Efficient methods for acoustic scattering in 2 and 3 dimensions : preconditioning on singular domains and fast convolution.

(1)

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Eﬀicient methods for acoustic scattering in 2 and 3

dimensions : preconditioning on singular domains and

fast convolution.

Martin Averseng

To cite this version:

Martin Averseng. Eﬀicient methods for acoustic scattering in 2 and 3 dimensions : preconditioning on singular domains and fast convolution.. Acoustics [physics.class-ph]. Université Paris-Saclay, 2019. English. �NNT : 2019SACLX083�. �tel-02441362�

(2)

NNT : 2019SACLX083

TH`

ESE DE DOCTORAT

de

l’Universit´

e Paris-Saclay

´

Ecole doctorale de math´ematiques Hadamard (EDMH, ED 574)

´

Etablissement d’inscription : Ecole polytechnique

Laboratoire d’accueil : Centre de math´ematiques appliqu´ees de Polytechnique, UMR 7641 CNRS

Sp´ecialit´e de doctorat :

Math´

ematiques appliqu´

ees

Martin AVERSENG

M´

ethodes efficaces pour la diffraction acoustique en 2 et 3 dimensions:

Pr´

econditionnement sur des domaines singuliers et convolution rapide

Date de soutenance : 30 Septembre 2019

Lieu de soutenance : Palaiseau

Jury de soutenance :

Pr. Toufic ABBOUD (CMAP, Palaiseau) Examinateur Pr. Franc¸ois ALOUGES (CMAP, Palaiseau) Directeur de th`ese Pr. Xavier ANTOINE (IECL Lorraine) Rapporteur

Pr. Sonia FLISS (ENSTA, Palaiseau) Pr´esidente du Jury Pr. Snorre CHRISTIANSEN (UiO Oslo) Examinateur

Pr. Ralf HIPTMAIR (ETH Z¨urich) Rapporteur Pr. Jean-Claude NEDELEC (CMAP, Palaiseau)Invit´e

(3)

Remerciements

Je tiens à exprimer mes profonds remerciements à mon directeur de thèse, Fran¸cois Alouges, qui m’a fourni un encadrement extraordinaire au cours de mes trois années de thèse, notamment par sa bienveillance infatigable, ses nombreux encouragements, son aide aux moments difficiles, sa patience et son humour. Il a alimenté ma recherche de nombreuses idées et intuitions qui ont une importance décisive dans le travail présenté ici. Travailler avec Fran¸cois a été une expérience riche qui restera pour moi une source d’inspiration, aussi bien sur le plan mathématique que sur le plan humain.

Je remercie également le jury de cette thèse pour avoir accepté d’assister à ma soute-nance, et en particulier Xavier Antoine pour la lecture attentive de mon travail ainsi que Ralf Hiptmair, pour ses précieux commentaires et suggestions préalables à la soutenance. I would like to thank the jury for accepting to attend my defense, and in particular to Xavier Antoine for his careful reading of my work, and Ralf Hiptmair, for his valuable comments and suggestions prior to the defense.

Merci à toutes les personnes avec qui j’ai partagé des discussions intéressantes sur des sujets liées à cette thèse, qui m’ont parfois débloqué ou aidé à exprimer mes problèmes : en particulier Maxence Novel, Nikolas Stott, Fédor Goncharov, Othmane Mounjid, Émile Parolin et Matthieu Aussal.

Je dédie également quelques lignes aux personnes qui me sont chères et qui m’ont accompagné au cours de cette thèse. Merci Véronique pour ton soutien sans faille et ta positivité qui m’ont tant ressourcé au cours de cette dernière année de thèse. Merci de m’avoir patiemment écouté essayer de t’expliquer ce que je faisais, et de m’avoir tout facilité dans les périodes de rush. Je suis aussi heureux d’avoir découvert et exploré avec toi la philosophie et l’histoire des mathématiques : grâce à toi, aujourd’hui, je crois apprécier un peu mieux la grandeur et la beauté de cette science.

Merci `a toute ma famille, mes parents, mon fr`ere Paul et mes soeurs Marie et Juliette, pour tout votre amour.

(4)

Introduction (Fran¸

cais)

Equations int´

egrales et leurs applications

Cette thèse est un contribution sur le sujet des équation sintégrales, une classe de méthodes adaptées à la résolution d’équations aux dérivées partielles linéaires (EDP) dont une solution fondamentale, ou fonction de Green, est connue explicitement. Parmi les EDP concernées, figurent l’équation de Laplace, l’équation des plaques, de Stokes, de Helmholtz, de Maxwell, ainsi que l’élasticité linéaire statique ou harmonique en temps. La connaissance de la fonction de Green permet de ramener l’EDP posée sur un domaine volumique Ω, à la résolution d’une équation intégrale, posée sur la frontière Γ = ∂Ω. Ceci réduit donc la dimension de problème. Ceci est particulièrement adapté aux problèmes de diffraction, où Ω est un ouvert non born´_{e de R}n_{, tandis que Γ est une vari´}_et´_{e compacte} de dimension n_{− 1.}

Développée dans les années 60 et reposant sur des fondations datant de la fin du 19ème siècle, la théorie des équations intégrales et la méthode des éléments finis de frontières, appelée BEM pour “boundary element methods” (voir les ouvrages [13, 35, 56, 65, 82, 86, 101]), est actuellement appliqué dans une large variété de contextes, aussi bien académiques qu’industriels. Nous citons quelques examples, mais la liste est loin d’être exhaustive.

- Calcul de Section Radar Efficaces d’objets complexes comme des avions, avec des applications en furtivit´e et d´efense (see e.g. [8, 55, 71, 109])

- Simulations pour la compatibilité électromagnétique (voir par exemple [88]), dont le but est de déterminer si un système électrique peut fonctionner de manière sécurisée dans un environnement comportant des champs interférents.

- M´ecanique des fractures, en particulier l’estimation des “Stress Intensity Factors” [22], et la simulation de la propagation de fractures [29].

- Les problèmes inverses de diffraction [34,70,74] où on cherche à déterminer la forme d’un obstacle parfaitement réfléchissant, à partir de l’écho des signaux incidents envoyés sur cet obstacle.

(8)

Diffraction par un obstacle lisse

Dans ce qui suit, nous donnons un rapide résumé de la méthode des équations intégrales pour la résolution numérique des problèmes de diffraction d’ondes acoustique par des obstacles lisses. Le but principal est de fixer les notations, le matériel discuté est désormais très classique.

Le probl`

eme de diffraction de Helmholtz

Considérons un obstacle Ωi, modélisé par un ouvert de Rn (n = 2 ou 3), que l’on suppose pour l’instant lisse, et soit Γ sa frontière. Soit Ωe = Ωi

c

l’espace libre en dehors de Ωi. Soit uinc une onde incidente donnée. La présence de l’obstacle Ωi génère une onde acoustique u = uinc+ us qui est la somme de l’onde incidente et d’une onde qu’on appelle l’onde diffractée. Dans le cas d’un obstacle “parfaitement mou”, us vérifie l’équation de Helmholtz avec conditions de Dirichlet ci-dessous:

   ∆us+ k2us = 0 dans Ωe, us = −uinc sur Γ , rn−12 ∂us ∂r − ikus → 0 when r_{→ ∞ .} (1)

Dans la troisi`eme condition, connue sous le nom de condition de radiation de Sommerfeld, r =_{|x| repr´esente la norme Euclidienne de x. Pour k = 0, il faut remplacer cette condition} par

u(x) = O(_|x|2−n) when _{|x| → ∞ .}

La condition de radiation mod´elise le fait que l’on cherche la solution sous la forme d’une onde “sortante”, ou “physique”.

Pour un obstacle “parfaitement dur”, la condition de Dirichlet est remplac´ee par celle de Neumann:      ∆us+ k2us = 0 in Ωe, ∂us ∂n = − ∂uinc ∂n on Γ , rn−12 ∂us ∂r − ikus → 0 when r_{→ ∞ ,} (2)

o`u n est le vecteur normal unitaire sur Γ qui pointe vers l’ext´erieur de Ωi et ∂

∂n = n· ∇ est la d´eriv´ee normale sur Γ.

