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Étude des modifications ordre-désordre. III. Etude de
l’ordre à petite distance dans les alliages Au-Cu3
Gérard Fournet
To cite this version:
ÉTUDE
DES MODIFICATIONSORDRE-DÉSORDRE.
III.
ÉTUDE
DE L’ORDRE A PETITE DISTANCE DANS LES ALLIAGES Au-Cu3Par GÉRARD FOURNET,
Division Rayons X de l’O. N. E. R. A., Conservatoire National des Arts et Métiers (1).
SOMMAIRE. 2014 Au-dessus de la
température critique, il subsiste, dans les alliages subissant les modifi-cations ordre-désordre, un ordre à petite distance. La diffusion des rayons X par ces alliages permet
d’atteindre les paramètres d’ordre à petite distance. Nous avons pu calculer théoriquement ces
difié-rents paramètres pour les alliages Au-Cu3 et nos prévisions relatives à l’intensité du rayonnement X diffusé sont conformes aux résultats expérimentaux. Il y a également bon accord entre d’une part, les données sur les énergies d’interaction entre atomes que nous pouvons extraire de notre étude sur
l’ordre à petite distance et d’autre part, les résultats que nous avons obtenus à partir de l’étude des
phénomènes d’ordre à grande distance.
LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. TOME 1 "9, AVRIL
i9o3,
1. Introduction. - Dans un article récent
[1]
]
nous avons étudié
théoriquement
lesvariations,
en fonction de latempérature,
duparamètre
d’ordreà
grande
distance dans lesalliages Au-Cu,.
Nous allonsmaintenant,
pour le mêmealliage Au-CU3’
faire l’étude de l’ordre àpetite
distance au-dessus de latempérature
critique.
Nous renvoyons à nos
précédents
articles[1]
et[2]
pour la définition des notations.’2.
Étude
de l’ordre àpetite
distance.-2.1.
Définition
et méthode de calcul de l’ordre àpefite
distance. --- Noussavons
(voir
[2])
que l’ordreà
petite
distancerégit
différentsphénomènes
commela chaleur
spécifique
deconfiguration
ou la diffu-sion des rayons X en dehors des directions ded,iffrac-tion sélectives. Il est donc intéressant d’étudier l’ordre à
petite
distance. Alors que dansbeaucoup
d’anciennes théories la notion d’ordre àpetite
dis-tanceparaissait
un peu introduite pour les besoins de la cause, cette notion seprésente
naturellementdans la théorie d’Yvon
[3] :
il suffit pour cela de considérer lesquantités
n2, ,~,(voir [2].)
Dans le cassimple
où latempérature
critique
estdépassée,
laprobabilité
de trouver un atome A(or)
sur unnoeud
quelconque
(ac
ou~)
estégale
à ) .
Laproba-bilité de trouver à la fois un atome A sur un noeud i ’
et un atome A sur un
noeud j pourrait
donc êtreégale
à’
l’expérience
et la théorie montrentqu’il
n’est pasainsi
quand
la distance rl i entre les n0153uds iet j
est
petite;
on dit alorsqu’il
y a un ordre àpetite
distance. Au
point
de vuemathématique
cet ordrese traduit par une différence entre la
probabilité
n2,_,.,(Ili)
et nous voyons ainsiqu’à
l’ancienneconception
d’unparamètre
d’ordre àpetite
distanceon doit substituer une suite de
paramètres
d’ordre àpetite
dis-tance relatifs à l’ordre entrepremiers,
seconds,
etc. voisins. Cette suite deparamètres
peut
être obtenueexpérimentalement
àpartir
de l’étude de la diffusion des rayons X par lesalliages
étudiés,
aussi nous sommes-nousproposés
de calculerces
paramètres.
La valeur desprobabilités
.BA Xi, Xi(que
nous notons encore ntl sans confusionpossible
puisque
nous nous occupons ,uniquement
desatomes
A)
a été fournie par Yvon sous la formeNous savons que les
probabilités
ni;permettent
de calculer
l’énergie
deconfiguration E (s, T)
(nous
avons donné dans un
précédent
Mémoire unexemple
d’un tel
calcul).
