Linear-time modular decomposition of directed graphs

Texte intégral

(1)Linear-time modular decomposition of directed graphs Ross Mcconnell, Fabien de Montgolfier. To cite this version: Ross Mcconnell, Fabien de Montgolfier. Linear-time modular decomposition of directed graphs. Discrete Applied Mathematics, Elsevier, 2005, 145 (2), pp.189-209. �hal-00159571�. HAL Id: hal-00159571 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00159571 Submitted on 3 Jul 2007. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2)

(3) "!# $%& (')* +, .-/ !0$ 31 2

(4) 4*4658795;:=</2?>>@BACA D%E*FGEHJILKME/NOJIOQPR,SBTVUWPXHQYZT[O]\^_R`Nba c&dWdBe_fWgihZfLjWkWjWglmLln

(5) h]nLo*p. sq r?tuC@B>wv@x5;2

(6) >zyW{?2

(7) AC|}@b~ ] ^ E*S_OQ=PXFGFVTVPXH&^bHJI*SbP djlW_jWk*_*nLcekWcdWdhWc.

(8) BL E * + © ª J H 3&*MV*ZJ ¡M*¢Q£¥¤¦£§¨ I*B«bY,TVYI =E¬%PXHZ©¥bF

(9) OQEELF?¬sT[OQ« ®(IS_\/I*bBFVT[¯ IOQTVELSbYTVS ª*HJIB«°OQ«BPXE*HZ\ ISK/E*bOQTV®±TV²&IOQTVE*Si³,´«BPXHQPµIHQPPX¶ TVPSOFVTVSBP&IHZ¯§OQTG®±P IFVªLE*HQT[OQ«b®±YÒQ«IO·XEL®±BMOQPOQ«bP±KbPXEL®±=ELYZT[OQTVELS3©¥EH¸bSKbT[HQP¹OQP&K3ªHJI*b«BY³(´«bP º PXY»O

(10) bHQPXUMTVE*BYZF[\B º FVTVYZ«BP&KOQTV®±P º ELbSK©¼E*H½KMTVHQPXXOQP&Kª*HJIB«BY?TGY O(n+m log n) ^ ¬s«bPXHQP n TVYOQ«BP,S_B® º P¹H%E©zUWPXHZOQTVPYI*SK m TGYOQ«bPS_B® º PXHE©

(11) P&KMªLPY³z¾¿Pª*TGULP IS O(n + m)¯OQTV®±PI*FVªLEHQTVOQ«b®°³ À/Á_ÂiÃµÄ Å

(12) ±® E_KMBFGIH`KbPXEL®±=ELYZT[OQTVELS^

(13) IFVªLE*HQT[OQ«b®°îOQE*bHQSI®±PSOQYîKbT[HQPXOQP&Kª*HJIB«bY^?BIHZOQT[¯ OQTVUWP,©¦I*®±TVFVTVPY^BOZHQPXPX¯CKbPE*®±=ELYQI º FVP`©¦I®±TGFVTVPY^=Æ¯Y»OZHQBXOQMHQPY Ç È

(14) ÉËÊ+ÌÍ Î6Ï¿ÐsÊ%ÑÍ(É Ò Ó Õ*Ö_×=ØÚÙ(Û¼ÜÝ°ÞMßÝ_àá G = (V, E) Û¼âÝ â¹ãä X å_æç ã*ßJäXÛ¼èã*ââ¹éèá¿ä¹áÝ_ä·ã*Ýbèá ç ãß¹ä¹ãê6ÛÚÜ Ô áÝbâÝµéÜÛ ß¹ëìßXãí¥ÝäXÛ ÜâJáÛÚà±ä ÝMíÚíë°ãëËîiã*ßXâ áÝäÛ¼â*ñ_Û ñWäXáãÜ V \X áy iÝMâò=Û¼ß¹ãLè&äXã*ò¿æ§ã*å ò=Þbã*â`ä å Ý_í¼å ízë°ãë î?ãå ßâ åMæ X å ßä å åMÜ æ å XÜã ï%åMð æ äXáãëñiÝMæ Üyò∈Ý_Ví¼í½\X ë°ãëËîiã*ßXâ å_ë°æ ãXëËîiáã*ÝßXâç ã°òÝ_ÛÚÜßXã*ò èä¹ã*òóãLò=ÞMãLâ¸ä å è*yÝ_Üå ß(áÝ Ü å ãËÜã ò=ÛÚåMû

(15) æ ãßXäXãáÜBãäëôßXãò í¥ÝåäXïóÛ õCÜö âJãáã3ÛÚà÷%â·Û¼ÞMä éßXë°ããø ë ï[ùwî?ãú ßâÛGû

(16) ãßXãÜBä ñ á åü ã ç ãß ï y÷ å ß°Û¼ÜyâQäÝ_å_Üæ èVã y\ Xè*Ý_ÜýáÝ ç ã¿ç ò=ÛÚßXã*èä¹ãLòã*òÞMã*âËä å å ÝMíÚí`ë°ãëËå îiã*ßXâ å_æ X å_ü æ áXãÜ áÝMâ¸ò=Û¼ß¹ãLè&ä¹ãLòãLò=ÞMãLâ·ä Ü Üã äXáãë ð áã/ë°ãë î?ãßâ å_æ X èÝ_ÜxáÝ ç ãËÝ_ßXîÛGäXßXÝMß¹þ yßXãí¥Ýä¹Û ÜiâJáÛ¼àâ,ä ãLÝMèá äXå áãßLå ñÝMâ`å_èæ ÝMÜ¿ä¹áã±ï( ë°ãëËîiã*ßXâ ÿ ä6å Û¥âÜ å ä6áiå Ý_ßò ä å å â¹ããä¹áÝ_ä6Û æ X Ý_Üò Y Ý_ßXãåMä æü,Vå \ò=Û¼Xâ å ï Û¼ÜBä6ë å ò=éí¼ã*â*ñä¹áãÜwÛ æ â ë°ã ã*ßJäXãê Û¼â¸ÝÜã*ÛÚÞbáî ß â ë°ã ãß¹ä¹ãê ñäXáãÜ Ý_í¼í ãß¹ä¹Û¥èãLâ Ý_ßXã Üå ã*ÛÚÞbáBî ç å ßâ åMæ å_Ý_æ í¼í Yç ãß¹ä¹Û¥èãLâ åMæ Xå ï ð å_áæ ãßXå ã æ§å ß¹ãbç ñ Y èÝMÜåMæ îiXã°è å Üâ¹Û¼ò=ã*ß¹ãLòç éÜÝMë îå_Û¼ÞMæ é Yå éâ¹íÚþ ä å îiã¿Ý

