i ANALYSE STATISTIQUE DES TARIFS DES GARANTIES DOMMAGES EN ASSURANCES AUTOMOBILE : CAS DE CHANAS ASSURANCES S.A Mémoire Par : LELE SIAKA HERNANDEZ

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i ANALYSE STATISTIQUE DES TARIFS DES GARANTIES DOMMAGES EN ASSURANCES AUTOMOBILE : CAS DE CHANAS ASSURANCES S.A

Mémoire

présenté et soutenu en vue de l’obtention du Diplôme de Master de Statistique Appliquée.

Par :

LELE SIAKA HERNANDEZ Maître ès Sciences

Sous la supervision du :

Dr. Eugène-Patrice NDONG NGUEMA Enseignant à l’ENSP de Yaoundé

M. Guy Florent NLOM NSHOUANGUELE

Responsable Département Technique et Courtage à Chanas Assurances s.a

&

M. Albert KATSI

Consultant à Chanas Assurances s.a Année académique 2011/2012

Master de Statistique Appliquée. ©HERNANDEZ LELE, UY1/ENSP 2012

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Dédicace

Je dédie ce travail à mes parents M.& Mme SIAKA

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Remerciements

La réalisation de ce travail a été possible grâce à Dieu le père tout puissant et au concours de nombreuses personnes auxquelles nous témoignons ici notre gratitude. Nous pensons au : – Pr Henri GWET, responsable du master de statistique appliquée et Chef de Dépar- tement de Sciences Physiques et de Mathématiques de l’Ecole Nationale Supérieure Polytechnique ;

– Le Corps enseignant de Master de Statistique Appliquée pour leur encadrement et leur dévouement tout au long de notre formation. Particulièrement leDr. Eugène-Patrice NDONG NGUEMA, le Dr. Jacques TAGOUDJEU, le Dr. TEWA, et le Dr.

VERZELEN.

Nous remercions également :

– Mme Jacqueline CASALEGNO, Président Directeur Général de Chanas Assu- rances s.a qui nous a donné la possibilité de faire ce stage académique dans sa société ; – M. Martin ABEGA, Secrétaire Général de Chanas Assurances s.a. Pour tout son

soutien et ses conseils ;

– M. Laurent MOUGNOL, Directeur de la Direction Technique, pour ses nombreux conseils et son apport dans la mise en oeuvre de ce mémoire ;

– M. Guy Florent NLOM, l’encadreur professionnel, pour sa disponibilité et son apport technique pour la mise en oeuvre de ce mémoire ;

– Tout le personnel de la Direction Technique ;

– M. Barnabas FAMI, Directeur de la Direction Informatique, ses collaborateurs M.

Serge BIKANDA & M. Olivier NJINGA et tout le reste des informaticiens ; – M. Romuald TAMPE, responsable commercial ;

– M. KATSI;

– Tout le personnel de Chanas Assurances, pour l’acceuil chaleureux et l’ambiance.

Nous ne saurions oublier mes camarades de master, ma famille, et mes amis, particulière- ment :

– M. & Mme KOM;

– M. & Mme KOMMOGNE; – M. & Mme NOUMSI;

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iv – Mes dames NGASSU Henriette et FOFOU ANNE, et Mlle Michelle ME-

GAPTCHE.

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Table des matières

Dédicace ii

Remerciements iii

Glossaire viii

Résumé xii

Abstract 1

Introduction Générale 1

Résumé Exécutif 8

1 PRESENTATION ET ANALYSE DESCRIPTIVE DES DONNEES 1

1.1 Présentation des données . . . 1

1.1.1 Qu’est ce qu’une unité statistique dans notre étude ? . . . 1

1.1.2 Description des variables . . . 1

1.2 Analyse descriptive des données . . . 4

1.2.1 Distributions empiriques des variables qualitatives . . . 4

1.2.2 Croisement des modalités des variables USAGE et GARANTIES . . . 5

1.2.3 Quelques résumés des variables quantitatives . . . 7

1.2.4 Analyse descriptive de la sinistralité . . . 7

2 METHODES STATISTIQUES 15 2.1 La régression de Poisson . . . 15

2.1.1 Définitions et hypothèses . . . 15

2.1.2 La loi de Poisson . . . 16

2.1.3 Les modèles linéaires généralisés . . . 18

2.1.4 La régression de Poisson . . . 19

2.2 Les équations d’estimation généralisées (GEE) . . . 21 v

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TABLE DES MATIÈRES vi

2.2.1 Des définitions . . . 21

2.2.2 Les équations d’estimation sous l’indépendance (IEE) . . . 22

2.2.3 Les équations d’estimation généralisées (GEE) . . . 24

2.2.4 L’estimation du paramètre βb(estimateur de β) . . . 25

2.2.5 Les types de matrices de corrélation R_i(α) les plus connus. . . 26

2.2.6 Conclusion . . . 29

2.3 La régression de Poisson longitudinale . . . 29

2.3.1 Les données longitudinales . . . 29

2.3.2 Les équations d’estimation généralisées dans le cas d’une loi de Poisson 30 2.3.3 Le modèle de la régression de Poisson longitudinale . . . 31