Cetteénergie
deconfiguration
est liée àl’énergie
libre deconfiguration
F(s, T)
parune formule
classique
et parconséquent
il y a unlien entre d’une
part
la relation(1)
et d’autreparut-
"l’équation
de l’ordre àgrande
distanceEn
précisant
ces liens nous avons trouvé que sil’on ne considère dans
l’équation
(2)
que lestermes
Ai
etA2
(c’est-à-dire
les termes Ai à un noeudset les termes
Aii
à deuxn0153uds)
ilfaut,
pour que la liaisonénergie
libre-énergie
deconfiguration-proha-(1) Maintenant au Laboratoire de la Société Alsacienne de
Constructions Mécanique, Département Télécommunica-tions, 5i, rue de l’Amiral-Mouchez, Paris (13e).
227
bilités n~; soit
homogène,
uniquement
prendre
encompte
les termesB2
(c’est-à-dire
les termesB,j
à deuxnoeuds)
dans les relations(1).
Un tel
procédé
reviendrait néanmoins à neprendre qu’un
terme dans ledéveloppement
de n,j alors que nous avonstoujours pris
deux termes(A,
etA2)
dans ledéveloppement
dedF/ds.
En défi nitive nous avons calculé lesprobabilités
n;; aumoyen des coefficients
B2
etB3.
Nous avons
toujours supposé
que l’ordre àgrande
distance s étaitidentiquement
nul c’est-à-dire que latempérature
étaitsupérieure
à latempérature
critique;
ce n’est que dans ce cas queCowley [4]
a déterminé l’ordre à
petite
distance dans AuCU3.
Les seulesénergies
dont nous avons tenucompte.
sont lesénergies
W1
etW2
entrepremiers
et seconds voisins.Yvon a fourni
l’expression générale
ducoeffi-çient
quand.
on admet que lesprobabilités
r~iet ni sont
égales
à I
on obtientoù wij
désigne
laquantité
quand Wij
estl’énergie potentielle
relative à la distance rii entre les noeuds iet j.
Nous pouvonsencore
désigner
Bi;
parB2
(wij)
pour montrer quece coefficient B relatif à deuy, noeuds ne
dépend
que de wij.
La
quantité
wjpeut
doncprendre
les valeurs w,(cas
où iet j
sontpremiers
voisins),
w,(cas
où iet j
sont secondsvoisins)
et l’unité dans tous les autrescas;
quand
wij estégal
à l’unité il convientd’adopter
par continuitéSupposons
maintenant que pour un momentnous
négligeons
l’influence deB3
et des termesanalogues
de rangplus
élevés,
nous obtenonsd’après
la relation(1) :
.L’étude
du coefficientBi;
que nous venonsd’effectuer montre alors que l’ordre à
petite
distancepossède
le mêmechamp
d’existence que celui desénergies
W;
si nous supposons que seules lesénergies
entre
premiers
et seconds voisins sont nonnulles,
l’ordre à
petite
distance n’existequ’entre premiers
et seconds voisins. Si l’on tient
compte
de termes d’un rangsupérieur
àB2
il n’en est pas de même : lechamp
d’existence de l’ordre àpetite
distance estplus
étendu que lechamp
d’existence desénergies
potentielles
entre atomes.Si,
ensupposant
que seulW1
est non
nul,
on savait tenircompte
d’une infinitéde termes :
B2, B3,
B4’
..., on trouveraitqu’il
existe « un ordre à
petite
distance » entre deux n0153uds iet j
infinimentéloignés,
cet ordre étant infiniment faible mais différent de zéro.Nous avons
développé
le calcul de toutes lescaté-gories
de coefficientsB3
dansl’appendice.