(17) Ù Õ

(18) å_æ X å ß/Ý

(19) Õ

(20) Ù Õ

(21) å_æ X ï ÿ æ P Û¼â/ÝÜ å ÜbäXß¹Û ç Û¼ÝMí9àÝMßJäXÛGäXÛ å Ü å_ æ×Õ VÙâ¹éèá

(22) ä¹ái Ýäñ ãLÝMáèÛ¼áèáë°Û¥ã*â·ë äXáî?ããß Þbå_ßXÝMæ àPá Û¥âÝ3Ýbò ë ÝMå èòãéÜíÚèãbÛÚñ?ãLä¹âáîiÛ¥â ãä å îã*â¹ããÜß ç ë°Ýä¹ã*Û ëå Üî?ãÞbßÛ çâ ã*âµß¹Û¥âJã ä å ãÝã ÷%ÛÚÞbéßXã ï ù ð áã·â¹ü éîÞMßÝ_àáâ%ÛÚÜòéèãLòËîå_þ æ ä¹áãë°ãëËîiã*ßXâ åMæ ü P ß¹ãLè å ßXò ä¹áãßXãí¥å_Ýæ äXÛ På Üï â¹õ]áö ÛÚàiâ Û¼Ü ä¹áiÝä·Ý_ßXã Ü ä·èÝMà=ä¹éß¹ãLò3îþ äXáãBé å äXÛÚã*Übä ïsð+å ÞMãä¹áã*ß*ñBä¹áãbé å ä¹Û¼ãÜBä·Ý_Üiò æ Ýbè&ä å ßXâ ÞMÛ ç Gã±Ý/ßXãàßXã*â¹ãÜBäXå Ý_ä¹Û å Ü å_æ G ï ÷éßJäXáãßsâ¹ÛÚë°àí¼Û!ièÝ_ä¹Û Ü èÝMÜ ä¹ã*Ü îiã î=äXÝMÛÚÜãLò/îBþ/ò=ã*è ë°à â¹ÛÚÜÞ¸äXáã ÝMèä ßXâ}ÝMÜò ä¹áã"Bé å ä¹Û¼ãÜBä,ßXã*èéßXâ¹Û ç ãí¼þ å ïð áãËåMÓ°æ ÕLÖ×=Ø!

(23) (å ÖMÙ#ÕÓ$Õ %&Õ °Û¥â`å Ý(éÜå Û'BéãMñ=è*Ý_Ü æ å ÜÛ¼è*å Ý_í ü ÝWþ ä å ò å äXáÛ¥âä¹áiÝä·Û¼ë/àíÚÛ¥èÛÚä¹í¼þ3ßXãàßXã*â¹ãÜBäâÝ_í¼ízà å â¹â¹ÛÚîíÚã ü ÝWþ=â9äXáã(ò=ãLè å ë°à å â¹ã¸ä¹áã(ÞbßXÝMàá Û¼Übä å bé å ä¹Û¼ãÜBäâÝ_Üò æ ÝMèä å ßXâ ï ÿ äè*Ý_Üî?ã±ß¹ã*àß¹ãLâJã*ÜBä¹ã*ò3îþ3Ý/ß åå äXã*ò3ä¹ßXãã ï 0. 0. ø.

(24) a e. b. c. X d G. ÷%ÛÚÞbéßXã(øÒwë å ò=éí¼ã åMæ Ý_Ü éÜòÛÚßXã*èä¹ã*òÞMßÝ_àá Û¥â9ÝËâJãä X å_æzç ãß¹ä¹Û¥èã*â,âJéièá°ä¹áÝ_ä,ã*Ýbèá ã*ßJäXãê áÝMâ`Ý(éÜÛ ß¹ë ßXãí¥ÝäXÛ Üâ¹áÛÚàä ÝMíÚí

(25) ë°ãëËîiã*ßXâ ÷ ß`Û¼ÜâQäÝ_ÜèãMñ ãç ç ãßXþËë°yã*∈ë î?Vãß\ XåMæ X Û¼âÝ±Üã*ÛÚæ§Þbå áî å ß å_æ då Ý_Üò°Ü å åë°ãëËîiã*ß åMæ X áå_ÝMæ â Xd ï Ýbâ9å Ý±Üã*ÛÚÞbáî å ß*ñ â å äXáãþ¿Ý_í¼ízáÝ ç ãä¹áã(â¹ÝMë/ã ßXãí¥ÝäXÛ å ÜâJáÛÚà6ä å d ï. U U. W. W. Factors. Y X. Y. Z X Quotient Z G. ÷%ÛÚÞbéßXã ÿ æ A Ý_Üò B Ý_ßXã ò=Û¥â å Û¼Übä ë å ò=éí¼ã*â*ñ

(26) ä¹áã*Ü Û æ B è å ÜBäÝ_Û¼ÜâÝ3ÜãÛ¼ÞMáî å ß å_æ Ý ç ã*ßJÛ¼äXâ ãê±bÖ Û¼Ü A#Ù ñã ç ä ã*ß¹þ ë°ãÒ ëËîiàiã*Ý_ß ß¹å_ä¹ÛÚæ ä¹BÛ Ü Û¼âÝµÜãÛ¼ÞMáî å áß ãå_ßXæ ã ã ã*ç Ýbã*èß¹á þ¸ë°ë°ããëëËî?îiãã*ßß åMæ A ï Û¥ÿ â Ü Ý3äXáë Û¥â%è*ò=ÝMéâ¹í¼ãMã ñ B ò=ã Üã*â`Ý ×Õ Ùå Aï

