Cours de Mécanique des Fluides. Filière : 2 ème année du cycle préparatoire Semestre

Cours de Mécanique des Fluides

Filière : 2

^ème

année du cycle préparatoire Semestre 2

2012-2013-2014-2015-2016

Table des matières :

Introduction et généralités --- page : 02

Statique des fluides – Hydrostatique--- page : 08

Cinématique des fluides---page : 26 Dynamique des fluides parfaits et incompressible---page : 44

Daoudi Salah : Professeur Habilité Daoudisalah77@yahoo.fr

INTRODUCTION ET GENERALITES I) Définition d’un fluide :

La matière existe sous deux états : l’état solide et l’état fluide.

Un fluide (liquide ou gaz) est un corps physique sans rigidité dont une des principales propriétés est de subir de grandes déformations sous l’action de forces extérieures aussi petites que l’on veut. Cette propriété, dite fluidité, est due à une grande mobilité des particules fluides. A l’échelle microscopique, ce qui caractérise les fluides, c’est que les molécules ne sont pas bloquées dans leur orientations relatives ; elles ont ce degré de liberté (de désordre) que n’ont pas les molécules des solides. Un fluide s’écoule (on parle alors de l’écoulement du fluide) tandis qu’un solide se déplace en bloc ou se déforme (petites déformations) mais tout en gardant une structure cohérente.

Ainsi un solide a une forme qui lui est propre, alors qu’un fluide n’a pas de forme propre.

Cette distinction entre « solides » et « fluides » n’est cependant pas aussi nette, puisque l’on trouve des corps comme les gelées, les peintures, les pâtes, certaines solutions concentrées de polymères, qui manifestent à la fois des comportements de solide et des comportements de fluide (liquide).

Parmi les fluides (qui n’ont donc pas de forme propre) on distingue les liquides et les gaz.

Un liquide, l’eau par exemple, est un fluide incompressible. Il prend la forme du récipient qui le contient et donne une surface libre quand il est en contact avec l’atmosphère. Une masse de liquide occupe un volume défini. Ainsi un liquide a son volume propre.

Un gaz, l’air par exemple, est un fluide compressible. Une masse de gaz occupe toujours tout le volume disponible. Ainsi, au contraire des liquides, les gaz n’ont pas de volume propre.

On peut dire qu’à l’échelle microscopique les molécules des liquides sont liées en distance (ce qui limite leur désordre), alors que les molécules des gaz n’ont pas cette liaison.

Notons enfin que les Plasmas peuvent être considérés comme des fluides. (Un plasma est gaz ionisé).

II) Mécanique des fluides (mécanique des milieux continus) :

La mécanique des fluides est la partie de la physique qui concerne le mouvement ou le repos des fluides. Traditionnellement, on subdivise la mécanique des fluides en deux grandes parties :

- La statique des fluides lorsque ceux-ci sont au repos. Par exemple l’hydrostatique (pour les liquides).

- La dynamique des fluides lorsqu’ils sont en mouvement. Par exemple l’hydrodynamique (liquide) ou l’aérodynamique (gaz).

Dans le cadre de la dynamique des fluides les phénomènes d’écoulement des gaz et des liquides sont traités du point de vue macroscopique, en utilisant les lois de la mécanique de Newton. Le fait qu’un fluide soit composé de molécules est négligé en premier lieu et les mouvements des molécules individuelles ne sont pas pris en compte dans cette étude. Le milieu d’écoulement est donc considéré comme continu. Dans ce contexte on étudie le mouvement d’un petit volume du milieu composé d’un très grand nombre de molécules et appelé particule fluide.

III) Divers types d’écoulements :

Un écoulement est caractérisé par divers variables macroscopiques : le champ des vitesses, la pression en tout point, la masse volumique (ou densité), la température, ……

Résoudre ce type de problèmes c’est calculer tous ces paramètres pour toute particule fluide M(x, y, z, t), x, y et z sont les coordonnées du point M et t correspond au temps.

Il existe un très grand nombre de types d’écoulements :

1) Ecoulement unidimensionnel : C’est quand les variables de l’écoulement du fluide sont les mêmes en tout point d’une section. Elles ne dépendent alors que d’une seule coordonnée et éventuellement le temps : M(x, t) par exemple.

2) Ecoulement bidimensionnel ou plan : M(x, y, t) par exemple.

3) Ecoulement tridimensionnel ou spatial : M(x, y, z, t) par exemple.

4) Ecoulements permanent ou non permanent : L’écoulement est permanent ou stationnaire si les variables représentatives sont indépendantes du temps. Dans le cas contraire il est dit non permanent ou in stationnaire.

5) Ecoulement uniforme : C’est quand les variables de l’écoulement sont les mêmes en tout point de l’espace. Mais elles peuvent varier en fonction du temps.

6) Ecoulements laminaire et turbulent : L’écoulement est laminaire lorsque le déplacement du fluide se fait suivant des droites parallèles disposées en couches (lamelles).

Lors de l’écoulement les couches glissent les unes par rapport aux autres sans se mélanger. Il est dit turbulent lorsqu’il se déplace d’une manière désordonnée en formant des tourbillons de tailles différentes accompagnés d’un mélange ou brassage très intensif des particules fluides.

Si on mesure la vitesse ou les autres variables on s’aperçoit qu’elles subissent des fluctuations aléatoires autour de valeurs moyennes.

IV) Propriétés physiques des fluides :

L’état physique d’un fluide est caractérisé par plusieurs paramètres, les plus importants sont la densité, la viscosité et la pression.

1) La densité :

Soit M(x, y, z) une particule fluide entouré par un élément de volume dV. La masse volumique ou la densité du fluide au point M est définie par :

dV

= dm

ρ où dm est la masse totale de toutes les molécules contenues dans le volume dV. C’est une mesure de concentration da la matière (masse) par unité de volume. Son unité est le

[

^Kg/m3

]

^{. On la}

note : ρ(x,y,z,t)

Un fluide est dit incompressible si la densité est constante (c'est-à-dire qu’une masse donnée de ce fluide occupe toujours le même volume). C’est le cas pour les liquides en général. Il est compressible dans le cas contraire.

