G130. Embouteillages
2007 voitures roulent dans le même sens sur une route où il est impossible de doubler. On suppose que chacune des voitures a la même probabilité d’occuper un quelconque des rangs dans ce défilé et que leurs vitesses intrinsèques (hors embouteillages) sont toutes distinctes. Ces voitures se répartissent alors en groupes avec en tête de chacun d’eux une voiture plus lente que toutes celles qui la suivent. Quelle est la valeur moyenne de ?
Source : Sam Steingold
Solution
Une voiture qui finit en tête de groupe possède une vitesse inférieure à toutes celles qui la précède (dans le cas contraire, elle rattraperait le groupe devant elle). En remarquant, en outre, que seule importe la relation d’ordre entre les vitesses, et non les vitesses elles-mêmes, on peut reformuler le problème en ces termes:
Appelons l’ensemble des permutations de 1, … , , et prenons l’une des permutations de .On pose 1, \ , .
Quelle est la valeur moyenne de quand décrit ?
On construit à partir de de la façon suivante : 1 , … , 1 , , , … , 1 \ 1, , On distingue deux cas :
• 1 ! , 1 , … , 1 ! " 1
• # 1 !
On en déduit la relation $ 1 $ " 1 " 1 $ ! ". Pour 0, & 0. On conclut donc que ∑()( *.
Dans le cas de 2007 voitures, il se forme en moyenne *+&&,- 8,1818 groupes.