Nous connaissons maintenant les coefficientsB3
qui
peuvent
intervenir - c’est-à-direceux
qui
sont différents de l’unité -- et ilconvient pour
chaque
valeur de la distance rii de détailler la relation
(1)
en
indiquant
lescatégories
des coefficientsB3
néces-saires. Effectuons ce travail pour ladistance r,
entrepremiers
voisins c’est-à-direappliquons
la relation(1)
à laprobabilité n2 (rI).
Le termeB2
qu’il
convient de considérer est celuicorrespondant
à la mêmedistance rl
c’est-à-dire le termeB2(Wl).
Fig. r.
Pour connaître les coefficients
B3 qui
interviennent dans n2(r,)
considérons lafigure
I où nous avonsreprésenté
enperspective
unepartie
du réseaucubique
à faces centrées de AuCu, :
C~,
Cy
et Cz sont trois axes de coordonnéesrectangulaires
paral-lèles aux arêtes des cubes. Les noeuds C et D sont
en
position
depremiers
voisins et nous allons chercherles coefficients
B3
qui
établissent un lien entre cesdeux noeuds. Le noeud E de
coordonnées ?
oet § ,
2 2premiers
voisins de C etD,
entraîne l’existence du coefficientB3
w1,wi)
dans la relation(1)
appliquée
au calculde n2
(r1); il
existe trois termesanalogues correspondant
auxpoints
de coordonnées cequi
porte
à
quatre
le coefficient du termelogB3 (wi;
wi,wl~.
Considérons maintenant lepoint
Fqui
est un second voisin dupoint
C et unpremier
voisin dupoint
D;
l’existence du
triangle
CD; DF,
FC entraîne donc l’existence du coefficientsB3
wl, existe trois autres termesanalogues
correspondant
au lieu etplace
dupoint
F a despoints
de coordonnées Le termeégaux
à l’unité de sorte que dansl’approximation
choisie nous obtenonsNous ne détaillerons pas l’établissement des
expressions
relatives aux différentesprobabilités
n2(ri).
Il convient de remarquer que d’unepart
les
coefficients
B3
sontindépendants
du réseau danslequel
ilspeuvent
intervenir alors que d’autrepart
les nombres
a f f eetant
cescoefficients B3
dansl’expres-sion déterminant les
probabilités
n2dépendent
essentiellement du réseauconsidéré;
parexemple
dansl’expression
relative à n2(ri)
ces nombres sontégaux
à4
pour.B3 (wi ;
wl,wl)
et4
pourB3
(wl;
wl,W,),
le nombrecorrespondant
àB3
Wl’wl)
est nul pour les réseauxcubique simple
ouplan
à base carrée.Les résultats relatifs au réseau
cubique
à faces centrées sont les suivants :toutes les
probabilités
n2(ri)
suivantes sontégales
à I/16,
cequi
montre que dans notreapproximation
l’ordre àpetite
distance s’étendjusqu’aux
huitièmes voisins. Avant de passer au calculnumérique
nouspouvons remarquer que nos formules
indiquent
que l’ordre à
petite
distance entre sixièmes voisins etseptièmes
voisins est nul et comparer ce résultataux valeurs
expérimentales
fournies parCowley.
Cowley
a utilisé pour caractériser l’ordre àpetite
distance desparamètres
a,qui
sont reliés à nosprobabilités
par la relation -’
avec
~==1,2,
... ; cette relation n’est valable quepour Au
Cu3.
L’examen des valeursexpérimentale
des a, montre que lesparamètres (.(6
etpossèdent
une valeur absolue nettement
plus
faible que celledu coefficient as, ce
qui
est conforme à nosprévisions.
2.2.
Développeinent
des calculsnumériques.