2.4 Convergences des suites de variables aléatoires et étude de la statistique X . 32 2.4.1 Quelques types de convergence et le théorème central-limite . . . 32

2.4.2 La statistique X . . . 33

2.5 Mesure de liaison entre une variable qualitative et une variable quantitative . 35 2.5.1 Décomposition de la variance d’une variable quantitative Y . . . 35

2.5.2 Un indicateur de la liaison entre une variable quantitative et une variable qualitative : le rapport de corrélation . . . 35

2.5.3 Interprétation du rapport de corrélation . . . 35

2.6 Méthode bootstrap . . . 37

2.6.1 introduction . . . 37

2.6.2 Echantillon Bootstrap . . . 37

2.6.3 Estimation de la variance . . . 38

2.6.4 Estimation de l’erreur quadratique . . . 38

2.6.5 Estimation du biais . . . 38

2.6.6 Estimation de l’intervalle de confiance pour π(F_n) de niveau 1−γ, pourγ ∈]0,1[ . . . 38

3 APPLICATION PRATIQUE 39 3.1 Modélisation de la fréquence moyenne des sinistres . . . 39

3.1.1 Construction d’un modèle . . . 40

3.1.2 Effet des variables explicatives . . . 41

3.1.3 Validation du modèle . . . 42

3.1.4 Fréquence moyenne des sinistres dans les différentes classes de risque 42 3.2 Estimation du coût relatif moyen des sinistres . . . 44

3.2.1 Mesure de la corrélation entre la variable qualitative USAGE et la variable quantitative COUT_RELATIF . . . 44

3.2.2 Mesure de la corrélation entre la variable qualitative GARANTIES et la variable quantitative COUT_RELATIF . . . 45

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TABLE DES MATIÈRES vii 3.2.3 Application de la statistique X (moyenne empirique) pour estimer le

coût relatif moyen des sinistres . . . 45 3.3 Estimation du taux de prime pure . . . 46

CONCLUSION GENERALE 48

ANNEXE : Programmes informatique dans le logiciel R 51

BIBLIOGRAPHIE 66

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Glossaire

Assurance (au sens de mutualisation des risques): c’est une opération par laquelle une entreprise d’assurance organise en mutualité un ensemble d’assurés exposés aux mêmes risques et répartit ces risques et les compense selon les lois de la statistque, à l’aide d’un fonds alimenté par des primes ou des cotisations qu’il collecte préalablement.

Assuré : c’est une personne qui a contracté une assurance.

Assureur : c’est une personne qui s’engage, par un contrat d’assurance, à fournir des prestations prévues en cas de réalisation du risque.

Contrat: c’est une convention par laquelle une ou plusieurs personnes s’obligent, envers une ou plusieurs autres, à donner, à faire ou à ne pas faire quelque chose.

Coût des sinistres : c’est la charge des sinistres, c’est-à-dire le coût mis par les assurés à charge de la compagnie d’assurances.

Dommage (Dommage matériel): c’est toute atteinte à la structure ou à la substance d’une chose.

Coût relatif d’un sinistre (en automobile) : c’est le rapport entre le coût du sinistre et la valeur du véhicule assuré au moment de la souscription du contrat.

Fréquence des sinistres : c’est le nombre de fois qu’un sinistre se produit dans un temps donné.

Garantie : couverture d’un risque par l’assureur en contrepartie d’une prime convenue d’avance. Si le risque prévu par le contrat se réalise, la garantie de l’assureur permet de prendre en charge tout ou partie de ses conséquences.

Portefeuille : c’est l’ensemble des contrats d’assurances détenus par une société d’assurance.

Prime : somme que doit payer l’assuré en contrepartie de l’engagement de l’assureur de prendre en charge le risque. Le coût de l’assurance est donc proportionnel à l’importance du risque pris en charge par l’assureur.

Prime pure : elle correspond à la valeur statistique (produit du coût et de la fréquence) du risque pris par l’assureur.

Risque (Risque-objet) : c’est l’objet sur lequel porte l’assurance (un bien meuble ou immeuble). Le bien assuré peut être par exemple un véhicule, une habitation, une usine, etc.

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TABLE DES MATIÈRES ix Sinistralité : c’est le total des sinistres supportés par une entité (une entreprise, une collectivité publique, etc.) ou par une société d’assurance au cours d’une période déterminée.

La sinistralité peut être exprimée en nombre de sinistres et/ou en coût de sinistres.

