Test 03 Vecteur

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Test 03 - Vecteurs

Calculatrice interdite, durée 45 minutes (barème indicatif sur 15)

Exercice 1 (3.5 pts)

Soit un triangle ABC dessiné ci-dessous.

1. Placer les points sur la figure les points D et E définis par AD=2AB+AC

et 1

BE=3BC

. 2a. Exprimer AD

et AE

en fonction de AB

et BC

2b. Les points A, D, E sont-ils alignés ? Justifier votre réponse.

Exercice 2 (6 pts)

1. Placer le point J tel que 2 JB=3IB

. 2. On considère alors le repère ( ,A AB AD, )

.

2a. Déterminer les coordonnées de A, B, D et I dans ce repère.

2b. En déduire les coordonnées de J.

2c. Les points A, J et C sont-ils alignés ? Justifier votre réponse.

Exercice 3 (4 pts)

Soient les points ^A

(

^{3 ; 1 ,}

) (

^{B − −2 ; 2}

)

^{et C}

(

^{4 ; 1−}

)

dans un repère orthonormé.

1. Déterminer les coordonnées de D telles que ABCD soit un parallélogramme.

2. ABCD est-il un rectangle ? Justifier votre réponse.

Exercice 4 (1.5 pts) Pré-requis : deux vecteurs u

et v

sont colinéaires s’il existe un réel k tel que u=kv . Démontrer à l’aide du pré-requis que si les deux vecteurs u x y( ; )

et v x( ' ; ')y

sont colinéaires alors leur déterminant est nul.

A

B C

A B

C D

O I

ABCD désigne un rectangle de centre O, et I le milieu de [AD].

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Corrigé du test

Exercice 1

1. Voir figure pour D et E tels que AD=2AB+AC et 1

BE= 3BC

. 2a.

> On a, par hypothèse, AD=2AB+AC

donc d’après Chasles, AD=2AB+AB+BC=3AB+BC

.

> De même, 1

3

Chasles

B

AE = AB+E= AB+ BC

.

2b. On remarque ainsi que 1

3 3

AD AB 3BC AE

==  + =

 

: ces vecteurs sont donc colinéaires et les droites (AD) et (AE) sont par conséquent parallèles. Comme elles ont le point A en commun, elles sont confondues donc A, E et D sont alignés.

Exercice 2 (6 pts)

1. Voir figure.

2a. Par définition des coordonnées dans un repère, on a A(0 ;0), B(1 ;0), D(0 ;1) et I(0 ;0.5) dans ce repère.

2b. Soi J(x ;y). D’un coté, on a 1 x JB y

−

 

 

−

 

et

2

2 1 3

0.5 1

3

3 IB

 

 

 

 

=

 

−  

  − 

 

.

Par conséquent, 2 JB=3IB

ssi les coordonnées des deux vecteurs sont égales cad ssi

2 1

1 3 3

1 1

3 3

x x

y y

 

− = =

 

 

⇔

 

− = −  =

 

 

.

Ainsi J a pour coordonnées 1 1 3 3; J 

 

 .

2c. On a alors 1 1 3 3; AJ 

 

 

et ^AC

( )

^{1;1 d’où AC=3AJ} : ces deux vecteurs sont colinéaires donc les points A, J et c sont bien alignés.

Exercice 3

Soient les points ^A

(

^{3 ; 1 ,}

) (

^{B − −2 ; 2}

)

^{et C}

(

^{4 ; 1−}

)

dans un repère orthonormé.

1. ABCD soit un parallélogramme ssi AB=DC . Soit x

D y

  

 . On a 5 4

3 , 1

AB DC x y

− −

   

   

− − −

   

. Ces deux vecteurs sont égaux ssi ils ont les mêmes coordonnées d’où le système

d’équation : 4 5 9

1 3 2

x x

y y

− = − =

 

⇔

 

− − = − =

  . Ainsi les coordonnées de D sont ^D

( )

^{9; 2 .}

2. Essayons d’appliquer le théorème de Pythagore ou sa réciproque dans le triangle ABC :

> AB² = −( 5)²+ −( 3)² =34

A

B

C D

E

A B

C D

O

I

^J

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> 6 BC 1

  

donc BC²=6²+ =1² 37.

> enfin 1 AC 2

 

−

 

donc AC² = + −1² ( 2)² =5.

Ainsi, AB² + AC² = 34 5+ =39≠BC² donc d’après le théorème de Pythagore (sa contraposée), le triangle ABC n’est pas rectangle et ABCD n’est pas un rectangle.