M´ ethode multipas.

Universit´e de Pau et des Pays de l’Adour Master 1 MMS, 2015 D´epartement de Math´ematiques Analyse Num´erique Fondamentale

Devoir maison.

M´ethode de Runge-Kutta. M´ethode multipas.

Exercice 1. M´ethode de Runge-Kutta.

Les m´ethodes de Runge-Kutta s’´ecrivent sous la forme suivante:



















k_i = f(t_n+c_ih, y_n+h

q

X

j=1

a_i,jk_j) , 16i6q , Φ(t_n, y_n, h) =

q

X

j=1

b_jk_j ,

y_n+1 = y_n+hΦ(t_n, y_n, h) ,

(1)

o`uh >0 et A= (a_i,j) est triangulaire inf´erieure stricte.

1. Pour touti, 16i6q, on posey_n,i=y_n+h

q

X

j=1

a_i,jk_j. Montrer que la m´ethode (1) peut s’´ecrire



















yn,i = yn+h

q

X

j=1

ai,jf(tn+cjh, yn,j) , 16i6q , Φ(t_n, y_n, h) =

q

X

j=1

b_jf(t_n+c_jh, y_n,j) , yn+1 = yn+hΦ(tn, yn, h).

(2)

2. Soit λ > 0 un param`etre r´eel. On applique cette m´ethode sous la forme (2) pour discr´etiser le probl`eme

( y⁰(t) =−λy(t), t >0

y(0) =y₀. (3)

On poseY_n= [y_n,1,· · · , y_n,q]^T, et e= [1,· · · ,1]^T ∈R^q. Montrer que le vecteur Y_n v´erifie le syst`eme deq ´equations

(I+hλA)Y_n =ey_n . 3. Montrer que la valeur approch´eey_n+1 de y(t_n+1) v´erifie

y_n+1 =R(hλ)y_n , o`u R(hλ) = (1−hλb^T(I+hλA)⁻¹e) .

1

4. On suppose que la m´ethode est d’ordrep. Montrer que la fonction de stabilit´e R(x) doit v´erifier

R(x) = 1−x+ x²

2! +· · ·+ (−1)^px^p

p! +O(x^p+1). 5. Montrer en utilisant (4) que pour x assez petit, la fonctionR v´erifie

R(x) = 1 +

∞

X

k=1

(−x)^kb^TA^k−1e .

En d´eduire que les conditions suivantes sont n´ecessaires pour que la m´ethode soit d’ordrep:

b^TA^k−1e= 1

k! , 16k6p .

6. On suppose que la m´ethode est explicite. Montrer en utilisant (5) que la fonction R v´erifie

R(x) = 1−x+x²

2! +· · ·+ (−1)^px^p p! +

q

X

k=p+1

(−x)^kb^TA^k−1e .

Remarque 0.1 Si pour une norme matricielle donn´ee, kBk < 1, alors la matrice I−B est inversible, et son inverse est donn´ee par la s´erie g´eom´etrique

(I−B)⁻¹ =

∞

X

k=0

B^k (4)

Si la matriceA∈ M_q(R)est strictement triangulaire inf´erieure, alors d`es quej >q, on aura

A^j = 0 . (5)

M´ ethode multipas.

Nous avons ´etudi´e en cours uniquement des m´ethodes `a un pas. Dans ce cas, le calcul dey_n+1 ne fait intervenir que les instantst_n ett_n+1. Il existe aussi des m´ethodes qui font intervenir des instants ant´erieurs. Ce sont les m´ethodes multipas.

On s’int´eresse au probl`eme de Cauchy suivant

( y⁰(t) =f(t, y(t)), t >0

y(0) =y₀. (6)

On choisit un pash >0, on d´efinit les instants t_n (t_n+1 =t_n+h),n >0, et on note fn =f(tn, yn). Les m´ethodes multipas (`a k+ 1 pas) lin´eaires associ´ees au probl`eme (6) ont la forme suivante

y_n+1+α₀y_n+· · ·+α_kyn−k =h(β−1f_n+1+β₀f_n+· · ·+β_kfn−k) . (7) 2

Ces m´ethodes sont dites lin´eaires car la formule (7) est lin´eaire par rapport `a f.

Exercice 2. Un sh´ema `a deux pas.

On va s’int´eresser `a une m´ethode `a 2 pas d´efinie par

yn+1+α0yn+α1yn−1 =hβfn+1 . (8) Est-elle implicite ou explicite? La formule (8) peut ˆetre utilis´ee pourn>1, le calcul de y₁ se faisant par exemple en utilisant la m´ethode d’Euler implicite. Pour cette m´ethode, l’erreur locale de consistance est donn´ee par

τ_n=y(t_n+1)−α₀y(t_n)−α₁y(tn−1)−hβf(t_n+1, y(t_n+1)). Par d´efinition, la m´ethode est d’ordre psi τ_n=O(h^p+1) .

1. On suppose que la solution y est de classe C³ et : y(t_n) 6= 0, y⁰(t_n) 6= 0 et y⁰⁰(t_n)6= 0. D´eterminer les coefficientsα₀,α₁ etβ de sorte que la m´ethode (8) soit d’ordre 2.

2. En d´eduire que la m´ethode s’´ecrira y_n+1+ 4

3y_n− 1

3yn−1 = 2h 3 f_n+1 .

3. On ´etudie par la suite la stabilit´e de cette m´ethode en l’appliquant au probl`eme ( y⁰(t) =−λy(t), t >0

y(0) =y₀, (9)

o`u λ >0 est un param`etre r´eel. V´erifier que les y_n satisfont la relation yn+1(1 + 2λh

3 ) + 4

3yn− 1

3yn−1 = 0 .

4. Montrer qu’il existe r₁, r₂ ∈Rtels que les y_n satisfonty_n=a₁r₁ⁿ+a₂rⁿ₂. 5. Conclure quant `a la convergence de la m´ethode (8) d’ordre 2 appliqu´ee au

probl`eme (9).

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