(27) =ñ ü áÛ¥èá6å ò=ãLPâ¹èß¹å_Û¼æ î?Gã*â,ü ä¹áã±Ýbò ÝMèãÜèÛÚãLâÝMë å Üå_ÞËæ ë/Pã*ë î?ãßâ å å_æ P ï ð áã ñbé ÞMåÛ ä¹ãÛ¼ãÜBÝäLñß¹ã*ä àå ß¹ÞMãLãâJä¹ã*áÜBã*äXß ÝäXü Û ÛÚä¹Ü áäXáãËâ¹ñséâJîÛ¼ÜÞbèßXÝMãàä¹ááâã6Û¼Üã*ò=ò=Þbéiã*èâ ã*òîBþ6ä¹è*áÝ_ã Ü#Ü î?å Übã3äXßXß¹ã*Û ç è Û¼ÝMí+ãë°ßXã*ãò ëËîiß ã*ëßXâ å å_æ G åMæ G åç æ å ä¹å_áæ ãPë ï ç .

(28) ò=éí¥Ý_ß(òã*è ë°à âJÛÚä¹Û Üxä¹áã ßXþ ßXÛ¼ÞMÛ¼ÜÝäXã*â ß ë ÝMíÚí¥Ý_Û â ß ÝMî é=ä ä¹ßÝ_Üâ¹Û ä¹Û ç ã å åßXÛ¼ãÜBäXÝ_ä¹Û å Ü å Ý_í

(29) å ï å áß¹Û¼Üå Þ/Ý_Üå ò·ÝMòãßXë°æ Ýbèå áãß iñ üå á+å âJéß ç ãþ/ä¹áã ä å àÛ¥è ï ò=ã ÜCäXðÛ¼ã*òáò þ ã·ù èîí¼ #þ Ýb"%â¹$ ä¹â áö åMãæ ø_à#ñ'Õ ß &

(30) à?å ã ( ß¹ ä¹%Û¼ã*ñ'âõ )+ÝMÜ*,ò .ÛG-â äåñ/â ë°0ë ã ãð òê-éä¹1ã*í¼ÝM9Üß3â¹ÝMÛ ß¹åò=ã°ÜãLèâèí¥íÚÝMë°ÛMâXâ¹àã!ã*â â¹ÛGü äXZÛâJáàiãÜ Ý_ßXßã âJãbÝ3Ò ñÞbÞbßXÝMß¹]ãLàßXÝã*á ä ò=Û¥éiÜâ èéÛ¼éëîÜíÚî?ãbÛ'BñbãéßÝMãÜí¼þò 2Ü 3]áÜÝMßXò ßËå à=ã äXÛÚã*ë°ß¹þÛ 4*ÝbåäXé Û å Üä¹Û¼ãàÜBß ä å îÞbåMí¼ßXæãÝMë àáóâ æ§ÛÚå Üóßµå äXÞbáßXãÝMàë áâò=èéÝ_í¥Üå Ý_ß îiãËòå ã*ã*è ÝMâ¹ë°Û¼å íÚþà ï â âJå ÛÚíä¹ç Û ã*ÜòÛ æ ÿ Ý3ã â å ãí¼é=ßXþäXÛ å BÜé åMÛ¼âæ ä¹Û¼ãåÜBü ä Û¥â æ§â¹å ë Ý_í¼ç íCñ ä¹áÛ¼âËÞMå Û ç ãLâ±Ý_Ü#6ã 5èÛÚã*Übä/â å íÚé=äXåÛ å Ü ï ÿ äXâ æ Ý_åë å éåâ Ý_àåàí¼Û¥ïèÝäXæ Û å Üç â±Û¼Üèí¼éò=å ã ä¹ßÝ_ÜiâJÛÚä¹Û ç ã å ß¹Û¼ãÜBäÝä¹Û å 7Ü Ý_ í

(31) 1»ñ ü ã*ÛÚÞbábäXã*òë Ýê=Û¼ë éë èí¼Û'béãMñzÝ_Üòè å í å ßXÛÚÜÞ ï å ò=8é í¥Ý_ßò=ã*è å ë°à å â¹ÛGäXÛ å Ü3Û¥âÝ_í¥â å éâJãLò3Û¼Ü¿ÞMßÝ_àá¿ò=ßXÝ ü Û¼ÜÞ ï ÝMÜþèí¥ÝMâXâJãLâñâJéièá¿Ýbâ,Û¼ÜBä¹ã*ß ç Ý_í ÞMßÝ_àáâ å ß(à?ãßXë éäXÝäXÛ å Ü#ÞMßÝ_àáiâ áÝ ç ãâ¹ÛÚë°àí¼ãßXã*è å ÞMÜÛGäXÛ å ÜóÝMíÚÞ å ßXÛGäXáë â éâ¹ÛÚÜÞ ë å +ò éí¥Ý_ßò=ãLè å ë/à å â¹ÛÚä¹Û å Ü õ âJã*7ã å í .9=3ñ :;$ ö -.-< æ§å ß Ýóâ¹éß ç ãþ ù&ï ÷ã ü ã*ß ò=ÛÚßXã*èä¹ãLòýÞbßXÝMàá èí¥ÝMâXâ¹ã*â}Ý_ßX;ã Ü åü Ü½ñ_îéä9ë å òéí¼ÝMßsò=ã*è å ë°à å â¹ÛGäXÛ å Ü°è*Ý_Ü/áãí¼à Û¼ÜËäXáãÛ¼ßsßXã*è å ÞMÜÛGäXÛ å Ü õ â¹ãã = í -1ë/ ã æ§å ßÛ¼ÛÚò=Üiä¹âQá äÝ_àiÜÝ_èßã Ý_ù&ë°ï ãäXãßâ·Ý_ßXã Ý_í¥â èí â¹ãí¼þ¿ß¹ã*í¼Ý_ä¹ã*òä äXáã/ë ò=éí¼ÝMßò=ãLè ë°à â¹Û ä¹Û å Ü öï,å ð áã ü èíÚÛ'Bé6ã ü Û¥òä¹á å_æ Ý°ÞMßÝ_àá¿Û¥å â`äXáå ã(ë Ýê=Û¼ë éë å_æå èí¼Û Béã åü Û¥òä¹áiâ å_æ Bå é å äXÛÚå ã*ÜBä ÞMßÝ_àáâ Û¼Ü ä¹áãxë å òéí¼ÝMß3ò=ãLè å ë°à å â¹ÛGäXÛ å Ü ä¹ßXãã ï ",í¼Ýbâ¹â¹ã*â ü ÛÚä¹á;Ý ÜÛÚä¹ãxÜBéë î?ãß åMæ à å âXâJÛ¼îí¼ãbé å ä¹Û¼ãÜBäâä¹áã*ß¹ã æ§å ßXã¸áiÝ ç ã±Ý°î å éÜò=ãLòèí¼Û Béã ü Û¥òä¹á õ æ§å ß·è å ÞMßÝ_àáiâ8ñ > æ§å ß »â¹àÝMÝMßXÜBâ¹þ#ãM+ñ ÝMíÚÞ ]ßXßXÛGã*äXò=áéië èÛ¼â îíÚãbñÝ_Ý_ÜßXò Û éâË]ä¹è Û¥ò=ë°þ ù&àï í¼ãê=ÛÚä¹Û¼ã*âËáÝ ã¿Ý_àà?ã*ÝMß¹ãLòzñsî?ãÞMÛ¼ÜÜÛ¼ÜÞ ÛÚÜ ä¹áã 1Bø -.é

