CCP PC 2010 , math II parties 1 et 3

CCP PC 2010 , math II parties 1 et 3

PARTIE 1

1. Dcontient tous le réels sauf les entiers strictement négatifs. Les fonctionsun sont donc toutes dé…nies surDpourn 1:

De plus on a l’équivalent entre suites positives : 1 (n+x)²

1

n² , donc par comparaison à une série de Riemann (2>1) 8x2 D,

+1

X

n=1

1

(n+x)² est dé…nie 2.

1. On véri…e par récurrence : 8x2 D,u^(p)_n (x) = ( 1)^p(p+ 1)!

(n+x)^2+p : sip= 0,8x2 D, u⁽⁰⁾_n (x) = ( 1)⁰(1)!

(n+x)²⁺⁰ est bon.

sip= 1,8x2 D, u⁰_n(x) = 2

(n+x)³ = ( 1)¹(1 + 1)!

(n+x)²⁺¹ si8x2 D, u^(p)_n (x) =( 1)^p(p+ 1)!

(n+x)^2+p alors 8x2 D,u^(p+1)_n (x) = ( 1)^p(p+ 1)! 1

(n+x)^2+p

0

= ( 1)^p(p+ 1)! (p+ 2)

(n+x)^2+p+1 =( 1)^p+1(p+ 2)!

(n+x)^2+(p+1) et donc on a bien :

8p2N,8x2 D,u^(p)_n (x) = ( 1)^p(p+ 1)!

(n+x)^2+p

2. pour n 1: x >(n+x)^2+pest croissante positive sur [a; b]car(n+x)est toujours positif. et donc : 8p2N;8x2[a; b] , u^(p)_n (x) u^(p)_n (a)

le majorant est indépendant de xet X

u^(p)_n (a) converge caru^(p)_n (a) (p+ 1)! 1

n^p+2 avecp+ 2>1:

Xu^(p)_n converge normalement sur [a; b] ] 1;+1[

3. On a toutes les hypothèses du théorème de dérivation termes à termes : 8n2N,un est de classeC¹ sur] 1;+1[.

8p2N,X

u^(p)_n converge normalement sur tout segment inclus dans] 1;+1[:

et donc

U 2C¹(] 1;+1[;R)

3.

1.

U(x) =

+1

X

n=1

1 (n+x)² =

XN n=1

1 (n+x)² +

+1

X

n=N+1

1 (n+x)²

= XN n=1

1 (n+x)²+

+1

X

n=N+1

1

((n N) + (x+N))²

= XN n=1

1 (n+x)²+

+1

X

m=1

1

(m+x)² en posant m=n N

= U_N(x) +U(x+N)

8x2 D,U(x) =U_N(x) +U(x+N)

2. Si x2] N 1; N[ , x+N 2] 1;0[ et doncx!U(x+N) est C¹ sur ] N 1; N[ , par composition de fonctionC¹:UN est une somme d’un nombre …ni de fonctionsC¹sur] N 1; N[, donc estC¹sur ce domaine.

Donc par somme de fonctionsC¹,U 2C¹(] N 1; N[;R). CommeD= ([N2N ] N 1; N[)[] 1;+1[,U estC¹ surD.

3. D’après le théorème de dérivation termes à termes duI.2.3. on a,vue la convergence normale, sur] 1;+1[, U^(p)(x) =

+1

X

n=1

( 1)^p(p+ 1)!

(n+x)^2+p = ( 1)^p(p+ 1)!

+1

X

n=1

1 (n+x)^2+p Si on se place sur] N 1; N[ :

U(x) =UN(x) + (U(x+N))

UN est une somme …nie de fonctionsC¹, et on peut donc dériver termes à termesU_N^(p)(x) = XN n=1

( 1)^p(p+ 1)!

(n+x)^2+p On a d

dx(U(x+n)) =U⁰((x+n)donc par récurrence immédiate : (U(x+n))^(p)=U^(p)(x+N)et donc : (U(x+n))^(p)=

+1

X

n=1

( 1)^p(p+ 1)!

(n+x+N)^2+p =

+1

X

n=N+1

( 1)^p(p+ 1)!

(n+x)^2+p

en ajoutant les 2 on aU(x) =

+1

X

n=1

( 1)^p(p+ 1)!

(n+x)^2+p par réunion des intervalles :

8x2 D; U^(p)(x) = ( 1)^p(p+ 1)!