Sinistre : c’est la réalisation de l’événement couvert par le contrat et susceptible d’en- traîner la garantie de l’assureur. Il suppose l’existence d’un fait dommageable (un incendie, un vol, etc.) susceptible de mettre en jeu la garantie de l’assureur.

Tarif : c’est la fixation de la prime d’assurance.

Taux de Prime : c’est la prime calculée en pourcentage de la somme assurée par le contrat d’assurance.

Valeur à Neuf (garantie) : en assurance automobile, le véhicule assuré, lorsqu’il a été achété neuf, peut être garanti en valeur à neuf pendant une certaine durée.

Valeur Vénale : c’est la valeur marchande ou prix de vente sur le marché de l’occa- sion d’un bien meuble ou immeuble présentant les mêmes caractéristiques et dans un état semblable que le bien détruit lors du sinistre.

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Table des figures

1.1 Nombre de garanties souscrites en croisant les modalités des variables USAGE et GARANTIES . . . 6 1.2 Nombre et fréquence moyenne des sinistres observés dans les différentes caté-

gories d’usages de véhicules. . . 9 1.3 Nombre et fréquence moyenne des sinistres observés dans les garanties souscrites 10 1.4 Fréquence moyenne des sinistres en croisant les modalités des variables USAGE

et GARANTIES . . . 11 1.5 Proportion moyenne du coût des sinistres sur chaque catégorie d’usage de

véhicules et de garanties . . . 13

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Liste des tableaux

1 Estimation de la fréquence moyenne annuelle des sinistres par véhicule dans les classes de risque. . . 9 2 Estimation du coût relatif moyen des sinistres dans chaque classe de risque. . 10 3 Estimation du taux de primes pures (%) dans les différentes classes de risque. 10 1.1 Quelques lignes du tableau de données. . . 4 1.2 Répartition du nombre de souscriptions des garanties dommages automobile

de l’étude sur les années 2007 à 2011. . . 4 1.3 Répartition du nombre de souscriptions des garanties dommages automobile

de l’étude dans les trois zones géographiques. . . 4 1.4 Répartition du nombre de souscriptions des garanties dommages automobile

de l’étude dans les trois différentes catégories d’usages de véhicule. . . 5 1.5 Répartition des différentes garanties dommage de l’étude dans notre jeu de

données. . . 5 1.6 Résumés des variables quantitatives . . . 7 2.1 Propriétés de certaines lois discrètes . . . 17 3.1 Estimations des paramètres du modèle de la fréquence moyenne des sinistres

en fonction des variables USAGE et GARANTIES . . . 41 3.2 table de l’Anova du modèle . . . 41 3.3 Fréquence moyenne annuelle des sinistres par véhicule dans les différentes

classes de risque . . . 43 3.4 Fréquence moyenne annuelle des sinistres par véhicule dans les différentes

classes de risque après majoration . . . 43 3.5 Estimation du coût relatif moyen des sinistres dans les différentes classes de

risque . . . 45 3.6 Estimation du coût relatif moyen des sinistres dans chaque classe de risque

après majoration . . . 46 3.7 Estimation du taux de prime pure (%) dans les différentes classes de risque . 47

xi

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Résumé

Notre étude avait pour objectif principal de réviser les taux de primes pures des garanties dommages en assurance automobile dans la compagnie d’assurances Chanas. Pour estimer les nouveaux taux de primes pures, nous avons utilisé la technique GEE (Equations d’Esti- mation Généralisées), pour l’estimation de la fréquence moyenne des sinistres, et la moyenne empirique, pour l’estimation de la proportion moyenne du coût des sinistres. Tout celà nous a permis de proposer une estimation des différents taux de primes pures des garanties dommages en assurance automobile. Les nouveaux taux estimés ont baissé considérablement par rapport à ce qui existe dans l’entreprise.

Mots clés : assurance,garanties dommages,taux de prime.

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Abstract

The principal objective of our study was to revise the premium rate of damage warranties in automobile insurance in the Chanas insurance company. To estimate the new premium rate, we used the GEE (Generalized estimating equations) technique, to estimate the mean frequency of disasters, and the empirical mean, for the estimation of the mean proportion of the cost of disasters. All these permitted us to propose an estimation of the different premium rates of damage warranties in automobile insurance. The new estimated rates dropped considerably with respect to the rates the company is using.

Keys words : damage warrantigs, insurance,premium rate

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Introduction Générale

Présentation de Chanas Assurances

Chanas Assurances S.A est une compagnie d’assurances née en 1999 de la transformation de Chanas & Privat Assurances Sarl, société d’intermédiation d’assurances créée au Came- roun en 1953 par Madame CASALEGNO née Jacqueline CHANAS, sa gérante statuaire.

Chanas & Privat Assurances Sarl va représenter au Cameroun jusqu’en 1973, de nombreuses compagnies d’assurances internationales telles que : les Assurances Générales de France, La Foncière Transports, L’AIA, etc. Elle va participer à la création de la première Société Camerounaise d’Assurance (SOCAR), en lui apportant la totalité de son portefeuille.