Equations int´

egrales de premi`

ere esp`

ece

Soit u la solution de l’un des deux problèmes (1) ou (2) que l’on cherche à déterminer. On considère une fonction “prolongement” ui définie à l’intérieur de Ωi, qui satisfait l’équation de Helmholtz (par exemple la fonction identiquement nulle), et on pose ˜u le prolongement de u par ui dans Ωi. La fonction ˜u est maintenant définie presque partout sur Rn_{, et on s’int´}_{eresse `}_{a la distribution suivante:}

(9)

Si Gk est le noyau de Green de l’´equation de Helmholtz satisfaisant la condition de Sommerfeld, alors

Gk_{∗ T = ˜u .} (3)

On a les expressions suivante pour Gk en fonction de k et de la dimension:

Gk(x) =          −1 2π ln|x| when n = 2, k = 0 , i 4H (0) 1 (k|x|) when n = 2, k 6= 0 , eik|x| 4π_|x| when n = 3 .

où H₀(1) est la fonction de Hankel de première espèce et d’ordre 0. La solution ˜u s’exprime donc comme une convolution entre Gk et la distribution T . Il se trouve que T a son support sur Γ, et s’exprime en fonction des sauts de u et sa dérivée normale sur Γ. Pour ˆ

etre plus pr´ecis, nous introduisons maintenant quelques notations classiques. Soit dx la mesure de Lebsegue uniforme measure sur Rn_{et dσ la mesure uniforme surfacique sur Γ.} De plus, pour toute fonction ϕ_{∈ C}∞(Ωi ∪ Ωe), soit

∀x ∈ Γ , γ± ϕ(x) = lim ε→0±ϕ(x + εn(x)) , γ ± 1 ϕ(x) = lim ε→0±n(x)· ∇ϕ(x + εn(x)) .

Si ϕ est telle γ+ϕ = γ−ϕ, on note γϕ la valeur commune et similairement pour γ1. Enfin, on note les sauts de ϕ et sa dérivée normale à travers Γ de la manière suivante:

[ϕ]_Γ = γ+ϕ_{− γ}−ϕ and ∂ϕ ∂n

Γ

= γ₁+ϕ_{− γ}₁−ϕ . Appliquons la formule de Green dans Ωi et Ωe:

hT, ϕi = Z Ωi∪Ωe ˜ u(−∆ − k2)ϕ dx =₋ Z Γ ∂ ˜u ∂n Γ ϕdσ + Z Γ [˜u]∂ϕ ∂ndσ + Z Ωi∪Ωe (−∆ − k2_)˜_{u ϕdx .}

Le dernier terme s’annule puisque ˜u vérifie l’équation de Helmholtz séparément sur Ωi et Ωe_{. Il reste donc} hT, ϕi = − Z Γ ∂ ˜u ∂n Γ ϕdσ + Z Γ [˜u]∂ϕ ∂ndσ .

En injectant cette expression de T dans l’eq. (3), on obtient le théorème de réprésentation intégrale:

Theorem (Cf. [86, Thm 3.1.1]). Soit u une solution de l’´equation de Helmholtz sur Ωi_∪Ωe satisfaisant la condition de radiation de Sommerfeld. Alors pour tout x _{∈ Ω}i∪ Ωe, on a la formule de repr´esentation

u(x) =_Dkµ(x)− Skλ(x) (4) o`u _Sk et _Dk sont les potentiels de simple et double couche

∀x /∈ Γ , Skλ(x) := Z

Γ

(10)

∀x /∈ Γ , Dkµ(x) :=₋ Z

Γ

n(y)_{· [∇Gk}] (x_{− y)µ(y)dσy}. De plus,

µ = [u]_Γ and λ = ∂u ∂n

Γ .

On voit donc que la fonction u est complètement déterminée sur Ωe∪ Ωi par deux fonctions λ and µ définies sur Γ. Les problèmes (1) et (2) permettent de formuler des ´

equations sur λ et µ, en demandant à ce que la représentation (4) produise la bonne donnée au bord pour u.

Détaillons plus précisément cette idée. On commence par le problème de Dirichlet, et on suppose d’emblée que_−k2 _{n’est pas une valeur propre du Laplacien de Dirichlet dans} Ωi. Choisissons pour le prolongement ui la solution unique solution du problème

∆u_i+ k2ui = 0 in Ωi, ui = −uinc on Γ .

Alors, par construction, le saut [˜u]_Γ est nul, et la représentation (4) se simplifie en u(x) =_−Skλ(x) . (5) Soit Sk l’opérateur intégral de frontière défini par

Skλ(x) = Z

Γ

Gk(x− y)λ(y)dσy (6) i.e. Sk = γSk. En appliquant l’opérateur de trace γ de chaque côté de l’eq. (5), on en déduit que λ doit satisfaire l’équation intégrale:

Skλ = uinc. (7)

Pour le problème de Neumann, on choisi cette fois le prolongement ui comme la solution du problème de Neumann dans Ωi avec donnée au bord −

∂uinc

∂n , ce qui m`ene `a

u(x) =_Dkµ(x) . (8) On introduit l’op´erateur “hypersingulier”

Nkµ :=−γ1+Dkµ =−γ1−Dk. (9) En appliquant γ1 de chaque côté de l’eq. (8), on trouve que µ est solution de l’équation intégrale

Nkµ = ∂uinc

∂n . (10)

L’hypersingulier s’´ecrit aussi

Nkµ(x) = f.p. Z

Γ ∂2

(11)

o`u f.p. repr´esente la partie finie d’Hadamard, et ∂ ∂nx

, ∂ ∂ny

représentent les dérivées nor-males en x et y respectivement. On a aussi une expressions plus pratique pour Nk, obtenue par intégration par parties:

hNkµ, µ0iL2_(Γ)=

Z Γ

Gk(x− y)curlΓµ(x)· curlΓµ(y)µ0 − k2_G

k(x− y)n(x) · n(y)µ(x)µ0(y)dσxdσy

où, pour une fonction régulière ϕ définie sur Γ et prolongeable en une fonction régulière ˜

ϕ dans un voisinnage de Γ,

curlΓϕ = n× ∇ ˜ϕ .

Une approximation numérique des solutions des équations intégrales (7) et (10) peut ˆ

etre obtenue en utilisant la méthode BEM. Une fois λ et / ou µ obtenus, on les injecte dans les représentation correspondantes (5) et (8), ce qui donne une approximation de u dans tout Ωe (et, en sous-produit, de ui dans Ωi). Quand −k2 est une valeur propre du problème de Dirichlet (resp. Neumann) pour le Laplacien dans Ωi, l’eq. (7) (resp. (10)) n’a pas toujours une solution, et le cas échéant, elle n’est jamais unique. D’autres ´

equations intégrales, bien posées à toute fréquence, peuvent être obtenues par exemple en choisissant d’autres prolongements ui dans le raisonnement précédent (cf. [24, 27]). Néanmoins, cette question n’apparaˆıtra pas dans ce travail, car nous considérerons des cas où Ωi est une courbe ouverte en 2D ou une surface ouverte en 3D, et n’a donc pas d’intérieur (donc les résonnances parasites n’apparaissent pas).

M´

ethode de Galerkin avec fonctions polynomiales par morceaux

Une approximation numérique des solutions des équations (7) et (10) peut être obtenue par différentes méthodes. Ici, on considère une méthode de Galerkin avec pour espace de fonctions tests Vh des fonctions polynomiales par morceaux sur un maillage quasi-uniforme et conforme Γhde Γ, avec des éléments plats (des segments en 2D et des triangles for en 3D). On note h le diamètre du plus grand élément. Pour le problème de Neumann, on se restreint parmi ces fonctions tests à celles qui sont globalement continues sur le maillage (en pratique, ces fonctions sont aussi suffisantes pour le problème de Dirichlet). Soit (φi)1≤i≤Ndof la base d’éléments finis de Vh et soit Ndof sa dimension. On doit donc

résoudre le système linéaire

AX = U (11) o`u Ai,j =− Z Γ (Skφi)φjdσ, λ(x)≈ λh := N X i=1 Xiφi(x), Ui = Z Γ uDφidσ (12) pour l’eq. (7), et Ai,j =− Z Γ (Nkφi)φjdσ, µ(x)≈ µh := N X i=1 Xiφi(x), Ui = Z Γ uNφidσ (13)

(12)

pour l’eq. (10). Quand h est assez petit, l’eq. (11) a unique solution et pour h _{→ 0,} les solutions λh and µh ainsi définies convergent “quasi-optimalement” vers les solutions exactes λ and µ. Plus précisément, il existe une constante C > 0 telle que, pour tout h assez petit, kλ − λhkH−1/2 ≤ C inf λ∗ h∈Vh kλ − λ∗ hkH−1/2 , kµ − µhkH1/2 ≤ C inf µ∗_h∈Vhkµ − µ ∗ hkH1/2 ,

où Hs(Γ) est l’espace de Sobolev tel que défini par exemple dans [82, Chap. 3]. Les normes H−1/2 et H1/2_{sont appel´}_{ees les normes d’´}_{energie respectivement pour le probl`}_eme de Dirichlet et de Neumann, pour la raison que Sk et Nk sont respectivement coercifs de H−1/2(Γ) et H1/2(Γ) dans leur dual. Cette coercivité est l’ingrédient principal pour la preuve de la quasi-optimalité des solutions de Galerkin.

