Chapitre 10

Chapitre 10 – LACS

10.1 Typologie

10.2 Hydrodynamique lacustre

10.2.1 Equations des eaux de surface 10.2.2 Equations locales instantanées 10.2.3 Approximations de Boussinesq

10.2.4 Equations locales : moyennes temporelles 10.2.5 Equations des moyennes spatiales

10.2.6 Modèles pratiques

10.3 Modèles géochimiques de type boîte noire pour le phosphore

10.3.1 Rôle du phosphore dans le milieu lacustre 10.3.2 Hypothèses et formalisation

10.3.3 Les apports annuels en phosphore total 10.3.4 La rétention nette du phosphore dans les lacs 10.3.5 Traitement par abaques

10.3.6 Période de demi-récupération 10.3.7 Limites d’applicabilité

10.4 Modèles biogéochimiques

10.4.1 Nature de l’approche 10.4.2 Hypothèses et formalisation 10.4.3 Modèle de production primaire

10.4.4 Modèle de sédimentation, minéralisation, relargage 10.4.5 Méthode de résolution

10.5 Modèles écologiques

10.5.1 Modélisation de la cinétique des processus écologiques 10.5.2 Fonctions de pondération

10.5.3 Sous-modèle d’assimilation – croissance du phytoplancton 10.6 Conclusion

Bibliographie

10.1 Typologie

Les processus naturels en milieu lacustre ont été traités mathématiquement très tôt dans l'histoire de la limnologie (renouvellement des eaux, période des seiches, etc.). Jusqu'à une époque relativement récente, les études limnologiques ont surtout été de nature réductionniste, privilégiant le lac au détriment de son environnement (le bassin versant) ou négligeant un sous-système (exemple: le biota) au profit d'un autre (physique ou chimique).

La vision holistique qui consiste à considérer les systèmes dans leur intégralité et qu'on retrouve dans l'approche systémique a évolué par de nombreuses phases dans le domaine de la connaissance des lacs. Rigler [1975] en a identifié 5 principales ayant pris naissance au cours de ce siècle et se poursuivant de nos jours: classification des lacs (1910→), corrélation (1925→), modification expérimentale des lacs naturels (1940→), cinétique (1950→), flux amont-aval (1960→). On pourrait ajouter la phase actuelle de « synthèse numérique » (1970→) marquée par la pénétration de l’informatique et 1épanouissement de l'approche systémique dans le domaine de la limnologie.

Cette dernière phase va faire l'objet de notre contribution. Elle a produit un grand nombre de modèles qui, pour la plupart, ont retenu l'aspect dynamique (cinétique) et ouvert (flux amont-aval) des approches précédentes. Au début, les modèles étaient souvent limités à un sous-système particulier. Le couplage des sous-systèmes physiques, chimiques et biologiques dans les modèles numériques est de plus fraîche date et constitue 1a tâche ambitieuse des limnologues numériciens.

On constate donc que les modèles de lacs évoluent vers une plus grande complexité de représentation. La figure 10-1 propose une sémantique et un schéma d'interrelation de ces modèles qui seront utilisés pour la suite de cette contribution. On y distingue d'abord les modèles physiques qui apportent les éléments indispensables de la dynamique du transfert aux autres types de modèles. Ce sont les modèles de renouvellement des flux, de température, de courant et de dispersion. Ensuite, interviennent les modèles chimiques, la plupart étant basés sur le rôle limitant des éléments nutritifs: le phosphore (P) principalement, mais aussi l'azote (N), le carbone (C) et la silice (Si). Ces éléments sont parfois traités en tenant compte de leurs formes spécifiques dans le milieu (spéciation). Lorsque les phénomènes chimiques sont pris en considération simultanément avec des aspects physiques - c'est le cas la plupart du temps - on a un modèle géo-chimique. D'autre part, on rencontre parfois un type de modèle géo- chimique qui comprend une référence implicite à des processus biochimiques sans prévoir de variable d'état pour la partie vivante de l'écosystème (biomasse); par exemple, certains modèles mettent l'emphase sur les cinétiques de transformation du phosphore de sa forme assimilable vers les formes organiques et inversement. Nous allons désigner ce type de modèle par le terme bio-géochimique. Lorsqu'un modèle de lac met l'emphase explicitement sur l'écosystème, c'est-a-dire la chaîne trophique, son environnement et leurs interactions dynamiques réciproques, nous avons alors un modèle écologique. Chahuneau et al. [1980] en voient deux types: à niveaux trophiques condensés (ex.: une seule variable d'état pour toute la biomasse de phytoplancton) ou subdivisés (une variable d’état pour chacun des grands groupes d'algues: les diatomées, les vertes et/ou les bleues-vertes, etc.). Souvent, la prise en compte des aspects physiques ou chimiques est simplifiée au profit de la complexité de représentation des aspects écologiques et inversement.

En termes de prise en compte de l'espace, les modèles de lacs, particulièrement les modèles physiques et géochimiques, peuvent être distribués dans une, deux ou même trois dimensions. Mais le degré de distribution sera souvent sacrifié pour faire place à la

complexité chimique et biologique. La plupart du temps, les modèles écologiques ou bio- géochimiques considèrent les lacs sur une base agrégée¹ ou par tranches horizontales. On voit aussi, mais plus rarement, des modèles de ce type traiter le problème dans les trois dimensions, mais les difficultés de calage, la grande quantité de données d'entrée requises et les coûts de calcul rendent l'opération extrêmement coûteuse.

La typologie que nous venons de décrire va nous servir de plan pour ce chapitre. On comprendra que la tâche présente est périlleuse car une si vaste perspective ne nous permettra pas d'aller en détail dans la description de chacune des approches particulières. Nous entendons d'abord privilégier les approches ayant prouvé leur efficacité soit dans un processus de gestion, soit dans la synthèse de connaissances. Il s'agit pour nous de présenter ces modèles sous la forme des relations mathématiques de base. Mentionnons qu’il s’avère parfois difficile de réconcilier les notations issues de disciplines diverses. Parfois, nous avons préféré conserver les notations originales des auteurs cités pour faciliter la référence à leurs écrits originaux. En outre, il nous est apparu plus souhaitable de montrer comment la complexité des phénomènes lacustres est prise en compte mathématiquement que d'évoquer les difficultés de résolution qui sont le propre du traitement numérique de tous les systèmes. Il ne faut cependant pas sous-estimer les problèmes de stabilité de précision et de durée des calculs associés au choix des accroissements de temps et d’espace. La fiche H en appendice de l'ouvrage présente quelques méthodes de différences finies les plus couramment uti1isées. La fiche I montre le principe de la méthode des éléments finis. Celle-ci est de plus en plus en usage pour la modélisation des processus physiques (Leclerc, 1984)

10.2 Hydrodynamique lacustre

Le comportement hydrodynamique d'un lac est un aspect déterminant de son fonctionnement global. L'écosystème lacustre est en bonne partie conditionné par des phénomènes physiques tels que la stratification thermique, la répartition des écoulements au sein du plan d'eau, la dispersion. A l'inverse, nous remarquons que le sous-ensemble écologique influence très peu l'hydrodynamique, une exception étant l’influence de la répartition de la biomasse et des matières en suspension sur la pénétration du rayonnement solaire (effet d'auto-ombragement). Pratiquement, les aspects hydrodynamique et écologique seront ainsi découplés lors de toute tentative de modélisation du fonctionnement de l'écosystème lacustre. La plupart du temps, 1e découpage s'accompagne d'une simplification inégale de ces aspects, selon que l'emphase est mise sur l'un ou l'autre. Le degré de complexité de la représentation d'une classe de phénomène est donc souvent recherché au détriment de l'autre [Somlyody, 1982]. Nous avons choisi de présenter en premier lieu les concepts et les équations générales de l'hydrodynamique relatifs aux eaux de surface puis progressivement, d'effectuer les simplifications qui conduisent aux systèmes d'équations utilisés en pratique.

