E309 - Une famille nombreuse Solution
On désigne par a, b, c, d, e et f les six âges des enfants. Ils sont tous distincts car les sommes des âges pris 2 à 2 sont toutes différentes. On prend donc a < b < c < d < e < f .On sait par ailleurs que a + b + c + d + e + f <100 et que tous les âges sont >=1.
Soient s1, s2, s3, s4, s5, s6 les six plus petites sommes obtenues par Diophante parmi les 6*5/2 = 15 couples d’âges possibles.
Les deux plus petites sommes s1 et s2 ne peuvent être obtenues qu’avec les deux équations a + b = s1 et a + c = s2 c – b = s2 – s1. S’agissant de s3, on a deux possibilités : a + d = s3 et b+c = s3. Si b + c = s3, on en déduit c = (s3 + s2 – s1)/2 . Comme s1, s2 et s3 sont des nombres impairs il n’y a pas de solution entière pour c. Donc a + d = s3. En poursuivant ce raisonnement avec s4, on a de nouveau deux possibilités : a + e = s4 ou b+c = s4.Ce dernier cas est de nouveau exclu car s4 est impair. La relation b + c = s5 est également impossible et on a donc a + f = s5.
En résumé on a donc les relations : a + b = s1 ; a + c = s2 ; a + d = s3 ; a + e = s4 et a + f = s5.
Ces équations ne sont pas suffisantes pour déterminer les âges ce qui explique la première réponse d’Hippolyte.
La sixième somme s6 est paire. On a donc b + c = s6 et l’on est en mesure de calculer a, b, c, d, e, f en fonction des six sommes :
a = (s1 + s2 – s6)/2 b=(s1 – s2 + s6)/2 c = (–s1 + s2 + s6)/2 d = (2*s3 + s6 – s1 –s2)/2 e= (2*s4 + s6 – s1 –s2)/2 f =(2*s5 + s6 – s1 –s2)/2
De la même manière, on peut calculer les sommes s7 à s15 (pas nécessairement dans l’ordre croissant) en fonction des six sommes :
s7 = b + d = s6 + s3 – s2 s8 = b + e = s6 + s4 – s2 s9 = b + f = s6 + s5 – s2 s10 = c + d = s6 +s3 – s1 s11 = c + e = s6 + s4 – s1 s12 = c + f = s6 + s5 – s1
s13 = d + e = s6 + s4 + s3 – s2 – s1 s14 = d + f = s6 + s5 +s3 - s2 - s1 s15 = e + f = s6 +s5 + s4 – s2 – s1
sachant que les sommes s_i pour i=1 à 15 sont toutes différentes entre elles s5 + s2 <>s4 + s3 ; s5 + s1 <> s4 + s3 ; s5 + s1 <> s4 + s2 ; s5 + s1 <> s3 + s2; s4+s1 <> s3 + s2
Par ailleurs a + b + c + d + e + f <100 2*s6 + s5 +s4 +s3 – s2 –s1 <100
On pose s6 = 2*k.
Dès lors s5<= 2*k-1, s4<=2*k-3, s3<=2*k-5, s2<=2*k-7 et s1<=2*k-9 Comme a = (s1 + s2 – s6)/2 > 0, on a 2*k – 7 + 2*k – 9 > 2*k soit k > 8
La plus petite valeur possible de k est 9 et s6 a pour minimum 18. Un ordinateur donne très rapidement les valeurs possibles de s6 et les solutions correspondantes en s1,s2,s3,s4 et s5. A
défaut de disposer de moyens de calcul, on trouvera en annexe le tableau récapitulatif de toutes les configurations possibles.
C’est ainsi qu’Hippolyte retient les solutions suivantes :
(s1, s2, s3, s4, s5, s6) (a, b, c, d, e, f )
11, 17, 21, 23, 25, 26 1, 10, 16, 20, 22, 24 somme des âges = 93 11, 19, 21, 23, 27, 28 1, 10, 18; 20, 22, 26 somme des âges = 97 13, 19, 23, 25, 27, 28 2, 11, 17, 21, 23, 25 somme des âges = 99 15, 17, 19, 23, 29, 30 1, 14, 16, 18, 22, 28 somme des âges = 99 Logiquement, Hippolyte n’est toujours pas en mesure de donner une solution unique.
L’incertitude est levée quand Diophante dit que l’enfant le plus jeune avait commencé à marcher il y a un an. Cela signifie qu’il a deux ans et la solution unique est donnée par : 2, 11, 17, 21, 23 et 25 ans.