-Au-dessus de la
température
critique,
et dans le casde nos
hypothèses,
les différentesprobabilités
n2(r,)
nedépendent
que de wi et de w2; nous pouvonségalement
choisir
comme variableindépendante
iv,’
et le
rapport
desénergies x
= Pourchaque
couple
de valeurs desparamètres
w1 etW2
ilexister,
dans notrethéorie,
une valeur bien déterminée ’de n2
(1°I)
parexemple;
nous avons donc pu constituerdes
diagrammes (un
pourchaque
valeur de i aveci = 1, 2, 3,
~i,
5 et8)
où nous avonsreprésenté
les courbes
d’isoprobabilité
16 n2(ri)
dans leplan
défini en abscisses.2013
et en ordonnéesFig. 2 - Courbes d’isoprobabilité 16 n2(r 1)
en fonction de uy eL du rapport
par w1. La
figure
2reproduit
les courbes relativesà 16 n2
(r,).
Les calculsnurnériques
ont été effectuésau moyen des formules de
définition
delog
rt2(i’,)
d’unepart
et desexpressions
desB3
que nous avonsétablies d’autre
part.
Cowley
a déterminéexpéri--mentalement la valeur des coefficients ai à
405°
C.Pour comparer ses résultats avec nos
prévisions
théoriques
nous avonsemployé
la méthode que nousallons maintenant décrire.
Quand
~1 est fixé parl’expérience,
la valeurde n2
(r1)
estégalement
déterminée parles variables wi et x =
.2013
> sont parconséquent
liés
par une certaine relation
et l’on
peut
fairecorrespondre
à cette relation unecourbe
représentative
dans leplan
x. De même229
impose
d’autres relations wi =f (x).
Si notre théorieprévoyait
correctement les faitsexpérimentaux
toutes les courbesreprésentatives
devraient avoirun
point
commun défini par W1,o et xo. Avant de donner une conclusion remarquons queCowley
annonce que l’erreur absolue sur ses coefflcients «~est de o,oio, ce
qui
entraîne une erreur absolue deo,o3o
sur lèparamètre
16n2 (ri)
que nous avonsétudié dans les courbes
analogues
à cellesrepré-sentées sur la
figure
2. Dans ces conditions nousdevons chercher dans le
plan (w,, x)
si certainesbandes,
centrées sur les courbes tracéesprécédem-ment,
présentent
despoints
communs. L’examen de lafigure (non
reproduite)
montrequ’il
existeun
point
commun aux bandescorrespondant
à 1 = I,
3, 4
et 5 alors que la bande relative à i = 2passe à
légère
distance de cepoint.
Le fait intéressantest que le
point
communcorrespond
àvaleur
qui
nous a donné des résultats satisfaisantslors de l’étude de l’ordre à
grande
distance. L’accord pour la valeur de wi aupoint
commun est moins bonne : nous trouvons w,,o =o,295
alors que le faitde trouver w,,c =
o,4o
(cf. fig. 4
de[1])
pour 3880 Cimposerait
la valeuro,gi
aupoint
commun(pour
Cowley
a étudiéégalement
lesalliages
AuCu,
à destempératures
de1,.6o
et 55oo C. Nous avons effectué le même travail deprévisions
théoriques
pources
températures.
Il y a une zone commune dans leplan
wi, x aux différentes bandescorrespondant
à i =1, 3, 4 et 5
alors que la bande 2 esttoujours
légèrement
écartée;
la zone communecomprend toujours
unpoint
d’abscisse xo = - o, 50,l’ordonnée wj,o 0
correspond
alors à o,335 pour latempérature
de46oo
et ào,38o
pour 55oo C. Apartir
de ces trois valeurs déterminées pourpour chacune des
températures
observées parCowley
46o,
550°C)
onpeut
calculer lestempératures
absolues que la théorieindique
pour cespoints,
au moyen denous trouvons ainsi pour ces
températures
absolues des valeursproportionnelles
à1,8g,
2,II i et2,38.
Si l’on choisiton trouve alors pour les
températures
absolues calculées des valeurségales
à673,
7Qo
et 8350 Kau lieu et
place
destempératures
absolues obser-vées parCowley :
678, 733
et 8230 K.Nous voyons ainsi - en faisant abstraction des résultats obtenus pour n2
(r2)
-qu’il
y a très bonaccord entre les observations de
Cowley
et nosprévisions
théoriques
concernant l’ordre àpetite
distance à condition de choisirLes résultats
expérimentaux
concernant l’ordre àgrande
distance sont correctementprévus
par la théorie à condition de choisir[1]
L’ensemble des résultats est assez satisfaisant.