2) La viscosité :

La viscosité est une caractéristique physique des fluides quand ils sont en mouvement.

Elle caractérise la résistance du fluide à l’écoulement, elle est causée par le frottement entre particules fluides lors du mouvement et elle provoque une dissipation de l’énergie cinétique qui est transformée en chaleur (ralentissement du mouvement).

On peut préciser cet aspect qualitativement par l’expérience suivante : Un fluide est disposé entre 2 plaques solides planes parallèles. On fixe l’une et on fait animer la deuxième d’un mouvement uniforme de vitesseV

r. yr

V r

Fluide

xr

Des forces d’adhésion s’exercent entre les molécules du fluide et celles de chaque plaque solide de sorte que la couche de fluide la plus proche de la plaque adhère et colle à celle-ci. La vitesse des particules de fluide situées sur une verticale varie alors entre 0 sur la paroi fixe et la valeur V

r sur la paroi mobile. Il existe donc un gradient de vitesse dy

dV dans la

direction perpendiculaire àV

r. Cette variation de la vitesse suivant la verticale est due aux forces de frottement entre les différentes couches du liquide. Newton a lié cette force de frottement par unité de surface notée τ (on parle alors de contrainte de frottement) au gradient de vitesse résultant par l’intermédiaire d’un coefficient de proportionnalité noté µ:

dy µdV τ = . µ est appelé coefficient de viscosité dynamique. Il s’exprime en

[

^Kg/(m.s)

]

. Il caractérise donc le pouvoir de viscosité du fluide. Il est déterminé pour chaque fluide expérimentalement.

Il existe plusieurs dispositifs expérimentaux appelés viscosimètres plus au moins simples qui peuvent calculer ce coefficient. (Voir Travaux pratiques : écoulement de Poiseuille). On peut aussi vérifier expérimentalement que la viscosité dynamique dépend de la température.

Remarque : les fluides qui obéissent à la loi de Newton précédente sont appelés fluides Newtoniens, c’est le cas de l’air, de l’eau et de la plus part des liquides usuels. Un exemple de fluide non Newtonien est constitué par les liquides viscoplastiques (plastique liquide).

On définit aussi ce qu’on appelle le coefficient cinématique de viscosité:

ρ

ν = µ. Son unité est

le

[ ]

^m2/s (ρ étant la densité).

Concrètement tous les fluides sont visqueux, cependant dans certains types d’écoulements (écoulement d’air à faible vitesse) ou pour certains fluides (air loin de paroi), la viscosité peut être négligée, on parle alors de fluide non visqueux ou idéal ou fluide parfait (µ = 0) (à ne pas confondre avec gaz parfait).

V) Forces exercés sur un volume de fluide :

Soit un volume (dV) de fluide limité par une surface (Σ) pris dans un fluide en écoulement.

Σ

= T M d F

dr r( )

Ce volume (V) subit deux types d’efforts extérieurs :

1) Forces volumiques (ou massiques) : telles que le poids, les forces électriques ou magnétiques, etc. Elles sont liées directement au volume. Par exemple, le poids (attraction de la terre) du volume infinitésimal dV est grdV

ρ ^{, où gr} est l’accélération de la pesanteur (dirigée vers le bas) et ρ est la densité du fluide.

2) Forces surfaciques : Ce sont des forces exercées sur le volume (dV) par le reste du fluide à travers la surface externe (Σ). Soit un élément de surface infinitésimal (dΣ) de (Σ).

Orientons le par un vecteur unitaire nr_ext

dirigé vers l’extérieur de (dV). Le fluide extérieur exerce sur l’élément de surface (dΣ) :

a) Une force de pression perpendiculaire à dΣ: Pd nr_ext Σ

− .

b) Une force de frottement (viscosité) parallèle à dΣ: τ^rdΣ (cette force de frottement n’existe que si le fluide est en mouvement).

Ainsi la force surfacique exercée sur dΣ est : + 

−

=

=T M d Pn d F

d^{v r}( ) ( ^v_ext τ^v) . Le vecteur T(M)

r est appelé vecteur contrainte au point M (une force divisée par une surface).

nrext

Σ d

) (M T

ext r n P Nr r

−

=

τ^r Ecoulement

Ecoulement Fluide

Fluide

nrext

Σ d

Σ dV

STATIQUE DES FLUIDES—HYDROSTATIQUE

La statique des fluides est la science qui étudie les conditions d’équilibre des fluides au repos. Quand le fluide est un liquide (eau par exemple), la théorie est appelée l’hydrostatique.

Considérons alors un réservoir, ouvert à l’air libre (ou fermé), contenant un liquide. Nous considérons que l’ensemble est au repos par rapport à un repère galiléen(O,xr,yr,zr)

. Soit un point M du liquide et soit dV un élément de volume entourant ce point.

L’accélération est nulle. Le principe fondamental de la dynamique stipule alors que la somme des efforts exercés sur l’élément de volume de fluide est nulle.

Les forces qui s’exercent sur un élément de volume (dV) de fluide sont : 1) Les forces volumiques: f_VdV

ρr de composantes : (ρX_VdV,ρY_VdV,ρZ_VdV)^{, la} quantité f_V

r est une force par unité de masse. Exemple : le poids où nous avons g

fr_V r

= (accélération de la pesanteur dirigée vers le bas).

2) Les forces surfaciques exercées par le reste du fluide à travers la surface (Σ) qui entoure (dV). Ces forces de surface se réduisent, seulement, aux contraintes normales de pression :⁻



_Σ^PdSnr, où dS est un élément de surface de (Σ) et nr

est le vecteur unitaire orientant dS vers l’extérieur de (dV).

Les contraintes visqueuses sont nulles car le fluide est au repos.

dV dS Air

Liquide

libre Surface

n PdSr

− nr

xr yr

zr



I) Pression en un point de fluide :

En un point M, la contrainte de pression est normale à l’élément de surface dS qui entoure ce point. On va montrer que cette pression, au point M, est en fait indépendante de l’orientation de l’élément dS.

