A336.La paire inflexible
Problème proposé par Michel Lafond
Un entier naturel positif est appelé «accommodant» s’il existe au moins un entier dont la somme des chiffres est tel que . A contrario le nombre est dit «inflexible».
Trouver les deux plus petits entiers inflexibles.
Question subsidiaire pour les plus courageux: l’entier est-il accommodant ou inflexible?
Solution proposée par Claudio Baiocchi
Les deux plus petits entiers inflexibles sont et . L’entier est accommodant car
pour on a .
Si l'on pense d'approcher le problème à l'aide d'un ordinateur, on peut se servir du critère suivant:
si n’est pas multiple de 3, on peut borner la recherche aux multiples de 9
dont la démonstration, ainsi que l'utilisation, seront détaillées plus loin. Par ailleurs, si l’on se souvient de l’ainsi dite preuve par neuf, choisir comme première valeur de à tester semble une bonne idée; et ça marche pour beaucoup de valeurs de : on montre ainsi que sont accommodants tous les entiers de à , ceux de à , de à , de à , de à , de à ; pour ce qui concerne les restantes valeurs de jusqu’à 61, il suffit
choisir au lieu que .
Naturellement il convient d’écrire un petit programme (très simple dans tout langage de programmation) et confier la tache à l’ordinateur qui, en quelques secondes, nous donnera ces résultats.Malheureusement, lorsqu’on arrive à traiter le cas de , le programme semble se bloquer; mais il ne s’agit pas d’une bogue: tout simplement il faut laisser au programme le temps nécessaire à examiner ce qui se passe pour tout multiple de et inférieur à
: quel que soit l’entier de ce type, la correspondante somme des chiffres ne satisfait pas la relation ; et, pour , tout se passe de la même façon…
Naturellement la valeur est relative au langage Pascal, et peut être différente dans d’autres langages de programmation; mais, sans le support d’un résultat
théorique, quels que soient langage, programme et ordinateur, on ne pourra pas arriver (en temps fini…) à établir qu’un nombre donné est inflexible! On va donc donner un résultat théorique qui permet d'évaluer a priori une borne supérieure pour les valeurs de qui pourraient satisfaire la relation .
Pour trouver cette estimation on va détailler le comportement du quotient en fonction du nombre de chiffres de . Si a au moins chiffres, on a:
et donc:
En particulier, lorsqu’on cherche de la forme , on pourra avoir uniquement si:
lorsqu’on travaille avec à chiffre;
lorsqu’on travaille avec à chiffres;
lorsqu’on travaille avec à chiffres;
lorsqu’on travaille avec à chiffres;
lorsqu’on travaille avec à chiffres;
Pour ce qui concerne les cas et on peut se borner aux entiers à trois chiffres (et on aurait du y penser avant de laisser les calculs arriver à …) tandis que, pour ce qui concerne le cas , on peut lancer le programme avec la restriction: à 4 ou 5 chiffres (et le programme s’arrête à ).
Revenons à . Pour et , n’est pas divisible par ; donc, au lieu que tester tous les de à , on peut se borner à tester les de la forme avec de à
; et, pour ce qui concerne , puisque n’est pas divisible par , on peut se borner
à avec (et le programme s’arrête avec ).
Pour ce qui concerne la démonstration de on commence à remarquer que pour tout couple où est la somme des chiffres de , l’entier est un multiple de 9 (preuve par neuf); donc il existe tel que . Alors, si , on doit avoir
; en particulier, si n’est pas multiple de , c’est qui doit être multiple de ; donc (encore d’après la preuve par neuf) aussi doit être multiple de .
Remarque. Un raisonnement analogue montre que, si est divisible par mais non par , on doit avoir (et donc , grâce à la preuve par trois) divisible par .