+1

X

n=1

1 (n+x)^2+p

Sur ] N 1; N[, on ne sait pas si on a convergence normale ou pas. On ne peut pas dériver termes à termes sans précaution.

4. sur] N 1; N[et sur] N; N+ 1[on aU(x) =UN(x) +U(x+N) = 1 (N+x)+

NX1 n=1

1

(n+x)²+U(x+N). comme U est continue en 0 (question I.2.3) et que x!

NX1 n=1

1

(n+x)² est continues en N (somme de frantions rationnelles à dénominateur non nul ) ,

NX1 n=1

1

(n+x)² +U(x+N)admet une limite …nie enx= N , alors que 1

(N+x)² tend vers +1. donc

U(x) x! N

1 (N+x)²

5.

1. D’après le calcul de dérivée au 3.2. on aU⁰(x) = 2

+1

X

n=1

1

(n+x)³ <0pour x > 1. donc : U décroît strictementsur ] 1;+1[

2. soit :t! 1

(t+x)² . La fonction est décroissante sur] x;+1[donc sur[0;+1[(carx >0), donc sur chaque segment[n; n+ 1]pourn 0 :

8t2[n; n+ 1], 1 (n+ 1 +x)²

1 (t+x)²

1 (n+x)² on intègre la relation sur[n; n+ 1]

8n 1,un+1(x)

Z n+1 n

dt

(t+x)² un(x) et pourn = 0: un+1(x)

Z n+1 n

dt (t+x)² On a donc :

d’une part pour n 1: Z n+1

n

1

(t+x)² un(x). On peut sommer de1 àN : Z N+1

1

dt

(t+x)² UN(x) on fait le changement de variableC¹:T =t+x:

Z N+x+1 x+1

dT

T² UN(x) et si N tend vers+1:

Z +1 x+1

dT

T² U(x) d’autre part pourn 0: un+1(x)

Z n+1 n

dt

(t+x)²soit pourn 1,un(x) Z n

n 1

dt

(t+x)² d’oùUN(x) Z N

0

dt (t+x)² =

Z x+N x

dT T² et par passage à la limite

U(x)

Z +1 x

dT T² Mais

Z y x

dT T² = 1

x 1

y !y!+1

1 x donc

8x >0 , 1

x+ 1 U(x) 1 x donc par encadrement comme 1

x 1 x+ 1 :

U(x) +1

1 x

Les 5/2 peuvent utiliser l’intégrabilité des fonctions , mais n’oubliez pas que dans ce cas il faut dire que le changement de variable est C¹ bijectif.

6. On sépare les termes pairs et les termes impairs . Les deux sériesX 1

(2k+x)² etX 1

(2k 1 +x)² sont toutes les deux convergentes car le terme général est dé…ni positif et équivalent à 1

4k²:Donc pourx2 D: : U(x) =

+1

X

k=1

1 (2k+x)²+

+1

X

k=1

1 (2k 1 +x)²

= 1 4

+1

X

k=1

1 (k+x=2)² +

+1

X

k=1

1

(k+ ( 1 +x)=2)²

!

= 1 4 U x

2 +U x 1 2 8x2 D ,U(x) =1

4 U x

2 +U x 1 2

PARTIE II elle porte sur les intégrales à paramètres

PARTIE III voir les graphes à la …n 1. gest continue,C_pm¹ sur[ ; [,

Par périodegest continue en donc en ⁺ et g( ) =g( ) = =2 = lim(g), doncg est continue sur[ ; ]donc surRpar période.

sur[0; [,g⁰(x) = 1admet une limite …nie en . Doncg estC_pm¹ sur une période donc surR. gest continue ,2 périodiqueC_pm¹ surRdonc développable en série de Fourier sur R

2.

1. g est paire donc

8n2N ,bn(f) = 0 2. On a toujours avec la parité :

a₀(g) = 2Z

0 2 x dx= 2 2

2

2 = 0 pour n >0 :

a_n(g) = 2Z

0 2 x cos(nx)dx on peut intégrer par parties : u=

2 x , u⁰ = 1 , v= sin(nx)

n , v⁰ = cos(nx), comme n6= 0 ,u; v sont bien C¹sur[0; ]

an(g) = 2

2 x :sin(nx) n ₀ +1

n Z

0

sin(nx)dt

= 2

: 1

n²[ cos(nx)]₀ =2 (1 ( 1)ⁿ) n² =

8<

:

0sin= 2k est pair 4

(2k 1)² sin= 2k 1 est impair On a donc :

Sg(x) =

+1

X

k=1

4 cos ((2k 1)x) (2k 1)²

3.