En effet, considérons un élément de volume de fluide infinitésimal entourant le point M sous la forme d’un prisme triangulaire de largeur 1 (unité) suivant la direction y et de dimensions dx et dz. Pour simplifier, travaillons dans le plan (xr yr

, ).

Le prisme est en équilibre sous l’action :

c) des forces volumiques quelconques f_VdV

ρr de composantes cartésiennes:

) ,

,

(ρX_VdV ρY_VdV ρZ_VdV . (Dans le cas où ces forces se réduisent au poids de dV, alors : XV

= YV = 0 et ZV = -g).

d) des forces de pression exercées perpendiculairement aux faces externes : n

ds P z dx P x dz

P r r r

3 2

1 + − . Où : nr xs zr

α α ^cos

sin +

= ,^dx=^ds.cosα , et ^dz=^ds.sinα En écrivant que la somme de ces forces est nulle, on trouve :

Projection selon x :

X dx P P dz

P dz dz P X dx ds

P dz P dV

X_{V V} ^V

0 2 2

0 .

sin _{1 3 3 1}

3

1 α ρ ρ

ρ + − =  + − =  = +

Projection selon z :

Z dz

P P ds

P dx dxdz P

Z_V ^V

0 2

2 ^{2 3}cos ^{3 2}

α ρ

ρ + − =  = +

Si l’on fait tendre l’élément vers zéro, i.e. dz → ^{0 et dx} → 0, on aura : P₁ =P₂ = P₃. xr

yr zr

dz P₁

dx P₂

ds P₃

* M

α

dx dz

ds

nr

On peut donc conclure qu’en un point M donné du fluide au repos, la pression est identique dans toutes les directions. On écrit alors P (M, t).

Remarque : Soient 2 points M et M’ du fluide infiniment voisins.

II) Equations de l’hydrostatique :

Pour établir les équations locales de l’hydrostatique nous allons écrire que la somme des forces exercées sur un élément de volume infinitésimal entourant un point M du fluide (liquide) est nulle.

Considérons un élément cylindrique, de hauteur dz et de section droite dS, autour de M et dont l’axe est parallèle à z par exemple.

L’élément de volume est en équilibre sous l’action des forces : 1) Les forces volumiques : f_v(dSdz)

ρr où f_v

r est la force de volume par unité de masse et de composantes (XV, YV, ZV).

2) Les forces surfaciques de pression exercées à travers les faces externes :

- Sur les sections droites dS inférieure et supérieure nous avons, respectivement, les forces PdSzr

et - dz dSz

z

P P r

)

( ∂

+∂

- Il y a aussi des forces de pression sur la surface latérale du cylindre. Mais ces forces s’annulent 2 à 2 quand on fait la somme à cause de la symétrie cylindrique.

En écrivant que la somme de toutes ces forces est nulle et en projetant sur l’axe Oz on trouve :

xr yr zr

PdS















 z y x M















 + + +

dz z

dy y

dx x M'

dP M P M

P( ')= ( )+ Alors

Où

dS dP

P )

( +

dz

dz z dy P y dx P x dP P

∂ +∂

∂ +∂

∂

=∂

0 0

)

( + =

∂

−∂

= 

∂ + +∂

− _V Z_V

z dzdS P

Z dS z dz P P

PdS ρ ρ

On peut refaire le même raisonnement avec des éléments de volume cylindriques d’axes parallèles à Ox et Oy pour aboutir à :

0 0 0

∂ =

−∂

∂ =

−∂

∂ =

−∂

z Z P

y Y P

x X P

V V V

ρ ρ ρ

 f_v −gradP =0 r

ρr (1,1)

Telles sont les équations de l’hydrostatique.

Dans le cas où les forces volumiques se réduisent au poids (XV = YV = 0 et ZV = -g), l’axe des z étant orienté vers le haut, les équations de l’hydrostatique s’écrivent :

z g P y P x P

ρ

−

∂ =

∂

∂ =

∂

∂ =

∂

0 0

On en déduit alors que la pression est indépendante de x et y, c'est-à-dire qu’elle est constante dans le plan (x, y) et elle ne varie que suivant la verticale Oz par la relation :

dz g

dP =−ρ Ou dP+ρgdz=0 (1,2)

La quantité ρg est appelée le poids volumique. Le plan (x, y) est appelé surface isobare (surface où tous les points ont la même pression).

III) Variation verticale de la pression :

1) Fluide incompressible :

Pour un fluide incompressible la densité ρ est constante (d’ailleurs c’est en général le cas pour les liquides), la différentielle (1,2) s’écrit sous la forme suivante ;

d(P+ρgz)=0 Par intégration on obtient :

P+ρgz =cste (1,3) La constante d’intégration est appelée la pression motrice, elle est notée Pg.

Pg

cste gz

P+ρ = =

La loi fondamentale de l’hydrostatique peut être ainsi formulée par la phrase suivante : Dans un fluide incompressible (un liquide par exemple) au repos la pression motrice P+ρgz= P_g est constante. Quand z augmente P diminue (l’axe des z est orienté vers le haut).

Entre deux points du fluide, situés aux hauteurs z1 et z2, mesurées par rapport à un plan de référence choisi arbitrairement, la différence de pression est alors :







^{=− − 2}

1 2

1 2

1

z z z

z z

z dP ρgdz ρg dz  P₂−P₁ = −ρg(z₂−z₁) (1,4)

Ainsi la variation de la pression entre deux niveaux est proportionnelle à la différence de hauteur entre ces deux niveaux. Cette variation est linéaire.

En résumé, quelques soient 2 points M et N appartenant au même fluide incompressible et au repos, on a :

NM N

M N N

M P g z z P gh

P = +ρ ( − )= +ρ

Soit A un point du fluide appartenant aussi à la surface libre (contact direct avec l’air).