Suite à un appel d’offres de privatisation de la SOCAR par le gouvernement du Cameroun en octobre 1998, Chanas & Privat Assurances et son partenaire financier la Société Nationale des Hydrocarbures (S.N.H) se portent avec succès acquéreur du portefeuille privatisé. Le 24 mars 1999, Chanas & Privat Assurances est alors désignée Adjudicataire de l’appel d’offres international du Gouvernement de la République du Cameroun et de la Banque Mondiale pour la privatisation du portefeuille de la SOCAR. Le 15 avril 1999, Chanas & Privat As- surances devient Chanas Assurances S.A une véritable compagnie d’assurances. Et le 24 mars 2000, elle est agréée par Arrêté Ministériel N°000142 /MINEFI/DCE/A pour présenter les opérations d’assurances sur l’étendue du territoire du Cameroun. Depuis plus de 5 ans aujourd’hui, cette compagnie reste le leader du marché d’assurances IRD (Incendie Risques Divers) au Cameroun.

Contexte

L’assurance est l’activité qui consiste, en échange d’une cotisation ou prime, à fournir une prestation prédéfinie, généralement financière, à un individu, une association ou une entreprise lors de la survenance d’un risque. Cette assurance est souscrite auprès d’une société qui peut en faire son activité exclusive (compagnie d’assurances). Dans notre étude, nous allons nous intéresser essentiellement à l’assurance automobile et particulièrement celle des dommages aux véhicules.

1

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2 Les garanties dommages en automobile présentent des caractéristiques communes et des traits spécifiques.

1. Les caractéristiques communes

Elles se situent au niveau de leur objet, de la définition de l’assuré et de certaines exclusions.

(a) L’objet des garanties dommages

Elles couvrent les dommages subis par le véhicule assuré et par les accessoires et pièces de rechange dont le constructeur prévoit la livraison en même temps que le véhicule, lorsque ces dommages proviennent d’accidents, d’incendies, de vol ou de bris de glaces.

(b) La substance du concept d’assuré

Seuls ont qualité d’assurés en ce qui concerne les garanties dommages, le souscripteur de la police d’assurance et le propriétaire du véhicule. Le conducteur autorisé non-souscripteur du contrat d’assurance automobile n’a donc pas la qua- lité d’assuré, de telle sorte que si les dommages subis par le véhicule engagent sa responsabilité civile, l’assureur peut, après avoir indemnisé son assuré, exercer une action récursoire (action en recours contre un tiers) contre lui.

Il convient de noter cependant que pour des raisons commerciales notamment, la plupart des garanties dommages sont assorties de clauses d’abandon de recours de l’assureur contre les tiers responsables n’ayant pas la qualité d’assurés.

(c) Les exclusions communes des garanties dommages en automobile Les garanties dommages du contrat d’assurance automobile ne couvrent pas les dommages causés :

– intentionnellement par l’assuré lui même, étant précisé que restent couverts les dommages causés intentionnellement par toute personne dont il est civilement responsable ;

– par la guerre civile ou étrangère, les grèves, les émeutes et mouvements popu- laires, les actes de terrorisme ou de sabotage commis dans le cadre d’une action concertée, d’une manière générale par tout acte de vandalisme ou de brigandage isolé ou concerté ;

– au cours du transport par voie maritime ou aérienne, sauf en cas de perte totale, cette garantie s’octroyant traditionnellement au moyen des polices d’assurance transports par voie maritime ou aérienne ;

– au cours du chargement ou du déchargement du véhicule ;

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3 – lorsque l’assuré est sous l’emprise de l’alcool ou de la drogue au moment de l’ac- cident, sauf à établir que cette situation a été sans incidence sur la survenance du sinistre ;

– pendant une réquisition par une autorité civile ou militaire ;

– au cours du transport des matières inflammables comburantes ou explosives, si elles ont été à l’origine des dommages ou en ont aggravé les effets ;

– lorsque le conducteur n’a pas l’âge requis pour la conduite des véhicules auto- mobiles ou n’est pas titulaire du permis requis par la réglémentation en vigueur pour la conduite du véhicule endommagé.

2. Les traits spécifiques des garanties dommages en automobile

Nous allons les examiner successivement pour les différentes garanties dommages, à savoir :

(a) La garantie des dommages par accidents

Elle se présente sous la forme de la «Tierce Complète» (encore appelée Dommages tous Accidents) ou de la «Tierce collision» (encore appelée Dommages Collision).

i. Les Dommages tous Accidents («Tierce Complète»)

Par cette garantie, l’assureur couvre les dommages subis par le véhicule as- suré, les accessoires et pièces de rechange dont le catalogue du constructeur prévoit la livraison en même temps que le véhicule, lorsqu’ils proviennent d’une collision avec un autre véhicule, d’un choc avec un corps fixe ou mobile (un animal, un poteau électrique, etc.) ou d’un renversement sans collision préalable.

ii. Les Dommages Collision («Tierce collision»)

Elle garantit les dommages subis par le véhicule assuré, les accessoires et pièces de rechange dont le catalogue du constructeur prévoit la livraison en même temps que le véhicule, lorsque ces dommages résultent d’une collision soit avec un piéton identifié, soit avec un véhicule ou animal appartenant à une tierce personne identifiée.