10.2.1 Equations des eaux de surface

Le comportement hydrodynamique d'un fluide en un point est complètement défini par la valeur des variables d'état suivantes: les trois composantes du vecteur vitesse 𝑢⃡_𝑖 (i = 1, 2, 3), la masse volumique ρ, la pression P et la température T.

1 Parfois appelés « modèles ponctuels ».

Ces six grandeurs peuvent être déterminées par la résolution d'un système de six équations:

- l'équation d'état du fluide;

- le bilan de masse aussi désigné l'équation de continuité;

- le bilan de quantité de mouvement qui, par projection sur les trois axes donne les équations de Navier-Stokes;

- le bilan d'énergie interne.

Pratiquement, la connaissance en tout point et à chaque instant de ces six variables n'est pas nécessaire. Nous verrons successivement de quelle manière on passe des équations ponctuelles instantanées aux équations locales en moyenne temporelle sur une période donnée pour aboutir à un système d'équations résultant de la discrétisation spatiale nécessaire aux méthodes numériques et de l'intégration des équations selon des directions particulières.

Nous donnons également pour terminer un exemple de modèle simplifié de l’évolution de la stratification thermique valable pour les lacs profonds de faible étendue. Il ne s'agit plus alors véritablement de mise en équations mais de l'écriture d'un bilan d'énergie mécanique:

énergie cinétique apportée par le vent à la surface du lac, énergie potentielle de l'épilimnion limitée vers le bas par la thermocline dont on calcule la position.

10.2.2 Equations locales instantanées Equation d'état du fluide

L'équation d'état d'un fluide est une relation thermodynamique reliant ρ, P et T. En fait, pour les cas qui nous intéressent, on peut considérer que la pression P a peu d'influence sur la masse volumique ρ en raison des profondeurs rencontrées dépassant rarement quelques centaines de mètres. Il reste donc l'influence de la température T sur la masse volumique ρ.

Dans la gamme des températures des eaux de surface, on adoptera par exemple une relation simplifiée telle que celle utilisée par Markofsky et Harleman [1973] (figure 10-2)

𝜌(𝑇) = 𝜌_𝑟[1 − 𝛽_𝑇(𝑇 − 4)²] (10.1) où

ρr = 0,999973 kg.m^-3 βT = 6,63.10^-6 °C^-2

Equation de continuité

Dans un repère fixe, l’équation de continuité s’écrit :

𝜕𝜌

𝜕𝑡 +𝜕(𝜌𝑢_𝑗)

𝜕𝑥_𝑗 = 0 (10.2)

L’indice j, lorsqu’il est utilisé dans une expression, doit prendre les valeurs j= 1, 2, 3, correspondant aux trois directions d’un système de coordonnées cartésiennes (notation d’Einstein). L’axe Ox3 est vertical et dirigé vers le haut.

Equation de conservation de la quantité de mouvement

𝜕𝜌𝑢_𝑖

𝜕𝑡 +𝜕(𝜌𝑢_𝑖𝑢 𝑗)

𝜕𝑥_𝑗 = −𝜕𝑃

𝜕𝑥_𝑖 +𝜕𝜎_𝑖𝑗

𝜕𝑥_𝑗 + 𝐹_𝑖 − 𝜌𝑔𝛿_𝑖3 (10.3)

L’indice i n’est jamais répété dans une même équation. En revanche, il prendles valeurs i=1, 2, 3 dans trois équations successives.

P ; pression instantanée [M L^-1 T^-2] g : accélération de la pesanteur [L T^-2]

σij : tenseur des contraintes visqueuses [M L^-1 T^-2] Fi : forces appliquées au volume envisagé [M L^-2 T^-2] δij : symbole de Kronecker [ ] : δij =1,0 si i=j ; δij = 0 si i ≠ j

La loi de comportement des fluides classique donne une expression du tenseur des contraintes visqueuses en fonction des gradients de vitesse :

𝜎_𝑖𝑗 = 𝜇 (𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑗 +𝜕𝑢_𝑗

𝜕𝑥_𝑖) (10.4)

μ : viscosité dynamique [M L^-1 T^-1]

Ces équations (10.3 et 10.4) sont également appelées équations de Navier-Stokes. Les forces extérieures comprennent les forces de Coriolis. Celles ci sont obtenues à partir du produit vectoriel des vecteurs vitesse 𝑢⃗ et rotation terrestre 𝛺⃗⃗⃗⃗ _𝑒 (figure 10-3). Soit par projection sur les axes (𝑓⃗⃗⃗⃗ 𝑓₁,⃗⃗⃗ , 𝑓₂ ⃗⃗⃗ )₃ ⁺par un point de latitude Φ animé d’une vitesse 𝑢⃗ .

𝐹₁ = 2𝜌𝛺_𝑒(𝑢₂ 𝑠𝑖𝑛𝛷 − 𝑢₃ 𝑐𝑜𝑠𝛷) (10.5) 𝐹₂ = −2𝜌𝛺_𝑒𝑢₁ 𝑠𝑖𝑛𝛷 (10.6)

𝐹₃ =2𝜌𝛺_𝑒 𝑢₁ 𝑐𝑜𝑠𝛷 (10.7) Conservation de l’énergie interne spécifique

𝜕𝑄

𝜕𝑡 +𝜕(𝑢_𝑗𝑄)

𝜕𝑥_𝑗 = 𝜕

𝜕𝑥_𝑗(𝐾̂𝜕𝑄

𝜕𝑥_𝑗) + 𝑄_𝑟 (10.9)

Q: quantité de chaleur [J L^-3]; 𝜕𝑄 = 𝜌𝑐_𝑝𝜕𝑇 ; 𝐾̂: conductivité thermique [L²T^-l] ;

Qr : apport d'énergie par rayonnement [J L^-3 T^-1] ; cp : chaleur spécifique [J M^-l °C^-1] ;

T : température [°C].

Ces équations sont dites locales et instantanées. Dans cette forme très rigoureuse elles sont peu utilisables. On est classiquement conduit à les simplifier en formulant un certain nombre d'hypothèses dont la validité doit être vérifiée pour chaque cas étudié.

'

'

��---

10.2.3 Approximations de Boussinesq

Très sommairement, on peut résumer les approximations de Boussinesq à l'ensemble d’hypothèses suivantes. Le comportement dynamique et thermodynamique du fluide est peu variable par rapport à 1’état de référence où le milieu serait au repos, de composition uniforme et de propriétés isotropiques. Les variations de la pression P consécutives au mouvement du fluide sont supposées négligeables. Les paramètres viscosité μ, conductivité thermique 𝐾̂et chaleur spécifique cp sont des constantes. Enfin, l'échauffement résultant des frottements visqueux est négligeable.

Comme conséquence de cet ensemble d’hypothèses, la pression instantanée peut être considérée comme peu différente de la pression hydrostatique. La différence entre la pression instantanée et la pression hydrostatique est appelée pression réduite Pr. ^• La pression hydrostatique Ph s’écrit en fonction de la profondeur x3 par rapport au niveau moyen du plan d’eau pris comme plan de référence et de la fluctuation algébrique ξ du niveau par rapport à ce plan.

𝑃_ℎ = (−𝑥₃+ξ) 𝜌_𝑟𝑔 (10.9)

La pression réduite Pr prend en compte les effets locaux dûs aux phénomènes de stratification.