La pression au point A est égale à la pression atmosphérique : bar

Pascal atmosphére

P

P_A = _atm=1 =1,01310⁵ ≈1

On rappelle que l’unité internationale de la pression est le Pascal : / 2

1

1Pascal= Newton m

Alors, quelque soit un point M du fluide :

AM atm

M atm atm

M P g z z P gh

P = +ρ ( − )= +ρ (1,5)

Cette relation permet de calculer la pression en tout point du liquide, connaissant la pression atmosphérique et la profondeur de ce point par rapport à la surface libre.

Air

Liquide

libre Surface

xr yr

zr

*M

*N

*A

NM M

N z h

z − =

AM M

A z h

z − =

La différence P−P_atm est appelée pression relative ou pression effective. Par opposition, P peut être appelée pression absolue. Ces définitions sont très utilisées dans la pratique et la plupart des monomètres (appareils qui mesurent les pressions) sont gradués en pressions relatives. Le zéro de la graduation correspondant à la pression atmosphérique. (Voir Travaux pratiques et Travaux dirigés).

2) Fluide compressible :

Pour un fluide compressible la densité ρ n’est pas constante. Il faut donc en tenir compte pour intégrer l’équation (1,2).

La densité peut être liée à la pression par l’intermédiaire de l’équation d’état. Ainsi pour un gaz parfait on a : P =rT

ρ . Pour un liquide isotherme supposé compressible on a : d χdP ρ

ρ ₌

où χest le coefficient de compressibilité isotherme. Ce coefficient varie peu avec la pression, pour l’eau dans les conditions normales on a : χ =5.10⁻¹⁰Pa⁻¹. (Voir un exemple de calcul aux travaux dirigés).

IV) Applications

IV-1) 1

^ère

application: Calcul des forces de pression exercées sur une plaque plane solide (forces hydrostatiques):

Soit une paroi (plaque) solide plane de surface S. Pour simplifier, supposons qu’elle est rectangulaire de dimensions a et b (S = ab). Appelons OXY le plan parallèle et confondu avec cette surface.

Rappelons que :

G

a

b Y

M X

*

X r Y

r

0

- Les coordonnées du centre d’inertie G de la plaque sont données par :





⁼

= S S

G XdXdY

XdS S

X S1 1

(Dans le cas de la plaque rectangulaireX_G =a/2)





⁼

= S S

G YdXdY

YdS S

Y S1 1

(Dans le cas de la plaque rectangulaireY_G =0) - Les moments quadratiques de la plaque par rapport aux axes OX etOY

r

r sont données, respectivement, par :

dS Y

IOX ⁼



S ² (Dans le cas de la plaque rectangulaireI_OX =ab³/3⁾ dS

X

IOY ⁼



S ² (Dans le cas de la plaque rectangulaireI_OY =a³b/3⁾

Supposons que cette plaque solide et plane est inclinée d’un angle α par rapport à l’horizontal en séparant deux milieux : d’un côté se trouve un fluide incompressible au repos (liquide) et de l’autre côté se trouve de l’air par exemple.

Cherchons à déterminer la force de pression subie par la plaque de la part du fluide et de l’air, (intensité, point d’application et direction). Faisons l’étude suivant la direction OX.

Choisissons le point O sur la surface libre et l’axe Oz dirigé vers le bas.

Soit un élément de paroi dS entourant un point M, tel queOM = X , situé à la profondeur zM = hM, au dessous da la surface libre du liquide et soit nr

la normale à dS, de longueur unité, dirigé vers le fluide. Soit Patm la pression atmosphérique, cet élément est soumis aux deux forces élémentaires de pression dF₁

r etdF₂

r , normales à dS et de directions opposées :

α

) dS (X M

Liquide

Air G

M

M h

z =

hG

X r O

zr

F2

d r

F1

d r

libre Surface nr Air

dS n P F

dr _atmr +

1 = est la force exercée par l’air et dFr P_MnrdS

−

2 = la force exercée par le liquide, où PM est la pression du liquide en contact avec dS. Cette pression est donnée par la relation (1,5) : P_M = P_atm+ρgh_M.

Ce qui donne : dFr P_atm gh_M nrdS )

2 =−( +ρ

D’où la force de pression totale exercée sur l’élément dS : dFr dFr dFr gh_MnrdS

ρ

−

= +

= _{1 2} Et puisque : ^hM = ^Xsinα ^{, alors}

dFr gX nrdS α ρ ^sin

−

= (1,6)

La force résultante agissant sur toute la surface solide S est donc donnée par :

[

^{g XdS}

]

ⁿ

n dS h g F

d

F S S M S

r r r

r ⁼



^=−ρ



^{= −ρ sinα}



Remarquons que dans ce cas le vecteur unitairenr

est le même quelle que soit la position de dS le long de la plaque.

L’intégrale _S¹



_S^XdS représente la coordonnée XG du centre de gravité G de la surface solide suivant OX. On a ainsi :

n S gX

Fr _G r

α ρ sin

−

= , c'est-à-dire :

n S gh

Fr _G r

ρ

−

= (1,7) n

dS gX

F

dr r

α ρ ^sin

−

=

nr

X O

Où S est l’aire de la surface et hG la profondeur où est situé son centre de gravité G.

En observant l’expression de F

ron remarque qu’elle représente le poids d’une colonne verticale d’eau de base S et de hauteur hG.

Sachant que pour la plaque rectangulaire : sin , .^{b et h a}2 α a

S = _G = alors :

b n ga

Fr r

α ρ ^sin

2

2.

−

= Centre de poussée:

On appelle centre de poussée, le point d’application de la résultanteF

r sur la paroi. Soit P ce point et XP sa coordonnée. Pour trouver ce point on va écrire que le moment de F

r par rapport au point O (par exemple) est égal à la somme des moments des forces élémentaires dF

r par rapport au même point.



