MODÉLISATION PAR DES MATRICES DE TRANSFERT DE LA PROPAGATION DU SON DANS LES MILIEUX POREUX STRATIFIÉS

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HAL Id: jpa-00230573

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Submitted on 1 Jan 1990

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MODÉLISATION PAR DES MATRICES DE

TRANSFERT DE LA PROPAGATION DU SON DANS LES MILIEUX POREUX STRATIFIÉS

P. Rebillard, C. Depollier, J. Allard

To cite this version:

P. Rebillard, C. Depollier, J. Allard. MODÉLISATION PAR DES MATRICES DE TRANSFERT DE

LA PROPAGATION DU SON DANS LES MILIEUX POREUX STRATIFIÉS. Journal de Physique

Colloques, 1990, 51 (C2), pp.C2-1041-C2-1044. �10.1051/jphyscol:19902244�. �jpa-00230573�

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1er Congrès Français d'Acoustique 1990

MODÉLISATION PAR DES MATRICES DE TRANSFERT DE LA PROPAGATION DU SON DANS LES MILIEUX POREUX STRATIFIÉS

P. REBILLARD, C. DEPOLLIER et J.F. ALLARD

Laboratoire d'Acoustique, URA 1101 CNRS, Université du Maine, BP. 535, F-72017 Le Mans Cedex, France

Résumé - On mode l i s e l a propagation des t r o i s ondes de Biot dans des matériaux poreux s t r a t i f i é s sous incidence oblique à l ' a i d e de matrices de t r a n s f e r t . On peut a l o r s c a l c u l e r l'impédance de surface de ces matériaux. Une comparaison e n t r e mesure e t c a l c u l e s t donnée.

1 - INTRODUCTION

Nous avons développé, à partir de la théorie de Biot /l/, une méthode de calcul de l'impédance de surface des matériaux poreux stratifiés utilisant les matrices de transfert /2/. Notre modèle, initialement, ne traitait que le cas de l'incidence normale, nous l'avons étendu au cas de l'incidence oblique en prenant en compte les deux ondes de compression ainsi que l'onde transverse se propageant dans le milieu poreux.

2 - PROPAGATION DU SON DANS LES MATERIAUX POREUX

Soient u et U les déplacements de la structure et de l'air dans le matériau poreux. Les relations contraintes-déformations initialement écrites par Biot /!/ s'expriment :

(1) (2) Dans ces équations, P, Q et R sont les coefficients de Biot /l/, N est le module de cisaillement, e et e sont respectivement les dilatations de la structure et de l'air.

(3) Soient K. le module de compressibilité de l'air / 4 / dans le matériau poreux, K, le module de compressibilité de la structure /4/, |3 la porosité /10/, alors, compte tenu des caractéristiques des matériaux couramment utilisés, on peut approximer P, Q et R par les formules / 4 / :

(6) (4) (5)

On définit de plus les quantités :

(7) Dans ces égalités, p est la masse volumique de la structure, p la masse volumique de l'air. Le symbole p est associé au couplage massique entre fluide et structure. Les équations de propagation dans le matériau

Abstract - The propagation of the three Blot waves in porous layered materials at oblique incidence is modelized with transfer matrices.

Measurement of the surface impedance of a layered porous material at oblique incidence is compared with prediction achieved with the transfer matrix of the material.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19902244

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COLLOQUE DE PHYSIQUE

poreux s'ecrivent /1/ :

b étant le coefficient de couplage visqueux entre le fluide et la structure / 5 / . On peut décomposer les déplacements de la structure et de l'air en parties indivergentes et irrotatiomelles. Soient donc :

u = a d ~ + f O t H , U = s d @ + $ t G . (10) alors 0, @, H et G sont les solutions des équations suivantes :

6;. 6:. 6: et p3 sont calculés à partir de N, P. Q, R. b, pli, p22et p12 /3/, / 6 / . Deux ondes longitudinales ( ~ 3 ~ et 0 1 et une onde transversale

(Hl se propagent dans le matériau poreux.

3

-

LES TROIS ONDES DE BIOT ASSOCIEES A UNE ONDE INCIDENTE SOUS INCIDENCE OBLIQUE DANS UNE COUCHE DE MATERIAU POREUX

Les trois ondes de Biot /1/ sont excitées par une onde plane dans l'air sous une incidence 6

.

Cette onde génère trois ondes, deux de compression

et une de cisaillement. Celles-ci se réfléchissent totalement ou partiellement sur la face inférieure du matériau. On a donc six ondes _à considérer.

En utilisant les relations suivantes:

les potentiels s'écrivent:

iP = e jwt e-.i7x [cos

a,

=(Ak + A L ) -J sin 4 2

(*L-s)]

^,^{k =}^1.2,3^, (15) où

%

est l'amplitude de l'onde incidente et

A;(

celle de l'onde réfléchie.

