D 333. 2D dans 3D
Q1*** - Six points A, B, C, D, E et F dans l’espace sont tels que les segments AB, BC et CD sont
respectivement parallèles aux segments DE, EF et FA. Par ailleurs la distance AB est strictement supérieure à la distance DE. Démontrer que les six points sont dans un même plan.
Q2**** - On considère quatre points A, B, C et D dans l’espace qui n’appartiennent pas à un même plan. Les segments AB, BC, CD et DA sont tangents à une même sphère aux points I, J, K et L.
Démontrer que les quatre points I, J, K et L sont dans un même plan.
Solution proposée par Michel Lafond :
Q1. Les lettres grecques désignent des scalaires et le reste désigne des vecteurs.
Posons (en vecteurs) u = AB, v = BC, w = CD.
Par hypothèse, il existe des scalaires , , tels que : DE = u EF = v FA = w.
Donc 0 = AB + BC + CD + DE + EF + FA = (1+) u + (1+) v + (1+) w est le vecteur nul.
De deux choses l’une :
a) Ou bien (1+) = (1+) = (1+) = 0 et dans ce cas la figure est un parallélépipède rectangle avec DE = AB EF = BC FA = CD.
b) Ou bien les coefficients (1+), (1+), (1+) ne sont pas tous nuls, ce qui signifie que u, v, w sont liés linéairement et la figure est plane.
Comme AB > DE (en longueur) on n’est pas dans le cas a) donc la figure est plane.
Q2.
Les tangentes à la sphère sont AB, BC, CD, DA et les points de contact I, J, K, L. [Figure 1]
On a bien sûr AI = AL BI = BJ CJ = CK et DK = DL.
"Déplions" la figure autour de la droite (BD) de manière à ce que ABCD soient coplanaires, ce qui conserve les égalités précédentes.
Distinguons deux cas :
Si IL BD alors d’après Thalès, BI = DL donc BJ = DK donc JK BD et dans ce cas IL JK.
Ce parallélisme est conservé après repliage, donc I, J, K, L sont coplanaires.
Si IL n’est pas parallèle à BD alors d’après le raisonnement précédent, JK n’est pas parallèle à BD.
IL coupe la droite BD en P, JK coupe la droite BD en Q, et d’après Ménélaus utilisé 2 fois :
QD QB JC JB KD KC KD
JB LD
IB IA IB LD
LA PD
PB .
Donc P = Q et on a la figure 2 ci-dessous :
A
B
C
D I
J
K L
Figure 1
Quand on replie autour de (BD), PQIJKL restent coplanaires. (Constamment dans le plan PLK).
**************
En toute rigueur, il faut démonter que P et Q sont du même côté de [BD] sur la droite (BD).
Allons-y : [Voir la figure 3]
Puisque IL n’est pas parallèle à BD, on peut supposer IB < DL.
Donc AB < AD d’où < .
Soit L’ sur AD tel que IL’ BD. < entraîne AI < AL’ donc AL < AL’.
L est entre A et L’ donc P est plus près de B que de D sur (BD).
C’est la même chose pour Q ce qui prouve bien que P et Q sont du même côté du segment [BD].
A
B
C
D I
J K
L
Figure 2 P = Q
A I
B D
L
L’
Figure 3 P