Annexe : tableau récapitulatif des valeurs possibles de s6
Les cases colorées en rose permettent d’identifier les impossibilités soit la somme des âges
>99 soit les sommes s5+s2=s4+s3 etc…
Les quatre configurations retenues par Hippolyte sont encadrées en noir et les nombres sont en caractères bleus.
s6 s1 s2 s3 s4 s5 s5+s1 s5+s2 s4+s3 s4+s2 s4+s1 s3+s2
somme des âges
18 9 11 13 15 17 26 28 28 26 24 24 61
20 9 13 15 17 19 28 32 32 30 26 28 69
20 11 13 15 17 19 30 32 32 30 28 28 67
22 9 15 17 19 21 30 36 36 34 28 32 77
22 11 13 15 17 19 30 32 32 30 28 28 71
22 11 13 15 17 21 32 34 32 30 28 28 73
22 11 13 15 19 21 32 34 34 32 30 28 75
22 11 13 17 19 21 32 34 36 32 30 30 77
22 11 15 17 19 21 32 36 36 34 30 32 75
22 13 15 17 19 21 34 36 36 34 32 32 73
24 9 17 19 21 23 32 40 40 38 30 36 85
24 11 15 17 19 21 32 36 36 34 30 32 79
24 11 15 17 19 23 34 38 36 34 30 32 81
24 11 15 17 21 23 34 38 38 36 32 32 83
24 11 15 19 21 23 34 38 40 36 32 34 85
24 11 17 19 21 23 34 40 40 38 32 36 83
24 13 15 17 19 21 34 36 36 34 32 32 77
24 13 15 17 19 23 36 38 36 34 32 32 79
24 13 15 17 21 23 36 38 38 36 34 32 81
24 13 15 19 21 23 36 38 40 36 34 34 83
24 13 17 19 21 23 36 40 40 38 34 36 81
24 15 17 19 21 23 38 40 40 38 36 36 79
26 9 19 21 23 25 34 44 44 42 32 40 93
26 11 17 19 21 23 34 40 40 38 32 36 87
26 11 17 19 21 25 36 42 40 38 32 36 89
26 11 17 19 23 25 36 42 42 40 34 36 91
26 11 17 21 23 25 36 42 44 40 34 38 93
26 11 19 21 23 25 36 44 44 42 34 40 91
26 13 15 17 19 21 34 36 36 34 32 32 81
26 13 15 17 19 23 36 38 36 34 32 32 83
26 13 15 17 19 25 38 40 36 34 32 32 85
26 13 15 17 21 23 36 38 38 36 34 32 85
26 13 15 17 23 25 38 40 40 38 36 32 89
26 13 15 19 21 23 36 38 40 36 34 34 87
26 13 15 19 21 25 38 40 40 36 34 34 89
26 13 15 19 23 25 38 40 42 38 36 34 91
26 13 15 21 23 25 38 40 44 38 36 36 93
26 13 17 19 21 23 36 40 40 38 34 36 85
26 13 17 19 21 25 38 42 40 38 34 36 87
26 13 17 19 23 25 38 42 42 40 36 36 89
26 13 17 21 23 25 38 42 44 40 36 38 91
26 13 19 21 23 25 38 44 44 42 36 40 89
26 15 17 19 21 23 38 40 40 38 36 36 83
26 15 17 19 21 25 40 42 40 38 36 36 85
26 15 17 19 23 25 40 42 42 40 38 36 87
26 15 17 21 23 25 40 42 44 40 38 38 89
26 15 19 21 23 25 40 44 44 42 38 40 87
26 17 19 21 23 25 42 44 44 42 40 40 85
s6 s1 s2 s3 s4 s5 s5+s1 s5+s2 s4+s3 s4+s2 s4+s1 s3+s2
somme des âges
28 9 21 23 25 27 36 48 48 46 34 44 101
28 11 19 21 23 25 36 44 44 42 34 40 95
28 11 19 21 23 27 38 46 44 42 34 40 97
28 11 19 21 25 27 38 46 46 44 36 40 99
28 11 19 23 25 27 38 46 48 44 36 42 101
28 11 21 23 25 27 38 48 48 46 36 44 99
28 13 17 19 21 23 36 40 40 38 34 36 89
28 13 17 19 21 25 38 42 40 38 34 36 91
28 13 17 19 21 27 40 44 40 38 34 36 93
28 13 17 19 23 25 38 42 42 40 36 36 93
28 13 17 19 23 27 40 44 42 40 36 36 95