L’étude de l’erreur en norme d’énergie pour la meilleure approximation dans l’espace des fonctions tests d’une fonction arbitraire donnée permet aisni d’obtenir une borne supérieure pour l’erreur dans la méthode de Galerkin:

Theorem (See e.g. [101]). On suppose que Γ est la surface d’un polyh`edre (le bord d’un polygone en 2D).

(i) Si λ _{∈ H}s(Γ) pour un certain s _{∈ [−}1₂, p + 1], il existe une constante C > 0 ind´ependante de h telle que

kλ − λhkH−1/2_(Γ) ≤ Chs+1/2kλkHs_(Γ) .

(ii) Si µ_{∈ H}s(Γ) pour un certain s _{∈ [}1₂, p + 1], il exsite une constante C > 0 indepen-dante de h telle que

kµ − µhk_H1

2_(Γ) ≤ Ch

s−1₂

kµkHs_(Γ) .

R´

esolution des syst`

emes lin´

eaires denses et mal conditionn´

es

Méthodes d’accélération det de compression

Une des différences essentielles entre la BEM et sa contrepartie volumique, la méthode des éléments finis classique, et que la première aboutit à des systèmes linéaires pleins, comme on peut le voir eqs. (12) et (13). Ceci est du à la non-localité des opérateurs Sk and Nk. Pour de gros problèmes apparaissant dans des applications réelles, il devient généralement irréaliste de résoudre les systèmes linéaires (11) exactement. Assez vite, le simple stockage de la matrice peut même dépasser la capacité de mémoire de la ma-chine. Une solution désormais bien établie est de résoudre l’eq. (11) itérativement par exmeple par la méthode “generalized minimum residual” (GMRES, [100]). Cela est com-biné à une méthode d’accéleration et de compression pour le calcul des produits matrices vecteurs, la plus standard étant la méthode des multiploes rapides, ou “fast multipole method” (FMM, voir par exemple [28, 53] pour l’introduction en dimension 2 et [51] en

(13)

3 dimensions). La FMM permet l’évaluation des produits matrice-vecteur apparaissant plus haut O(Ndofln(Ndof)), au lieu des O(Ndof2 ) qu’on obtient na¨ıvement. Parmis les autres approches existentes, nous mentionnons la récente méthode “Sparse Cardinal Sine Decomposition” (SCSD) [3], qui se pose en alternative à la FMM. La SCSD permet de calculer efficacement les convolutions par des fonctions radiales (potentiallement sin-gulières `_{a l’origine) dans R}3. De telles convolutions apparaissent en particulier au coeur de la méthode BEM en 3D. Bien que la SCSD ne soit pas tout à fait aussi efficace que la FMM en terme de complexité, sa simplicité d’implémentation et sa généricité vis à vis du noyau singulier la rend attractive dans le cadre du prototypage rapide et la recherche académique. Un exemple d’application aux équations intégrales de Stokes integral est proposé dans [5]. L’une des contributions de cette thèse est l’introduction et l’analyse d’une version 2d de la SCSD.

En combinant ainsi la méthode itérative (ex. GMRES) avec la méthode de compres-sion et accélération (ex. FMM), la résolution approchée du système linéaire prend une complexité de O(NitNdofln(Ndof)) où Nitdésigne le nombre of iterations dans la méthode de Krylov. Il est bien connu que Nit est typiquement petit quand les valeurs propres de la matrice A sont bien regroupées (c’est le cas quand A est la discrétisation d’une perturba-tion compacte de l’identité), et typiquement grand quand la matrice est mal conditionnée. Dans notre contexte, puisque Sk et Nksont des opérateurs pseudo-differentiels elliptiques sur Γ d’ordre σ1 = _{−1 and σ}2 = 1 respectivement, le conditionnement de A explose comme

cond(A) = O(h−|σi|_{) = O(h}−1_), _{i = 1, 2 .}

Par conséquent, le nombre d’itérations dans GMRES grossit quand le maillage est raffiné (ou de manière équivalente, puisque le maillage doit résoudre la fréquence, quand on augmente k). Des préconditionneurs adaptés doivent donc être appliqués aux systèmes linéaires de manière à garder le nombre d’itérations aussi petit que possible. Pour cette raison, la recherche sur le préconditionnement des équations intégrales du premier ordre a fait l’objet de nombreux efforts dans les dernières décennies.

Pr´econditionnement

Différentes stratégies existent pour constuire de bons préconditionneurs mais nous men-tionnons ici seulement deux approches particulièrement pertinentes pour notre travail. La première, appelée “pseudo-differential preconditioning” (voir [7,10,11,23,77–79] inclu-ant des applications en électromagnétique, et [12] pour une vue d’ensemble). Le point de départ est la recherche d’un opérateur pseudo-différentiel K qui soit un inverse approché (modulo des termes régularisants) de l’opérateur intégral considéré. Une fois qu’un tel opérateur K est trouvé, un préconditionneur associé peut être construit [104]. Des can-didates pour K peuvent être produits en inversant le symbole principal de l’opérateur. Par exemple, le symbole principal du simple couche Sk est

σ(ξ, k) = 1 2

q

(14)

où k doit être considéré comme la variable de Fourier du paramètre temporel t pour justifier la terminologie de symbole principal. Ceci suggère le choix

K :=p−∆Γ− k2Id (14) où ∆Γ est le Laplacien de Beltrami sur Γ. La matrice de Galerkin de K peut être efficacement approchée par des matrices creuses en utilisant des approximants de Padé de la racine carrée [11].

La deuxième idée (reliée) est le préconditionnement de Calderón. Cela consiste en la remarque que, comme Sk et Nk sont d’ordre opposé, on peut les utiliser comme préconditionneurs mutuels. On a la relation classique suivante dite de Calderón:

SkNk= Id

4 − D 2 k

o`u Dk est la moyenne de la trace du potentiel de double couche

Dk =

γ+_Dk+ γ−_Dk

2 .

On sait que, sur des géométries régulières, Dk est un opérateur compact, et donc, les valeurs propres du produit SkNk sont regroupées autour de 1₄, ce qui est favorable pour les méthodes itératives. La compacité de Dk dans L2(Γ) a été prouvé pour des domaines C1 dans [47]. Dans [86, Chap. 4, Thm 4.4.1], il est aussi prouvé que Dk est continu de Hs_{(Γ) dans H}s+1_{(Γ) pour tout s lorsque Γ est une vari´}_et´_{e C}∞ _{compacte, et donc} Dk est compact dans Hs(Γ) pour tout s. L’utilisation de cette propriété à des fins de préconditionnement a été suggérée par Steinbach et Wendland [104] pour le problème de Laplace et étendue ensuite par Christiansen et Nédélec [31] pour k _{6= 0. La même idée} se décline aussi en électromagnétisme [9, 32].

Scattering by a singular obstacle

Jusqu’ici, nous avons supposé que la frontière Γ était lisse et fermée. Dans beaucoup d’applications, cette hypothèse n’est pas vérifiée: les obstacles peuvent contenir des an-gles, des bords ou des points. Une classe importante de domaines singuliers est celle des courbes ouvertes pour n = 2 et des surfaces ouvertes pour n = 3. En effet, au voisin-nage des bords, la frontière ne peut pas être représentée comme le graphe d’une fonction regulière. Dans ce cas, les méthodes précédentes souffrent de plusieurs complications.

