Université Paris 13, Institut Galilée CCS – Probabilités & Statistiques Année universitaire 2013–2014
Examen partiel du 3 mars 2014
Durée : 3 heures
Une feuille A4 manuscrite et nominative de notes et une calculatrice sont autorisées.
La qualité de la présentation et de la rédaction seront prises en considération (veiller à écrire des phrases pour répondre aux questions, à bien expliquer et justifier les calculs effectués).
Quand un résultat numérique est demandé, on en donnera une valeur approchée.
Un barême approximatif (pour une note sur 20 points) est donné ci-dessous à titre d’information. On pourra noter qu’il n’est pas nécessaire de réussir tout le sujet pour avoir la note maximale.
Exercice 1 – Digicode (4 points). Un code à l’entrée d’un immeuble est constitué de 4 chiffres entre 0 et 9 puis d’une lettre parmi A, B et C. On suppose que les chiffres du code sont tous différents.
1. Quel est le nombre de codes possibles ?
2. En regardant de loin quelqu’un composer le code, on constate qu’il commence par 1 ou par 2, et ne contient pas de 3. Combien cela laisse-t-il de possibilités ?
3. En se rapprochant, au vu de l’usure des touches, on se rend compte que le code doit être formé des chiffres 2, 4, 5 et 7. Combien cela laisse-t-il de possibilités ? (On se rappelle que le code commence par 1 ou 2 et ne comporte pas de 3)
4. En fait, l’usure du 7 n’est pas bien nette, donc on sait seulement que le code contient les chiffres 2, 4 et 5, commence par 1 ou 2 et ne contient pas de 3. Combien y a-t-il de possibilités ?
Exercice 2 – Retards en cours (6 points). Dans une université, sur 500 étudiants en première année de licence, 100 font le trajet à pieds, 350 viennent en transports en commun, et 50 arrivent en voiture. On a constaté que ceux qui viennent à pied sont toujours à l’heure, ceux qui prennent les transports en commun sont en retard 15% des jours, et ceux qui viennent en voiture sont en retard un jour sur 10. On suppose que le fait pour un étudiant d’arriver en retard est indépendant d’un jour à l’autre.
1. Quelle est la probabilité pour qu’un étudiant, pris au hasard, arrive en retard ?
2. Un étudiant vient d’arriver en retard. Quelle est la probabilité qu’il soit venu en voiture ? 3. Sur les 10 premiers jours, un étudiant est arrivé en retard 3 fois.
3.a)S’il venait en voiture, quelle est la probabilité que ceci arrive ?
3.b)Même question s’il venait en transports en commun. Même question s’il venait à pied.
3.c)Quelle est la probabilité qu’il soit venu en voiture ?
4. Sur les 10 premiers jours, un étudiant a toujours été à l’heure. Quelle est la probabilité qu’il vienne à pieds ?
Exercice 3 –Coût d’une garantie (10 points). Un fournisseur d’ordinateurs propose à ses clients d’acheter une garantie de 2 ans : si une pièce tombe en panne pendant les deux premières années, alors le remplacement de la pièce est prise en charge par le fournisseur. Afin de fixer le prix de la garantie, on étudie le coût moyen à la charge du fournisseur. Deux types de pannes peuvent survenir : celles du disque dur et de l’alimentation.
Suite au verso...
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NB. Les questions 1 et 2 de l’exercice sont indépendantes entre elles.
1.Disque dur.On suppose que la durée de vieT d’un disque dur est donnée par une loi de densité fT(t) =ct−4 sit > 3
2 etfT(t) = 0 sinon, où cest une constante ettest exprimé en années.
1.a)Déterminer la valeur de la constantec telle quefT est une densité de probabilité.
1.b)Calculer l’espérance de T.
1.c)Calculer la variance de T et son écart-type.
1.d)Calculer la fonction de répartitionFT de T.
1.e)Quelle est la probabilité, notée pd, que la panne du disque dur soit couverte par la garantie de 2 ans ?
2.Alimentation.On suppose que la durée de vieV d’une alimentation électrique d’ordinateur admet la fonction de répartition suivante :
FV(v) =
0 si v <0
1
4v2 si 0≤v <1 1−121 (4−v)2 si 1≤v <4
1 si v≥4.
2.a)FV est-elle continue ? Calculer la densitéfV de V.fV est-elle continue ? 2.b)Représenter graphiquementFV etfV.
2.c)Quelle est la probabilité que la panne de l’alimentation soit couverte par la garantie de 2 ans ? On la notera pa.
3.Coût total.Remplacer un disque dur coûteCd= 100e, et remplacer une alimentationCa= 30e. On suppose que ces deux pièces sont indépendantes, et en particulier il est possible que les deux tombent en panne avant 2 ans et doivent être remplacées.
3.a)Quelle est la probabilité qu’un client utilise la garantie ? L’exprimer en fonction depd etpa puis donner une valeur numérique.
3.b)Quel est l’espérance du coût de la garantie pour le fournisseur ?NB. On suppose que si une pièce (ou les deux) est remplacée, la pièce de remplacement est de bonne qualité et ne tombe pas en panne avant la fin de la garantie.
Exercice 4 – Recherche d’erreur (5 points). On sait que parmi lesn composants électroniques dont on dispose, 2 sont défaillants, mais on ignore lesquels. On teste les composants un par un en les choisissant au hasard et en mettant de côté les composants déjà testés.
On noteXle nombre de composants qu’il faudra tester jusqu’à trouver le premier composant défaillant (on a doncX = 1 si le premier composant testé est l’un des deux défaillants).
1. Que vaut P(X= 1)?P(X= 2)?P(X= 3)?(N’oubliez pas d’expliquer votre réponse) 2. Calculer P(X=k)pour tout k∈ {1, . . . ,n}. On vérifiera que, après simplifications,
P(X=k) = 2(n−k) n(n−1). 3. Calculer E[X]etE X
n−X
. On pourra utiliser :
n
X
k=1
k= n(n+ 1)
2 et
n
X
k=1
k2 = n(n+ 1)(2n+ 1)
6 .
2