28 13 17 19 25 27 40 44 44 42 38 36 97
28 13 17 21 23 25 38 42 44 40 36 38 95
28 13 17 21 23 27 40 44 44 40 36 38 97
28 13 17 21 25 27 40 44 46 42 38 38 99
28 13 17 23 25 27 40 44 48 42 38 40 101
28 13 19 21 23 25 38 44 44 42 36 40 93
28 13 19 21 23 27 40 46 44 42 36 40 95
28 13 19 21 25 27 40 46 46 44 38 40 97
28 13 19 23 25 27 40 46 48 44 38 42 99
28 13 21 23 25 27 40 48 48 46 38 44 97
28 15 17 19 21 23 38 40 40 38 36 36 87
28 15 17 19 21 25 40 42 40 38 36 36 89
28 15 17 19 21 27 42 44 40 38 36 36 91
28 15 17 19 23 25 40 42 42 40 38 36 91
28 15 17 19 23 27 42 44 42 40 38 36 93
28 15 17 19 25 27 42 44 44 42 40 36 95
28 15 17 21 23 25 40 42 44 40 38 38 93
28 15 17 21 23 27 42 44 44 40 38 38 95
28 15 17 21 25 27 42 44 46 42 40 38 97
28 15 17 23 25 27 42 44 48 42 40 40 99
28 15 19 21 23 25 40 44 44 42 38 40 91
28 15 19 21 23 27 42 46 44 42 38 40 93
28 15 19 21 25 27 42 46 46 44 40 40 95
28 15 19 23 25 27 42 46 48 44 40 42 97
28 15 21 23 25 27 42 48 48 46 40 44 95
28 17 19 21 23 25 42 44 44 42 40 40 89
28 17 19 21 23 27 44 46 44 42 40 40 91
28 17 19 21 25 27 44 46 46 44 42 40 93
28 17 19 23 25 27 44 46 48 44 42 42 95
28 17 21 23 25 27 44 48 48 46 42 44 93
28 19 21 23 25 27 46 48 48 46 44 44 91
s6 s1 s2 s3 s4 s5 s5+s1 s5+s2 s4+s3 s4+s2 s4+s1 s3+s2
somme des âges
30 9 23 25 27 29 38 52 52 50 36 48 109
30 11 21 23 25 27 38 48 48 46 36 44 103
30 13 19 21 23 25 38 44 44 42 36 40 97
30 13 19 21 23 27 40 46 44 42 36 40 99
30 15 17 19 21 23 38 40 40 38 36 36 91
30 15 17 19 21 25 40 42 40 38 36 36 93
30 15 17 19 21 27 42 44 40 38 36 36 95
30 15 17 19 21 29 44 46 40 38 36 36 97
30 15 17 19 23 25 40 42 42 40 38 36 95
30 15 17 19 23 27 42 44 42 40 38 36 97
30 15 17 19 23 29 44 46 42 40 38 36 99
30 15 17 19 25 27 42 44 44 42 40 36 99
30 15 17 21 23 25 40 42 44 40 38 38 97
30 15 17 21 23 27 42 44 44 40 38 38 99
30 15 17 21 25 27 42 44 46 42 40 38 101
30 17 19 21 23 25 42 44 44 42 40 40 93
30 17 19 21 23 27 44 46 44 42 40 40 95
30 17 19 21 23 29 46 48 44 42 40 40 97
30 17 19 21 25 27 44 46 46 44 42 40 97
30 17 19 21 25 29 46 48 46 44 42 40 99
30 17 19 23 25 27 44 46 48 44 42 42 99
30 17 21 23 25 27 44 48 48 46 42 44 97
30 17 21 23 25 29 46 50 48 46 42 44 99
30 17 21 25 27 29 46 50 52 48 44 46 103
30 19 21 23 25 27 46 48 48 46 44 44 95
30 19 21 23 25 29 48 50 48 46 44 44 97
30 19 21 23 27 29 48 50 50 48 46 44 99
30 19 23 25 27 29 48 52 52 50 46 48 99
32 9 25 27 29 31 40 56 56 54 38 52 117
32 11 23 25 27 29 40 52 52 50 38 48 111
32 13 21 23 25 27 40 48 48 46 38 44 105
32 15 19 21 23 25 40 44 44 42 38 40 99
32 17 19 21 23 25 42 44 44 42 40 40 97
32 17 19 21 23 27 44 46 44 42 40 40 99
32 17 19 21 23 25 42 44 44 42 40 40 97
32 17 19 21 23 27 44 46 44 42 40 40 99
32 17 21 23 25 27 44 48 48 46 42 44 101
