DEPENDANCE FREQUENTIELLE DE L’ABSORPTION DES ULTRASONS DANS LES MATERIAUX VISCOELASTIQUES : SIMULATION ET MESURES EXPERIMENTALES

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Conférence Internationale sur le Soudage, le CND et l’Industrie des Métaux, IC-WNDT-MI’10 Oran, 27 - 28 novembre 2010

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DEPENDANCE FREQUENTIELLE DE L’ABSORPTION DES ULTRASONS DANS LES MATERIAUX VISCOELASTIQUES :

SIMULATION ET MESURES EXPERIMENTALES

A.BENNAMANE ⁽¹⁾, N. KHALK, N. HOUHAT ⁽²⁾ et T. BOUTKEDJIRT ⁽²⁾

(1) Equipe de Recherche Ondes et Acoustique,

(2)

Equipe de Recherche Physique des Ultrasons, Faculté de Physique, USTHB, Alger (Algérie)

⁽¹⁾benamane@yahoo.fr ⁽²⁾houhat.nesrine@gmail.com ⁽²⁾tarek_boutkedjirt@hotmail.com

Résumé :

Nous abordons dans cette étude, l’influence de la fréquence ultrasonore sur le coefficient d’absorption, ainsi que sur la vitesse de phase des ondes acoustiques au cours de leur propagation dans des matériaux viscoélastiques. Nous avons modélisé la propagation de l’onde ultrasonore à travers ces matériaux, en utilisant la formulation théorique de Szabo.

Celle-ci traduit la dépendance fréquentielle du phénomène d’absorption et prend en compte des facteurs de puissance fréquentielle aussi bien entiers naturels que réels purs. Des mesures expérimentales par spectroscopie ultrasonore ont été réalisées sur un éventail de matériaux solides et fluides. Ces mesures ont été effectuées en mode écho, à l’aide de transducteurs ultrasonores sur une bande de fréquences comprise entre 1 et 4 MHz. Ceci nous a permis d’établir une loi liant le coefficient d’absorption à la fréquence et d’apprécier l’évolution de la vitesse de phase dans la même gamme de fréquences, pour les différents types de matériaux étudiés. Les résultats obtenus sont en adéquation avec ceux que nous avons obtenus par simulation numérique. Le phénomène d’absorption varie d’un matériau à un autre. Il est plus significatif vers les fréquences élevées. Il est également lié à la distance parcourue par l’onde acoustique. Le phénomène de dispersion apparaît clairement lors de l’évaluation de la vitesse de phase selon la fréquence. Pour certains matériaux tels que le polyamide, le coefficient d’absorption a été déterminé avec une précision appréciable. La méthode adoptée s’avère être un outil efficace de caractérisation de ce type de matériaux.

Mots clés : matériaux viscoélastiques, ultrasons, atténuation, absorption, dispersion.

1. Introduction

Lors de la traversée d’un matériau par une onde ultrasonore nous constatons une diminution de son amplitude ainsi qu’un changement de sa forme. Celles-ci sont provoquées par la perte de l’énergie ultrasonore. Cette perte est due aux différents processus d’interaction de l’onde avec le milieu de propagation, tels que la réflexion, la réfraction, la diffusion et l’absorption [1]. Ces phénomènes sont liés aux variations de densité, de compressibilité du matériau ainsi qu’à la présence d’inhomogénéités au sein de ce dernier. Ils sont également dépendants de la température et de la fréquence des ultrasons qui les traversent.

La déperdition d’énergie se manifeste par une atténuation de l’intensité ultrasonore I.

Elle se traduit par une décroissance exponentielle de celle-ci, avec la profondeur de pénétration z dans le milieu selon la loi :

I=I0e^-z (1)

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2

I₀représente l’intensité de l’onde incidente.

2. Phénomène d’absorption et dispersion :

Le phénomène d’absorption dans les matériaux viscoélastiques est principalement associé à trois mécanismes : la conduction thermique, le frottement visqueux et la relaxation moléculaire. [2].

La conduction thermique est due à la succession de surpressions et de détentes lors du passage des ultrasons dans le matériau traversé. Elle conduit à la création de zones plus chaudes ou plus froides, entrainant ainsi un flux de chaleur entre deux types de régions.

Le frottement visqueux, qui se produit surtout dans les milieux fluides, est dû aux forces de friction qui s’opposent au mouvement des particules dans le milieu.

Le phénomène de relaxation révèle la présence de mécanismes de transfert d’énergie durant un temps fini. En traversant le matériau, l’onde ultrasonore lui transmet de l’énergie.

