N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
J. S ADIER
Développement d’un certain déterminant
Nouvelles annales de mathématiques 4
esérie, tome 4 (1904), p. 205-208
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[Bic]
DÉVELOPPEMENT D'HIV CERTAIN DÉTERMINANT;
PAR M. J. SADIKR.
Dans la Théorie des nombres de E. Lucas (p. 286) on propose le développement d'un déterminant A défini de la manière suivante :
Les éléments de la diagonale principale sont
Donc
~ x
= y
pour pour
Une solution a été donnée («/. S,, 1892, p. 54) par M. Schoute, en considérant des déterminants auxi- liaires. En voici une solution directe.
Pour abréger récriture, nous prendrons n— 4 :
A =
Posons
a x x x y b x x y y c x y y y d
(a, j3, Yi S) = <*— #? ^—#> c — x, d—x
Introduisons une colonne d'éléments égaux à i et une ligne d'éléments égaux à o, sauf le premier égal à i. On a
A =
1 o o o o 1 a x x x 1 y b x x 1 y y c x y y y y d
I X X X X j a o o o 1 z (3 o o 1 z z y o I Z Z Z §
en retranchant la première colonne multipliée par x de chacune des autres. On a ensuite
A = X
0 i 1 1 1
1 a o o o 1 z fi o o 1 z z y o 1 z z z 8
- » - M * .
En retranchant la première colonne multipliée par y de chacune des autres, on obtient de même
0 I I I
1
a' o
0
o
1
z
P'
0
o
1
z z o
]
z z z o
M' =
Nous allons montrer que Ton a M'=M.
Dans le déterminant M', ajoutons la première ligue multipliée par z à chacune des suivantes} on a
M'=
0 I T T T 1 a o o o i z p o o I z z Y °
= M ( a ' — z = z).
z z z 8
On a donc les deux relations
A =/(a?)-hMa?,
Éliminons M,
A = •
x —y Q. E . I .
Remarque I. — Dans le déterminant, le signe — a été placé au-dessus du nombre, comme pour les caractéris- tiques négatives des logarithmes, ce qui est moins encombrant.
( 308)
Remarque II. — Dans la réponse indiquée par E. Lucas, on a dans le second membre le facteur (-—i)".
Cela provient de ce que E. Lucas a représenté par f(x) le produit U(x — a).
On évite ce facteur en posant f(x) = B{a — x).