^∧

=

∧F SOM dF P

O

r r r

r

Scalairement, cette relation s’écrit :



= _S

PF XdF

X

F et dF sont données par les relations (1,8) et (1,9). Ce qui donne : dS

X g

S gh

XP^ρ G ^{= ρ sinα}



S ²

L’intégrale X dS



S ² représente le moment quadratique de la plaque solide par rapport à son axe OY. Ce moment quadratique ne dépend que de la géométrie da la plaque. Appelons le IOY. En plus,

G G

X

= h α

sin , on tire alors de la relation précédente la coordonnée de centre de poussée :

G OY

P S X

OP I

X = = . (1,8) Pour une plaque rectangulaire : S=ab ,X_G=a/2 et I_OY=a³b/3 et donc : X_P a

3

= 2 .

On conclut alors que le centre de poussée est situé toujours au dessous du centre de gravité. (x_P f x_G).

Cas particuliers :

1) Plaque plane en position verticale :

Considérons une plaque S plane rectangulaire en position vertical (α =π/2) Supposons que la limite supérieure de la plaque coïncide avec la surface libre du liquide.

(Dans ce cas sinα = 1 eth_M = X ^).

La force exercée sur toute la plaque est donnée par la relation (1,7) :

F r gh

_G

S n r ρ

−

=

.

Ici hG=a/2. Et donc : aSn g

Fr r

ρ 2

−

=

Cette force totale est appliquée au point P (centre de poussée) :OP a 3

= 2 . X

h z= =

a

an gS

Fr r

ρ 2

−

= nr

→

← Liquide

Fond 0

P G

A

a OA=

2 / a OG =

6 / a GP= b n g a n

S gh

Fr _G r r

α ρ

ρ ^sin

2

2.

−

=

−

= hG

nr

h z=

α

O

) 2 / (a G

) 3 / 2 ( a P

libre Surface

2) Plaque plane en position horizontale :

Considérons une plaque solide S plane rectangulaire immergée horizontalement dans un liquide à une profondeur H par rapport à la surface libre. L’exemple le plus simple est le fond horizontal d’un vase rempli d’eau.

Dans ce cas tous les points M de la plaque sont situés à la même profondeur hM = H. La force de pression exercée sur un élément de surface entourant M est donc :

e cst dS n gH dS

n gh F

dr _Mr r r

=

−

=

−

= ρ ρ ^{, où nr}=−^zr.

La force de pression résultante exercée sur toute la plaque est donnée par la relation

(1,7) : F dF gh_GSn gHSn

S

r r r

r =



= −ρ =−ρ ^.

Elle représente le poids d’une colonne verticale d’eau de base S et de hauteur H.

Remarquons qu’ici, le centre de poussée P est confondu avec le centre de gravité G.

En effet :



^∧

=

∧F SOM dF P

O

r r r

r  ^{XPF =}



_S^{XdF  XPρgHS = ρgH}



_S^XdS

Et par suite : X_P = X_G

Remarquons enfin que cette force est indépendante de la forme géométrique du vase.

Quelle que soit la forme des vases, s’ils sont remplis d’un liquide de même nature à la même hauteur H, et s’ils ont un fond de même surface S, ce fond subit la même force de pression, alors que les vases ne contiennent pas la même quantité d’eau. (Paradoxe de l’hydrostatique).

P G≡

n gHS

Fr r

ρ

−

= nr

H

H

Plaque

↑ Liquide

F d

r

M

zr 0

Les fonds des 3 vases subissent la même force de pression F.

IV-2) 2

^ère

application : Calcul des forces de pression exercées sur une surface fermée – Théorème d’Archimède :

Soit une surface fermée Σ formant un solide de masse m et de volume V (donc il a une densité ρS = m/V). Ce corps est totalement immergé dans un fluide incompressible au repos, de densité ρf. Cherchons alors la valeur des forces de pression exercées par le liquide sur ce solide à travers Σ.

Les efforts exercés sur le solide sont :

- Les forces volumiques (exemple le poids du solide : _SVgzr ρ ⁾

- Les forces de pression exercées par le fluide à travers la surface fermée Σ: ⁻



_ ^Pnrd

Le but de ce paragraphe est de calculer ces forces de pression.

Imaginons qu’à la place du solide de volume V, il y a une certaine quantité du fluide occupant le même volume V et entouré par la même surface fermée Σ.

Liquide (V)

Σ

zr

Solide F H

r

F r F

r

nr 0

S S S

Le liquide contenu dans le volume V est en équilibre sous l’action des forces extérieures :

1) Le poids propre du fluide : mgr _fgVzr ρ

=

2) Les forces de pression exercées par le liquide à travers le contour Σ: −



Pnrd

. (Ce sont les mêmes forces de pression exercées précédemment sur le solide, et ce sont ces forces qu’on cherche)

L’équilibre nous donne : r r 0r

=

−



Pnd z

ρgV , c'est-à-dire : Pnrd gVzr

ρ

=

−



  D’où le théorème d’Archimède :

Les forces de pression exercées par un fluide pesant en équilibre sur un solide complètement immergé, admettent une résultante égale et directement opposée au poids du fluide déplacé, et appliquée au centre de gravité du fluide déplacé.

Nous pouvons aussi formuler ce principe de la façon suivante :

Tout corps plongé dans un fluide au repos subit une poussée de bas en haut égale au poids du fluide déplacé.

Pour un corps partiellement immergé, le volume déplacé est égal au volume immergé.

Le point d’application de la poussée d’Archimède (centre de poussée) P est confondu avec le centre de gravité de la partie immergée du solide. Donc si le solide est totalement immergé dans le liquide le centre de poussée coïncide avec le centre de gravité G du solide, si par contre le solide est partiellement immergé, les deux points sont différents.

(Voir quelques exemples aux travaux dirigés).

Liquide (V) Σ

zr

Liquide

CINEMATIQUE DES FLUIDES

La cinématique des fluides est l’étude du mouvement des fluides sans s’intéresser aux efforts qui causent et provoquent ce mouvement.

Soit un repère de référenceR (O,xr,yr,zr)

= par rapport auquel un fluide est en mouvement.

Il existe deux méthodes pour étudier le mouvement de ce fluide au cours du temps : la méthode lagrangienne et la méthode eulérienne.