Celui-ci s’écarte alors de son équilibre énergétique. Si la durée du retour à l’équilibre, d’un élément de volume, est différente du temps de transit de l’onde ultrasonore dans cet élément, il s’ensuit une déperdition d’énergie et un certain temps de relaxation pour le retour à l’état d’équilibre. L’onde ultrasonore est atténuée et on note également un changement de la vitesse de phase avec la fréquence. Il s’agit du phénomène de dispersion. Généralement plusieurs phénomènes de relaxation peuvent coexister, chacun d’eux est lié à un temps de relaxation différent.

Afin de déterminer la loi d’atténuation des ultrasons dans les milieux viscoélastiques, des mesures expérimentales ont été effectuées sur différents matériaux [3, 4, 5]. Il a été remarqué que pour un même matériau l’absorption n’agit pas identiquement pour toutes les fréquences.

2. Modélisation du phénomène d’absorption :

Afin de simuler le phénomène d’absorption dans les matériaux viscoélastiques et fluides, nous avons fait appel au modèle temporel causal proposé par Szabo [6]. Selon ce modèle, la loi d’absorption s’écrit :

αM=α0M+ α1M  ^y (2) α0M et y, sont des constantes qui dépendent du matériau. α1M est également une caractéristique du matériau, qui s’exprime par la relation :

Cij V _M

ij M

0 1

   (3)

ij et C_ij représentent respectivement les éléments des tenseurs de viscosité et d’élasticité.

VOM est une vitesse de propagation constante pour le mode de propagation longitudinal ou transversal, M désignant le mode correspondant. Ce modèle s’appuie sur la modification de la loi de Hooke où la dérivée temporelle de la déformation a été remplacée par un opérateur de convolution r(S,t). Cette loi prend alors la forme :

) , ( :

:S r S t

C

T   (4)

(3)

3

Ceci conduit à un facteur de propagation γM(ω) ayant pour forme :



⁽ ⁾ ⁽ ⁾



) ( )

(      

_M  _M i _OM  _EM (5)

) (

_EM est un terme de dispersion additionnel. Quant au facteur _OM( , il est défini par la relation :

OM

OM V

 

 ( ) (6) La vitesse de phase V_M(ω) associée à chaque mode de propagation varie suivant la fréquence selon la loi :

) 1

( 1

) ) (

(





 



 



 









  ^EM

OM M

M V

V

(7)

En utilisant la transformée de Fourier inverse du facteur de propagation γ_M(ω), on obtient l’opérateur de propagation Lν. Il est constitué de deux opérateurs : Lα associé à l’absorption et LβEM associé au phénomène de dispersion, soit :



( )

 

( ) ( )

 

( )



( ) ( )

)

(t TF ¹ TF ¹ ₀ TF ¹ L t iL t

L_  ^ _M   ^ _M     ^ _EM   _  __EM (8)

En raison du principe de causalité, L__EM(t)sgn(t)*L_(t), où sgn(t) désigne la fonction signe et * le produit de convolution. On peut écrire l’opérateur Lν sous la forme :

) ( ) ( 2 )

(t H t L t

L_  _ (9) H(t) est la fonction échelon d’ Heaviside

Selon le facteur de puissance y de la relation (2), le facteur de dispersion, _EM(), et la vitesse de phase, V_M(), s’écrivent :

Pour y entier naturel pair ou réel :

₁ ) ¹

tan( 2 . )

(  _M ^y^

EM

y 

 



 (10)

)( )

tan( 2 )

( 1 )

(

1 1

0 1 1

0



 



 _M ^y ^y

M M

y V

V    



 (11)

(4)

4

Pour y entier naturel impair :    . .ln

) 2

( ₁_M ^y

EM  (12)

(ln ln )

2 2 ) ( 1 )

( 1

0 1

1 0



 





 ^ ^ ^

y M M

M V

V (13)

2. Simulation numérique :

Nous avons simulé la propagation de l’onde ultrasonore dans les matériaux viscoélastiques en adoptant la formulation de Szabo. A cet effet, nous avons simulé le signal d’excitation du matériau par une sinusoïde modulée par une gaussienne. Nous avons déterminé la fonction de transfert du matériau (MTF) comme suit :

MTF(ω) =exp[γM(ω)z] (14) A partir de cette relation, nous avons déduit la réponse impulsionnelle du matériau (mirf(t, z)) mirf(t,z) =TF^-1(MTF(ω,z)) (15) Ceci nous a conduit à l’expression suivante de la pression acoustique P(z,t) :

P(t,z) =P(t,0)*mirf(t,z) (16) Sur les figures (1a) et (1b) nous avons représentés respectivement les courbes du coefficient d’absorption et celle de la vitesse de phase, en fonction de la fréquence, pour trois matériaux viscoélastiques : le polyéthylène 1 (de basse densité), le polyéthylène 2 (de haute densité) et le lexan [6].

