Ch 3 : Triangles et Quadrilatères
I Vocabulaire des angles
1) Angles complémentaires, angles supplémentaires
Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de
leurs mesures est égale à 90°. Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de
leurs mesures est égale à 180°.
2) Angles adjacents
Deux angles sont adjacents lorsque : -‐ ils ont le même sommet.
-‐ ils ont un côté commun.
-‐ ils sont situés de part et d’autre du côté commun.
3) Angles opposés par le sommet
Deux angles sont opposés par le sommet lorsque : -‐ ils ont le même sommet.
-‐ leurs côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre.
Propriété : Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure 4) Angles alternes-‐internes et correspondants
Deux droites (d) et (d’) coupées par une sécante (D)
définissent deux paires d’angles alternes-‐internes. Deux droites (d) et (d’) coupées par une sécante (D) définissent quatre paires d’angles correspondants.
II Angles et droites parallèles
1) Deux propriétés servent à démontrer que des angles ont la même mesure.
Propriété 1 : Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors deux angles alternes-‐internes ont même mesure.
Hypothèses de l’énoncé :
ce que je sais (données) Conclusion : ce que je démontre
• On sait que les droites (d) et (d’) sont parallèles.
• On sait aussi que (d) et (d’) sont coupées par une sécante.
Les deux angles codés sont alternes-‐internes.
Donc, à l’aide de la propriété 1, on démontre que ces deux angles ont la même mesure.
→
Propriété 2 : Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors deux angles correspondants ont même mesure.
Hypothèses de l’énoncé : ce que je sais (données) Conclusion : ce que je démontre
• On sait que les droites (d) et (d’) sont parallèles.
• On sait aussi que (d) et (d’) sont coupées par une sécante.
Les deux angles codés sont correspondants.
Donc, à l’aide de la propriété 2, on démontre que ces deux angles ont la même mesure.
→
2) Deux propriétés servent à démontrer que deux droites sont parallèles.
Propriété 3 : Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-‐internes de même mesure, alors ces droites sont parallèles.
Hypothèses de l’énoncé : ce que je sais (données) Conclusion : ce que je démontre
• On sait que (d) et (d’) sont coupées par une sécante.
• On sait aussi que les deux angles alternes-‐internes codés ont la même mesure.
Donc, à l’aide de la propriété 3, on démontre que (d) et (d’) sont parallèles.
→
Propriété 4 : Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors ces droites sont parallèles.
Hypothèses de l’énoncé : ce que je sais (données) Conclusion : ce que je démontre
• On sait que (d) et (d’) sont coupées par une sécante.
• On sait aussi que les deux angles correspondants codés ont la même mesure.
Donc, à l’aide de la propriété 4, on démontre que (d) et (d’) sont parallèles.
→
Remarque : On dit que les propriétés 3 et 4 sont les propriétés réciproques des propriétés 1 et 2.
III Angles et Triangles Propriété :
Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180 °
Propriété : Si un triangle est ……….., alors il a deux angles de même mesure.
Propriété :
Si un triangle est ……….., alors chacun de ses angles mesure …………
Propriété :
Si un triangle est rectangle, alors la somme de ses deux angles aigus est égale à ………..
On dit aussi que les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont COMPLEMENTAIRES
IV Inégalité triangulaire
Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
Exemple :
Dans le triangle ABC, on a :
𝑨𝑩< 𝐴𝐶+𝐶𝐵
𝑨𝑪< 𝐴𝐵+𝐵𝐶
𝑩𝑪< 𝐵𝐴+𝐴𝐶
V Reconnaître des triangles égaux et des triangles semblables Définition :
Deux triangles sont égaux lorsque leurs côtés sont deux à deux de même longueur.
Propriétés :
Si deux triangles ont, deux à deux,
-‐ un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur ou
-‐ un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure.
alors ils sont égaux
Définition :
Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont deux à deux de même mesure.
Propriétés :
-‐ Si deux triangles sont égaux alors ils sont semblables. Par contre deux triangles semblables ne sont pas forcément égaux.
-‐ Pour démontrer que deux triangles sont semblables, il suffit de démontrer que deux paires d’angles sont de même mesure.
Propriété
Si deux triangles ABC et A’B’C’ sont semblables, alors les longueurs des côtés opposés aux angles égaux sont proportionnelles.
On a donc !!"!!! =!!"!!!=!!"!!!=𝑘 (k est un réel non nul) Si 𝑘<1 , alors A’B’C’est une réduction de ABC de rapport k Si 𝑘>1 , alors A’B’C’ est un agrandissement de ABC de rapport k
VI Reconnaître un parallélogramme
Définition : Un quadrilatère qui a un centre de symétrie est un parallélogramme. Le centre de symétrie est appelé centre du parallélogramme.
Propriété :
-‐ Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leurs milieux.
-‐ Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles
-‐ Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés ont la même longueur.
Propriété : Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme
-‐ Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de la même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
-‐ Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme
-‐ Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles alors ce quadrilatère est un parallélogramme -‐ Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c’est un parallélogramme
VII Reconnaître un parallélogramme particulier Définitions :
-‐ Un rectangle est un quadrilatère dont les 4 angles sont droits
-‐ Un losange est un quadrilatère dont les 4 côtés sont de même longueur
-‐ Un carré est un quadrilatère dont les 4 angles sont droits et les 4 côtés de même longueur.
Les carrés sont des rectangles et des losanges particuliers
Le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes particuliers donc ils ont toutes les propriétés du parallélogramme.
Si un quadrilatère est un RECTANGLE alors ses diagonales sont de même longueur Si un quadrilatère est un LOSANGE alors ses diagonales sont perpendiculaires Le carré possède les propriétés du losange et du rectangle
Comment démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle ou un losange ou un carré ?
Utilisation de ce schéma pour retrouver des propriétés :
-‐ Si un PARALLELOGRAMME a ses diagonales perpendiculaires alors c’est un LOSANGE
-‐ Si un PARALLELOGRAMME a 2 côtés consécutifs égaux alors c’est un LOSANGE
-‐ Si un PARALLELOGRAMME a un angle droit alors c’est un RECTANGLE
-‐ Si un PARALLELOGRAMME a ses diagonales de même longueur alors c’est un RECTANGLE
-‐ Si un RECTANGLE a ……… alors c’est un CARRE
-‐ Si un RECTANGLE a ……… alors c’est un CARRE
-‐ Si un LOSANGE a ……….. alors c’est un CARRE
-‐ Si un LOSANGE a ……….. alors c’est un CARRE
Il existe d’autres formulations possibles pour les propriétés permettant de reconnaître un parallélogramme particulier.