Pour estimer
l’importance
du mauvais accord entre la théorie etl’expérience
ausujet
de laprobabilité
. n2 (r2~
nous avons dressé le tableau suivant[5] :
Dans la
première
colonne nous avonsindiqué
le
rang i
des voisinsconsidérés,
dans les colonnes suivantes nous avonsporté
les valeurs dupara-mètre
expérimentales (Cowley)
etthéo-riques. Rappelons
que laprécision
des mesuresde
Cowley
estimée par lui-mêmecorrespond
à une erreur absolue de o,03o sur les 16 n2(rj.
Conformément aux résultats de
Cowley
nous avons trouvé que «~ estpositif;
ce fait mérite d’êtresignalé
puisque
dans la structure ordonnée «3 estnégatif.
Nous avons
représenté
sur lesfigures
3
et4
les courbes de niveauexpérimentales
etthéoriques
dupouvoir
diffusant dû à l’ordre àpetite
distance dans leplan
1 0 0 du réseauréciproque
pour4050
C. Lafigure
tirée du Mémoire deCowley
est en unitéarbitraire;
le maximum dupouvoir
diffusantcorres-pond
à 27unités;
sur lafigure
4.
déterminée àpartir
de nos résultats
théoriques,
nous avonsmultiplié
nosrésultats bruts par un facteur tel que le maximum
de l’intensité
corresponde également
à 27 unités. L’accordgénéral
entre lesfigures
3 et4
est sastis-faisant.3. Conclusion. - Nous
de la
température
critique,
pour unalliage
subissantles modifications ordre-désordre. Nous pensons que les
phénomènes
d’ordre àpetite
distance sontégalement présents
dans les solutions solides et nousmontrerons dans un
prochain
article comment onpeut
les atteindrethéoriquement.
Fig. 3. - Courbes de niveau expérimentales du
pouvoir
diffusant dû à l’ordre à petite distance dans le plan 1 0 0 du réseau réciproque pour $05° C (Extrait du J. Appl.
Phgs., 1950, 21, 2~).
Fig. l~. -
Courbes
de niveau théoriques du pouvoir diffusantdû à l’ordre à petite distance dans le plan 1 0 0 du réseau
réciproque pour C.
Nous sommes heureux, de remercier M. le
Profes-seur Guinier pour de nombreuses discussions.
~
APPENDICE. Calcul des B. - Nous
précisons
que nous n’avonscalculé les
grandeurs
B que dans le cas où l’ordre àgrande
distance s estidentiquement
nul;
le calcul estpossible
pour une valeurquelconque
de s diffé-rente de zéro maispeut
alors devenirpénible.
Yvon a vérifié dans le cas des
Bi;
et admis engénéral
que lesgrandeurs
B nedépendent
pas duréseau
considéré;
le termeB~;
parexemple
nedépend
que de ni, de ni et de
l’énergie
Wij.
Le termeBij
possède
donc uneexpression
mathématique
inva-riante avec le réseau dans
lequel
les noeuds iet j
sont
engagés;
le réseau leplus
simple
danslequel
Bis
existe est un réseau réduit à deux noeuds iet j
et l’onpeut
parconséquent
calculerBij
en considérant un tel réseau.Nous
rappelons
que nous considéronsuniquement
la
statistique
des atomes A et parconséquent
il existequatre
distributionspossibles
d’atomes Asur les n0153uds i et
j.
1 ° aucun atome en i
et j ;
20 un atome en
i;
30 un atome
en j ;
40
un atome à la fois en i etj.
Pour effectuer la
statistique
de notre réseaugrâce
au
principe
de Boltzmann nous devons définirl’énergie
de chacune desquatre
configurations.