1.5 2 2.5 3 3.5 4

2 4 6 8 10 12 14 16

frequence(MHz)

alpha(Neper/cm)

attenuation des ondes longitudinales

Lexan Polyethylène 1 Polyethylène 2

1.5 2 2.5 3 3.5 4

2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600

frequence(MHz)

V(m/s)

la vitesse de phase des ondes longitudinales Lexa n

Polyetylène 1 Polyétylène 2

Fig. 1a : Simulation de la variation du coefficient d’absorption, en fonction de la fréquence, de

quelques matériaux

Fig. 1b : Simulation de la variation de la vitesse de phase longitudinale, suivant la fréquence, à travers les mêmes

matériaux

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5

3. Résultats expérimentaux :

Le principe de la méthode expérimentale utilisée consiste à générer des ondes ultrasonores impulsionnelles dans le matériau à étudier et à détecter les signaux réfléchis (mode écho). A partir des phases et des amplitudes des transformées de Fourier de ces signaux, on détermine l’évolution du coefficient d’absorption et de la vitesse de phase dans la bande de fréquence du transducteur ultrasonore utilisé. Les échantillons que nous avons utilisés sont constitués de cylindres de polyamide de différentes épaisseurs et de plaques de plexiglas et d’aluminium. Le fluide que nous avons caractérisé est une couche d’eau dont on a fait varier l’épaisseur. Les mesures ont été effectuées à l’aide de sondes ultrasonores sur une bande de fréquences comprise entre 1 et 4 MHz.

Les signaux résultant des réflexions multiples à l’intérieur des échantillons sont reçus par l’appareil à ultrasons. Ils sont, ensuite, échantillonnés et visualisés sur un oscilloscope numérique contrôlé par un micro-ordinateur à travers un bus GPIB. Un programme développé sous MATLAB, permet la détermination de l’absorption et des vitesses de phase. En considérant les amplitudes des transformées de Fourier P(z1, f) et P(z2,f) de deux signaux réfléchis par l’échantillon pour deux épaisseurs différentes z1 et z2, on calcule selon la méthode de la division spectrale, le coefficient d’absorption α, moyennant la relation :

1 2

2 1

) , (

) , ln ( )

( z z

f z P

f 



 





  (17) La vitesse de phase V(f) est déterminée à partir des phases des transformées de Fourier P(z1,f) et P(z2,f) par la relation [7] :





 f f z P

f z Arg P

z f z

V

) 2 , (

) , (

) (

) 2 (

2 1

1 2



 

 (18)

τ est le temps de retard entre les deux signaux temporels réfléchis p(z1,t) et p(z2,t) considérés.

Il est obtenu à partir de la fonction d’inter-corrélation entre ces deux signaux. Celle-ci présente un maximum au temps t égal à τ.

Les résultats présentés ont été obtenus à l’aide de mesures réalisées avec un transducteur Panametrics plan circulaire de diamètre 19,01 mm et de fréquence nominale 2,25 MHz.

Concernant les deux cylindres de polyamide d’épaisseur respective 1 cm et 2 cm, nous avons représenté sur la figure (2) les signaux temporels p(z1,t) et p(z2,t) obtenus après fenêtrage de leurs parties utiles. Nous avons calculé et représenté le spectre d’amplitude associé à chaque signal sur la figure (3). Les figures (4) et (5) représentent respectivement l’évolution du coefficient d’absorption et celle de la vitesse de phase en fonction de la fréquence.

(6)

6

2 4 6 8 10 12 14

x 10^-6 -0.08

-0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

signal 1 Fenétré

temps(s)

amplitude(volt)

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

x 10^-5 -0.04

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

signal 2 fenétré

temps(s)

amplitude(volt)

Fig. 2 : Signaux temporels obtenus pour deux cylindres de polyamide de longueurs z₁= 1 cm et z₂= 2 cm

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5x 10^-3

freqence(MHz)

Amplitude

z1=1cm z2 =2cm

Fig. 3 : Spectres d’amplitude des signaux de la figure (2).

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

freqence(MHz)

attenuation(Neper/cm

Courbe Attenuation et fiting au voisinage de la fréquence nominale

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

freqence(MHz)

vitesse en m/s

Courbe de dispersion autour de la freq nominale du transducteur

Fig 4. : (°) Variation du coefficient d’absorption du polyamide en fonction de la fréquence et (--) courbe d’ajustement correspondant [α= -0,059+0,164f^1.23]

Fig. 5 : Variation du la vitesse de phase des ultrasons dans le polyamide en fonction de la fréquence

(7)

7

Sur les figures (6a) et (6b) et les figures (7a) et (7b), nous avons représenté les courbes de variation du coefficient d’absorption et de la vitesse de phase que nous avons obtenues pour une plaque de plexiglas de 9;98 mm et une plaque d’aluminium d’épaisseur 9;82 mm respectivement.