𝑃 = 𝑃_𝑟+ 𝑃_ℎ = 𝑃_𝑟+(−𝑥₃+ξ) 𝜌_𝑟𝑔𝛿_𝑖3 (10.10)

L’approximation de Boussinesq conduit à ne prendre en compte les variations de la masse volumique ρ qu’au niveau du terme gravitationnel 𝜌𝑔𝛿_𝑖3 dans l’équation de la quantité de mouvement. Par conséquent, 10.4 devient :

𝜌_𝑟(𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑡 +𝜕(𝑢_𝑖𝑢_𝑗)

𝜕𝑥_𝑗 ) = −𝜕𝑃

𝜕𝑥_𝑖 − 𝜌𝑔𝛿_𝑖3+𝜕𝜎_𝑖𝑗

𝜕𝑥_𝑗 + 𝐹_𝑖 (10.11) Transformons ^𝜕𝑃

𝜕𝑥_𝑖 en tenant compte de (10.10) :

𝜕𝑃

𝜕𝑥_𝑖 = 𝜕𝑃_𝑟

𝜕𝑥_𝑖 + 𝜌_𝑟𝑔 (𝜕𝜉

𝜕𝑥_𝑖 − 𝛿_𝑖3)

𝜕𝑃

𝜕𝑥_𝑖 + 𝜌𝑔𝛿_𝑖3 =𝜕𝑃_𝑟

𝜕𝑥_𝑖 + 𝜌_𝑟𝑔 𝜕𝜉

𝜕𝑥_𝑖 + (𝜌 − 𝜌_𝑟)𝑔𝛿_𝑖3 (10.12)

Posons Δρ = ρ - ρr

Les équations de Navier-Stokes s’écrivent finalement [Street, 1976] :

𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑡 +𝜕(𝑢_𝑖𝑢_𝑗)

𝜕𝑥_𝑗 = − 1 𝜌_𝑟

𝜕𝑃_𝑟

𝜕𝑥_𝑖 − 𝑔 𝜕𝜉

𝜕𝑥_𝑖−𝛥𝜌

𝜌_𝑟 𝑔𝛿_𝑖3+ 𝐹_𝑖 𝜌_𝑟+ 1

𝜌_𝑟

𝜕𝜎_𝑖𝑗

𝜕𝑥_𝑗 (10.13)

auxquelles s’ajoutent :

𝜌(𝑇) = 𝜌_𝑟[1 − 𝛽_𝑇(𝑇 − 4)²]

𝜕𝑢_𝑗′

𝜕𝑥_𝑗′ = 0 (10.14)

𝜕𝑇

𝜕𝑡 +𝜕𝑢_𝑗′𝑇

𝜕𝑥_𝑗′ = 𝐾𝜕²𝑇

𝜕𝑥_𝑗′² + 𝑄_𝑟

𝜌_𝑟𝑐_𝑝 (10.15) avec

𝐾 = 𝐾̂

𝜌_𝑟𝑐_𝑝 (10.16)

A ces équations décrivant le comportement du fluide, on peut ajouter une équation décrivant l'évolution de la concentration C d'un constituant réparti au sein du fluide.

𝜕𝐶

𝜕𝑡 +𝜕𝑢_𝑗′𝐶

𝜕𝑥_𝑗′ = 𝐷^′𝜕²𝐶

𝜕𝑥_𝑗′² + 𝑄_𝑐 (10.17)

D’ : coefficient de diffusion moléculaire [ L² T^-1] ;

Qc : taux de variation du constituant en raison de réactions biochimiques² dans le fluide.

10.2.4 Equations locales : moyennes temporelles

Les équations précédentes décrivent le comportement local instantané des différents types d'eau de surface. Ces équations sont valides au niveau du tourbillon élémentaire dans un écoulement turbulent. Cependant, la difficulté réside dans la détermination des conditions aux limites pour chaque tourbillon ce qui empêche toute résolution d'ensemble. Classiquement, on fait depuis Reynolds l'hypothèse que ce mouvement du fluide peut se décomposer en un mouvement moyen et en une composante fluctuante de moyenne nulle. Soit, pour chaque grandeur α (xj’, τ) telle que ui, P, T, σij’, C :

𝛼 = 𝛼̅ + 𝛼^′ (10.18)

2 Les sections 10.3 à 10.5 de ce chapitre décrivent ces réactions et leur représentation mathématique.

avec

𝛼̅ = 1

2𝑇₀∫ 𝛼(𝑥_𝑗′, τ)𝑑𝜏 (10.19)

𝑡+𝑇₀ 𝑡−𝑇0

𝛼′̅ = 0

L’intervalle de temps 2T0 dépend du phénomène étudié. Pour les eaux de surface dans les conditions naturelles, cette période est de l'ordre de l'heure [Klein, 1980]. En moyenne sur une période de 2T0, les équations 10.14 et 10.17 s’écrivent maintenant :

𝜕𝑢̅̅̅̅_𝑗′

𝜕𝑥_𝑗′ = 0 (10.20)

𝜕𝑢̅_𝑖

𝜕𝑡 +𝜕(𝑢̅ 𝑢_𝑖̅ )_𝑗

𝜕𝑥_𝑗′ = − 1 𝜌_𝑟

𝜕𝑃̅_𝑟

𝜕𝑥_𝑖− 𝑔 𝜕𝜉̅

𝜕𝑥_𝑖 +𝛥𝜌̅

𝜌_𝑟 𝑔𝛿_𝑖3+𝐹_𝑖 𝜌_𝑟+ 𝜕

𝜕𝑥_𝑗′(𝜎̅̅̅̅_𝑖𝑗′

𝜌_𝑟 − 𝑢′̅̅̅̅̅̅̅) (10.21) _𝑖𝑢′_𝑗

𝜕𝑇̅

𝜕𝑡 +𝜕𝑇̅𝑢̅_𝑗

𝜕𝑥_𝑗′ = 𝐾𝜕²𝑇̅

𝜕𝑥_′² − 𝜕

𝜕𝑥_𝑗′(𝑢̅̅̅̅̅̅) +_𝑗′^′𝑇′ 𝑄_𝑟

𝜌_𝑟𝑐_𝑝 (10.22)

𝜕𝐶̅

𝜕𝑡 +𝜕𝐶̅𝑢̅_𝑗

𝜕𝑥_𝑗′ = 𝐷^′𝜕²𝐶̅

𝜕𝑥_𝑗′² − 𝜕

𝜕𝑥_𝑗′(𝑢′̅̅̅̅̅̅̅) + 𝑄_𝑗′𝐶′ _𝑐 (10.23)

Dans ces équations apparaissent des covariances ou des moments d'ordre deux du type 𝑢′_𝑖𝑢′_𝑗

̅̅̅̅̅̅̅. Ces quantités sont largement prépondérantes devant le flux diffusif moléculaire dans le cas d’écoulement turbulents. Nous sommes donc conduits à chercher une expression de ces flux turbulents en fonction de grandeurs connues caractéristiques de l’écoulement considéré.

C’est le problème de la fermeture du modèle.

Par analogie avec les flux moléculaires, on a recours au concept de viscosité turbulente νt afin de relier les flux turbulents aux gradients des variables. Ainsi :

𝑢′_𝑖𝑢′_𝑗′

̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝜈_𝑡(𝜕𝑢̅_𝑖

𝜕𝑥_𝑗′ +𝜕𝑢̅̅̅̅_𝑗′

𝜕𝑥_𝑖) +1

3𝛿_𝑖𝑗′𝑢′̅̅̅̅̅̅̅̅ (10.24) _𝑘𝑢′_𝑘 𝑢′_𝑗′𝑇′_𝑗′

̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = −𝜈_𝑡 𝜎_𝑇

𝜕𝑇̅

𝜕𝑥_𝑗′ (10.25) 𝑢_𝑗′𝐶′

̅̅̅̅̅̅ = −𝜈_𝑇 𝜎_𝑐

𝜕𝐶̅

𝜕𝑥_𝑗′ (10.26)

νT et σc sont les nombres de Prandlt et Schmidt.