I) Méthode (ou description) de Lagrange - Variables de Lagrange - Trajectoires :

La description de Lagrange consiste à suivre chaque particule fluide dans son mouvement au cours du temps (exactement comme on fait pour un point matériel).

A l’instant initial t = t0, on repère toutes les particules fluides par leurs positions

initiales. Soit une particule fluide M, à t = t0:

















=

0 0 0

) (

z y x t M

O _o

r

En suite, au cours du temps, on suit chaque particule fluide dans son mouvement, c'est-à-dire on suit sa trajectoire (lieu de ses positions successives au cours du temps).

A un instant ultérieur t, la nouvelle position de la particule fluide M est donnée par :

















=

) , , , (

) , , , (

) , , , ( ) (

0 0 0

0 0 0

0 0 0

t z y x z

t z y x y

t z y x x t M O

r

) , , ,

(x₀ y₀ z₀ t

x ,y(x₀,y₀,z₀,t)etz(x₀,y₀,z₀,t)sont appelées : variables lagrangiennes.

(Ce sont les coordonnées cartésiennes, à l’instant t, de la particule fluide M).

xr

yr zr

fluide

de Ecoulement





O

Ainsi on peut déterminer la vitesse et l’accélération de la particule fluide, à l’instant t, par rapport au repère R :

















=

=

z y x dt

M M dO

V_t

&

&

&

r r )

( , et

















=

= Γ

z y x dt

M O M d

t

&

&

&

&

&

&

r r

2 2

) (

Cette description lagrangienne a un inconvénient, c’est qu’on ne peut pas calculer certaines quantités très utiles en mécanique des fluides telles que le gradient ou la divergence de la vitesse. Mais elle peut présenter une utilité certaine, par exemple lorsque l’on veut suivre un traceur ou un aérosol dans un écoulement.

Une notion, très utilisée en pratique, est ce qu’on appelle les lignes d’émission : la ligne d’émission est la courbe qui contient, à l’instant t, toutes les particules qui ont passé par un point géométrique P donné antérieurement (avant l’instant t). Cette ligne d’émission est dite relative au point P.

xr

yr zr

O

) (t₀ M

) (t

M* V_t(M) r )

(t N

)

0(M V_t

r ) (t₀ N

*

↓

↓

↓

N de e Trajectoir

) (t₁

M M(t₂)

) (t₃ M )

(t₀ M

) (t₂ N

) (t₃

N ←Trajectoires→

) (M C )

(N C

/ 'émission P d

Ligne ' tan ³

/ '

t t ins l à

P émission d

Ligne )

(t₁ N P

M de e Trajectoir

↑

↑

II) Méthode (ou description) d’Euler - Variables d’Euler – Lignes de courant :

Dans la description Eulérienne, on ne s’intéresse pas aux particules fluides elles mêmes. On ne les suit pas dans leurs trajectoires. Mais on prend l’écoulement à un instant t, et on mesure les vitesses des différents points de l’espace de l’écoulement. Ces vitesses sont celles des particules fluides qui passent par ces points à cet instant t.

Cette représentation donne donc une image instantanée de tout l’écoulement. Ainsi le mouvement est caractérisé par le champ des vitesses. Pour tout point M de coordonnées x, y

et z, on définit le vecteur vitesse à l’instant t :

















=

) , , , (

) , , , (

) , , , ( ) (

t z y x w

t z y x v

t z y x u M V

r .

) , , , (x y z t

u , v(x,y,z,t) et w(x,y,z,t) sont appelées variables d’Euler. Elles représentent les composantes du vecteur vitesse de la particule fluide qui passe par le point M à l’instant t.

Remarquons que dans la description Eulérienne on ne peut pas parler de trajectoires comme on l’a fait dans la description Lagrangienne. Mais par contre on peut définir une autre famille de courbes qu’on appelle lignes de courant.

Par définition, on appelle ligne de courant, la courbe tangente en chacun de ces points au vecteur vitesse en ce point à l’instant t.

) (M V

r )

(N V

r

) (P V

r

) (Q V

r

* M

* N

* P

* Q

t t ins l à

Ecoulement ' tan O

L’équation des lignes de courant se déduit directement de la définition en écrivant qu’un petit déplacement drr

de composantes (dx, dy, dz) le long de la ligne de courant est colinéaire au vecteur vitesse V(u,v,w)

r local : Vr cstedrr

= . . Ce qui donne l’équation :

) , , , ( ) , , , ( ) , , ,

( w x y z t

dz t

z y x v

dy t

z y x u

dx = = (2,1)

Notons la différence entre les trajectoires et les lignes de courant. Les lignes de courant donnent une image des directions des vitesses aux différents points à un instant donné, c’est une visualisation instantanée du champ de vitesses. Alors que les trajectoires donnent une image des directions de vitesses prises successivement au cours du temps pour une même particule.

Le cas particulier des écoulements permanents, c'est-à-dire tels que le champ des vitesses soit indépendant du temps, a une propriété intéressante : les lignes de courant étant indépendantes du temps, la particule qui parcourt le chemin dr Vdt

r r

= pendant la durée dt reste toujours sur la même ligne de courant, et celle-ci est donc aussi une trajectoire. C’est seulement dans ce cas particulier des écoulements permanents que les lignes de courant et les trajectoires coïncident entre elles.

*

* V(M) r

) (N V

r

) (t M

) (t N

*

) (Q V

r

) (t Q )

(P V ) r (

* t P

↓

↑

t t ins l à

courant de

Lignes tan '

III) Accélération d’une particule fluide – Dérivée particulaire :

1) Calcul de l’accélération :

Dans l’écoulement le plus général, la vitesse en chaque point est fonction des coordonnées du point et du temps. La dérivée

t V

∂

∂r

représente, non pas la variation de vitesse d’une particule fixée, mais la variation de vitesse en un point fixé ; ce n’est donc pas l’accélération d’une particule fluide qui, par nature, est une quantité lagrangienne.