L’énergie
de lapremière
configuration (aucun
atome A en i etj)
peut
être choisie comme nulle.Représentons
ensuite lesénergies
desconfigurations
suivantes parU~,
Il;
etUi
+Uj
+Wij
respective-ment ;
nousn’introduisons,
cefaisant,
aucunehypo-thèse. Pour
simplifier
les calculs ultérieurs nousposerons
Dans ces conditions nous pouvons dresser le tableau
ci-dessous :
TABLEAU 1.
où nous avons
indiqué
dans lapremière
colonne le nombre et le nom des noeudsoccupés
par un atome A pour chacune desquatre
configurations,
dans la seconde colonne lesénergies correspondantes
et dans la troisième colonne des facteursproportion-nels à la
probabilit é
dechaque configuration;
pour obtenir lesprobabilités
(dont
la somme estégale
àl’unité)
il suffit de diviser chacun de ces facteurspar la somme
(1
-f- r + s -~-rsa)
desquatre
facteurs. Le calcul effectif deBt;
se fera en identifiant lespropriétés
du réseau à deux noeuds et lespro-priétés
du réseau réel que l’onconsidère;
parexemple
ilfaut
que laprobabilité
de trouver un atome Asur le noeud i du réseau réduit soit
égale
à1/4 (nous
231 cas où l’ordre à
grande
distance s estidentiquement
nul)
d’oùpuisque
l’on trouve un atome A sur le noeuds dans la seconde et laquatrième configuration
du tableau I. Un raisonnementanalogue
peut
être fait ausujet
dunoeud j
et fournitDes deux relation
(7)
et(8)
nous pouvons tirerd’une
part
u t d’autre
part
soitles
expressions
de définition de r et de a montrent que cesquantités
nepeuvent
être quepositives
et parconséquent
que seul lesigne +
dansl’expres-sion
(9) possède
un sensphysique.
Nous pouvons maintenant
exprimer
àpartir
des données du tableau I laprobabilité
nij de trouver à la fois un atome A au noeud et un atome A aunoeud j
dans le réseau à deux n0153uds soitGrâce à la relation
(9)
nous pouvons alorsexprimer
nij
uniquement
en fonction de a; nous obtenonsainsi
On sait que dans le cas
général
d’un réseauquel-conque la
probabilité
nt, que nous venons de définirs’exprime [3]
sous la formedans notre réseau
particulier
à deuxnoeuds,
il nepeut
exister de termes à troisnoeuds,
quatre
noeuds,
etc. et parconséquent
soit encore ni; =
B~,.
Le résultat final de notre calcul est donc
Nous ferons
quelques
remarques ausujet
de cerésultat.
Nous avons dit que nous nous intéressons
unique-ment au cas où l’ordre à
grande
distance est nul(s
=o);
tous les noeuds du réseau réel de AuCu,
ont donc la même
propriété :
laprobabilité
deprésence
d’un atome d’Au sur un noeudquelconque
est ;
et parconséquent
lagrandeur
Bi;
nepeut
dépendre
que del’énergie
de liaison entre deux atomes Aplacés
aux noeuds i etj,
le calcul montre que cetteénergie
n’intervient que par le terme a défini en(6).
Nous pouvons donc dans ces conditionssupprimer l’indice ij
de lagrandeur Bij
et écrireB(a),
toutefois pourrappeler
que cettegrandeur
concerneun groupe de deux atomes nous écrirons en définitive :
Le calcul de
Bij
adéjà
été traité par Yvon dans lecas
général
où ni est différent de nj. Nous avonstenu à
rappeler
ce calcul afin depouvoir
legéné-raliser
rapidement
au calcul desBijk (B3
dans notre nouvellenotation).
Les noeuds i
et j jouent
le même rôle dans le réseau à deuy,noeuds;
nous avons démontré que lesquan-tités r et s étaient
égales
c’est-à-dire que leséner-gies
Ui
etU;
étaientidentiques.