La valeur de la viscosité turbulente νt peut être reliée à des paramètres caractéristiques de l’écoulement (vitesse, longueur) et à l’état de stabilité thermique du plan d'eau [Delclaux, 1980]. Il estalors possible d’évaluer la valeur de νt à l’aide de formiles empiriques appelées

« modèles à 0-équation »³ [Rodi, 1980] découlant en partie de la théorie cinétique des gaz c’est à dire du concept de la longueur de mélange de Prantl. Ces modèles ont été revus par Shanahan et Harleman [1982]. On trouvera à la figure 10-4 une version adaptée du résumé proposé par ces auteurs. En examinant cette figure on remarque diverses écoles de pensée sur le sujet, en particulier pour les lacs. Mais il semble se dégager un consensus récent pour l’utilisation d’un profil vertical de forme parabolique [Koutitas, 1978 ; Koutitas et P’Connor, 1980 ; Engelund, 1978].

Il existe aussi des approches plus rigoureuses pour résoudre le problème de fermeture des termes turbulents. Il s’agit de reformuler les équations de conservation de la quantité de mouvement de telle sorte qu’on mette en évidence des moments d’ordre supérieur à 2, i.e., 𝑢′_𝑖𝑢′_𝑗𝑢′_𝑘

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅. Cette opération revient à dériver des équations de conservation de quantités turbulentes [Rodi, 1980]. L’approche dite « à 1-équation » exprime le bilan de l’énergie cinétique turbulente « K » par opposition aux équations du mouvement moyen vues précédemment. Koutitas et O’Connor [1980] se sont servis de cette formulation plus élaborée pour construire des formules empiriques de νt mieux fondées.

Lorsqu’on ajoute à cette formulation du bilan de K celle de l’énergie turbulente dissipative €, on obtient un modèle un modèle simultané à « 2-équations » soit le modèle K-€.

Nous n’allons pas élaborer plus longuement sur ce type de modèle spécialisé. Le lecteur pourra se référer à Roddi [1980] pour de plus amples détails. Mentionnons tout de même que la pratique actuelle recourt dans la plupart des cas aux formules à 0-équation qui suffisent pour nous fournir des résultats satisfaisants. Seule une plus grande accessibilité aux ordinateurs de grande puissance permettra une implantation progressive des modèles à 1- ou 2-équations.

10.2.5 Equations des moyennes spatiales

Le système d'équations obtenu, sous réserve que les hypothèses adoptées soient acceptables, est susceptible de décrire le mouvement de l'eau en tout point du domaine considéré: seul un filtrage temporel a été effectué. Cependant, comme la résolution d'un tel système ne peut être que numérique, on procède à un découpage de l'espace (figure 10-4) et la solution ne sera fournie qu'en un nombre fini de points. Se pose alors le problème de filtrer les mouvements de l'eau d'échelle inférieure à la taille d'une maille. Un opérateur de moyenne est alors appliqué aux différentes variables des équations précédentes [Spraggs et Street, 1975].

La moyenne spatiale d'une variable a distribuée dans un domaine Ω se définit ainsi:

< 𝛼 >= 1

𝛺∫ 𝛼 𝑑𝜔 (10.27)

𝛺

La fluctuation associée 𝛼̃ est définie par :

𝛼̃ = 𝛼 − < 𝛼 > 𝑒𝑡 < 𝛼 > ̃ = 0 (10.28)

Le domaine Ω peut être une colonne de fluide lorsqu'on procède à une intégration sur la dimension verticale pour obtenir un modèle bidimensionnel non-stratifié. Ω peut être aussi

3 C’est à dire ne nécessitant pas l’utilisation d’équations de conservation spécifiques pour les quantités turbulentes.

une section transversale dans le cas d'un modèle monodimensionnel longitudinal ou une tranche horizontale dans le cas d'un modèle monodimensionnel vertical.

Lorsqu'on transforme le système précédent en appliquant la décomposition définie auparavant, il apparaît dans les équations des termes du type < α uj > qui seront appelés flux dispersifs par analogie avec les flux diffusifs. Ces flux seront également modélisés par une expression de type gradient. Soit:

< 𝛼̃𝑢̃ ≥ −𝐷_𝑗′ 𝜕 < 𝛼 >

𝜕𝑥_𝑗^′ (10.29)

D s'appelle coefficient de dispersion [L² T^-1].

10.2.6 Modèles pratiques

La présentation théorique que nous avons faite des modèles hydrodynamiques des eaux de 'surface donne lieu à un grand nombre d'applications. Les situations pratiques et les finalités du travail de modélisation sont diverses et, en conséquence, on rencontre des formulations assez différentes correspondant chacune à un ensemble d’hypothèses simplificatrices.

Nous avons présenté dans Leclerc [1984] une synthèse de toutes les catégories de modèles utilisés dans la pratique (Tableau 10-1). Cette présentation va des modèles les plus simples (réacteurs homogènes) aux plus élaborés. Dans les modèles élaborés, on distingue les deux voies dichotomiques mentionnées précédemment. Les modèles hydrodynamiques distribués et les modèles écologiques à représentation physique simplifiée. La présentation détaillée des modèles géochimiques ou écologiques va faire l’objet des sections suivantes 10.3 à 10.5. Le lecteur pourra alors revenir au tableau 10-1 pour situer la position relative des différents modèles par rapport à l’ensemble. Chaque catégorie de modèle est accompagnée des hypothèses particulières qui le caractérisent, des équations typiques comprenant celles des conditions aux limites et de quelques références classiques. Le lecteur comprendra que quelques nuances non négligeables peuvent distinguer ces références quand elles sont classées dans la même catégorie.

Pour ce qui est des modèles physiques deux types de modèles vont être décrits. Il s'agit d'un modèle diffusif bidimensionnel de type lac peu profond et d'un modèle mono- dimensionnel vertical à transfert d'énergie décrivant l’évolution de la structure thermique d'un réservoir. Dans les deux cas, nous insisterons sur les hypothèses permettant d'établir et de résoudre le système d'équations.

Cas-type 1: Modèle bidimensionnel du champ de vitesse pour un lac peu profond

Cet exemple est tiré d'une étude effectuée sur le lac Balaton (Hongrie) dans le but de simuler les comportements hydrodynamique et bio-géochimique du lac [Shanahan et al, 1981;

1982]. Le modèle hydrodynamique est utilisé pour calculer le champ de vitesse de l'eau sur l'ensemble du lac et ainsi les échanges ayant lieu entre les différentes zones. Le vent et, dans une moindre mesure, le transfert hydrologique sont à l'origine de ces mouvements d'eau. Le lac est de type peu profond (3,1 rn de profondeur moyenne pour 75 km de longueur et 8 km de largeur). Ses caractéristiques géométriques suggèrent qu'il y a rarement stratification thermique et qu'il est possible de procéder à une intégration sur la dimension verticale afin de calculer les composantes U et V de la vitesse intégrée (produit de la vitesse moyenne de l’eau

par la profondeur)

Le système d’équations constituant la base du modèle se réduit à deux équations du bilan de la quantité de mouvement suivant les directions longitudinale (x) et transversale (y) du lac et à une équation du bilan de masse. Avec les notations précédentes et en intégrant sur la verticale, on obtient (en anglais « Shallow Water Equation ») :

𝜕𝑈

𝜕𝑡 = −𝑔(𝐻 + 𝜉)𝜕𝜉

𝜕𝑥+ 2 𝛺_𝑒 𝑉 𝑠𝑖𝑛𝛷 −𝑇_𝑓^𝑥 𝜌 +𝑇_𝑠^𝑥

𝜌 (10.30)

𝜕𝑉

𝜕𝑡 = −𝑔(𝐻 + 𝜉)𝜕𝜉

𝜕 + 2 𝛺_𝑒 𝑉 𝑠𝑖𝑛𝛷 −𝑇_𝑓^𝑦 𝜌 +𝑇_𝑠^𝑦

𝜌 (10.31)

𝜕𝑈

𝜕𝑥 +𝜕𝑉

𝜕𝑦 = 𝜕𝜉

𝜕𝑡 (10.32) où

𝑇_𝑓^𝑥terme de frottement sur le fond dans la direction x [M L^-1 T^-2] ; 𝑇_𝑠^𝑥terme de frottement du vent à la surface de l’eau dans la direction x ; ξ variation de la cote du plan d’eau par rapport au niveau moyen ; H profondeur bathymétrique [L].