Considérons la particule qui se trouve en M(x, y, z) à l’instant t avec la vitesseV(u,v,w)

r . Les

composantes de la vitesse u, v et w dépendent de x, y, z et le temps t. Le vecteur accélération est calculé par :





















= Γ

= Γ

= Γ

=

= Γ

dt dw

dt dv dt du

dt V d

z y

r x

r

La variation totale de la composante u, par exemple, est donnée par : z dz

dy u y dx u x dt u t du u

∂ +∂

∂ +∂

∂ +∂

∂

= ∂

Avec dx = udt, dy = vdt et dz = wdt. L’accélération selon x est obtenue par : u

t V u u d gra t V u z w u y v u x u u t u dt du

x +( .∇)

∂

= ∂

∂ +

= ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

=

Γ r r r r

∇r

Étant l’opérateur « nabla ».

Il en sera de même pour les composantes Γ_y etΓ_z. ) ( . v t V

v v d gra t V v z w v y v v x u v t v dt dv

y + ∇

∂

= ∂

∂ +

= ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

=

Γ r r r r

) (

. w

t V w w d gra t V w z w w y v w x u w t w dt dw

z + ∇

∂

= ∂

∂ +

= ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

=

Γ r r r r

Finalement le vecteur accélération est donné par : V d gra t V

V V t V

V dt

V

d r r rrr

r r r r

r r

∂ +

= ∂

∇

∂ +

= ∂

=

Γ ( . ) (2,2)

L’accélération totale est la somme d’une accélération partielle t V

∂

∂r

et d’une accélération dite convectiveV gradV

rr r r

. .

Cette dérivée dt

V d

r

est appelée : dérivée particulaire ou dérivée totale.

2) Généralisation :

Cette dérivée particulaire appliquée aux composantes de la vitesse peut être généralisée à n’importe quelle grandeur physique. En effet soit f

r (x, y, z, t) une fonction vectorielle quelconque au point M. Pour dériver f

r par rapport au temps on peut : 1) Se placer en un point fixe M(x, y, z) et décrire l’évolution de f

ren ce point. Les x, y et z sont considérés comme constants et la dérivée obtenue est la dérivée partielle classique

t f

∂

∂r .

2) Décrire l’évolution de f

r en suivant la particule dans son mouvement, qui pendant la durée dt elle parcourt la distance drr

avec une vitesseV r. On obtient ainsi la dérivée particulaire ou totale de f

r : V grad f t

f dt

f

dr r r rrr + .

∂

= ∂ .

IV) Débit massique – Débit volumique :

Considérons un écoulement de fluide traversant une surface S par exemple. Soit M un point de S et dS un élément infinitésimal entourant M et orienté par un vecteur unitairenr

.

On appelle débit massique de fluide à travers S, la masse fluide traversant S pendant l’unité du temps, il est donné par :



= S

m VndS

Q rr

ρ (2,3) ρ étant la densité du fluide V

r et est sa vitesse au point M. On l’exprime en (Kg/s). Il correspond au flux de V

ρ r à travers S.

) (M V

r

nr

dS ) (S

On appelle débit volumique de fluide à travers S, le volume fluide traversant S pendant l’unité du temps, il est donné par :



= S

Vm VndS

Q rr

(2,4) Il est exprimé en (m³/s) et il représente le flux du vecteur vitesse à travers S.

Remarquons que dans le cas où le fluide est incompressible on a : Q_m =ρQ_V.

V) Equation de continuité (conservation de la masse):

L’équation de continuité (ou conservation de la masse) est l’une des équations fondamentales de la mécanique des fluides. Elle exprime la conservation de la masse.

Soit un écoulement fluide. Considérons le parallélépipède élémentaire de dimensions dx, dy, dz. Son volume est dV = dx.dy.dz La figure ci-dessous représente sa projection sur le plan (x, y).

On va écrire que la variation, pendant dt, de la masse du fluide contenu dans le volume dV est égale à la différence des masses du fluide entrant et du fluide sortant par les faces externes de dV.

A l’instant t la masse du fluide contenue dans le volume dV est : ρdV = ρdxdydz.

A l’instant t+dt, elle devient : dt dxdydz t )

( ∂

+∂ρ

ρ ^.

La variation de cette masse durant le temps dt est donc : dtdxdydz

∂t

∂ρ (2, 5,1) x y

ρu

ρv

x dx u u

∂ +∂(ρ ) ρ

y dy v v

∂ +∂(ρ ) ρ

dx dy

A B

D C

u v

Par ailleurs, la masse fluide entrant par la face AD pendant dt est : (ρu)dydzdt^. (ça correspond au débit massique à travers la face AD)

Et la masse fluide sortant par la face BC est : dx dydzdt x

u ( u) )

( ∂

+∂ ρ

ρ . Ce qui donne

une différence égale à : dxdydzdt x

u)) ( (

∂

− ∂ ρ . En faisant le même bilan des masses pour

les autres faces, on obtient : dxdydzdt y

v)) ( (

∂

− ∂ ρ _et

dxdydzdt z

w)) ( (

∂

− ∂ ρ _.

Donc la variation de la masse du volume dV est : dxdydz

z w y

v x

u 



 





∂ +∂

∂ +∂

∂

− ∂(ρ ) (ρ ) (ρ ) (2, 5, 2)

En égalant les expressions (2, 5,1) et (2, 5,2) et en divisant par dxdydz dt on a : ) 0

( ) ( )

( =

∂ +∂

∂ +∂

∂ +∂

∂

∂

z w y

v x

u t

ρ ρ

ρ

ρ (2, 6,1)

C’est l’équation de continuité générale dans le cas où le flux est conservatif (on suppose donc qu’il n’ y a pas à l’intérieur de dV ni sources (gain en masse) ni puits (perte en masse))

Cette équation de continuité s’écrit sous la forme condensée suivante : 0

)

( =

∇

∂ +

∂ V

t

r r ρ

ρ Ou + ( )=0

∂

∂ Div V t

ρr

ρ (2, 6,2)

Cas particuliers :

Si le fluide est en mouvement permanent (stationnaire : =0

∂

∂

t ), l’équation de continuité devient :

Div( V)=0 ρr

Si en plus le fluide est incompressible (ρ = cste) on a :

=0

∂ +∂

∂ +∂

∂

= ∂

z w y v x V u Div

r

Conséquence :

Considérons un écoulement permanent de fluide incompressible à l’intérieur d’une conduite cylindrique ou prismatique de section variable. (Ce type d’écoulement est très fréquent en mécanique des fluides). Le fluide entre par la section d’entrée S1 avec une vitesse V1 et sort par la section de sortie S2 avec une vitesse V2.