Dans nos calculsultérieurs nous poserons que les
énergies
U relativesà des noeuds
jouant
le même rôle dans le réseau rédu-il(à
deux, trois,
etc.noeuds)
sontégales.
Nous pouvons maintenant décrire la méthode
générale
de calcul d’unBp;
on considère un réseau réduit à p noeuds dont on va effectuer unestatis-tique
directe àpartir
duprincipe
deBoltzmann;
on
impose
toutes les conditions nécessaires pour que lesprobabilités
ni soientidentiques
dans le réseau réduit à p noeuds et dans le réseau réel(dans
le cas que nous considéronsici,
AuCu,
sans ordre àgrande
distance,
cette condition revient à écrire que tous les ni du réseau réduit sontégaux
à - ;
onidentifie ensuite une
probabilité
y;(relative
à deuxnoeuds)
du réseau réduit avecl’expression
géné-rale de n;j obtenue à
partir
de la formule(1),
onen déduit alors un coefficient
Bp
connaissant tous les coefficients Bk avec k p.Nous allons maintenant
appliquer
cette méthodeau calcul des
B3.
Pourchaque
casparticulier
nousdevons
préciser
lesénergies
Ui
etWij;
cesénergies
n’interviennent que sous la forme
d’exponentielle
exp -
à
(exponentielle
dont nousdésignerons
les différentes
valeurs
- suivant celles de U--par r, s, t,
... ) et
exp -H/kT
(dont
les valeurs serontdésignées
par a,b,
c,.. ).
Pourindiquer rapidement
d’un réseau réduit à trois noeuds, par
exemple
le schémareproduit
sur lafigure
5signifie
quel’égalité
desénergies
d’interaètionW~
et
W~
indique
que lesnoeuds j
et k sontidentiques
et parconséquent
que--le noeud 1 est différent aussi convient-il de poser
Nous voulons encore
préciser
les caractères desymétrie
des la définition delog ni;
au moyendes différentes
grandeurs
B montre que dansBijk
les indicesijk
n’ont pas le mêmerôle,
lesindices ij
se réfèrent au
couple
depoints ij
considérés alorsque l~
désigne
un noeudquelconque
mais différent deij.
Enprofitant
de cette remarque et pour montrer que lesBj,l;
nedépendent
dans le casparticulier
où nous effectuons le
calcul,
que desquantités
a,b,
cprécédemment
définies nous écrironsDans ces conditions les relations de
symétrie
s’expriment
parmais
Calcul de
J3g
(a;
a,a).
- Le schéma du réseauréduit à trois noeuds
qu’il
convient de considérerest
reproduit
sur lafigure
6.Nous pouvons établir un tableau en
disposant
dans la
première
colonne le nombre et le nom desnoeuds
occupés
par des atomes A et dans la deuxième colonne les facteurs deprobabilités correspondants :
La relation ni
=: ’ À
fournitsoit
Le calcul de nj; dans le réseau
réduit,
permet
de calculerB3 (a;
a,a)
grâce
àsoit ici
et
grâce
à la relation(10).
Le résultat estque l’on
peut
encore mettre sous la formeLe calcul
numérique
se fait en résolvant aupréa-lable,
pourchaque
valeur de a,l’équation
en r(10);
233
ce
qui
montrequ’un
tel terme n’intervient pas dans le calcul delog nlj.
Calcul de
B3 ~a;
a,b).
- Nous donnonssans
com-mentaire le schéma du réseau
( fig.
5)
et le tableaucorrespondant
Il faut d’abord écrire ni = nj
= ¡ .La
première
de ces
équations
fournitet la seconde
soit encore
Le calcul de nij dans le réseau réduit
combiné à
l’expression
résultant de
l’application
de la formulegénérale (1)
au réseau de la
figure
5,permet
d’obtenirCalcul de
B3 (b;
a,a).