(32) ?Û¥Bè 9B í¼â þ ïð áíÚí ã ßå ã*âQòýä¸îBíÚÛ¼þ Üã*ÝMåMäX@ß æµá]ä¹ãç Û¼ßë°í¼ã(Û¼åÜÝ_ã*í¼ÝMÞ ß°å ß¹åä¹ÛÚÛ¼ä¹ë/áë ãxÝ_ü í¼ÞÝbâ·ßXÞbÛÚä¹Û áç ãë Üç â/îä¹Aþ áiÝ ä3öé-?â¹ãñ BéÛÚö ä¹ã-?-<ò=»ñ ÛÚû

(33) ü ãáßXãÛ¼èÜBá ä3ü Ý_8àÝMâ àß å Ýbèáã*â¸æ§å ä å åüä¹áã3àß å îå í¼ãC ë "%&-ñ ú 96ø åïð áãî?ã*âJä àßXã ç Û å éâ äXÛÚë°ãî å éÜò æ§å ß ä¹áã ò=Û¼ß¹ãLè&ä¹ãLòèÝbâJã±Û¥â O(n ) DE ö -iñ <è "%-. å ß O(m log n) ú 9 F ï &·ã*ß¹ã ü ã àßXã*â¹ãÜBä·Ý_Ü O(n + m)]ä¹Û¼ë°ã(Ý_í¼Þ å ßXÛÚä¹áë ï Ò ÞMßÝ_àá è*Ý_Ü îiãäXá éÞMáBä Ýbâ Ýxè í ßXÛÚÜÞ ä¹áãã*ò=Þbã*â ä¹áãè ë°àí¼ãä¹ã ÞMßÝ_àá ü ÛÚä¹á¿ä ü,Gå è å í å ßâñ å Üã±å è å ßXß¹ãLâJå_à æ å ÜòÛÚÜÞËå ä å å ãLò=ÞMãLâåMæ ä¹áÝ_äÝMß¹ã±è å ÜBå_äXÝMæ ÛÚÜãLòÛ¼Ü å G ÝMÜò åÜ Üã·â¹èà?å ã*ßXèßXÛ¥ã*Ý_â¹í à âQå äÜÝä¹ò=éiÛ¼Üâ`Þµä ä å ã*ò=Þbã*ãâßäXÛÚáäXâµÝä9è ÝMë°ß¹ã`àÛ¼í¼Ü ãë°ÛGäãâsÜBè ä å Gë°ä¹áàã íÚã*ë°ë ãÜBò=ä éï}í¼ã*ð â·áÝMÛ¥ß¹âsã Ý_äXîiáâQãäXßXâ¹ÝbÝMè&ë°ä¹Û å ã Ü°Ý Üü î Ý_ßä¹òá â ÞMßå Ý_àáâ ï ð áI ã H %

(34) &å ×G# C× å

(35) Xç Ù % ÝMß¹ã Ýå ÞMã*ÜãßÝ_í¼Û 4*ÝäXÛ å Ü å_æ å ÞMßÝ_àáâ #Ý < ZâQäXß¹éèä¹éå ßXãÛ¥å âÝ è í ß¹Û¼ÜÞ äXáãËè ë°àí¼ãäXã ò=Û¼ÞMßÝ_àá ÛÚä¹á è í ßLñÛÚÜiâQäXã*ÝMò ä áÛ¼â î ãLè&ä ÝMâ Û¼Übå äXßå å ò=éièã*åMòæ îBþÒ å ï D9áß¹ã*Ü æ ãéièábä±Ý_Üi ò ü ï k å 4å ã*Üå îiã*ß¹Þ DJ-.9Må_Ýæ Kñ ü,DJåi!ï`-?ð9_Lî ]ñ ü å á å ÞbÝ ç ü ãËÝ ÞMã*ÜãßÝ_í¼Û 4*ÝäXÛ å Ü åMæ ë å ò=éí¥Ý_ß·ò=ãLè å ë°à å â¹ÛGäXÛ å Ü3ä å < ZâQäXß¹éèä¹éßXã*â ï ",áã*ÛÚÜ½+ñ &µÝMîÛ¼îÝ_Üò Ý_éßXãß #"%& Mø zèáÝ_ßÝMèä¹ã*ß¹Û 4ãLò(äXáãµàß à?ãß¹ä¹Û¼ã*â}ä¹áÝ_äÝ ÝMNë Û¼íÚþ å_æ âJãäXâ*ñ%â¹éèá#ÝMâ±ä¹áã ë å ò=éí¼ã*â å_æ ÝÞMßÝ_àá½ñ ë éâJä áÝ ç ã°ÛÚÜ åå ßXò=ã*ß ä å áÝ ç ãÝæ ò=6ã è ë°à âJÛÚä¹Û Ü ä¹ßXããËâ¹éèá ÝMâä¹áã/ë ò=éí¥Ý_ß±ò=ã*è ë°à â¹ÛGäXÛ Ü éèá Ý_ë°ÛÚí¼Û¼ã*â±Ý_ßXãËè*Ý_í¼íÚãLò å