Explicitons les simplifications adoptées dans ce cas particulier. Tout d’abord, afin de linéariser les équations de la quantité de mouvement, les termes de convection du type 𝑈_𝑗′ ^𝜕𝑈𝑖

𝜕𝑥𝑗′

ont été négligés. Cette approximation est légitime lorsque la condition suivante est réalisée [Shanahan et Harleman, 1982] :

𝑈 ≪ 2𝛺_𝑒 𝑠𝑖𝑛𝛷 𝐿_𝑥 (10.33) 𝑉 ≪ 2𝛺_𝑒 𝑠𝑖𝑛𝛷 𝐿_𝑦 (10.34)

Lx et Ly sont des échelles de longueur du domaine étudié dans les directions longitudinale et transversale. Cette approximation caractérise les modèles de type Ekman et simplifie considérablement la résolution du système d’équations. La distribution de pression est hydrostatique:

Pr = 0

La profondeur locale vaut (H + ξ) et après intégration sur la verticale, le terme −𝑔^𝜕𝜉

𝜕𝑥𝑖

en (10.13) devient-g (H +ξ) en (10.30) et (10.31).

Les termes de frottement peuvent se modéliser simplement de la façon suivante. En surface Ts s'exprime en fonction de la vitesse du vent W et d'un coefficient de frottement C10

correspondant à une vitesse de vent mesurée à une cote de 10 m au-dessus du niveau moyen du plan d’eau.

𝑇_𝑠^𝑥 = 𝐶₁₀𝜌_𝑎|𝑊|𝑊_𝑥

(10.35)

𝑇_𝑠^𝑦 = 𝐶₁₀𝜌_𝑎|𝑊|𝑊_𝑦 ρa est la masse volumique de l'air [M L^-3].

Le coefficient de frottement C10 a fait l'objet de nombreuses expériences. On trouve donc dans la bibliographie diverses formulations fonction de la vitesse du vent ou encore, des valeurs constantes. Afin de procéder au choix de ce coefficient, il y a lieu de tenir compte de la nature du site étudié, de la profondeur du plan d'eau et des gammes de vitesses de vent réellement observées.

Wu [1969] propose d’utiliser les relations suivantes pour C10 :

C10 = 1,25 . 10^-3 W^-1/5 pour W < 1 m s^-1

C10 = 0,5 . 10^-3 W^-1/5 pour 1 m s^-1 < W < 15 m s^-1 (10.36) C10 = 2,6 . 10^-3 W^-1/5 pour W > 15 m s^-1

Ajoutons que C10 est sans dimension.

Au fond, Tf s'exprime par exemple par une formule du type Chézy

𝑇_𝑓^𝑥= 𝜌𝑔𝑈

𝐶²𝐻²√𝑈̅̅̅̅ + 𝑉² ̅̅̅̅²

(10.37) 𝑇_𝑓^𝑦 = 𝜌𝑔𝑉

𝐶²𝐻²√𝑈̅̅̅̅ + 𝑉² ̅̅̅̅²

où C est le coefficient de Chézy [L^½ T^-1] ;

𝑢̅ 𝑒𝑡 𝑣̅ sont les composantes de la vitesse moyenne sur la profondeur.

La valeur du coefficient de Chézy varie autour de 60 pour les lacs. Cependant, on peut aussi utiliser la formule proposée par Brebbia et Partridge [1976] :

𝐶 = 15 𝑙𝑛(0,9[𝐻 + 𝜉]) (10.38)

C étant exprimé en m^1/2 s^-1.

La résolution des équations est effectuée numériquement à l'aide d'une méthode de différences finies. Les équations de la quantité de mouvement (10.30 et 10.31) et l'équation de continuité (10.32} sont résolues alternativement à chaque pas de temps. On calcule U au centre des côtés perpendiculaires à l'axe longitudinal, V au centre des côtés parallèles à ce même axe puis, connaissant U et V pour une maille, on en déduit la valeur de la cote de la surface rapportée au centre de la maille. Les cotes de la surface ainsi que la vitesse du vent servent alors à calculer de nouveau U et V et ainsi de suite pour chaque pas de temps. Le pas de temps est borné supérieurement par la condition de courant:

𝛥𝑡 < 𝛥𝑥

√𝑔(−𝐻 + 𝜉) (10.39)

Cette condition est imposée par le fait que la surface est immobile. D'autres modèles se fondent sur l'hypothèse d'une surface fixe confondue avec le niveau moyen.

Le calcul du champ de vitesse n'est ici que le premier élément d'un modèle plus général de qualité de l'eau pour lequel la simulation du comportement dispersif du lac est nécessaire. En effet, on conçoit facilement que la répartition d'un apport ponctuel de nutriments par exemple soit déterminante quant au fonctionnement biologique du 1ac. Cette répartition résulte du champ de vitesse simplifié qui a été calculé mais également de la dispersion telle que nous l'avons définie.

Afin de simuler la répartition d'un élément dans le lac, on résoud l’équation de dispersion suivante :

𝜕𝐶

𝜕𝑡 + 𝑢̅𝜕𝐶

𝜕𝑥+ 𝑣̅𝜕𝐶

𝜕𝑦 = 𝜕

𝜕𝑥(𝜀_𝑥𝜕𝐶

𝜕𝑥) + 𝜕

𝜕𝑦(𝜀_𝑦𝜕𝐶

𝜕𝑦) (10.40)

La détermination des coefficients de dispersion longitudinale et transversale εx et εy

peut être effectuée expérimentalement. De nombreuses expériences ont eu pour but de relier les caractéristiques physiques et géométriques des écoulements aux valeurs des coefficients de dispersion. Nous proposons ici une formule très simple de type « longueur de mélange » due à Fisher [1969] :

𝜀_𝑥 =𝐼 (𝑢′)̅̅̅̅̅̅̅ 𝑙^{2 2} 𝜀_𝑦

εy est la valeur estimée ou ajustée de la dispersion longitudinale [L² T^-1] ; I une constante voisine de 0,1 ;

u’ l'écart de la vitesse moyenne sur la profondeur par rapport à la moyenne de la vitesse sur toute une section transversale;

l largeur du plan d'eau.

La modélisation de la dispersion apparaît ici comme un trait d'union entre le modèle hydrodynamique et le modèle de qualité de l'eau.

Cas-type 2: Modèle monodimensionnel à transfert d'énergie (lac stratifié)

Il existe en première approximation deux types de modèles monodimensionnels décrivant la structure verticale d'un plan d'eau profond. La première catégorie regroupe les modèles locaux, cette appellation signifiant que les équations décrivent au niveau local les phénomènes de production et de dissipation de la turbulence. Ces modèles sont encore appelés modèles à coefficient de dispersion [Markofsky et Harleman, 1971]. La deuxième catégorie est constituée des modèles intégraux [Gaillard, 1981; Wang et Harleman, 1982]. Les effets d’entrainement et de mélange dus au vent sont alors intégrés sur toute la hauteur de la couche de mélange. Nous donnerons ici un exemple décrivant la phase d’érosion ou d’approfondissement de la thermocline. Nous ne décrivons pas le modèle de comportement thermique de la colonne d’eau. Mentionnons simplement qu'il consiste à écrire un bilan de 1’énergie solaire en fonction de la profondeur en tenant compte des apports thermiques des affluents.