4

-

HATRICE DE TRANSFERT D'UNE COUCHE DE HATERIAU POREUX SOUS INCIDENCE OBLIQUE

Six grandeurs acoustiques indépendantes permettent de connaître les amplitudes des six ondes de Biot. On définit un vecteur d'état :

qui caractérise le champ acoustique en z dans le matériau. On peut calculer une matrice

[rl

caractéristique du matériau,qui relie l'état des vitesses

et des contraintes en z=0 à celles en z=L par la relation:

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[TI = rr(o)

I rr(~)

1-' ,

la matrice caractérisant la couche de matériau poreux

.

Les expressions des éléments de [Tl sont données en référence [IO].

5

-

MATRICE DE TRANSFERT D'UN MATERIAU POREUX HULTI-COUCHES

Considérons une superposition de deux matériaux poreux a et b de porosité respectives f3 et

Pb

et possédant une face commune B. Chacun de ces

a

matériaux peut être représenté par une matrice de transfert faisant correspondre les contraintes et les vitesses d'une face à l'autre. De plus, on peut calculer une matrice de passage correspondant aux relations de continuités des vitesses et des contraintes d'un matériau à l'autre /7/.

Appelons [Tabl cette matrice et soient [Ta] et [Tb] les matrices de transfert des matériaux a et b, alors, la matrice de transfert globale du matérau stratifié sera :

On peut évidemment étendre ce raisonnement à des systèmes comportant n couches.

6

-

IMF'EDANCE DE SURFACE D'UN MATERIAU STRATIFIE SOUS INCIDENCE OBLIQUE Considérons un arrangement où le matériau stratifé est collé sur un sol rigide à sa base et est soumis à un champ acoustique d'incidence 6 à sa surface libre. L'impédance de surface est définie par :

où P et v sont respectivement la pression et la vitesse suivant z de l'air à la surface du matériau. On peut relier comme nous l'avons vu précédemment, l'état des contraintes et des vitesses à la surface libre (soit VF) aux contraintes et vitesses au niveau de la surface collée (soit V ).On aura:

B

VB = [Tl VF , (21

où [Tl est la matrice de transfert globale du matériau stratifié. En écrivant les contraintes et les vitesses sur les deux faces, on déduit alors l'expression de l'impédance de surface du matériau /IO/.

7

-

COMPARAISON ENTRE MESURES ET PREDICTIONS DE L'IMF'EDANCE DE SURFACE D'UN MATERIAU STRATIFIE SOUS INCIDENCE OBLIQUE'

On considére un sandwich de deux couches de matériau poreux ; dans notre cas, des mousses plastiques. L'ensemble est collé sur un sol dur et imperméable. Nous avons fait des mesures / 8 / de l'impédance de surface pour des angles d'incidence 6 = 0" et 6 = 60' qui ont été cordparées aux résultats obtenus par calcul avec les matrices de transfert des matériaux considérés. Les résultats sont donnés en figures 1 et 2. On pourra constater un bon accord entre points de mesures et valeurs calculées.

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COLLOQUE DE PHYSIQUE

-'Ooo 1

FREOUENCY (hH=>

-1000 I t 1

1 2 3 4 5 6

FREOUEHCY (kHz)

Flg. 1: lmptdance de surface Flg. 2: ImpCdance de surface pour W'. -:Re(Z), calculée pour 6=60'.-:Re(Z), calculCe

---: Im(z),calculCe

---

^:Im(z),calculCe

@: Re(Z) mesurée; V: Im(z) mesurCe @: Re(Z) mesurée; v: Im(z) mesunCe

8

-

CONCLUSION

Notre modèle semble bien adapté pour caractériser la propagation des trois ondes de Biot dans les milieux poreux stratifiés. De plus, l'utilisation des matrices de transfert facilite les méthodes de calcul et permet de prédire aisément par des programmes informatiques peu complexes, l'impedance de surface des matériaux poreux multi-couches en incidence quelconque.

REFERENCES

/1/ Biot, M.A., J. Acoust. Soc. Am.

a

(19561, 168.

/2/ Allard, J . F . , Bourdier, R., Depollier, C., J . Appl. Phys. 60, (19861, 1926.

/3/ Deresiewicz, H. , Rice, J. T.

,

Bull. Seismol. Soc. Am. (1962). 595.

/4/ Depollier, C., Allard, J . F . , Lauriks, W., J . Soc. Acoust. Soc. Am.

a

(19881, 2277.

/5/ Zwikker, C., Kosten, C.W., Sound absorbing materials, Elsevier, New York (1949).

/6/ Allard, J . F . , Depollier, C., Aknine. A . . J . Acoust. Soc. Am.

(19861, 1734.

/7/ Deresiewizc, H., Skalak, R., Bull. Seism. Soc. Am. (19631, 783 /8/ Allard, J . F . , Champoux, Y.. Noise Control Eng. J. (19891, 15.

/9/ Allard, J . F . , Depollier, C., Guignouard, P., Appl. Acoust 26 (19891, 199-207.

/IO/ Depollier, C., Thèse d'Etat, Laboratoire d'Acoustique de l'université du Maine (1989).