(36) & å P OÙ %å Ù8 QÓ ¦Ø Ù% ï *éß9Ý_í¼Þ å ß¹ÛÚå ä¹áë ãê=àí å ÛÚå äXâäXáå ã·ë å å ò=éï í¥Ý_ö ß9òã*è æ å ë°à å âJÛÚä¹Û å Ü å_æ Ý< âJä¹ßXéè&äXéß¹ãbñBÝbâ ü ãí¼í?Ýbâ}äXáã æ Ýbè&ä9äXáÝä,ä¹áãÛÚÜBäXãßâJãLè&ä¹Û å Ü åMæ ä ü,å àÝ_ß¹ä¹ÛÚä¹Û ç ãµâ¹ãä æ Ý_ë°Û¼íÚÛ¼ã*â9Û¼â Ý·àiÝ_ß¹ä¹ÛÚä¹Û ç ã,â¹ãä æ Ý_ë°Û¼íÚþ ï/R ãòã ç ã*í å à Ý·àß å èãLò=éßXã æ§å ß ÜòÛÚÜÞä¹áã9äXß¹ã*ã,ò=ãLè å ë°à å â¹ÛGäXÛ å Ü å_æ ä¹áã¸áãÛ¼ÜBä¹Üã*ãßXêâ¹ä6ã*èâJä¹ãLÛ å è&Ü½äXÛ ñ=ÞbÜ Û ç ÞbãÛ Ü6ã*ä¹â áã îiÝMäXâ¹ß¹Û¼ã*èã ò=òã ã*Üè åë°ÛÚä¹Û à å ÜâJâ6ÛÚä¹Ý_Û å ÜÜò â åMè æ ÜäXèáãã à=ä äü,â å/æ ÝMë/áãÛ¼í¼ÛÚäXãLáâ ÛÚï ßò â¹ã*è&äXÛ Ü àßXã*â¹ð ãÜBäXâä¹áã ÝMíÚÞ å ßXÛGå äXáë æ§ç å ßÜò=Û¼ÜÞ äXáã ò=ãLåè å ë/à å â¹ÛÚä¹Û å å Ü¿ä¹ßXãã åMï æ äXð áã(Û¼ÜBä¹ãßâ¹ã*è&äXÛ å Ü å åMæ ä üå àÝ_ß¹ä¹ÛÚä¹Û ç ã æ ÝMë/Û¼í¼ÛÚãLâ ïð áã æ§å éßJäXáâJãLè&ä¹Û å ÜóÞbÛ ç ã*â(ÝÜ åç ãísÝMÜò#âJÛ¼ë°àí¼ã3Ý_í¼Þ å ß¹ÛÚä¹áë æ§àå ÝMßßJä ò=ãLè å ä¹ë/áã±à å àâ¹Ý_ÛÚä¹à?Û ãå ßÜ ÞbåMÛ æ ã*ä â,å éä¹ßXáÜã(Ý_òë°ÛÚßXã*ã*Übèää¹âsã*ò6äXáÞMÝßä Ý_ü àá¿ãéiò=âJãLã è Û¼Ü3ë/àäXáã â¹ÛÚä¹ë°Û ÝMÜÛÚÜ¿Ý_Ý_í¼Þ í¼Þ å ßXÛÚß¹ä¹ÛÚáä¹áë ë ÛÚï}äXâ¹ð ãíáã æ ä¹á å_æ ç å å å å æQï 4. 4. 4. 4. 4. 2. >. 4.

(37) Ì Ñ

(38) . ÑÉ ±ÌÑ . "!#$. $½â¹ããä ä. îiãóÝiÜÛGäXã Ö&

(39) ¹Ù#ZÙÖ

(40) å ßâ¹ÛÚë°àí¼þ Ö

(41) ùü ÛGäXá ç ãß¹ä¹ãê+ Ý_Üò ÝMßXè6»â¹ãä E = E(G) ⊆ Võ§(G) &·ãßXãÝò=Û¼ÞMßÝ_àáýÛ¥â ù&ï á¸ã±Û àç ÝMãÛÚÜ ß H ⊂ VÝ ñ% ä¹¦áÓ ã(

(42) ò=ØÚÙÛ¼ÞMß Ý_

(43) #±àá Û &×

(44) ÖV×#(G) í åBå àí¼ã*âXâ õ ÙÖ6îBï þ X ⊆ V Û¥â G[X] = Ý_Üò (v, u) ∈/ E ñÝ_Ü ïsÝMÜð ò (u, v)ñ