Le réchauffement d’un lac s'effectue au printemps par la surface. Il se produit, en raison de la variation de la masse volumique de l'eau avec sa température (figure 10-2) et également à cause de la conductivité de 1’eau relativement faible, une stratification thermique stable. Celle-ci se caractérise par l'apparition d'une couche de transition à fort gradient

thermique appelée thermocline surmontée d'une couche bien mélangée appelée épilimnion.

Ce mécanisme a lieu tant que la couche de surface est à une température plus élevée que la zone profonde du lac (hypolimnion). Lorsque ce n'est plus le cas, des remontées d'eau de fond ont lieu accompagnées de la descente des eaux de surface ce qui a pour effet d’oxygéner le fond du lac et d'homogénéiser également la température.

Décrivons donc l'effet du vent sur un tel système. Le principe est le suivant. Pendant un intervalle de temps dt, le vent apporte en surface du lac une quantité d’énergie cinétique Ec

qui est utilisée pour mélanger 1’épilimnion avec une couche d’eau située préalablement sous la thermocline. Ce phénomène correspond à une variation de 1’énergie potentielle Ep de la couche mélangée. Pour un approfondissement d’épaisseur dz, la variation d’énergie potentielle de la couche mélangée est approximativement la suivante (se rapporter au schéma simplifié de la figure 10-5):

𝑑𝐸_𝑝 = 𝛥𝜌 𝑔𝑧_𝑡ℎ

𝑧 𝐴₀ 𝑑𝑧 (10.41) où

A0 est la superficie du lac en surface [L2] ; zth est la profondeur de la thermocline [L].

L’énergie apportée par le vent au cours de cet intervalle de temps est égale à : 𝑑𝐸_𝑐 = 𝜏₀𝑢_𝑠𝐴₀𝑑𝑡 (10.42)

τ0 force de frottement du vent [M L^-1 T^-2] ; us vitesse de 1’eau en surface [L T^-l].

Cependant il n'y a pas égalité stricte entre dEp et dEc.

Le rapport dEp/dEc c'est-à-dire la fraction d'énergie cinétique utilisée pour le mélange dépend de la stabilité de la stratification. Celle-ci peut être caractérisée par le nombre de Richardson (Ri):

𝑅𝑖 =𝛥𝜌 𝜌₀

𝑔 𝐿

𝑢_∗² (10.43) où

L est une longueur caractéristique [L] ;

u* une vitesse caractéristique [L T^-1] sensiblement égale à 1a vitesse de 1' eau en surface.

Bloss et Harleman [1979] proposent la relation empirique suivante:

𝑑𝐸_𝑝

𝑑𝐸_𝑐 = 𝑓(𝑅𝑖) = 0,057 𝑅𝑖 29,5 − √𝑅𝑖

14,2 + 𝑅𝑖 (10.44)

Cette relation traduit les effets suivants (voir fjgure 10-6). En période de faible stratification (Ri petit) le vent a pour effet d'accroitre l'énergie cinétique de la couche de mélange tandis que le phénomène d'approfondissement de la thermocline est relativement peu marqué. Lorsqu'il existe une stratification importante, l'énergie cinétique du vent est dissipée dans la couche de surface et l'approfondissement de la thermocline est gêné par la stabilité.

L'efficacité maximale du point de vue de l'érosion de la thermocline se situe dans la fourchette Ri = 10 à Ri = 100.

�-

10.3 Modèles géochimiques de type boîte noire pour le phosphore 10.3.1 Rôle du phosphore dans le milieu lacustre

Jones et al. [1979] considèrent deux groupes d'éléments chimiques jouant un rôle important dans l’écosystème aquatique: les éléments majeurs (la silice, le calcium, le magnésium, le sodium, le potassium et le chlore) et les éléments nutritifs (le carbone, l'azote et le phosphore). Ce qui les distingue tient au niveau de dépendance des organismes à leur égard et à leur abondance dans le milieu. Les premiers sont généralement présents en concentration beaucoup plus élevée que celle requise par les organismes photosynthétiques en pleine période de production. Les éléments nutritifs sont beaucoup plus rares en comparaison des besoins et ils agissent la plupart du temps comme facteur chimique limitant la production de biomasse phytoplanctonique (algues). Parmi les éléments nutritifs, l'azote et le phosphore sont le plus souvent cités comme facteur limitant la production d'algues [Vollenweider, 1968], mais on s'accorde en général pour conférer au phosphore cette propriété, l'azote pouvant être assimilée directement de l'atmosphère par certaines espèces (algues bleues-vertes fixatrices).

Ce constat est l’élément le plus fondamental de la démarche du gestionnaire qui veut contro1er les effets d'une surabondance d'éléments nutritifs apportés à un lac: problèmes d'alimentation en eau potable, élimination graduelle de certaines espèces de poissons nobles, impossibilité de pratiquer certains usages récréatifs tels la baignade, problèmes d'esthétique et d'odeurs. En effet, toute action entreprise pour limiter ce type d'apports ne produira les effets désirés que si le facteur sur lequel on agit a des propriétés limitantes. Pour ces raisons, beaucoup d'efforts de modélisation des lacs en vue de leur gestion rationnelle ont porté sur le phosphore à titre de facteur chimique limitant.

10.3.2 Hypothèses et formalisation

Depuis le début des années soixante, plusieurs chercheurs se sont préoccupés de simuler le comportement des éléments nutritifs dans les lacs. Leur but était surtout de connaître la période de recouvrement de la qualité d'un lac suite à un rabattement de l’apport en nutriments en provenance du bassin versant. Plus tard, ces modèles se sont avérés utiles pour estimer le niveau d’enrichissement des eaux lacustres et leur niveau trophique avec, comme données d' entrée, le début moyen annuel, l'apport annuel en phosphore total et les caractéristiques physiques de la cuvette. Les principaux travaux dans ce domaine ont été effectués par Vollenweider [1968, 1969, 1975, 1976], Dillon et Rigler [1975], Sonzogni et al.

[1976], Dillon [1974], Lorenzen [1974], Lorenzen et al., [1976] et plusieurs autres.

Les différents modèles proposés par ces chercheurs ne se distinguent que par des modalités d'estimation des paramètres et les hypothèses sous-jacentes (exemple: les pertes par sédimentation). L’exposé qui va suivre est relatif à toutes les approches de modèles à un compartiment homogène⁴, en régime permanent et ne tenant pas compte de la spéciation du phosphore (organique -vs- assimilable). Les hypothèses simplificatrices requises pour leur élaboration ont été décrites et bien discutées par Dillon [1974]. Les limites d'applicabilité qui en découlent ont été synthétisées par Janus et Vollenweider [1982] suite à un vaste travail de

4 Dans la bibliographie anglophone , ils sont souvent désignés par l’expression « input-output models ».

validation de l'approche sur les lacs du Canada. Nous reviendrons sur ces limites à la section 10.3.7.

En plus de considérer le phosphore comme le facteur chimique limitant la production d’a1gues, on pose les hypothèses simplificatrices suivantes:

i) l 'apport total en phosphore (JT), le coefficient de sédimentation de cet élément (σ) de même que le débit (Q) traversant le lac sont constants (régime permanent);

ii) la rétention de phosphore par le lac est proportionnelle à la quantité de cet élément dans le lac;

iii) le lac est considéré comme homogène; la stratification thermique et l’hétérogénéité horizontale sont donc ignorées;

iv) la concentration à l’exutoire du lac est égale à la concentration moyenne du lac.

Posons 1’équation du bilan de masse du phosphore (figure 10-7 aussi le tableau 10-1a).

𝑑𝑃

𝑑𝑡 = 𝐽_𝑇−𝑑𝑃_𝑠

𝑑𝑡 − 𝑄 ̅ [𝑃]_𝑒𝑥 (10.45) où

P : masse totale du phosphore dans le lac à l'instant t, variable d’état du modèle [M];

JT: le flux d’apport du phosphore au lac [M T^-1];

Ps : le phosphore dans les sédiments [M];

𝑄 ̅ : le débit moyen [L³ T^-l];

[P]ex : la concentration de phosphore à 1’exutoire [M L^-3].

