib s

m

molécules s

v

v = =

(7)

Version 2021 8 – Les planètes7 Ganymède pourrait donc garder une atmosphère d’azote.

10.

La force de marée faite par la Lune sur la Terre est

3

2GM mR

F r

⊕

= ^B

B

Alors que la force de marée faite par Jupiter sur Io est

3 -io

2GM mR_io F_F = r ^F

F -

Le rapport est donc

( )

3 -io

3 3 3 -io

8 3 27 6

8 3 22 6

2 2

3,844 10 1,8986 10 1,822 10 4, 217 10 7, 44 10 6,378 10 5 522

io

GM mR F r

F GM mR r r M R r M R

m kg m

⊕

 

 

 

= 

 

 

=

× ⋅ × ⋅ ×

=

× ⋅ × ⋅ ×

=

F F F -

B B

B

B F

F - B

11.

Pour la partie la plus près de l’anneau, la période est

( )

3

h

7 3

11 ² 26

²

2

6, 69 10

2 , 674 10 5, 6846 10

17 651 4, 90

Nm kg

T r

GM

m

kg s

h π

π ₋

=

= ⋅ ×

6 × ⋅ ×

=

Pour la partie la plus éloignée de l’anneau, la période est

(8)

( )

h

8 3

11 ² 26

²

2

1, 2 10

2 , 674 10 5, 6846 10

42 404 11, 78

Nm kg

T r

GM

m

kg s

h π

π ₋

=

= ⋅ ×

6 × ⋅ ×

=

Comme la partie la plus près tourne plus rapidement autour de Saturne que la planète sur elle-même, on verrait les particules de celle partie de l’anneau se lever à l’ouest et se coucher à l’est. Comme la partie la plus éloignée tourne moins rapidement autour de Saturne que la planète sur elle-même, on verrait les particules de celle partie de l’anneau se lever à l’est et se coucher à l’ouest.

12.

a) L’intensité est

( )

2

26 11 2

²

4

3,828 10 4 18, 28 1, 496 10 4, 073^W_m

I L

D

W m π

π

=

= ×

⋅ ×

= b) L’énergie captée est de

( )

2

7 2

² 15

3, 696 2, 5362 10 8, 231 10

capteur

W m

E I A I R

m W

π

= ⋅

=

= ⋅ ⋅ ×

= ×

c) La puissance émise vers la Terre est

15 15

0,51 8, 231 10 4,198 10

L W

W

= ⋅ ×

= ×

d) L’intensité reçue sur Terre est

(9)

( )

2

15 11 2

10

²

2

4,198 10 2 17, 26 1, 496 10 1, 002 10 ^W_m I L

D

W m π

π

−

=

= ×

⋅ ×

= ×

(C’est 2π au lieu de 4π au diviseur, car seulement la moitié de la planète émet de la lumière et cette lumière va se répartir sur une demi-sphère. Ce n’est pas tout-à- fait vrai, mais on va dire que c’est une approximation.)

e) On trouve la magnitude bolométrique avec

0,4 8

²

10 8 0,4

² ²

0,4

2, 52 10 10 1, 002 10 2,52 10 10

0, 00325 10 6, 0

bol

W m m

W W m

m m

m

bol

I

m

− −

−

− −

−

= × ⋅

× = × ⋅

=

La véritable valeur est de 5,32, ce qui veut dire que notre intensité calculée est presque exactement 2 fois trop petite.

Voici mon hypothèse ; 5,32 est la magnitude visuelle alors que 6 est la magnitude bolométrique. Si on suppose que l’énergie totale est uniquement dans le visible et qu’Uranus a absorbé toutes les autres longueurs d’onde, alors notre valeur de l’intensité serait l’intensité visuelle. La magnitude visuelle serait alors de

8 0,4

²

10 8 0,4

² ²

0, 306 10 10

1, 002 10 0, 306 10 10

3, 71

W m

V m

W W m

m m

I

m

− −

− − −

= × ⋅

× = × ⋅

=

Si on suppose que seulement une partie de la lumière réfléchie est dans la partie visible du spectre, on peut arriver à 5,32.

Si quelqu’un a une autre idée pour expliquer la différence de magnitude, dites-la- moi!

13.

a) La température est

(10)

( )

4

2 4

278, 3 1 1

1

1 1

278, 3 1 0, 29

1 30, 07

278, 3 1 1 1 0, 29

30, 07 46, 6

étoile

L UA

T K A

L D

L UA

K L UA

K K

   

= ⋅     −

 

   

= ⋅   ⋅  ⋅ −

 

 

= ⋅ ⋅  ⋅ −

 

=

⊙

b) On a

( )

2

2 4

2

4 2

4

2

1, 5 1 4

4

1, 5 1 4

4

1, 5 1

16

recue émise étoile planète

planète

étoile

P P

L R A

R T D

L A

D T

L A

T D

σ π σ π

πσ

=

⋅ − =

⋅ −

=

Avec les valeurs, on obtient

( )

4

2

26

4 8 11 2

²

1, 5 1

16

1, 5 3,828 10 1 0, 29 16 5, 67 10 30, 07 1, 496 10 51, 6

étoile

W m K

L A

T D

W

m K

πσ

π ⁻

⋅ −

=

⋅ × ⋅ −

=

⋅ × ⋅ ⋅ ×

=