(45) Ý_Üò Ý ?ÕJÙÖ Bæ ÙË(u, v) ∈ E ÙÖ BÙ/Û æ Û æ (u, v)ò=ã∈/Ü Eä¹ã ÝMä¹Üáò ã/(v,Üéëu)î?∈ã/ß E ï $½Ý_ßãèä â ÛÚä¹á#ò=ã*ã*òÜ ÞMå ã*äXã(â äXîiáã*ãËÛÚÜÜÞ é(v,èëËîiu)éã*ÜBß ä¹∈ã*å_òxæsEäç ã*ßJÛ¥äXèÛ¼ã èã*â $½å_æãä G ÝMÝ_ÜÜò ò m(G) ò=ãÜ å ä¹ã å äXáã*â¹ã ü áã*Ü G å_Û¥â æ § õ ü å ü & ù ï n m éÜòãßâQä åBå ò ï $½ãä ë ÝWþ = {u|(v, Ý_Üò íÚãä ÿ æ X Û¥â°Ý ë å ò=éí¼ãMñ Nü ã9(v) ßü XÛÚä¹ã N u)(X)∈ E} Ý_Üò N (X) ïNÒý(v) ò=Û¼ÞMßX=ÝMàá {u|(u, è*Ý_Ü(î?v)ã,âJä ∈å ß¹E} ãLò±ïÛÚÜ O(n+m) â¹àÝMèãËéâ¹Û¼ÜÞ bÖ #XÙ # % ZØ '% ß¹ã*àßXã*â¹ãÜBäXÝ_ä¹Û Ü #"%$ 9Mø ÒÔò=Û¼ÞMßÝ_àáxÛ¼â #Õ ?Ù#ZÙÖÛ ä¹áãßXã±Û¼âµÜ å àÝ_ß¹ä¹ÛÚä¹Û å Ü åMæ V Û¼Üä üå Ü å 8Ü »ãåë°à=äQþ¿âJãäXö â ü ÛÚä¹ï áÜ å Ý_ßèâ`î?ãä ü ããÜ¿äXáãë G

(46) Ý æ ë Ýê=Û¼ë°ÝMí}è å ÜÜã*èä¹ã*òxâJéîÞMßÝ_àáxÛ¼â Ý #ÕÓ$Õ?Ù ï Ò·Ü × ?Ö&

(47) ¹Ù#ZÙÖ

(48) õ§å ß±â¹ÛÚë°àí¼þ

(49) ù áÝMâ`Ü å â¹ÛÚë°àí¼ã(Ý_ßè ï Ò

(50) ¹ÙÙ±Û¥âÝ è å ÜÜã*èä¹ãLò6ò=Û¼ßXã*è&äXã*ò¿ÞMßÝ_àá6â¹éèá¿ä¹áÝ_ä·ã ç ã*ß¹þ çò=ã*Û¼ÞMßJßäXãÝ_ê àá6ãêâJéèãèàáä ä¹áå ÜÝ_äã õ ä¹áã

(51) XñÕ*ÝÕ #ù Ø Û¼ â±×ä¹Ù áã åß`ß¹è Û¼ÞMë°Û¼Ü àåMí¼ãæäXåã¸ÜòãÛÚÞbâ¹ßXÛÚÝMë°ààá í¼ãÛ¥Ý_âßÝ è ï ò=Û¼Ò ÞMßÝ_% àá+ ñBØÚÙâ¹é%èÙ á äXÛ¼áâ ÝÝ ä E ñ, =Ý_Ü ∅ ò Ý ZÕ×

(52) õå Ó Ùå (Û¥â/Ý ò=Û¼ÞMßÝ_àá ù áãßXã6ä¹áã*ß¹ã¿Û¼â°Ý âJÛ¼ë°àí¼ã E = {(u, v)|u = 6 v} Ý_ßèîiãä ü ã*ãÜ¿ã*ÝMèá¿àÝMÛÚß å_æ%ç ã*ßJäXÛ¼èã*â ï ÷ å ß å éßàéßXà å âJãLâñ=Ý¿Ø ü &?Ù

(53) Õ

(54) ¹ÖbÙ

(55) Û¼âÝMÜ¿Ýbèþ=èí¼Û¥è ä å éßXÜÝ_ë°ãÜBä ï Ò í¼Û¼Üã*ÝMß å ßò=ãß`áÝbâÝËéÜÛ Béã ä å à å í å ÞbÛ¼è*Ý_ízâ å ßJä ï. G = (V, E) V = V (G) (u, u) ∈ /E (X, E ∩ (X × X)) (u, v) ∈ E n(G) +. −. +.

(56) &

(57). −. '(*)+)+,.-0/12345"-6 %7%ÓËÓ Ù

(58) #6Ö µ8 Ù

(59) ¹Ù #Ù ä. ð áÝMã Üò ÕFOÙ

(60) &Ø! 6Û äXáãþ Û¼ÜBåMä¹ã*æ ßXâ¹üã*èå ä*ñ=â¹ãîäé=â äÛ¼Üâ ã*A∆B ï°ß ð ü,áå Ýä`â¹ãÛ¥äXââ ñ = (A ∪ B) \ (A ∩ B) G Û X ä á ã ` ß ¥ Û ` â Ë Ý ¹ â é î ¹ â ã ä ¹ ä á ã X ä á ã X ä¹áãþ åç YãßXí¼ÝMàÛ æ X \æ Y ñ X ∩ Y ñÝMÜò Y \ X Ý_ßXã Ý_í¼í½Ü å Üãë°à=äQþ å_ï æ å ï}ð $½ãä V îiã°Ý Û¥iÜâ ÛG

(61) ¹äXÙã Ù ZâJØ ã:9bä¸Ù¸Ý_Û Üiò F Ý æñ ÝMë/Û¼í¼þ õ â¹ñ ãä ùµå_æ âJéîiâJãäXß±â Ý_å_í¼æ í V ï $+ãä ñ+Size(F) P ÝMÜò æ§å ß±Ý_=í¼í |F |ñ ï FÝMÜò æ ∅ ∈ 6 F V ∈ F {x} ∈ F § æ å x ∈ V ò Ü ä ã*ß¹í¥Ý_à ï X, Y ∈ F X Y å å åç Ù F %%Ù3Ö

(62) _Ó Õ Q Ù %&× %Ù

(63) ¹ÙØ! Õ Õ

(64) XÙXÙ ZØ :9bÙ QÓ ¦ØH% '% ;.<>=?=A@CBED G

(65) ¹ÙJÙ I $½ãä(éâ±èÝMíÚísä¹áã &ÝMâXâJã ò=Û¥Ý_ÞbßXÝMë âJéèá#Ý Ý_ë°Û¼íÚþ ä¹áã ÝMë°ÛÚí¼þ â & #ØG× %Õ