Low rates of convergence for the Galerkin method

Premièrement, les solutions λ et µ des équations intégrales (7) et (10) ne sont pas régulières (cf. [54, 72], et [37] dans le cas particulier des courbes et surfaces ouvertes), ce qui limite l’ordre de convergence dans la méthode de Galerkin. Remarquons que les ordres de convergence respectivement en O(hs+12) et O(hs−

1

2) en norme d’´energie n’ont

(15)

des courbes ou surfaces ouvertes la solution de Galerkin converge seulement en O(h12). Ce

faible taux de convergence s’explique par le fait que les singularités des solutions exactes sont mal représentées par des fonctions polynomiales par morceaux. Plusieurs travaux ont été dédiés à ce problème, et différentes solutions ont été proposées, parmis lesquelles le raffinement non-uniforme du maillage, l’accroissement local de l’ordre polynomial des fonctions tests [39, 73, 106, 118], ou l’ajout de fonctions singulières spéciales dans l’espace de Galerkin [40,45,105,107]. Dans [105], les auteurs s’intéressent à une surface ouverte, et l’espace de Galerkin augmenté, par exemple pour le problème de Dirichlet, est consituté de fonctions de la forme

αh+ βh ω

où αh et βh sont linéaires par morceaux et ω(x) = pd(x, Γ) où d(x, Γ) représente la distance de x à la frontière Γ. Pour l’implémentation numérique, ceci requiert, this l’évaluation numérique d’integrales de la forme

I = Z

E1×E2

dσxdσy

|x − y| ω(x)ω(y) (15) où E1 et E2 sont deux éléments quelconques du maillage. A notre connaissance, les` auteurs ne décrivent pas comment calculer ces intégrales et les ordres de convergence prouvés dans le papier n’ont pas été validés par des tests numériques. Les auteurs ont fourni des résultats numériques pour leur méthode [45], mais dans ce papier, l’espace de Galerkin augmenté n’est pas utilisé. À la place, un maillage adapté est utilisé, et l’ordre de convergence expérimental est seulement de O(h), au lieu des O(h5/2_{) pr´}_{evus par la} théorie. Pour les courbes ouvertes en dimension 2, plusieurs auteurs ont considéré un changement de variable en cosinus pour résoudre la singularité [14, 85, 117]. En revanche, une telle idée n’a pas l’air d’avoir été généralisée en 3 dimensions.

Echec des pr´

econditionneurs usuels

Deuxièmement, les préconditionneurs usuels échouent en présence de singularités géométriques. Par rapport au problème de l’ordre de converegence ci-dessus, la littérature contient moins de contributions au sujet du préconditionnement pour des domaines singuliers. Ceci tient peut-être au fait que dès que la frontière est Lipschitzienne, le préconditionnement de Calerón est applicable. Beaucoup de domaines sont Lipschitziens, y compris les poly-gones et plyhèdres (courbes). Dans ce cas, on peut combiner le préconditionnement de Calderón avec un raffinement non-uniforme du maillage [60, 103].

Lorsque la frontière n’est plus Lipschitzienne, en revanche, il est bein connu que le préconditionnement de Calderón ne fonctionne plus, à cause du fait que la dualité entre les espaces H±12(Γ) n’a plus lieu (le dual de H±

1

2(Γ) devient ˜H∓ 1

2(Γ), voir par ex. [82, Chap.

3]). À cause de ce défaut de dualité, la technique précédente conduit à une augmentation du conditionnement lorsque le maillage est raffiné (seulement logarithmique en dimension 2 [83]). Dans [25], les auteurs montrent que le préconditionnement de Calderón peut être restoré en considérant des versions “à poids” des opérateurs intégraux Sk,ω et Nk,ω, définis par Sk,ωϕ = Sk ϕ ω , Nk,ωϕ = Nk(ωϕ) . (16)

(16)

Il est démontré que Sk,ωet Nk,ωpeuvent être utilisés efficacement comme préconditionneurs mutuels. Une généralisation un peu sophistiquée de cet algorithme est proposée en di-mension 3 [26], mais n’est pas encore accompagnée d’analyse mathématique.

D’autre part, les préconditionneurs pseudo-differentiels échouent en présence de bords, comme on pouvait s’y attendre étant donné que l’analyse pseudo-différentielle qui con-duit à les introduire fait appel de manière essentielle à la régularité de la frontière Γ. Par conséquence, il serait désirable de trouver la correction à apporter à ces préconditionneurs pour prendre en compte la présence du bord. Une théorie des opérateurs pseudo-différentiels sur des variétés singulières a été développée par plusieurs auteurs, reposant très souvent sur la transformée de Mellin. De tels travaux incluent par ex. [84, 96, 97]. Malheureuse-ment, il ne semble pas que ces travaux aient réellement trouvé d’application numérique à ce jour. Cela est peut-être dû au fait que les auteurs considèrent des EDPs très générales, ce qui les mène à des résultats abstraits et des concepts compliqués, difficiles d’accès pour les ingénieurs et les chercheurs non spécialisés.

Enfin, dans plusieurs travaux récents, des inverses explicites de S0et N0ont été exhibés pour un segment dans R2 [66], et un disque plat dans R3 [62, 95]. Voir aussi [48], qui montre comment ces résultats peuvent être obtenus indépendamment par une approche assez générale. Ces travaux reposent sur des primitives explicites de certaines fonctions et ne permettent pas de traiter le cas où k _{6= 0. `}A basse fréquence, les inverses explicites du problème de Laplace peuvent être utilisés pour préconditionner efficacment le problème de Helmholtz correspondant, puisque Sk et Nk sont des perturbations compactes de S0 et N0. Dans le cas de l’équation de Maxwell, le récent article [63] montre comment préconditionner l’EFIE à partir d’approximations des inverses des potentiels scalaires S0 et N0. De plus, des bornes uniformes sur le conditionnment du système linéaire lorsque k _{→ 0 sont obtenues. `}A plus haute fréquence en revanche, il semble qu’une telle robustesse en k ne puisse pas être obtenue sans l’ajout d’une correction adaptée pour la fréquence dans les preconditioneurs.

Contributions

Pr´

econditionnement des ´

equations int´

egrales sur des domaines

singuliers

Dans cette thèse, nous introduisons et analysons une méthode pour résoudre, de manière générique et unifiée, les difficultés que la BEM recontre en présence de singularités géométriques.

M´ethode de Galerkin `a poids

Nous introduisons la méthode numérique suivante. Soit Γ le domaine singulier, soit une courbe ouverte en dimension 2 ou une surface ouverte en dimension 3. En utilisant les potentiels à poids (16), on peut reformuler les équations les équations intégrales (7) et

(17)

(10) sous la forme

Sk,ωα = uinc, −Nk,ωβ = ∂uinc

∂n

avec λ = _ωα et µ = ωβ. On discrétise ces problèmes par une méthode de Galerkin method dans des espaces L2 _`_{a poids. Plus pr´}_ecis´_{ement, on d´}_{efinit un maillage Γ}

h de Γ qui soit uniforme par rapport au poids, c’est-`a-dire que le nombre N (s) de points du maillages dans un ouvert s de Γ est approximativement

N (s)_≈ Nvert m(Γ) Z s dσx ω(x) o`u m(Γ) = Z Γ dσx ω .

On définit des espaces de fonctions tests adaptés Vh et Wh contenant des fonctions poly-nomiales de faible degré sur le maillage et on définit les approximation αh et βh de α et β comme les solutions dans Vh et Wh respectivement des problèmes variationnels

∀α0h ∈ Vh, Z Γ Sk,ωαh(x)α0h(x) ω(x) dσx = Z Γ uinc(x)α0h(x) ω(x) dσx, ∀βh0 ∈ Wh, Z Γ ω(x)Nk,ωβh(x)βh0(x)dσx= Z Γ ω(x)∂uinc ∂n (x)β 0 h(x)dσx.

Formulée ainsi, cette méthode peut être vue comme une généralisation de la BEM stan-dard, où ω _{≡ 1. Pour inclure cette méthode dans un logiciel BEM préexistant, il suffit} d’implémenter en plus

- Une formule de quadrature pour le poids ω

- Calculer les int´egrales singuli`eres avec ce nouveau poids.

En dimension 2, nous montrons que l’on obtient avec cette méthode les mêmes ordres de convergence que dans le cas d’un obstacle lisse. En dimension 3, nous donnons des arguments théoriques et numériques dans cette direction, mais l’analyse semble plus com-pliquée.

