PORTES RETRACTABLES

Corrigé Exercice 1 : PORTES RETRACTABLES

Question 1 :

Évaluer, dans chacun des cas et en utilisant les critères proposés, les performances du système de portes rétractables.

Question 2 :

Donner le réglage qui permet d’avoir le système le plus rapide. Donner aussi celui qui permet d’avoir le système le plus précis.

Question 3 :

Indiquer les risques liés au fait d’avoir une valeur du 1^er dépassement trop élevée sur un tel système.

Réglage N°1 Erreur statique :

( ) ( ) ( )

( ) 1 2

( ) 1

r r r

e e s

e t

e t m

    

  

  



Temps de réponse à 5% :



tr5% 3s 1^er dépassement absolu : ^{1 1}

1

( ) ( )

0

D s t s

D m

   



 

1^er dépassement relatif :



D1% 0 %

Réglage N°2 Erreur statique :

( ) ( ) ( )

( ) 1 0,95 ( ) 0,05 r

r r

e e s

e t

e t m

    

  

 



Temps de réponse à 5% :



tr5% 0,12s 1^er dépassement absolu : ^{1 1}

1

( ) ( )

0

D s t s

D m

   



 

1^er dépassement relatif :



D1% 0 %

Réglage N°3 Erreur statique :

( ) ( ) ( )

( ) 1 1 ( ) 0 r r r

e e s

e t

e t m

    

  

 



Temps de réponse à 5% :



tr5% 5,2s 1^er dépassement absolu :

1 1

1 1

( ) ( )

1,3 1 0,3

D s t s

D

D m

   

  

 



1^er dépassement relatif : 1% 1

1%

1%

1%

1%

( ) 0,3

1 0,3 30 100 30%

D D s D D D D

 

 







 



 

 



Réglage N°4 Erreur statique :

( ) ( ) ( )

( ) 1 1 ( ) 0 r r r

e e s

e t

e t m

    

  

 



Temps de réponse à 5% :



tr5% 5,1s 1^er dépassement absolu :

1 1

1 1

( ) ( )

1,7 1 0,7

D s t s

D

D m

   

  

 



1^er dépassement relatif :

1 1%

1%

1%

1%

1%

( ) 0,7

1 0,7 70 100 70%

D D s D D D D

 

 







 



 

 



Le réglage 2 donne une meilleure rapidité au système, mais est moins précis que d’autres réglages.

Pour obtenir une précision irréprochable, il faut mieux s’orienter vers les réglages 3 et 4. En contrepartie, ces réglages rendent le système moins stable…

Enfin, le risque avec de grands dépassements, est que les deux portes rentrent en collision.

( ) . ( ) e t Ec u t

t Ec

Corrigé Exercice 2 : MODÉLISATION D’UN FOUR.

Question 1 :

Déterminer la transformée de Laplace de l’équation précédente. En déduire S(p) en fonction de E(p).

2 2

2

( ) ( )

2.d s t 6 .ds t 4 . ( ) . ( ) s t K e t dt dt

     ^L 2.p S p². ( ) 6 . . ( )p S p  4 ². ( )S p K E p. ( )

Soit

2 2

. ( ) ( )

2. 6 . 4

K E p S p

p p

    

Question 2 :

Sachant que e(t) est un échelon d’amplitude Ec, déterminer e(t) puis E(p).

( ) 0

( ) 0 0

e t Ec pour t

e t pour t

 

  

 ( ) . ( ) ^L ( ) Ec

e t Ec u t E p

    p

Question 3 :

En déduire S(p) en fonction des constantes , K et Ec.

2 2

( ) .

(2. 6 . 4 ).

S p K Ec

p p p

    

Question 4 :

Déterminer les limites de s(t) en 0+ et  selon les théorèmes de la valeur initiale et finale.

Puis déterminer la pente de la tangente à l’origine, et enfin tracer l’allure de s(t).

Ordonnée à l’origine :

 

0

(0 ) lim ( ) lim .

L

( ) lim . ( ) 0

t p p

s ^ s t p s t p S p

   

   

Ordonnée en  :

 

₂

0 0

( ) lim ( ) lim . ( ) lim . ( ) .