(66) ¹ÙÙ áð Û¥âòãÜãLâµÝ àiÝ_ßXãÜBäµßXãí¥Ýä¹Û å Ü å Üë°å_ãæ ë î?ãßâ åMæ æ F ñ

(67) Ý_ÜiòÝ_í¼í æ åü âéiâ·ä å âJà?ã*?Ý åMæ ä¹áã ï % Ø& %`ÝMÜò # ¦Ø¼Ö

(68) ¹Ù å_æ Ý/ë°ãë î?ãß åMæ F ï ð áã æ§å í¼í åü ÛÚÜÞ°Û¥â ü ã*íÚí BÜ åü Ü Ù Q_Ó ¦OØ %6Õ ÖbÕÓ & ?Ö '%

(69) Õ ?ÙÓ$ P % %&× %Ù ;.<>=?=A@LKNM Q '%

(70) ¹ÙÙZØ : 9b3 Õ Q V ÖMÕLÙ %"F?Õ FÕ OÙ

(71) &Ø! Q %ËÓ ÙÓ Ù

(72) @Õ Q F R &ÙV X '% X/× ÕÕ Q±Õ

(73) Ù(Õ

(74) ¸Ó°Õ

(75) ¹Ù % Ø& %& F S % & #ØG× %Õ

(76) ¹ÙÙJI îiã6ä¹áã6íÚãLÝMâJä/è ë°ë ÜÝ_Üièã*âJä ß TVUXWYW[Z5\ $½ãä ÿ Û¥âËÜ ä°ÝéÜÛ Ü â¹ÛÚîí¼Û¼ÜÞbâ*ñ?ä¹áã*Ü XY æ ÝMÛÚí¥â·ä å è å ÜBäXÝMÛÚÜxå â å ë/å ã/èáÛ¼í¼ò Aå å_æ åMYæ Xä¹áï Ý_ä¸æ ÛÚä XÛÚÜBä¹ã*ßXâ¹ã*å èäXâ ï¸ð áå ãÜ YåMæ åç ã*ß¹í¥Ý_àiâ A ñÝ°è å ÜBäXßXÝbò=Û¼èä¹Û å Ü ï F ∈F. .

(77) Û¥âsÝ %

(78) ¹Õ MØH%

(79) & POÙ QÓ ¦ØH% #"%& ø6 õ Ý_í¥â å è*Ý_í¼íÚãLò¿ÖbÙ #Õ_Ó Õ % ØÚÙ"%Ù Q_Ó ¦ØO% îþ F á ù Û æ ñ ñÝ_Üò ∀v ∈ V ñ {v} ∈ F • V ∈ F ∅ 6∈ F ñ·Û Ý_Üò Y åç ãßXí¼ÝMà½ñ,ä¹áã*Ü X ∩ Y ∈ F ñ X ∪ Y ∈ F Ý_Üò • ∀X, Y ∈ F æ X X∆Y ∈ F ï ÿ Ü(äXáÛ¥âàÝ_à?ãß ü ãÝbâ¹â¹éë°ãsäXáÝää¹áã,ã*ë/àäQþ âJãä%Û¥â%Ü å äsÝë°ãë î?ãß åMæ F ï Ò ë°ãë î?ãß å_æäXáÝ ãßàÝMßJÛ¥âJäXãÛGäXÛGÛ äç ã Û¥â æ ÝMë/ã*?ÝÛ¼í¼ þ F Û¥â`â¹ÝMÛ¥Û¼âòä¹ä áå ã îiÝ_ã ë°% Û¼íÚ

(80) Xþ Õ âJÛ æ ä¹ß Ü åËÜÞ/å ä¹âJáãã*äXß,â ë°ã*ë î?ãß á å_æ éFÞMá åç ã*ß¹Û¥í¥âÝ_Ü àiâsä·ÛÚä*Ý ñ ä¹å ßXãã ]í¼üÛ Mã æ Ý_ë°ÛÚí¼þMü ñ S(F)ï S(F) Û¼â ï $½ãä T (F)æ òãÜ å ä¹å_ã¸æ ä¹áã±å Û¼ÜèíÚéâ¹Û å å_Ü6æ ä¹FßXãï}ã ð å_æ å S(F) Fï å <>W UX<>= B F

(81) R

(82) +Ù F Ù %

(83) ¹Õ _OØ %

(84) &P OWÙ QÓ ¦HØ % ?ÖØÚÙ X. Ù &ZÙ

(85) Ø ?ÕLÖMÙ¿Õ Q & # ¦ØÚÖ

(86) ¹Ù S , S , ..., S I D Ù X '% @Õ Q3Õ

(87) Ù3@Õ Q EÙ QÕØ¦ØÚÕ & Õ P % Ù% T (F) %&×# 1 < |I| < k R S S ∈ F W[= <J<[\ Õ

(88) 6Ù OÙ 7

(89) % • I ⊂ {1, . . . k} R %&×# & 1 < |I| < k R S S 6∈ F TVU"!&=?<[\# Õ

(90) Ù OÙ7

(91) % • I ⊂ {1, . . . k} R :þ $½ã*ë°ë°Ýñ_äXáÛ¼âsÛÚë°àí¼ÛÚãLâä¹áiÝä,Ý â¹ãäsÛ¥âsÝ ë°ãë î?ãß ÛGû¿ÛGäsÛ¥âsÝ Ü å ò=ã åMæ T (F) ßå ·Ý/éÜÛ å Ü åMæ èáÛ¼í¥ò=ß¹ã*Ü åMæ Ý°è å ë°àí¼ãä¹ã Ü å ò=ã±Û¼Ü T (F) ï å_æ F 2 ä¹Û¥èã6ä¹áÝ_ä Ý_ä èÝMÜ î?ããê=à å ÜãÜBäXÛ¼ÝMáí,ãÛ¼ßXÜ ã |VßXã | õ ä¹áãî Û¥åâ/å í¼Ýxã*Ý_à Ü í¼æ þBÝ_Ü ë°ÛÚë°í¼þ Û¼ÝM2í Zâ¹Û 4*Û¼ãâ àÝMßJäXÛGäXå Û ç ã ù îé=ä°ä¹áSize(F) å å ßXãàßXã*â¹ãÜBäXÝ_ä¹Û å Ü å_æ äXáã Size(S(F)) Ý_ë°Û¼íÚþ ï ≤ |V | ï ð æ§å T (F) æ Û¥â·Ý Ù 9OØ %