Par hypothèse (ii et iv),

𝑑𝑃_𝑠

𝑑𝑡 = 𝜎𝑃 (10.46) et

[P]_𝑒𝑥 = 𝑃

𝑉 (10.47) où

σ est un coefficient de sédimentation [T^-1] ; V le volume du lac [L³].

Alors :

𝑑𝑃

𝑑𝑡 = 𝐽_𝑇− 𝜎𝑃 −𝑄 𝑃

𝑉 (10.48)

et puisque

𝜏_𝑤 = 𝑄̅

𝑉 (10.49)

𝑑𝑃

𝑑𝑡 = 𝐽_𝑇− (𝜎 + 𝜏_𝑤)𝑃 (10.50) où 𝜏_𝑤 est le taux de renouvellement des eaux du lac.

On obtient facilement une solution analytique par intégration. En posant 𝛷 = 𝜏_𝑤 + 𝜎, on

obtient :

𝑃(𝑡) =𝐽_𝑇

𝛷[1 − (1 − 𝛷

𝐽_𝑇𝑃₀) 𝑒^−𝛷𝑡] (10.51)

où P0 est la quantité initiale (pour t=0) de phosphore total dans le lac [M].

Pour connaître l’état d’équilibre en régime permanent, résolvons 10.51 pour t=+∞, alors :

𝑃_∞= 𝐽_𝑇

𝛷 = 𝐽_𝑇

𝜎 + 𝜏_𝑤 (10.52) La concentration moyenne du lac est alors égale à :

[𝑃]_∞ =𝑃_∞

𝑉 = 𝐽_𝑇

𝑉(𝜎 + 𝜏_𝑤) (10.53)

La plupart des auteurs préfèrent utiliser la notion d’apport spécifique jT plutôt que celle de l’apport brut JT :

𝑗_𝑇 = 𝐽_𝑇

𝐴₀ (10.54) Comme

𝑉 = 𝑧̅ 𝐴₀ (10.55)

alors :

[𝑃]_∞= 𝐽_𝑇 𝑧̅𝐴₀

1

(𝜎 + 𝜏_𝑤)= 𝑗_𝑇 𝑧̅

1

(𝜎 + 𝜏_𝑤) (10.56)

𝑧̅: est la profondeur moyenne du lac [L];

A0: la superficie du lac à la surface [L²].

Quelques auteurs [Dillon, 1975; Larsen et Mercier, 1976] ont converti la relation (10.54) en modifiant les hypothèses de départ du modèle. Ainsi, plutôt que de supposer la rétention comme proportionnelle à la quantité de phosphore présente dans le lac (la relation 10.46), ils considèrent plutôt la rétention comme proportionnelle aux apports (Rexp • JT).

L'équivalent de la relation 10.51 se retrouve en 10.57:

𝑃(𝑡) = 𝐽_𝑇^′

𝜏_𝑤[1 − (1 −𝜏_𝑤

𝐽_𝑇^′ 𝑃₀) 𝑒^𝜏𝑤𝑡] (10.57) 𝐽_𝑇^′ = 𝐽_𝑇(1 − 𝑅_𝑒𝑥𝑝) (10.58)

où Rexp est un coefficient de rétention nette obtenu expérimentalement.

Pour t = ∞, la concentration moyenne du lac s'obtient ainsi:

[𝑃]_∞ =𝑃_∞ 𝑉 = 𝐽_𝑇^′

𝜏_𝑤𝑉= 𝐽_𝑇

𝑄̅((1 − 𝑅_𝑒𝑥𝑝)) (10.59)

10.3.3 Les apports annuels en phosphore total

Généralement, on considère que le phosphore provient de 5 catégories de sources principales: la forêt (Jf), les activités agricoles (Ja), les activités résidentielles (Jh) comprenant la villégiature saisonnière, les précipitations (Jp) et les activités industrielles (Jin). Selon le processus par lequel ces charges proviennent à la rivière, on distingue les charges ponctuelles (Jp0) et les charges diffuses (JD). Cluis et Durocher [1976], Potvin [1976] et Alain et Le Rouzès [1979] utilisent la méthode de calcul suivante (relations 10.60, 10.61 et 10.62).

𝐽_𝑇 = 𝐽_𝐷+ 𝐽_𝑝𝑜 = 𝐽𝑓 + 𝐽𝑎 + 𝐽ℎ + 𝐽𝑝 + 𝐽𝑖𝑛 (10.60)

Ces charges sont, la plupart du temps, estimées sur une base moyenne annuelle ce qui est suffisant pour calculer la concentration moyenne en phosphore total de lacs à temps de séjour moyen relativement grand (> 6 mois) [Janus et Vollenweider, 1981].

Voyons pour chacune des utilisations du territoire leur mode de calcul. Pour les superficies de bassin versant couvertes de forêt, découvertes mais improductives (friches), agricoles, urbaines (excluant la population), et pour l'ensemble du bassin versant recouvert d'eau en regard des apports par les précipitations, la relation 10.16 décrit le mode de calcul pour ces apports diffus (JD). Le tableau 10-2 propose (à titre indicatif), des gammes de valeurs pour les coefficients d'exportation de charges diffuses.

𝐽_𝐷 = ∑ 𝐸𝑑_𝑖 𝐴_𝑖 (10.61) où

Edi: coefficient d'exportation spécifique annuelle de phosphore total en provenance d'une source diffuse i [M L^-2 T^-I];

Ai: la superficie du bassin versant affectée par la source i [L²].

Pour ce qui est des charges ponctuelles (Jpo), celles-ci sont proportionnelles au nombre de personnes ou d'unités animales (ni) considérées.

𝐽_𝑝𝑜= ∑ 𝐸𝑝𝑜_𝑖 𝑛_𝑖 (10.62) où

Epo,: coefficient d’exportation spécifique annuelle de phosphore total d'une source ponctuelle i [ M T^-1 capita^-1 ou unité animale^-1].

Ce sont surtout les apports de la population humaine (résidences principales ou secondaires) des élevages d'animaux et des industries qui sont pris en considération par la relation 10.62. Le tableau 10-2 propose des gammes de coefficients types pour les charges ponctuelles. Pour ce qui est des apports industriels, la charge en phosphore est souvent exprimée en fonction du nombre de travailleurs participant à la production. Chaque type d'industrie ayant son procédé propre, le coefficient utilisé lui sera spécifique. Le ‘particulier des populations riveraines desservies par des installations d'assainissement individuelles (fosses septiques) a été traité en détail par Dillon et Rigler [1975].

Lorsque des lacs importants s’interposent dans le réseau hydrographique à l'amont du lac à l'étude, il faut prévoir qu'une partie des charges transférées à travers ceux-ci y demeureront piégées dans les sédiments. Ce phénomène doit être pris en considération.

Considérons un réseau hydrographique comportant n lacs situés en série ou en parallèle dans celui-ci. Pour évaluer la charge JT parvenant au lac le plus en aval, on devra d'abord évaluer les charges spécifiques de chacune des utilisations du sol sur le bassin et ceci, pour chacun des sous-bassins de lacs présents dans le réseau en commençant par les lacs d'amont. A chacun de ces lacs, correspond une perte par sédimentation qui sera déduite de l'apport en provenance de l'amont (relation 10.63). La fraction (1- Rexp) qui traverse le lac i est acheminée à titre d'apport au prochain lac d'aval (i + 1).

𝐽′_𝑇𝑖 = 𝐽_𝑇𝑖(1 − 𝑅_{𝑒𝑥𝑝𝑖}) (10.63)

10.3.4 La rétention nette du phosphore dans les lacs

Les échanges de phosphore entre l’eau et les sédiments se présentent dans la bibliographie sous l'angle de la résultante de processus de perte et de restitution (figure 10-8).