1. On écrit queS_g(0) =g(0)d’après la question 1. On a donc 2 =

+1

X

k=1

4 1

(2k 1)² soit

+1

X

k=1

1 (2k 1)² =

2

8

2. On a :

U( 1=2) =

+1

X

n=1

1

(n 1=2)² = 4

+1

X

n=1

1 (2n 1)² =

2

2

En appliquant I:6 enx= 0on a4U(0) =U(0) +U( 1=2)doncU(0) =U( 1=2)=3 = ²=6 U( 1=2) = ²=2 ,U(0) = ²=6

remarque U(0) =

+1

X

n=1

1 n² =

2

6 est classique.

remarque : avec I:3:1 on peut calculer U(N)pour N 2Net U(N 1=2) pour N 2Z 4. La fonctiong étant continue par morceaux on peut appliquer la formule de Parseval :

a₀(g)²

2 +

+1

X

n=1

an(g)²+bn(g)² = 1Z

g(t)²dt

ici

a0(g)²

2 +

+1

X

n=1

a_n(g)²+b_n(g)² = 16

2 +1

X

k=1

1 (2k 1)⁴ et

1Z

g(t)²dt= 2Z

0 2 t ²dt= 2Z

0 4

2

t+t²dt= 2 ³ 4

3

2 +

3

3 =

2

6

et donc :

+1

X

k=1

1 (2k 1)⁴ =

4

96

Comme les 3 séries convergent on peut écrire

+1

X

n=1

1 n⁴ =

+1

X

k=1

1 (2k)⁴ +

+1

X

k=1

1

(2k 1)⁴ = 1 16

+1

X

k=1

1 (k)⁴ +

+1

X

k=1

1 (2k 1)⁴

d’où :

+1

X

n=1

1 n⁴ = 16

15

+1

X

k=1

1 (2k 1)⁴

+1

X

n=1

1 n⁴ = 1

90

5.

1. On a G(x) = Z x

0

g(t)dtet donc g( x) = Z x

0

g(t)dt= Z x

0

g( u) ( du) = Z x

0

g(u)du= G(x)carg est paire.

remarque : les autres primitives de gne sont pas impaires.

On a G(x+ 2 ) = Z x+2

0

g(t)dt=G(x) + Z x+2

x

g(t)dt:

Mais gest 2 périodique donc Z x+2

x

g(t)dt= Z 2

0

g(t)dt= a₀(g) = 0. DoncG(x+ 2 ) =G(x) Gest impaire 2 périodique

remarque : le calcul montre que la primitive d’une fonction hcontinue 2 périodique est aussi 2 périodique , si et seulement si a₀(h) = 0

2. g étant continue 2 périodique et C_pm¹ la série de Fourier de g converge normalement versg . On a une série de fonctions continue qui converge normalement, on peut donc l’intégrer termes à termes :

g(x) =

+1

X

k=1

4 cos ((2k 1)x) (2k 1)²

ce qui donne en prenant les primitives nulles en 0(par hypothèseG(0) = 0 ) : G(x) =

+1

X

k=1

4 sin ((2k 1)x) (2k 1)³

La série précédente converge toujours normalement , donc sa somme est développable en série de Fourier et les coe¢ cients sont les coe¢ cients de Fourier :

8n2N,an(G) = 0,8k2N , b2k(G) = 0; b2k+1(G) = 4 (2k 1)²

On peut aussi donner les an(G)par parité , et faire une intégration par partie dans bn(G)qui donnera an(g) n 3. On utilise de nouveau la formule de Parseval avecGcontinue par morceaux ,2 périodique :

16

2 +1

X

k=1

1

(2k 1)⁶ = 2 Z

0

G(t)²dt

Or :

8x2[0; [, G(x) = Z x

0 2 t dt=

2x x² 2

et

Z

0

G(t)²dt = Z x

0 2x x² 2

2

dx

= Z x

0 2

4 x²

2x³+x⁴ 4 dx

=

5

12

5

8 +

5

20 =

5

120

on a donc :

16

2 +1

X

k=1

1

(2k 1)⁶ = 2 :

5

120

soit +X1

k=1

1 (2k 1)⁶ =

6

960

et donc par convergence des séries, en séparant les termes pairs et impairs. :

+1

X

n=1

1 n⁶ = 1

2⁶

+1

X

k=1

1 k⁶+

6

960

+1

X

n=1

1 n⁶ =

6

945