(92) &P OJÙ Q_Ó ¦HØ %6Û æ F ñ ñÝ_Üò ∀v ∈ V ñ {v} ∈ F • V ∈ F ∅ 6∈ F ñÛ Ý_Üiò ãßXí¼ÝMà½ñ_äXáãÜ X ∩ Y ∈ F ñ X ∪ Y ∈ F ñ X \ Y ∈ F ñ • ∀X, Ý_Üò YY ∈\ XF ∈æ FXï Y åç áã*Ü ÝMÜò Ý_ßXã ãßXí¥Ý_ààÛ¼ÜÞ¸ë°ãë î?ãßâ Ý±âJä¹ß ÜÞMí¼þ(àÝ_ß¹ä¹ÛÚä¹Û ã ÝMë/Û¼í¼þMñbä¹áã*Ü â å Û¥Râ X∆YXñ½Ý_ÜòYä¹áÛ¥â¸ë/åã*ç ë î?ãß åç ã*ß¹í¥Ý_àiâ X ï(ð åMáæ ã*ß¹ã æ§å ßXå ãMñ X \ Y = Xç ∩æ (X∆Y ) Û¥â Ý_í¥â Ýë°ãëËîiã*ß äXáã ÝMë°ÛÚí¼þ ÛÚë°Û¼í¼ÝMß¹í¼þMñ Û¼âËÛÚÜä¹áã Ý_ë°ÛÚí¼þ áÛ¼â ÛÚë°àí¼Û¼ã*â ä¹áiÝå ä âJä¹ß å ÜÞbíÚþàÝMå_ßJæ äXÛGäXÛ ç ã æ æ ÝMë°ÛÚí¼þïxÛ¥ö â(Ý ü ã*?Ý íÚþYài\Ý_ß¹Xä¹ÛÚä¹Û ç ã æ Ý_ë°ÛÚí¼þMæñ îé=ä±äXïxáã ð è å Ü ç ãßâJãËÛ¼â Ü å ää¹ßXéã ï <>W UX<>= K$ F % Ù F Ù ÙJ 9_HØ %

(93) & P O!Ù Q_Ó ¦OØ % R ØÚÙ X Ù &»Ù

(94) _Ø ?ÕLÖMÙ3Õ Q T (F) R ?Ö¿ØÚÙ S , S , ..., S Ù Ù # ¦ØÚÖ

(95) ¹Ù Õ Q X I D Ù X '%°@Õ Q/Õ?Ù @Õ Q EÙ QÕØ¦ØÚÕ &

(96) ¹ÙÙ & % Ù % %&×# 1 < |I| < k R S S ∈ F W[= <J<[\ Õ

(97) 6Ù OÙ 7

(98) % • I ⊂ {1, . . . k} R %&×# & 1 < |I| < k R S S 6∈ F TVU"!&=?<[\# Õ

(99) Ù OÙ7

(100) % • I ⊂ {1, . . . k} R %&×# & Q I ⊂ {1, . . . k} ;&!(' <>@*U>\ D Ù

(101) XÙ Ù )'% %" Õ

(102) ¹ÖMÙ

(103) & 6Õ Q • ?Ö {1, ...,Ó°k} S Ù 8 2, Ë Ù Ù Ó. XÙ

(104) %ËÕ Q I

(105) ¹Ù #Õ %Ù#× P OÙ S ∈ F & &1ÙË<Õ

(106) ¹|I| ÖMÙ

(107) <& kI R " å ÛÚûýÜ ç ÛÚãä(ßâJÛ¥ã*â(íÚþbãñÛÚä¹îBáþ ãß $½ã*Ýë/Ü ë ò=Ýã ñMÛ æ F Û¼â9Ý ñ+äXü áãLã Ý éÜàiÛ Ý_ß¹Ü ä¹ÛÚä¹Û ç ã Ýæ â¹Ý_ãë°ä Û¼íÚþbñ èYáÛÚ⊆í¥ò=ßXVãÜ#Û¼âsèÝ(áÛ¼ë/í¼òã*ß¹ëã*Ü î?ãß å_Ýæ è Fë/àíÚãä¹ã Ü ò=ã å ñ åMß æ ä¹Tá(F) ã éÜÛ å Ü å_æ Ý¿å è å ÜåMâ¹æ ã*èé=ä¹Û ç ã åMâ¹æ ãä å_æ èáÛ¼í¼òß¹ã*ÜxÛ¼Ü ä¹áåMã æ åßò=ã*ß¹Û¼ÜÞ Ý°å í¼Û¼Üã*ÝMå_ßæ Ü T (F) å å å_æ å òã ï 1. 2. k. i∈I. i∈I. i. i. V. 2. 1. 2. k. i∈I. i∈I. i∈I. i. . i. i.

(108)

(109) .

(110) X )*[) -6. Ò H %

(111) &×# C×

(112) ¹Ù DE-?9bÝ<Û¥â3ÝóäXß¹Û¼àí¼ã G = (V, E, k) ñ ü áã*ß¹ã V Û¥â3Ý iÜÛGäXã ç ãß¹ä¹ãê+ â¹ãä*ñ ñÝ_Üò E : V × V 7→ {1, . . . k} Û¼â(Ý#Õ_ØÚÕ

(113) & æ éÜè&äXÛ å Ü ï Ò <ZâQäXß¹éèä¹éßXã Û¥â %7%kÓË∈Ó ÙN