L

4

t p p

s s t p s t p S p K Ec

    

    



Pente de la tangente à l’origine :

 

²

0

'(0 ) lim '( ) lim .

L

'( ) lim . ( ) (0 ) lim . ( ) 0

t p p p

s ^ s t p s t p pS p s ^ p S p

    

 

      

La tangente à l’origine est donc horizontale.

Question 5 :

Que faut-il faire pour que le système soit précis ? Il faut que

2

. 4 K Ec

 tende vers Ec donc que K  4 ²

Question 6 :

Quelle aurait été l'allure de la courbe de s(t), si s(t) et s'(t) avaient eu des conditions initiales (exemple, le four déjà chaud, est dans une phase de montée en température, puis à t=0s on lui donne comme consigne une valeur de température plus faible que celle qu'il a à t=0s).

s(t)

t 4 2

Ec . K



0

(en utilisant la fonction d’Heaviside u(t))

En régime permanent, la réponse est indépendante des conditions initiales.

s1(t)

(sans condition initiale) t 4 2

Ec . K



0

s2(0) s2(t)

(avec conditions initiales) Pente de la

tangente : s2'(0) NB : Heureusement que l'on

retrouve s(0)=s'(0)=0 car ces conditions avaient été posées en début de problème…

Question 7 :

A titre indicatif, déterminer précisément la transformée inverse s(t) de S(p) selon la méthode du cours.

2 2

( ) .

(2. 6 . 4 ).

S p K Ec

p p p

     avec 2.p²    6 .p 4 ² qui a pour racines  et 2 

( ) .

2.( ).( 2 ). 2

K Ec A C

S p  p p p p  p  p

       

B

A : multiplier S(p) par (p+) et faire tendre p vers 

lim ( ). ( ) .

2.( 2 ).( )

p

p S p K Ec A

    

    ²

. 2.

A K Ec

 

  B : multiplier S(p) par (p+2) et faire tendre p vers 2 

2

lim ( 2 ). ( ) .

2.( 2 ).( 2 )

p

p S p K Ec B

     

      ²

. 4.

B K Ec

 

 C : multiplier S(p) par (p) et faire tendre p vers 0

0

lim ( ). ( ) .

2.( ).(2 )

p

p S p K Ec C

  

  ²

. 4.

C K Ec

 



 

1 . 2 .

. 2 .

( ) . . 0

( ) ( ) . . . ( )

2 ( ) 0 0

t t

L t t

A B C s t A e B e C pour t

S p s t A e B e C u t

p p p s t pour t

           

            

Corrigé Exercice 3 : RÉSOLUTION D’ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE 1.

Question 1 :

Résoudre l’équation différentielle ² 2

( ) ( )

2.d y t 8.dy t 8. ( ) 3. ^t

y t e

dt dt

    avec y(0)1 et y'(0) 5.

 

2 3

2. . ( ) . (0) '(0) 8. . ( ) (0) 8. ( )

p Y p p y y pY p y Y p 1

p

      

  

 

2 3

2. . ( ) 5 8. . ( ) 1 8. ( )

p Y p p pY p Y p 1

p

      

  

2 3

( ). 2. 8. 8 2. 2

Y p p p 1 p

p

     

  

2 3 (2. 2).( 1)

( ). 2. 8. 8

1

p p

Y p p p

p

  

   

  

2 2

3 2. 2. 2. 2

( )

( 1).(2. 8. 8)

p p p

Y p

p p p

   

   

2

2

2. 1

( )

2.( 1).( 2) Y p p

p p

 

 

(en utilisant la fonction d’Heaviside u(t))

2

2 2

2. 1

( ) 2.( 1).( 2) 1 2 ( 2)

p A B C

Y p p p p p p

    

 

  

A : multiplier Y(p) par (p+1) et faire tendre p vers -1 2

1 2

2.( 1) 1 lim ( 1). ( )

2.( 1 2)

p p Y p A



 

  

 

3 A 2

 

C : multiplier Y(p) par (p+2)² et faire tendre p vers -2

2 2 2

2.( 2) 1 lim ( 2) . ( )

2.( 2 1)

p p Y p C



 

  

 

9 C 2

 

B : multiplier Y(p) par (p+2) et faire tendre p vers 

lim ( 2). ( ) 2 2

p p Y p A B

     1

B 2

 

 

1 2. 2.