- Ce calcul est immédiat àpartir
des résultatsprécédents,
ilsufflt,
pour le réseau de lafigure
5, de connaître :et la relation
pour
trouver
Remarquons
que la mêmeéquation (11)
en spermet
dedéterminer les valeurs de
B3
(a;
a,b)
etB,
(b;
a,a);
pour calculer
B, (b; b; a)
etB3 (a;
b,
b),
il convient de résoudre uneéquation analogue
obtenue enpermutant
a et b dansl’équation (11).
Calcul de
B, (a;
a,1 ).
-Quand l’énergie
d’inter-actionWjk (fig. 5)
est nulle le facteur b devientégal
à l’unité.L’équation
en s(11)
sesimplifie
et fournitdont la racine utile est définie par
Cette valeur
de s,
introduite dansl’expression
géné-rale(12)
amèneCalcul de
B3 (i ;
a,a).
- Il suffitd’appliquer
la déterminationprécédente
de s àl’expression
deB,
(b ;
a,a)
pour trouver .Nous tenons à faire remarquer que ce terme est différent de l’unité.
Calculs de
B3 (1;
1,b)
etB3 (b;
i,1).
- Il suffitde supposer que les
énergies Wij
etW~~
sont nulles pour obtenir àpartir
des résultatsgénéraux
(12)
et par la méthode que nous venonsd’appliquer
aux calculs deB3 (a;
a,i)
etB3 (1;
a,a),
.Calcul de
B3 ( ;
a,6).
- Nous donnons le schémadu réseau
(fin. 7)
et le tableaucorrespondant
Le calcul de n/k combiné avec
l’expression
fournit
s et 1 étant déterminés par
Calcul de
B,
(a;1, b).
- Laconsidération
du même réseau fournit encoreNous venons ainsi de
calculer,
à l’exclusion du termeB3
(a;
b,
c)
lesexpressions
de toutes les formespossibles
desB3.
Rappelons
encore une fois que cescalculs ne sont valables que pour un
alliage
dutype
AB,
sans ordre àgrande
distance.La méthode que nous venons
d’indiquer
aégale-ment été
appliquée [6]
aux calculs desB4, B6
etB7
relatifs à unalliage
dutype
AB sans ordre àgrande
distance et a
permis
de trouver des résultats enpar-faite conformité avec ceux d’autres théories
qui
conduisent à desdéveloppements mathématiques
complètement
différents des nôtres.Il semble que l’on
puisse
donner un critèrequi
permet
depréciser
si un coefficientapporte
une contribution diff érente ouégale
à zéro dans lelogarithme
de nij. Pour que le coefficientjoue
un
rôle,
c’est-à-dire soit différent del’unité,
il fautet il suffit que la chaîne formée par les différents noeuds kl... pour passer du noeud i au
noeud j
trajet
directi-j
étantexclu)
soit tellequ’elle
corres-ponde
à une suite connued’énergies
non nulle.Par
exemple
’
Note ajoutée à la correction des épreuves. -- Dans des
publi-cations récentes : Busseiron, Kenkyu, 195 2, p. 69 (en japonais),
J. Phys. Soc., Japan, 1952, p. 54g et 1953, p. 31 z et 36,
Terutosi Murakami a cherché à lier la diffusion des rayons X par Au Cu3 au-dessus de sa température critique à des données thermodynamiques. Les résultats de Murakami, qui
emploie une méthode statistique analogue à celle de Montroll et Mayer, semblent être en moins bon accord avec
l’expé-rience que les nôtres.
Manuscrit reçu le 9 décembre 1952.
BIBLIOGRAPHIE.
[1] FOURNET G. 2014
Colloque international sur les changements de phases, p. 199. J. Chim. Phys. (sous presse).
[2] FOURNET G. 2014 J.
Physique Rad. (Phys. Appl.), 1952,
13, 14 A.
[3]
YVON J. 2014 Cahiers dePhysique, 1945, 28, I.
[4] COWLEY J. W. - J. Appl. Phys., 1950, 21, 24. [5] FOURNET G. 2014 C. Acad.
Sc., 1952, 234, 2049. [6] FOURNET G. 2014