La garantie Tierce collision suppose entre autres : – Qu’il y ait un choc dont résultent les traces visibles.

– Que ce choc ait lieu avec un piéton identifié, un véhicule, ou un animal appartenant à une tierce personne identifiée. Cela exclut par exemple le choc avec des objets tombant des véhicules. Dans ces cas, le recours à la garantie de la responsabilité civile du tiers responsable devient donc nécessaire pour la réparation du préjudice subi par le propriétaire du véhicule.

– L’exclusion du champ de la garantie des dommages consécutifs au choc du véhicule assuré avec les animaux sauvages traversant la chaussée.

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4 Il est à préciser, par ailleurs, que les garanties de dommages par accidents (tierce complète et tierce collision) ne couvrent pas :

– sauf en cas d’extension expresse de la garantie moyennant surprime, les dommages subis par les pneumatiques à moins qu’ils ne soient consécutifs ou concomitants à des dommages de même nature subis par le véhicule ; – les dommages consécutifs à un vol ou à un incendie, ces dommages étant

couverts dans le cadre des garanties vol ou incendie ;

– les dommages éprouvés par le véhicule pendant qu’il est confié aux profes- sionnels de la vente, de la réparation et du contrôle des véhicules automo- biles.

(b) La garantie Incendie

Elle couvre les dommages subis par le véhicule assuré, les accessoires et pièces de rechange dont la livraison est prévue par le constructeur en même temps que le véhicule, et résultant de l’incendie, de l’explosion et de la chute de la foudre.

Ne rentrent pas dans le champ de cette garantie :

– les dommages subis par le véhicule assuré pendant le transport d’explosifs, cette garantie étant généralement accordée dans le cadre d’une extension du contrat d’assurance de la responsabilité civile de chef d’entreprise au transport d’explosifs ;

– les dommages causés aux appareils électriques du seul fait de leur fonctionne- ment ;

– les dommages résultant de la seule action de la chaleur sans commencement d’incendie et donc en définitive non susceptibles d’être considérés comme résul- tant d’un incendie.

La garantie incendie peut être étendue aux risques électriques, en d’autres termes aux dommages causés aux appareils électriques du fait de leur seul fonctionne- ment.

(c) La garantie Vol

Elle se subdivise en une garantie de Vol Total et en une garantie de Vol Total et Partiel.

i. La garantie Vol Total

Elle couvre les dommages causés par la disparition ou la détérioration du véhicule assuré à la suite d’un vol ou d’une tentative de vol, ainsi que les frais engagés avec l’accord de l’assureur en vue de la récupération du véhicule volé.

ii. La garantie Vol Total et Partiel

C’est une extension de la garantie Vol Total accordée avec surprime, qui en porte le champ de couverture aux objets ci-après :

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5 – les accessoires et pièces de rechange dont le catalogue du conducteur prévoit

la livraison en même temps que le véhicule ;

– les accessoires dont le catalogue du conducteur ne prévoit pas la livraison en même temps que le véhicule, mais qui y sont incorporés par l’assuré. La garantie vol partiel est accordée dans ce cas à concurrence des montants assurés pour ces accessoires tels qu’ils figurent dans la police d’asurance.

Ne sont pas couverts par la garantie vol :

– les vols commis par les préposés pendant les heures de service ou par les membres de la famille de l’assuré ou avec leur complicité ;

– les vols de pneumatiques, accessoires et pièces de rechange dont le constructeur prévoit la livraison en même temps que le véhicule sauf s’ils sont commis dans un garage ou une remise avec effraction, escalade ou usage de fausses clés, à moins que le contrat n’ait fait l’objet d’une extension à la garantie de vol total et partiel.

Il est à noter par ailleurs, que la garantie vol peut être étendue au vol des objets transportés par l’assuré à la condition qu’il survienne avec celui du véhicule, à l’exclusion toutefois des bijoux, fourrures, espèces, titres ou des objets précieux qui restent généralement exclus.

(d) La garantie des bris de glaces

Elle couvre les bris accidentels du pare-brise, des glaces latérales et de la lunette arrière du véhicule assuré.

Elle ne couvre cependant pas :

– Les bris des verres, de phares, de miroirs, des rétroviseurs et des feux de position qui sont du ressort des garanties dommages accidents ou dommages collision.