La conservation de la masse stipule qu’en tout point M de l’écoulement:DivV =0

r , où V

rest le vecteur vitesse.

Soit un élément de volume dV entourant le point M, alors on peut écrire queDivV.dV =0

r . Soit V un volume fini quelconque entourant M, on peut par conséquent

écrire que : . 0

)

( =



_V ^{DivVrdV .}

Soit S la surface externe qui englobe le volume V. Chaque élément de surface dS de S est orienté vers l’extérieur de V par un vecteur unitairenr

. Le théorème de la divergence nous

permet d’écrire : . . . 0

) ( )

(





_V ^{DivVrdV =} _S ^{VrnrdS =}

Appliquons cette relation pour le volume limité par les faces AB, BC, CD et

DA : . . . 0

)

( ( ) 1

)

( 2

)

(

  



_AB^VrABnrABdS+ _BC ^{Vr nrBC dS+} _CD^VrCDnrCDdS+ _DA^{Vr nrADdS =}

Or : . . . . 0

) ( )

(





_AB^{VrABnrABdS =} _CD^{VrCDnrCDdS =} , car le vecteur vitesse V

rest perpendiculaire aux vecteurs unitaires nr_AB

et nr_CD

respectivement au niveau des parois AB et CD : (Vr_AB.nr_AB =Vr_CD.nr_CD =0

).

V1

r V₂

r

↓

solide Paroi

solide Paroi

↑

Sortie A

B C

D

nrAB

nrBC

nrCD

nrDA

S1 ^{Entrée M*} S²

nr

=

* M

dV V nr

dS

← S

En plus (voir figure) : nr_BC nr_DA nr

=

−

= , alors on peut dire que pour un écoulement permanent de fluide incompressible à l’intérieur d’une conduite cylindrique ou prismatique de section variable, la conservation de la masse se traduit par :





_(DA)^{Vr1.nr.dS =} _(BC)^Vr2.nr.dS

Physiquement, cela veut dire que le flux volumique entrant est égal au flux volumique sortant.

Si, en plus, on suppose que la vitesse d’entrée V1 est constante sur toute la section d’entrée DA (S1) et la vitesse de sortie V2 est constante sur toute la section de sortie BC (S2), alors :

V1.S1=V2.S2

Si S₂ f S₁ alors V₂ p V₁

VI) Etude des écoulements irrotationnels :

1) Définition et conséquence :

Un écoulement est dit irrotationnel (ou à potentiel des vitesses) si le rotationnel des vitesses est nul : rr 0r

= V t

ro .

Or le fait que rr 0r

= V t

ro implique qu’il existe une fonction ϕ(x,y,z)telle que :





















∂

= ∂

∂

= ∂

∂

= ∂

=

=

w z v y u x z y x d gra V

ϕ ϕ ϕ ϕ^{( , , )}

r r

(2,10)

La fonction ϕ(x,y,z) est appelée « potentiel des vitesses » ou « fonction potentielle ».

Ainsi le champ des vitesses est complètement déterminé par la fonctionϕ(x,y,z)^.

V1 V₂

S1 S₂

2) Cas d’un écoulement irrotationnel permanent de fluide incompressible :

Considérons le cas particulier où le fluide est incompressible avec un écoulement permanent. Dans ce cas on a vu que l’équation de continuité est donnée par :

=0

∂ +∂

∂ +∂

∂

= ∂

z w y v x V u Div

r . L’équation (2,10) nous donne alors :

0 )

( ₂

2 2 2 2 2

∂ = +∂

∂ +∂

∂

= ∂

∆

= x y z

d gra

Div ^rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ (2,11)

Ainsi dans un écoulement irrotationnel et permanent de fluide incompressible, le potentiel vérifie l’équation de Laplace (2,11). On dit que la fonction ϕ(x,y,z) est harmonique.

Les surfaces ϕ(x,y,z)=cstesont appelées équipotentielles.

3) Etude des écoulements plans :

On suppose dans cette partie que l’écoulement est permanent, à potentiel des vitesses (irrotationnel) et qu’il se fait dans le plan (x, y) pour un fluide incompressible. Ainsi le champ des vitesses a deux composantes u(x, y) et v(x, y) : V(u,v)

r , et ce champ est calculé à partir da la fonction potentiel des vitesses ϕ(x,y)vérifiant l’équation de Laplace :

0 )

,

( ₂

2 2

2 =

∂ +∂

∂

= ∂

∆ϕ x y xϕ yϕ (2,12) Les composantes de la vitesse sont calculées alors par :

y x x

u ∂

= ∂ϕ ) ,

( Et

y y x

v ∂

= ∂ϕ ) ,

( (2,13) Ainsi tout le problème se réduit à la recherche de cette fonctionϕ(x,y)^.

Remarquons que si on travaille en coordonnées polaires (^r,θ ), le champ des vitesses a deux composantes : une composante radiale ^ur(^r,θ)et une composante ortho-radiale^u_θ(^r,θ)^. C ce champ est calculé à partir da la fonction potentielle ϕ(^r,θ)vérifiant l’équation de Laplace :

1 0 )

,

( ₂

2 2 2

2 =

∂ + ∂

∂

= ∂

∆ θ

ϕ θ ϕ

ϕ r r r Les composantes de la vitesse sont calculées alors par :

r r u_r

∂

= ∂ϕ θ⁾ ,

( Et

θ θ ϕ

θ ∂

= ∂ r r

u 1

) ,

(