Preconditionneurs

Pour résoudre les systèmes linéaires de la méthode de Galerkin en dimension 2, on intro-duit les opérateurs suivants

K1 :=_−(ω∂x)2_{− k}2ω2

1

2 _, _K2 _:=−(∂_xω)2_{− k}2_ω2− 1

2 ₍₁₇₎

où ∂x désigne la dérivée tangentielle sur la courbe. Des préconditionneurs P1 et P2 sont associés aux opérateurs K1 et K2 comme suit:

P1 = [Id]−11 ω [K1]1 ω [Id] −1 1 ω , P2 = [Id]−1ω [K2]_ω[Id]−1ω

(18)

où [A]_p désigne la matrice de Galerkin de l’opératuer A dans L2 p, i.e. ∀(i, j) ∈ {1, · · · , Ndof}2 , [A]_p,i,j = Z Γ p(x)Aφi(x)φj(x)dσx

où (φi)1≤i≤Ndof est la base de fonctions éléments finis et Id est l’opérateur identité. Noter

que (ω∂x)2 et (∂xω)2 sont compris comme

(ω∂x)2ϕ = ω∂x(ω∂xϕ) (∂xω)2ϕ = ∂x(ω∂x(ωϕ))

i.e. ω est l’op´erateur de multiplication ϕ_{7→ ωϕ. Les produits matrice-vecteur [P}1]1 ω et

[P2]ω sont approchés efficacement en utilisant des approximants de Padé de manière ana-logue à [11]. En dimension 3, la même approche est utilisée, en rempla¸cant les opérateurs K1 et K2 par K1 :=−ω div ω∇ − k2ω2 1₂ , K2 :=− div ω∇ω − k2ω2 −1₂ (18) ou, ici encore,

ω div ω_{∇ϕ = ω div (ω∇ϕ) ,} div ω_{∇ϕ = div (ω∇(ωϕ)) .}

On peut observer une claire analogie entre les préconditionneurs eq. (18) et eq. (14), où −(ω∂x)2 and −(∂xω)2 en dimension 2, −ω div ω∇ et − div ω∇ω en dimension 3, jouent le rôle de Laplaciens à poids. Le terme _−k2_ω2 _{apparaˆıt comme la correction} appro-priée pour le paramètre k et la présence des bords. Dans chaque cas, nous montrons à travers plusieurs exemples numériques que cette approche est très efficace. elle permet une réduction significative dun nombre d’itérations dans la méthode GMRES. Le nombre d’itérations devient presque indépendant du paramètre k. En dimension 2, cette vali-dation numérique est accompagnée d’une analyse théorique complète faisant appel à un nouveau calcul pseudo-différentiel sur des courbes ouvertes. Nous introduisons deux nou-velles classes d’opérateurs pseudo-différentiels, jouissant de propriétés similaires à celles sur des courbes régulières. Ces classes permettent de réaliser un calcul symbolique qui nous permet d’établir que K1et K2 sont des paramétrices de bas ordre pour les opérateurs intégraux à poids. En dimension 3, nous posons des fondations pour reproduire cette anal-yse. Il nous semble que cette théorie pseudo-différentielle pourrait présenter un intérêt dans d’autres contextes.

The “Efficient Bessel Decomposition”

Dans cette thèse, nous introduisons également un nouvel algorithme pour l’évaluation rapide de convolutions discrètes par des fonctions radiales en dimension 2. L’algorithme calcule rapidement des quantités de la forme

qk = Nz

X l=1

G(zk− zl)fl, k ∈ {1, · · · , Nz} (19) o`u (zk)1≤k≤Nz est un nuage de points dans R

2 _{et G est une fonction radiale. L’´}_evaluation efficace des ces quantit´es est l’une des tˆaches limitantes en terme de temps de calcul et

(19)

de mémoire dans la BEM en dimension 2. Nous appelons cette méthode “Efficient Bessel Decomposition” (EBD) est inspirée de la SCSD, et repose sur l’approximation de G par une somme d’exponentielles complexes

G(z) _≈ Nξ

X ν=1

ωνeiz·ξν . (20)

En injectant cette approximation dans la convolution discrète (19), la convolution discrète obtenue peut être évaluée rapidement en utilisant la “non-uniform Fast Fourier trans-form” [44]. Pour trouver les poids (ων)1≤ν≤Nξ et fréquences (ξν)1≤ν≤Nξ, on commence par

effectuer une d´ecomposition de la partie radiale g de G, en fonctions de Bessel

g(r)_≈ P X p=1

αpJ0(ρPr) (21)

où J0 est la fonction de Bessel function de premier espèce et d’ordre 0, et (ρp)1≤p≤P sont ses P premiers zeros. La fonction de Bessel remplace le sinus cardinal qui apparaˆıt en dimension 3. De manière intéressante, le nombre de termes dans les séries de Bessel en dimension 2 est typiquement plus grand qu’en dimension 3 pour un même degré de précision. Dans un deuxième temps, on décompose J0 sous la forme

J0(|z|) = Z

|x|=1

eiξ·zdσξ

ce qui, combin´e avec l’eq. (21), donne une approximation de la forme (20) pour G. Une ´

etude détaillée du nombre de termes nécessaires pour représenter précisément G par eq. (20) en dehors de l’origine, et de la quantité de calculs requis pour la correction dans les zones où l’approximation est mauvaise, permet d’estimer la complexité “offline” et “online” de l’algorithme dans deux cas particuliers: quand le nuage de points (zk)1≤k≤Nz

est uniformément distribué respectivement dans une boule ou sur une courbe. Une com-paraison avec un algorithme de la littérature [92] est incluse et démondre la compétitivité de notre méthode.

(20)

State of the art and contributions

(English)

Integral equations and their applications

This work is a contribution in the topic of integral equations, which is a class of methods adapted for solving linear partial differential equations (PDE) with a known explicit fundamental solution, or Green’s function. Such PDEs include the Laplace, biharmonic, Stokes, Helmholtz, Maxwell, and linear elasticity equations either in a static or a harmonic regime in time. The knowledge of the Green function allows to recast the PDE posed on a volumetric domain Ω into an integral equation posed on the boundary Γ of Ω, thus reducing the dimensionality of the problem by one. This is particularly advantageous in the case of scattering problems, where the domain Ω is an unbounded domain of Rn, while the surface Γ is a compact manifold of dimension n − 1. Developed in the 1960’s and building on work going back to the end of the 19th century, the theory of integral equations and the boundary element method, or BEM, (books on the topic include [13, 35, 56, 65, 82, 86, 101]) are currently applied in a wide variety of academic and engineering contexts. Here we refer the reader to some examples of applications, but the list is, by far, not exhaustive.

- Computation of radar cross sections of complex objects such as airplanes, with applications in stealthiness and defense (see e.g. [8, 55, 71, 109])

- Simulations for electromagnetic compatibility (see e.g. [88]) aimed at determining whether an electrical system can safely function in an environment with interfering electromagnetic fields.

- Fracture mechanics, especially the estimation of the so-called “stress intensity fac-tors” [22] and the simulation of crack propagation [29].

- Inverse scattering [34, 70, 74] where the shape of an unknown, perfectly reflecting obstacle, is recovered from the echo signal of several incident waves.

(21)

Scattering by a smooth obstacle

In what follows, we provide a brief summary of the method of integral equations for the numerical solution of the scattering of an acoustic wave by a smooth obstacle. The material we discuss below is standard, the purpose is mainly to fix the notation.

The Helmholtz scattering problem

Consider an obstacle Ω_{i, modeled by an open domain in R}n _{(n = 2 or 3), which is, for} now, assumed to have a smooth boundary Γ, and let Ωe = Ωic be the free space outside Ωi. Let uinc be an incident wave. The presence of the obstacle Ωi generates an acoustic wave u = uinc + us that is the sum of the incident wave and a scattered wave us. In the case of a “perfectly soft” obstacle, us satisfies the Helmholtz equation with Dirichlet boundary conditions    ∆us+ k2us = 0 in Ωe, us = −uinc on Γ , rn−12 ∂us ∂r − ikus → 0 when r_{→ ∞ .} (22)

In the third condition, known as the Sommerfeld radiation condition, r =_{|x| stands the} Euclidean norm of x. When k = 0, it should be replaced by

u(x) = O(_|x|2−n) when _{|x| → ∞ .}

The radiation condition models the fact that the wave is “outgoing”, or “physical”. For a “perfectly hard” scatterer, the Dirichlet condition is replaced by a Neumann condition

     ∆us+ k2us = 0 in Ωe, ∂us ∂n = − ∂uinc ∂n on Γ , rn−12 ∂us ∂r − ikus → 0 when r_{→ ∞ ,} (23)

where n stands for a smooth unit normal vector on Γ pointing outward Ωi and ∂

∂n = n·∇ is the normal derivative on Γ.

First-kind integral equations

Let u be the solution of one of the problems (22) or (23) that we wish to solve. Consider a function ui defined inside Ωi, that satisfies the Helmholtz equation (one could for example consider the identically null function in this domain) and let ˜u be the extension of u inside Ωi by ui. Consider the following distribution on Rn:

T =_{−∆˜u − k}2u .˜

If we introduce the Green kernel Gk of the Helmholtz equation satisfying the Sommerfeld condition, we then have

(22)

The kernel Gk has the explicit expression Gk(x) =          −1 2π ln|x| when n = 2, k = 0 , i 4H (0) 1 (k|x|) when n = 2, k 6= 0 , eik|x| 4π_|x| when n = 3 .

where H₀(1) is the Hankel function of first kind and order 0. The solutions ˜u can thus be recovered from the convolution of the fundamental solution Gk with the distribution T . It turns out that T is a distribution supported on Γ, involving the jumps of u and its normal derivative. To be more precise, let us introduce some classical notation. Let dx be the Lebsegue uniform measure on Rn_{and dσ the uniform measure on Γ. Furthermore,} for any function ϕ_{∈ C}∞(Ωi∪ Ωe), define

∀x ∈ Γ , γ±ϕ(x) = lim

ε→0±ϕ(x + εn(x)) , γ

±

1 ϕ(x) = lim

ε→0±n(x)· ∇ϕ(x + εn(x)) .