1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

freqence(MHz)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

freqence(MHz)

vitesse en m/s

Fig. 6a : (°) variation du coefficient d’absorption en fonction de la fréquence et (--) courbe d’ajustement correspondant[ α= -0,386+0,605f^1.01]pour une plaque

de plexiglas de 9,98 mm

Fig. 6b : Variation du la vitesse de phase en fonction de la fréquence, pour la même plaque de plexiglas

1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

0.125 0.13 0.135 0.14 0.145 0.15 0.155 0.16

freqence(Hhz)

1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3

5000 5500 6000 6500

freqence(MHz)

vitesse en m/s

Fig. 7a : (°) Variation du coefficient d’absorption en fonction de la fréquence et (--) courbe d’ajustement correspondant [ α=0,0427+0.0454f^1.049] pour une

plaque d’aluminium de 9.82 mm

Fig. 7b. : Variation du la vitesse de phase en fonction de la fréquence, pour la même plaque d’aluminium.

Les valeurs des paramètres α0, α1 et y que nous avons obtenues pour les différents matériaux que nous avons analysés sont consignés dans le tableau ci-dessous :

Matériau α0 (Np/cm) α1 (Np/cm.MHz^y) y

Polyamide -0,059 0,164 1,230

Plexiglas -0 ,386 0,605 1.010

Aluminium 0,0427 0,0454 1,049

Dural -0,059 0,12 1,000

Eau 0,008 2,24 2

Tableau 1 : Valeurs expérimentales de , pour différents matériaux

(8)

8

4. Discussion et conclusion:

Pour tous les matériaux que nous avons étudiés, nous remarquons une diminution notable de l’amplitude du signal temporel au cours de la propagation de l’onde. Le phénomène d’atténuation des ondes ultrasonores apparaît clairement à travers cette chute d’amplitude. Ce phénomène d’atténuation varie d’un matériau à un autre. Il parait que la dépendance fréquentielle est plus importante pour le polyamide, pour lequel la puissance fréquentielle y est de 1,230. En considérant les spectres d’amplitude des différents signaux nous avons remarqué un décalage des maxima d’amplitude vers les basses fréquences. Pour les fréquences supérieures à celle de la fréquence nominale du transducteur, nous constatons que le décalage entre les deux spectres d’amplitude est plus important. Le phénomène d’atténuation des ondes ultrasonores est donc plus significatif vers les fréquences élevées. Le phénomène d’absorption considéré se manifeste donc par un filtrage passe bas.

Les paramètres α0, α₁ et y varient d’un matériau à un autre. Ils permettent donc leur caractérisation .Pour le plexiglas et l’aluminium l’atténuation varie quasi-linéairement avec la fréquence. Pour l’eau, la variation fréquentielle de l’atténuation suit une loi quadratique. Il est évident que l’expression (2) donnant le coefficient d’absorption n’est valable que dans la gamme de fréquences pour lesquelles ce coefficient est positif.

Pour les matériaux viscoélastiques étudiés, nous remarquons que la vitesse de phase augmente avec la fréquence mettant en évidence un phénomène de dispersion. Ceci est conforme aux prédictions théoriques. Le phénomène de dispersion est anomal. La spectroscopie ultrasonore s’avère être un outil appréciable pour une caractérisation non destructive de matériaux viscoélastiques et fluides.

4. Bibliographie:

1. M. Chandra, F. Sehgal and J. Greenleaf, “Ultrasonic absorption and dispersion in biological media,” J .Acoust. Soc. Am. 72(6), 1711-11718 (1982).

2. F. Hottier et J. Bernatest, “Estimation de l’atténuation des ultrasons par les tissus biologiques,” Acta electronica, 26,1-2, 33-58 (1984).

3. M. O’Donnell, E.T. Jaynes and J G. Miller,”General relationships between ultrasonic attenuation and dispersion,” J. Acoust. Soc. Am. 63, 1935-1937 (1978).

4. H. J. Wintle, “Power law absorption in polymers and other systems,” J. Acoust. Soc. Am.

107(3), 1770- 1773 (1999).

5. I. Nouioua : Contribution à l’étude de l’absorption dans les matériaux imitant les tissus biologiques mous. Thèse de Magister, USTHB, Alger (2010)

6. T.L. Szabo and J. Wu, “A model for longitudinal and shear wave propagation in viscoelastic media,” J. Acoust. Soc. Am.107 (5), 2437-2446 (2000).

7. F. Peters and L. Petit, ”A broad band spectroscopy method for ultrasound wave velocity and attenuation measurement in dispersive media” Ultrasonics 41, 357-363 (2003).