Les pertes comprennent la sédimentation du phosphore organique particulaire du phosphore adsorbé sur les particules inorganiques de sédiments fins arrachés par 1’érosion au bassin versant. Les processus de restitution sont le relargage biochimique de phosphore inorganique en régime anaérobique et la remise en suspension mécanique de phosphore particulaire résultant du brassage (courants, houle, etc.) dans les zones moins profondes. Dans la bibliographie, on considère souvent les processus globalement par un simple calcul de bilan annuel. Il en résulte un coefficient de rétention nette (relation 10.64) qui n'a de sens que dans la mesure où le régime hydrologique et les apports annuels en phosphore peuvent être considérés comme suffisamment invariants (régime permanent) à l'échelle de temps (temps de séjour moyen de l'eau) du système. Le coefficient de rétention nette du lac traduit donc une propriété intrinsèque du lac et par conséquent, est considéré comme un paramètre invariant du modèle. Le bilan se traduit ainsi:

𝑅_𝑒𝑥𝑝 = 1 − 𝑄̅ [𝑃̅]_𝑒𝑥

∑ 𝑄_𝑖 ̅ [𝑃̅]_{𝑖 𝑖𝑛⁄𝑖} (10.64) où

𝑄̅_𝑖 est 1e débit moyen d'un affluent i du lac [L³T^-1] ;

[𝑃̅]_{𝑖𝑛⁄𝑖} la concentration moyenne en phosphore de cet affluent [ML^-3].

A partir d’échantillons variables de lacs, plusieurs auteurs ont proposé des relations empiriques entre le coefficient de rétention nette (Rexp) et divers para mètres physiques influençant la sédimentation. Nous proposons d’utiliser l'une ou l'autre des relations 10.65 ou 10.66 estimées par Larsen et Mercier [1976] à partir d'un échantillon de 20 lacs situés à la fois en Europe et en Amérique du Nord.

𝑅_𝑒𝑥𝑝= 0,86 − 0,143 𝑙𝑛 𝑄̅

𝐴₀ (10.65) ou

𝑅_𝑒𝑥𝑝 = 0,482 − 0,112 𝑙𝑛 ^𝑄̅

𝐴₀ (10.66)

Ces relations sont valides lorsque la concentration moyenne annuelle des apports ne dépasse pas 25 μ g l^-1 c'est-à-dire tant que le phosphore a de fortes chances de limiter la production.

10.3.5 Traitement par abaques

Par ailleurs, Vollenweider [1976] et Larsen et Mercier [1976] ont établi une relation empirique entre le taux de sédimentation σ et le taux de renouvellement des eaux τw, qui s'avère très utile pour le traitement en abaques de la relation 10.12. Selon eux,

𝜎 = √𝜏_𝑤 (10.67)

En incluant 10.67 dans 10.56 et en transformant cette dernière quelque peu:

[𝑃]_∞ =𝐽_𝑇 𝑄̅

𝜏_𝑤

𝜏_𝑤+ √𝜏_𝑤 (10.68) Or,

𝐽_𝑇

𝑄̅ = [𝑃̅]_𝑖𝑛 (10.69) où

[𝑃̅]_𝑖𝑛 est la concentration moyenne en phosphore des affluents du lac [M L^-3].

En transformant (10.68):

[𝑃̅]_𝑖𝑛 = [𝑃]_∞[1 + 1

√𝜏_𝑤] (10.70)

On reconnaît généralement les valeurs de [P]∞ proposées au tableau 10-3 pour définir des seuils de passage d’un état trophique à l’autre au sein d’un lac.

Lorsqu’appliquées dans la relation (10.70), ces normes permettent de définir des domaines graphiques (figure 10-9) qui facilitent l’utilisation de ce type de modèle.

De nombreuses variantes de cette approche graphique ont été proposées dans la bibliographie depuis Vollenweider [1968]. Comme ces variantes ne modifient en rien les modèles qui en sont à la base et qu’elles ne font qu’en faciliter l’utilisation, seule l’approche ci-haut (10.70) a été retenue en raison de sa simplicité et de son acceptation dans la communauté des gestionnaires. Cette approche n’est cependant pas à l’abri de la critique et nous allons voir à la section 10.3.7 1es limites d’applicabilité qu’il convient de ne pas dépasser lorsqu’on l’utilise. Des alternatives nombreuses mettent en évidence des relations empiriques entre, d’une part, [𝑃̅]_𝑖𝑛 et, d’autre part, [𝑃̅]_∞, calculé, [P]printemps, la concentration estivale de chlorophylle-a, la profondeur de pénétration du disque de Secchi et le poids sec de production primaire (ΣPP) tous des paramètres indicateurs de l'état trophique [Janus et Vollenweider, 1981]. Ces possibilités s'ajoutent à l’approche précédente et permettent de vérifier de manière plus adéquate le diagnostic du lac.

10.3.6 Période de demi-récupération

La préoccupation à l'origine de la conception de ces modèles était de prévoir la

période de recouvrement d'un lac suite à un abattement brusque des sources d'apport en phosphore. Dillon et Rigler [1975] ont proposé un concept de demi-vie (figure 10-10) qui équivaut à la période théorique requise pour obtenir une variation de concentration équivalent à la moitié de l'écart entre l'état initial et le nouvel état d'équilibre. Cette valeur (T½) est obtenue en intégrant (10.50) entre P0 et P½.

−1

𝛷 𝑙𝑛(𝐽_𝑇− 𝛷𝑃) |𝑃_½

𝑃₀ = 𝑡 |𝑇_½

0 = 𝑇_½ (10.71) posant

𝑃_½ =𝑃_∞+ 𝑃₀

2 (10.72)

on obtient :

𝑇_½ = 1

𝛷 𝑙𝑛2 = 𝑙𝑛2

𝜎 + 𝜏_𝑤 (10.73) Et puisque 𝜎 = √𝜏_𝑤 (relation 10.67), alors:

𝑇_½ = 0,69

𝜏_𝑤+√𝜏_𝑤 (10.74)

Dillon et Rigler [1975] suggèrent d'utiliser 3 à 5 fois cette durée comme indicateur du temps de réponse d'un lac. Cette période correspondrait au temps requis pour observer à 87,5% à 96,9% du changement vers le nouvel état d'équilibre.

10.3.7 Limites d’applicabilité

Les modèles géochimiques constituent une approche hautement simplificatrice et les nombreuses hypothèses posées pour faciliter la résolution de ces modèles ne vont pas sans limiter leurs possibilités d'application. L'OCDE s'est avérée très active pour définir une approche internationalement reconnue par les gestionnaires pour le contrôle de l'eutrophisation des lacs. Le Canada, par l'entremise de Janus et Vollenweider [1981] entre autres, a participé à cet effort et fourni plusieurs indications d'ordre physique et chimique quant au domaine d'application de ces modèles. Parmi les conditions où l'application doit s'effectuer avec la plus grande prudence, on compte les suivantes:

a) quand la profondeur de la zone euphotique (zeu) est beaucoup plus grande que la profondeur moyenne; i.e. zeu >> 1,0 (lacs peu profonds);

b) quand la charge hydraulique est élevée (Q/A0 > 50 m an^-1), le taux de renouvellement des eaux trop grand (T > 2 an^-1) .et/ou le régime de renouvellement très irrégulier, par exemple trop concentré pendant une seule saison;

c) lorsque l'état d'équ1libre n'est pas encore atteint comme dans le d) de charges en éléments nutritifs variant rapidement⁵.

On compte aussi des limites physico-chimiques et chimiques:

5 Cette limite est à surveiller particulièrement lorsqu’on vise à appliquer les relations empiriques mettant en cause les indicateurs de l’état trophique par exemple, la concentration en chlorophylle-a [Chl-a] ou la profondeur du disque de Secchi.