2. 2.

2

( ) . . . . 0

( ) ( ) . . . ( )

1 2 ( 2) ( ) 0 0

t t t

L t t t

A B C y t A e B e C t e pour t

Y p y t A e B e C t e u t

p p p y t pour t

   

  

    

             

Question 2 :

Revalider les 2 conditions initiales selon le théorème de la valeur initiale. Puis, déterminer la limite de y(t) en  selon le théorème de la valeur finale.

 

² ₂

0

2. 1 2

(0 ) lim ( ) lim . ( ) lim . ( ) lim . 1

2.( 1).( 2) 2

t p

L

p p

y y t p y t pY p p p

p p



    

      

 

 

² ₂

0

2. 1

'(0 ) lim '( ) lim . '( ) lim . ( ) (0 ) lim . . 1

2.( 1).( 2)

t p

L

p p

y y t p y t p pY p y p p p

p p

 

    

  

 

          

2 2 3 2

2 2

.(2. 1) 2.( 1).( 2) 2. 2.( 1).( 4. 4)

'(0 ) lim . lim .

2.( 1).( 2) 2.( 1).( 2)

p p

p p p p p p p p p

y p p

p p p p



 

            

    

   

   

   

3 3 2 2 2

2 2

2. 2. 8. 8. 2. 8. 8 10. 15. 8 10

'(0 ) lim . lim . 5

2.( 1).( 2) 2.( 1).( 2) 2

p p

p p p p p p p p p

y p p

p p p p



 

             

      

   

   

   

 

² ₂

0 0 0

2. 1

( ) lim ( ) lim . ( ) lim . ( ) lim . 0

2.( 1).( 2)

t p

L

p p

y y t p y t pY p p p

p p

      

      

 

Corrigé Exercice 4 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE INVERSE.

2. 5 2. 11 11 5 6 6

( ) 1 1

2. 11 2. 11 2. 11 11

2.( )

2

p p

X p p p p

p

     

     

   

1 ( ) ( ) 3. 5,5. 0

( ) 0 0

L x t t e t pour t

x t pour t

      

 

 



(en utilisant la fonction d’Heaviside u(t)) Rappel :

5

5 2

8. 3. 8

lim 2

4. 4 x

x x

x x



  

 6

5 2

8. 3.

lim x 4.

x x

x x



  

 5

6 2

8. 3.

lim 0

x 4.

x x

x x



 



Avec ( )t

impulsion de Dirac

Corrigé Exercice 5 : DÉRIVATION .

Question 1 :

Ecrire les transformées de Laplace de ^{L f t}



^{'( )}



^{et L f}



^{''( )t}



avec leurs conditions initiales. En déduire "logiquement" ^{L f}



^{'''( )t}



^{, L f}



^{''''( )t}



^{et L f}



^{'''''( )t}



^.



^{'( )}



^{. ( ) (0 )}

L f t p F p f ^



^{''( )}



^{2. ( ) . (0 ) '(0 )}

L f t p F p p f ^ f ^



^{'''( )}



^{3. ( ) 2. (0 ) . '(0 ) ''(0 )}

L f t p F p p f ^ p f ^ f ^



^{''''( )}



^{4. ( ) 3. (0 ) 2. '(0 ) . ''(0 ) '''(0 )}

L f t p F p p f ^ p f ^ p f ^ f ^



^{'''''( )}



^{5. ( ) 4. (0 ) 3. '(0 ) 2. ''(0 ) . '''(0 ) ''''(0 )}

L f t p F p p f ^ p f ^ p f ^ p f ^ f ^ Explication pour déterminer ^{L f}



^{''( )t}



à partir de ^{L f t}



^{'( )}



^:



^{( ') '( )}



^.



^{'( )}



^{'(0 ) . . ( ) (0 ) '(0 ) 2. ( ) . (0 ) '(0 )}

L f t p L f t f ^ p p F p f ^ f ^ p F p p f ^ f ^

Corrigé Exercice 6 : RÉSOLUTION D’ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE 2.

C B A

qui a pour asymptote en +,

la droite 1

( ) 9 3

y t    t