If ϕ is such that γ+ϕ = γ−ϕ, we denote by γϕ the common value, and similarly for γ1. Finally, let the jumps of ϕ and its normal derivative across Γ be denoted as

[ϕ]_Γ = γ+ϕ_{− γ}−ϕ and ∂ϕ ∂n

Γ

= γ₁+ϕ_{− γ}₁−ϕ . Applying the Green formula in and outside Ωi, one has

hT, ϕi = Z Ωi∪Ωe ˜ u(−∆ − k2)ϕ dx =₋ Z Γ ∂ ˜u ∂n Γ ϕdσ + Z Γ [˜u]∂ϕ ∂ndσ + Z Ωi∪Ωe (−∆ − k2 )˜u ϕdx .

The last term vanishes since ˜u satisfies the Helmholtz equation on both Ωi _{and Ω}e_{. We} are thus left with

hT, ϕi = − Z Γ ∂ ˜u ∂n Γ ϕdσ + Z Γ [˜u]∂ϕ ∂ndσ

Injecting the expression of T in eq. (24), one gets the following representation theorem: Theorem (See e.g. [86, Thm 3.1.1]). Let u be a solution of the Helmholtz equation on Ωi∪ Ωe satisfying the Sommerfeld radiation condition. Then for all x ∈ Ωi ∪ Ωe, there holds the representation formula

u(x) =_Dkµ(x)_{− S}kλ(x) (25) where _Sk and Dk are the single and double layer potentials

∀x /∈ Γ , Skλ(x) := Z Γ Gk(x− y)λ(y)dσy, ∀x /∈ Γ , Dkµ(x) :=− Z Γ n(y)_{· [∇G}k] (x− y)µ(y)dσy. Moreover, there holds

µ = [u]_Γ and λ = ∂u ∂n

Γ .

(23)

From this representation result, we see that u is completely determined on Ωe∪ Ωi by two functions λ and µ supported on Γ. In turn, the boundary value problems (22) and (23) allow to formulate equations on λ and µ, by requiring the representation (25) to agree with the prescribed boundary values of u.

Let us unfold this idea more precisely. We first consider the Dirichlet problem, and we assume that _−k2 _{is not an eigenvalue of the Laplacian operator with Dirichlet conditions} on Ωi. Let us choose the extension ui as the unique solution of the interior Dirichlet problem

∆u_i+ k2ui = 0 in Ωi, ui = −uinc on Γ .

Then by construction, [˜u]_Γ vanishes and the representation (25) simplifies to

u(x) =_−Skλ(x) . (26) Let Sk be the boundary integral operator defined by

Skλ(x) = Z

Γ

Gk(x_{− y)λ(y)dσ}y (27) that is Sk = γSk. Applying γ on both sides of eq. (26), we deduce that λ must be a solution of the integral equation

Skλ = uinc. (28) For the Neumann problem, we consider this time for ui the solution of the interior Neu-mann problem with voundary data ₋∂uinc

∂n , leading to

u(x) =_Dkµ(x) . (29) Let us introduce the so-called hypersingular operator

Nkµ :=_−γ₁+_Dkµ =_−γ₁−_Dk. (30) Applying γ1 to eq. (29), one finds that µ must be solution of the integral equation

Nkµ = ∂uinc

∂n . (31)

The hypersingular is sometimes written as

Nkµ(x) = f.p. Z

Γ ∂2

∂nx∂nyGk(x− y)µ(y)dσy where f.p. denotes the Hadamard finite part, and ∂

∂nx , ∂

∂ny

are the normal derivatives in the variables x and y respectively. A more convenient form of Nk, obtained by integration by parts, is

hNkµ, µ0iL2_(Γ)=

Z Γ

Gk(x− y)curlΓµ(x)· curlΓµ(y)µ0 − k2_G

(24)

where, for a smooth function ϕ defined on Γ and extendable into a smooth function ˜ϕ in a neighborhood of Γ,

curlΓϕ = n_{× ∇ ˜}ϕ .

An approximation of the solutions of the integral equations (28) and (31) can be obtained using the BEM, which, plugged respectively in the corresponding representation formulas (26) and (29), yields an approximation of the solution u in the whole Ωe (and incidentally, also in Ωi). When −k2 is an eigenvalue of the interior Dirichlet (resp. Neumann) problem for the Laplace operator, eq. (28) (resp. (31)) does not always possess a solution, and it is never unique whenever it exists. Alternative integral equations, well-posed for all frequencies, can be obtained by considering other extensions ui (see [24,27]). However, this problem will not arise in the cases we will consider here, namely when Ωi is an open curve or an open surface.

Piecewise polynomial Galerkin method

A numerical approximation of the solutions of eqs. (28) and (31) can be obtained by several strategies of discretization. Here we consider the Galerkin discretization with the trial space Vh of piecewise polynomial functions defined on a quasi-uniform, conformal mesh Γh of Γ with flat elements (segments for n = 2 and triangles for n = 3), where h is the mesh-size parameter. For the Neumann problem, we consider only the trial functions that are continuous at the breakpoints (it turns out that in practice, those trial functions also seem sufficient for the Dirichlet problem). Letting (φi)1≤i≤Ndof the basis functions

where Ndof is the dimension of the trial space, this leads to solve a linear system of the form AX = U (32) where Ai,j =− Z Γ (Skφi)φjdσ, λ(x)≈ λh := N X i=1 Xiφi(x), Ui = Z Γ uDφidσ (33)

in the case of the resolution of eq. (28), and

Ai,j =− Z Γ (Nkφi)φjdσ, µ(x)≈ µh := N X i=1 Xiφi(x), Ui = Z Γ uNφidσ (34)

for the resolution of eq. (31). When h is sufficiently small, eq. (32) possesses a unique solution and as h approaches 0, the Galerkin solutions λh and µh defined above converge “quasi-optimally” to the exact solutions λ and µ. More precisely, there exists a constant C such that, for any h sufficiently small,

kλ − λhkH−1/2 ≤ C inf λ∗_h∈Vhkλ − λ ∗ hkH−1/2 , kµ − µhkH1/2 ≤ C inf µ∗ h∈Vh kµ − µ∗ hkH1/2 ,

where Hs(Γ) are the classical Sobolev spaces as defined for instance in [82, Chap. 3]. The norms H−1/2 and H1/2 _{are called energy norms respectively for the Dirichlet and}

(25)

Neumann problems, since Skand Nkare respectively coercive from H−1/2(Γ) and H1/2(Γ) to their respective dual spaces. This coercivity is the main tool for establishing the quasi-optimality of the Galerkin solutions. The quasi-quasi-optimality means that λh and µh are not far from the best possible approximations of λ and µ in Vh. Studying the error for the best approximation in the trial space of any given function therefore allows to get an estimate of the rate of convergence of the Galerkin method in terms of the mesh size. Theorem (See e.g. [101]). Assume that Γ is the surface of a polyhedron.

(i) If λ _{∈ H}s_{(Γ) for some s} _{∈ [−}1

2, p + 1], there exists a constant C > 0 independent of h such that

kλ − λhkH−1/2_(Γ) ≤ Chs+1/2kλkHs_(Γ) .

(ii) If µ_{∈ H}s(Γ) for some s_{∈ [}1₂, p + 1] then there exists a constant C > 0 independent of h such that

kµ − µhk_H1

2(Γ) ≤ Ch s−1₂

kµkHs_(Γ) .

Solving the dense, ill-conditioned, linear systems

Compression and acceleration methods

One essential difference between the BEM and its volumetric counterpart, the finite ele-ment method, is the fact that the linear systems resulting from the Galerkin discretization are dense, as may be observed from eqs. (33) and (34). This is due to the non-locality of the operators Sk and Nk. For large problems appearing in real applications, it generally becomes unrealistic to solve the linear system (32) exactly. Even the storage of the full-matrix can become prohibitive in terms of memory requirements. One well established approach is to solve eq. (32) iteratively with a method such as the generalized mini-mum residual (GMRES, [100]). This is combined with a compression and acceleration method to compute the matrix product, the most standard of which is the fast multipole method (FMM, the first versions were described in [28, 53] for 2 dimensions and [51] for 3 dimensions). The FMM allows to reduce the complexity of the evaluation of the matrix-vector product to O(Ndofln(Ndof)), instead of the naive O(Ndof2 ). Among the other approaches, we mention the recently introduced “Sparse Cardinal Sine Decomposi-tion” (SCSD) method [3], which stands as an alternative to FMM. The SCSD allows to compute efficiently the convolutions by (potentially singular) radial functions in R3_{. Such} convolutions appear in particular at the core of BEM calculations. Although the SCSD is not as efficient as the FMM in terms of computational complexity, the simplicity of its implementation and its genericity with respect to the kernel under consideration makes it attractive for fast prototyping and academic research. An example of application to Stokes integral equations is proposed in [5]. One of the contributions of this thesis is the introduction and analysis of a 2-dimensional version of the SCSD.