– Les bris de glaces consécutifs à un incendie dans la mesure où ils sont couverts par la garantie incendie ou ceux consécutifs au vol qui rentrent dans le champ de la garantie vol.

Calcul de la prime d’assurance des garanties dommages en automo- bile

Le calcul d’une prime d’assurance se fait en trois étapes :

– Le calcul de la prime pure : c’est le montant du sinistre moyen auquel devra faire face l’assureur pour le risque. Mathématiquement, la prime pure est égale à l’espérance des pertes. C’est le calcul de cette prime qui nous intéresse dans cette étude.

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6 – Le calcul de la prime nette :c’est l’addition de la prime pure et le chargement des frais de gestion. Ces frais comportent aussi bien les frais de gestion des sinistres que la rémunération des apporteurs (agents généraux ou courtiers). Ici, c’est la compagnie qui fixe ou détermine ces frais de gestion.

– Le calcul de la prime totale : c’est l’addition de la prime nette et les taxes. Dans chaque contrat d’assurance, l’Etat du Cameroun fixe des taxes à payer par l’assuré.

Au terme du calcul de ces différentes primes, ce que l’assuré donne à son assureur comme prime d’assurance, pour la couverture d’un éventuel dommage à son véhicule, est la prime totale. Mais le calcul de la prime qui nous intéresse dans cette étude est celui de la prime pure.

La prime pure d’un véhicule voulant souscrire une garantie dommages se calcule de la manière suivante :

(taux de prime pure)*(valeur neuve actualisée ou valeur vénale du véhicule) Pour les garanties dommages par accidents, les bris de glaces, on applique au taux de prime pure la valeur neuve actualisée du véhicule pour obtenir la prime pure.

Pour les garanties vol et incendie on applique au taux de prime pure la valeur vénale du véhicule pour obtenir la prime pure.

Problématique

Quels sont les taux de primes pures en garanties dommages automobile adaptés au portefeuille actuel de l’entreprise (reflétant la sinistralité du portefeuille) ?

C’est le problème posé par l’entreprise, car soucieuse de proposer à ses clients des primes d’assurances assez compétitives dans le secteur d’assurance dommages automobile.

La formule analytique du taux de prime pure est donnée par :

(taux de prime pure)=(fréquence moyenne des sinistres)×(coût relatif moyen des sinistres)

La fréquence moyenne des sinistres est le rapport entre le nombre de sinistres et le nombre total de véhicules assurés.

Le coût relatif moyen des sinistres est la moyenne arithmétique des coûts relatifs des sinistres.

Le problème est donc d’obtenir une estimation de la fréquence moyenne des sinistres et du coût relatif des sinistres.

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Objectif

L’objectif de cette étude est de réviser les taux de primes pures des garanties dommages en assurances automobile à Chanas Assurances de telle sorte que les primes proposées aux clients reflètent la sinistralité du portefeuille et soient compétitives dans le marché d’assurance Camerounais.

Méthodologie

Pour apporter une réponse au problème posé, nous avons extrait un certains nombre d’informations sur la sinistralité des véhicules ayant eu à souscrire au moins une garantie dommages sur la période 2007-2011 à la compagnie Chanas Assurances S.A.

Après une analyse descriptive des données, nous allons construire un modèle de la fré- quence moyenne des sinistres en fonction d’un certain nombre de variables en utilisant la technique GEE (Equations d’Estimation Généralisées). Ensuite, nous allons estimer à partir de la moyenne empirique, le coût relatif moyen des sinistres en fonction également d’un certain nombre de variables. Et enfin déduire le taux de prime pure des différentes garanties dommages automobile.

Plan

Nous avons divisé notre travail en trois chapitres :

– dans le premier chapitre, nous allons faire une présentation et une analyse descriptive des données ;

– le second va être la présentation des méthodes statistiques qui vont nous permettre de résoudre le problème ;

– enfin au dernier chapitre, une application de ces méthodes statistiques sera faite sur les données ;

– Pour terminer l’étude, une conclusion générale va être faite. On y trouvera quelques recommandations pour la compagnie d’assurance Chanas.

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Résumé Exécutif

Problématique

Quels sont les taux de primes pures en garanties dommages automobile adaptés au portefeuille actuel de l’entreprise (reflétant la sinistralité du portefeuille) ?

C’est le problème posé par l’entreprise, car soucieuse de proposer à ses clients des primes d’assurances assez compétitives dans le secteur d’assurance dommages automobile.

La formule analytique du taux de prime pure est donnée par :

(taux de prime pure)=(fréquence moyenne des sinistres)×(coût relatif moyen des sinistres)

La fréquence moyenne des sinistres est le rapport entre le nombre de sinistres et le nombre total de véhicules assurés.

Le coût relatif moyen des sinistres est la moyenne arithmétique des coûts relatifs des sinistres.

Le problème est donc d’obtenir une estimation de la fréquence moyenne des sinistres et du coût relatif moyen des sinistres.

Objectif

L’objectif de cette étude est de réviser les taux de primes pures des garanties dommages en assurances automobile à Chanas Assurances de telle sorte que les primes proposées aux clients reflètent la sinistralité du portefeuille et soient compétitives dans le marché d’assurance Camerounais.

Méthodologie

Pour apporter une réponse au problème posé, nous avons :

1. extrait un certain nombre d’informations sur la sinistralité des véhicules ayant eu à souscrire au moins une garantie dommages sur la période 2007-2011 à Chanas. Nous

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9 avons eu donc au total un tableau de données de 25.481 lignes (unités statistiques) et 10 colonnes (variables) ; chaque ligne représentant un véhicule ayant souscrit une garantie dommage ;

2. présenté les différentes méthodes statistiques permettant de résoudre le problème. Il s’agit, d’une part, de la technique GEE qui va permettre d’estimer les paramètres du modèle de la fréquence moyenne des sinistres tout en tenant compte de la corrélation qui peut exister entre plusieurs observations différentes d’un même individu au cours du temps. Ensuite la moyenne empirique et ses propriétés pour l’estimation du coût relatif moyen des sinistres ;

3. fait une application de ces différentes méthodes statistiques pour estimer les différents taux de primes pures des garanties dommages en assurance automobile.

Résultats

Après construction d’un modèle de Poisson dont les paramètres sont estimés par la technique GEE, nous avons l’estimation des différentes fréquences moyennes des sinistres dans le tableau suivant :

Usage Touristique TPM (<3,5 tonnes) TPM (>3,5 tonnes)

Dommages Accidents 0,38910 4,48e-01 5,62e-02

Dommages Collision 0,04097 1,17e-01 1,86e-02

Vol Total 0,00203 8,38e-03 7,78e-21

Vol Total et Partiel 0,01220 1,58e-02 1,47e-03

Incendie 0,00105 7,78e-21 8,04e-22

Incendie & Risques Electriques 0,00320 1,56e-20 4,35e-03

Bris de Glaces 0,05995 5,75e-02 8,66e-03

Vol par Braquage 0,00214 3,24e-03 3,09e-04

Tab. 1 – Estimation de la fréquence moyenne annuelle des sinistres par véhicule dans les classes de risque.

NB : l’abréviation TPM renvoie aux catégories de véhicules de Transports Publics de Mar- chandises.

Ce qu’on peut dire, c’est que la fréquence moyenne des sinistres est assez élevée dans la garantie Dommages Accidents (38%)et assez faible dans les garanties vol et incendie.

La fréquence moyenne des sinistres est plus élevée sur les véhicules de Transport Public de Marchandise (TPM) avec charge utile inférieure à 3,5 tonnes(catégorie d’usage 2) que chez les véhicules de type TPM (>3,5 tonnes).

La moyenne empirique a permis d’avoir une estimation du coût relatif moyen des sinistres.

Les résultats sont présentés dans le tableau 2.

(24)

10

Usage Touristique TM (<3,5 tonnes) TM (>3,5 tonnes)

Dommages Accidents 0,0810 0,0810 0,1514

Dommages Collision 0,0873 0,0873 0,0873

Vol Total 0,6842 0,6842 0,6842

Vol Total & Partiel 0,7628 0,7628 0,7628

Incendie 0,7561 0,7561 0,7561

Incendie & Risques Electriques 0,9707 0,9707 0,9707

Bris de Glaces 0,0255 0,0255 0,0255

Vol par Braquage 0,8051 0,8051 0,8051

Tab. 2 – Estimation du coût relatif moyen des sinistres dans chaque classe de risque.

NB : le coût relatif moyen des sinistres est sensiblement le même quelque soit la catégorie d’usage du véhicule.

Au regard des résultats, on peut dire que le coût relatif moyen des sinistres est plus élevé dans les garanties vol et incendie.

Après donc l’estimation de la fréquence des sinistres et du coût relatif moyen des sinistres, on en déduit une estimation du taux de primes pures. On a les résultats suivant :

Usage Touristique TPM (< 3,5 tonnes) TPM (> 3,5 tonnes)

Dommages Accidents 3,1551 3,63 0,846

[2,560 ; 4,013] [2,855 ; 4,707] [0,716 ; 0,942]

Dommages Collision 0,3537 1,01 0,161

[0,040 ; 1,168] [0,039 ; 3,049] [0,0119 ; 0,903]

Vol Total 0,1392 0,575 5,33e-19

[0,059 ; 0,241] [0,119 ; 1.383] [4,209e-19 ; 2,321e-08]

Vol Toatal & Partiel 0,9315 1,21 0,112

[0,598 ; 1,279] [0,472 ; 2,404] [0,0386 ; 0,2144]

Incendie 0,0794 5,88e-19 6,08e-20

[0,00936 ; 0,166] [5,391e-19 ; 3,384e-08] [3,512e-21 ; 2,169e-19]

Incendie & Risques Electriques 0,3109 1,51e-18 0,422 [0,145 ; 0,489] [1,291e-18 ; 2,437e-07] [0,157 ; 2,949]

Bris de Glaces 0,1533 0,147 0,0221

[0,089 ; 0,208] [0,045 ; 0,275] [0,00867 ; 0,0435]

Vol par Braquage 0,1725 0,261 0,0249

[0,0394 ; 0,404] [0,0519 ; 0,952] [0,00403 ; 0,0654]

Tab. 3 – Estimation du taux de primes pures (%) dans les différentes classes de risque.