Combining the iterative method and the acceleration of the matrix product, the ap-proximation of the solution of the linear system takes a complexity of O(NitNdofln(Ndof)) where Nit is the number of iterations in the Krylov method. It is known that Nit is typi-cally small when the eigenvalues of the matrix A are highly clustered (this occurs when A

(26)

is a compact perturbation of the identity), and large when the matrix is ill-conditioned. In the present context, since Sk and Nk are elliptic pseudo-differential operators on Γ of order σ1 =_{−1 and σ}2 = 1 respectively, the condition number of the matrix grows as

cond(A) = O(h−|σi|_{) = O(h}−1_), _{i = 1, 2 .}

Consequently, the number of iterations in the iterative methods increases when the mesh is refined (or equivalently, since the mesh must resolve the highest frequency, when the frequency is increased). Suitable preconditioners must be applied to the linear system in order to keep the number of iterations as low as possible. For this reason, the research on preconditioning the first-kind integral equations has intensified in the last decades.

Preconditioning

Several strategies exist to build efficient preconditioners, but we only mention two ap-proaches very relevant to our work. The first one is the so-called “pseudo-differential preconditioning” (see [7, 10, 11, 23, 77–79] including applications to electromagnetic prob-lems, and [12] for an overview). The starting point is to look for a pseudo-differential operator K that is an approximate inverse (modulo regularizing terms) of the integral operator under consideration. Once such an operator K is found, an associated precon-ditioner can be built [104]. A candidate for K may be obtained by inverting the principal symbol of the integral operator. For instance, the principal symbol of the single layer potential Sk is

σ(ξ, k) = 1 2

q

|ξ|2− k2

where k must here be considered as the Fourier variable for the time t to justify the terminology of principal symbol. This suggests the choice

K :=p−∆Γ− k2Id (35) where ∆Γ is the Laplace Beltrami operator. The Galerkin matrix of K can be efficiently approximated by a sparse matrix using Pad´e expansions [11].

The second (connected) idea is known as Calder´on preconditioning. It consists in the remark that, since Sk and Nk are two operators of opposite orders, they can be used as a pair of mutual preconditioners. to use them as a pair of mutual preconditioners. There holds the following well-known Calder´on relation

SkNk= Id

4 − D 2 k where Dk is the average trace of the double layer potential

Dk =

γ+_Dk+ γ−Dk

2 .

It is known that, on smooth enough geometries, Dk is a compact operator, and thus, the eigenvalues of the product SkNk are clustered around 1₄, which is very favorable in the

(27)

context of iterative methods. The compactness of Dkon L2(Γ) was proved for C1domains in [47]. In [86, Chap. 4, Thm 4.4.1], it is proved that Dk maps Hs(Γ) to Hs+1(Γ) for all s when Γ is a C∞ compact manifold, and is thus compact in Hs(Γ) for all s. The use of this property for preconditioning has been suggested by Steinbach and Wendland [104] for the Laplace problem and extended by Christiansen and N´ed´elec in [31] for k _{6= 0 in} the case of acoustics. The same idea has also been successfully applied to electromagnetic problems [9, 32].

Scattering by a singular obstacle

Up to this point, it was assumed that Γ was a smooth and closed manifold. In many applications, this assumption is not fulfilled: the obstacles may contain singularities like angles or edges. An important kind of singular geometries is that of an open curve for n = 2 and an open surface for n = 3. Indeed, near the edges, the boundary cannot be represented as the graph of a smooth function. In this case, the preceding method suffers several complications.

Low rates of convergence for the Galerkin method

First, the solutions λ and µ to the integral equations (28) and (31) are not regular (see e.g. [54,72], and [37] in the particular case of open curves and surfaces), leading to low rates of convergence in the Galerkin method. Notice that the orders of convergence respectively in O(hs+12) and O(hs−

1

2) in the energy norm only hold when λ, µ∈ Hs(Γ), which does not

occur for large values of s. In the case of open curves and surfaces, the order of convergence is only O(h12). Those low rates can be explained by the fact that the singularities of the

exact solutions are poorly captured by piecewise polynomial functions. Several works have been dedicated to this problem, with a variety of solutions, including mesh refinement and local increase of the polynomial order of the trial functions [39,73,106,118], or addition of special singular functions in the Galerkin space [40,45,105,107]. In [105], the authors deal with an open surface, and the augmented Galerkin space, for instance in the Dirichlet problem, consists of functions of the form

αh+ βh

ω

where αh and βh are piecewise linear functions defined on the mesh Γh and ω(x) = pd(x, Γ) where d(x, Γ) represents the distance of x to Γ. In the numerical implementa-tion, this requires the numerical evaluation of integrals of the form

I = Z

E1×E2

dσxdσy

|x − y| ω(x)ω(y) (36) where E1and E2 are two elements of the mesh. To the best of our knowledge, the authors do not describe how to compute those quantities, and the theoretical optimal orders of convergence do not appear to have been validated in practice. The authors provide some numerical experiments for this problem [45], but in this paper, the augmented

(28)

Galerkin spaces do not appear. Instead, a graded mesh is used with a parameter β = 2, giving an order of convergence of O(h) only (instead of the theoretical O(h5/2_{) for the} augmented Galerkin method). For open curves in dimension 2, several authors have also considered a cosine change of variables in the integral to resolve the explicitly known singularity [14, 85, 117]. However this idea does not seem to be easily extendable to 3 dimensions.

Failure of the usual preconditioners

Second, the usual preconditioners fail in the presence of geometrical singularities. In contrast to the problem of the rates of convergence, fewer works are dedicated to the question of preconditioning the integral equations in the case of singular domains. This might be due to the fact that in the case of Lipschitz scatterers, the Caler´on precondi-tioning is still applicable. A lot of domains are Lipschitz, including all (curved) polygons and polyhedrons. In this case, one can for example combine Calder´on preconditioning with anisotropic mesh refinement and dual meshes [60, 103].

In the case of non-Lipschitz scatterers however, it is well-known that the Calder´on preconditioning no longer works, due to the fact that the duality relations between the spaces H±12(Γ) no longer occur (the dual of H±

1

2(Γ) becomes ˜H∓ 1

2(Γ), see e.g. [82, Chap.

3]). Because of this duality mismatch, the previous technique leads to an increase of the condition number with mesh refinements (only logarithmic in dimension 2 [83]). In [25], the authors show how the Calder´on preconditioning technique can be restored in the case of open curves, using appropriately weighted versions of the layer potentials, Sk,ω and Nk,ω, defined by Sk,ωϕ = Sk ϕ ω , Nk,ωϕ = Nk(ωϕ) . (37) It is shown that Sk,ω and Nk,ω can be efficiently used as mutual preconditioners. A somewhat sophisticated generalization of this algorithm is proposed in dimension 3 [26], although its mathematical analysis has not appeared yet.

On the other hand, the usual pseudo-differential preconditioning fails in presence of edges, as one could expect since the pseudo-differential analysis that leads to their introduction makes an essential use of the regularity of the boundary of the scatterer. Therefore, it would be desirable to find the necessary correction for those preconditioners that allows to take into account the presence of edges. A theory of pseudo-differential operators on singular manifolds has been proposed by several authors, relying in large part on the Mellin transform. Such works include e.g. [84, 96, 97]. However, it does not seem that these works have found numerical applications yet. This may be due to the fact that the authors are concerned with very general PDEs, leading to very abstract results and complicated concepts, of difficult access to engineers and non-specialized researchers. Finally, in several recent works, explicit inverses of S0 and N0 have been exhibited for an open segment in R2 [66], and a flat disk in R3 [62, 95]. See also [48], showing how the previous results can be recovered with a general approach. These works rely on explicit integration formulas and do not deal with the case k _{6= 0. For small frequencies, those} explicit inverses of the Laplace problem can be used as efficient preconditioners of the corresponding Helmholtz problem, since Sk and Nk are compact perturbations of S0 and

(29)

N0. In the Maxwell setting, the recent work [63] shows how to precondition the Electric Field Integral Equation from the knowledge of approximate inverses of the scalar layer potentials. Moreover, some uniform bounds on the preconditioned linear system in the limit k _{→ 0 are proved. For large k however, it seems that similar robustness in k can} only be achieved if a suitable frequency correction is included in the preconditioners.

Contributions

Preconditioning integral equations on singular domains

In this thesis, we introduce an analyze a framework to solve, in a generic and unified manner, the difficulties in the BEM mentioned before, in the presence of geometrical singularities.

Weighted Galerkin method

We introduce the following numerical method. Let Γ be the singular domain, either an open curve in the place or an open surface in the 3-dimensional space. Using the weighted layer potentials (37), one can recast the integral equations (28) and (31) into

Sk,ωα = uinc, −Nk,ωβ = ∂uinc

∂n

with λ = α_ω and µ = ωβ. We discretize those problems using a Galerkin method within weighted L2 _{spaces. Namely, we define a mesh Γ}

h of Γ which is uniform with respect to the weight, that is to say, the number N (s) of vertices in a subset s of Γ is approximately

N (s)_≈ Nvert m(Γ) Z s dσx ω(x) where m(Γ) = Z Γ dσx ω .

We define some suitable trial spaces Vh and Wh of low order piecewise polynomial func-tions on the mesh and define the approximafunc-tions αh and βh of α and β as the solutions in Vh and Wh respectively of the variational problems

∀α0 h ∈ Vh, Z Γ Sk,ωαh(x)α0h(x) ω(x) dσx = Z Γ uinc(x)α0h(x) ω(x) dσx, ∀β0 h ∈ Wh, Z Γ ω(x)Nk,ωβh(x)βh0(x)dσx= Z Γ ω(x)∂uinc ∂n (x)β 0 h(x)dσx.

As it stands, this method can be viewed as a generalization of the standard BEM, where ω _{≡ 1. To include this method to a preexisting BEM software, one only needs to make} the following changes:

(30)

- Use quadrature rules adapted to the weight (such as Gaussian quadratures) - Compute the singular integrals in presence of the singular weight.

In dimension 2, we prove that this method leads to the same rates of convergence as in the case of smooth scatterers. In dimension 3, we give some theoretical and numerical arguments in this direction, although the analysis seems more complicated.

Preconditioners

To solve the linear systems arising from the previous Galerkin methods in dimension 2, we introduce the preconditioning operators

K1 :=−(ω∂x)2− k2ω2 1₂

, K2 :=−(∂xω)2− k2ω2 −1

2 ₍₃₈₎

where ∂xstands for the tangential derivative on the curve. The associated preconditioners P1 and P2 are then defined as

P1 = [Id]−11 ω [K1]1 ω [Id] −1 1 ω , P2 = [Id]−1_ω [K2]_ω[Id]−1_ω

where [A]_p denotes the Galerkin matrix of the operator A in L2_p, that is

∀(i, j) ∈ {1, · · · , Ndof}2, [A]_p,i,j = Z

Γ

p(x)Aφi(x)φj(x)dσx

where (φi)1≤i≤N_dof is the basis of the trial space and Id is the identity operator. Note that the operators (ω∂x)2 and (∂xω)2 are understood as

(ω∂x)2ϕ = ω∂x(ω∂xϕ) (∂xω)2ϕ = ∂x(ω∂x(ωϕ))

that is, ω denotes the multiplication operator ϕ_{7→ ωϕ. The matrix vectors products by} [P1]1

ω and [P2]ω are approximated efficiently using a Pad´e approximation similar to [11].

In dimension 3, we use the same approach, only replacing the preconditioning operators K1 and K2 by the following:

K1 :=_{−ω div ω∇ − k}2ω2 1 2 _, _K2 _:=− div ω∇ω − k2_ω2− 1 2 ₍₃₉₎ where again,

ω div ω_{∇ϕ = ω div (ω∇ϕ) ,} div ω_{∇ϕ = div (ω∇(ωϕ)) .}

One can see a strong analogy between the form of the preconditioning operators in eq. (39) and eq. (35), in which the operators_−(ω∂x)2and−(∂xω)2 in dimension 2, and−ω div ω∇ and _{− div ω∇ω in dimension 3, play a role analog to weighted Laplacians. The term} −k2_ω2 _{appears as the appropriate correction for the frequency parameter k adapted to} the presence of edges. In both cases, we show through several numerical examples that this approach is extremely efficient. It leads to a great reduction in the number of GMRES iterations, which becomes almost independent of the frequency parameter. In dimension

(31)

2, this numerical validation is accompanied by a complete theoretical analysis involving a new differential calculus on open curves. Two new and simple classes of pseudo-differential operators, with properties completely similar to those on smooth closed curves, are introduced. They allow us to perform symbolic calculus computations and show that K1 and K2 are parametrices for the weighted layer potentials. In dimension 3, we lay some foundations to reproduce this analysis. We believe that this pseudo-differential theory might be of interest in other contexts.

The “Efficient Bessel Decomposition”

In this thesis, we also introduce a new algorithm for the rapid evaluation of discrete convolutions by radial functions in dimension 2. Namely, the algorithms is designed to efficiently compute quantities of the form

qk = Nz

X l=1

G(zk− zl)fl, k ∈ {1, · · · , Nz} (40) where (zk)1≤k≤Nz is a cloud of points in R

2 _{and G is a radial function. The efficient} evaluation of such quantities is one of the computational bottlenecks in the BEM in 2 dimensions. The method, called the “Efficient Bessel Decomposition” (EBD) and inspired from the SCSD, relies on an approximation of G by a sum of complex exponentials

G(z) _≈ Nξ

X ν=1

ωνeiz·ξν _. ₍₄₁₎

Once this approximation is plugged in the discrete convolution (40), the resulting approxi-mate convolution is efficiently evaluated using the non-uniform Fourier transform [44]. To find the suitable weights (ων)1≤ν≤Nξ and discrete frequencies (ξν)1≤ν≤Nξ, we first perform

a Bessel decomposition of g, in the form

g(r)_≈ P X p=1

αpJ0(ρPr) (42)

where J0 is the Bessel function of first kind of order 0, and (ρp)1≤p≤P are its first P roots. The Bessel functions replace the cardinal sines that appear in dimension 3. Interestingly enough, the number of terms in dimension 2 is typically higher than in dimension 3 for the same precision. In a second step, we use discrete approximations of the identity

J0(_{|z|) =} Z

|x|=1

eiξ·zdσξ

which combined with eq. (42), yields an approximation of the form (41) for G. A care-ful estimation of the number of terms required to accurately represent G by eq. (41) away from the origin, and an estimate of the number of computations required for the corrections where the approximation is bad, allows to estimate the offline and online com-plexities of the algorithm in two cases: when the cloud of points (zk)1≤k≤Nz is uniformly

distributed respectively in a ball or on a curve. A comparison with an algorithm of the literature [92] is included and demonstrates the competitivity of the method.

Efficient methods for acoustic scattering in 2 and 3 dimensions : preconditioning on singular domains and fast convolution.

HAL Id: tel-02441362

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-02441362

Eﬀicient methods for acoustic scattering in 2 and 3

dimensions : preconditioning on singular domains and

fast convolution.

Martin Averseng

To cite this version:

TH`

ESE DE DOCTORAT

l’Universit´

e Paris-Saclay

Math´

ematiques appliqu´

ees

Martin AVERSENG

M´

ethodes efficaces pour la diffraction acoustique en 2 et 3 dimensions:

Pr´

econditionnement sur des domaines singuliers et convolution rapide

Remerciements

Contents

Introduction (Fran¸

cais)

Equations int´

egrales et leurs applications

Diffraction par un obstacle lisse

Le probl`

eme de diffraction de Helmholtz

Equations int´

egrales de premi`

ere esp`

ece

M´

ethode de Galerkin avec fonctions polynomiales par morceaux

R´

esolution des syst`

emes lin´

eaires denses et mal conditionn´

es

Scattering by a singular obstacle

Low rates of convergence for the Galerkin method

Echec des pr´

econditionneurs usuels

Contributions

Pr´

econditionnement des ´

equations int´

egrales sur des domaines

singuliers

The “Efficient Bessel Decomposition”

State of the art and contributions

(English)

Integral equations and their applications

Scattering by a smooth obstacle

The Helmholtz scattering problem

First-kind integral equations

Piecewise polynomial Galerkin method

Solving the dense, ill-conditioned, linear systems

Scattering by a singular obstacle

Low rates of convergence for the Galerkin method

Failure of the usual preconditioners

Contributions

Preconditioning integral equations on singular domains

The “Efficient Bessel Decomposition”