Commentaire

Globalement, les taux de primes pures ont considérablement baissé par rapport à ce qui existe actuellement.

(25)

11 Le taux de prime a peu varié dans la garantie Dommages Accidents. Nous observons une baisse d’environ9,85%pour les véhicules à usage touristique. Et une hausse de3,71%pour les véhicules de type TPM à charge utile inférieure à 3,5 tonnes par rapport à ce qui existe actuellement dans la compagnie Chanas.

Pour ce qui est de la garantie Dommages Collision, le taux de prime pure a baissé de 85,85% pour les véhicules à usage touristique, et de 59,6% pour les véhicules de type TPM à charge utile inférieure à 3,5 tonnes par rapport à ce qui existe actuellement dans la compagnie Chanas.

Dans la garantie Vol Total, le taux de prime pure a baissé de 76,8%pour les véhicules à usage touristique, et de4,16%pour les véhicules de type TPM (<3,5 tonnes) par rapport à ce qui existe actuellement dans la compagnie Chanas.

Dans la garantie Vol Total & Partiel, le taux de prime pure a baissé de 25,48%pour les véhicules à usage touristiques, et de 3,2% pour les véhicules de type TPM (< 3,5 tonnes) par rapport à ce qui existe actuellement dans la compagnie Chanas.

Dans la garantie Incendie, le taux de prime pure a baissé de 84,12%.

Dans la garantie Incendie & Risques Electriques, le taux de prime pure a baissé de 58,55% pour les véhicules à usage touristique, et de 43,73% pour les véhicules de type TPM (> 3,5 tonnes) par rapport à ce qui existe actuellement dans la compagnie Chanas.

Dans la garantie Bris de Glaces, le taux de prime pure a baissé de 81,96% pour les véhicules à usage touristique, de 82,70% pour les véhicules de type TPM (<3,5 tonnes), et de 97,4% pour les véhicules de type TPM (> 3,5 tonnes) par rapport à ce qui existe actuellement dans la compagnie Chanas.

Bref en moyenne, les taux de prime pure ont baisé d’environ 48,3%. On peut donc dire que les taux utilisés actuellement dans l’entreprise sont un peu élevés.

Conclusion

L’objectif principal de cette étude était de réviser les taux de primes des garanties dommages en assurance automobile. Une méthodologie d’estimation de ces taux a été proposée et a permis d’estimer de nouveaux taux de primes pures nettement inférieurs à ceux existant déjà dans l’entreprise. Nous suggérons à Chanas Assurances de revoir à la baisse le plus tôt possible ses taux de primes pures en se basant sur nos résultats, afin de rester davantage compétitive dans le marché d’assurance dommages automobile. De plus, la conception ac- tuelle de la base de données doit être révisée afin de faciliter cette étude dans les autres catégories d’usages de véhicules et branches d’assurances.

(26)

12

Quelques recommandations par rapport aux résultats obtenus

Nous suggérons que les taux de primes pures qui tendent vers 0 (zéro) soient ramenés à 0,01%. Par conséquent pour la garantie Vol Total par exemple, au lieu d’avoir un taux de prime de 5,33e-19% sur les véhicules de type TPM (>3,5 tonnes), nous proposons que se soit ramener à 0,01%.

Nous suggérons également que les taux de primes pures qui ont baissé de plus de 40% se ramènent à une baisse de 40% par rapport à ce qui existe dejà dans l’entreprise. Ceci va permettre d’avoir une certaine marge de sécurité tout en évitant de faire baisser considéra- blement et de façon brusque les taux.

(27)

Chapitre 1

PRESENTATION ET ANALYSE DESCRIPTIVE DES DONNEES

Dans ce chapitre, nous allons faire une présentation des données et, par la suite, on va faire une analyse descriptive de ces données.

1.1 Présentation des données

Les données que nous avons en notre possession ont été extraites du data base II (base de données de l’entreprise). Après extraction des données sous la forme brute (sous forme de table relative aux notions de base de données), nous les avons traitées sous Access afin d’avoir un tableau statistique standard (des unités statistiques sur lesquelles on fait des observations sur des variables). A l’issue de ce travail, nous avons pu avoir un tableau statistique constitué de25.481 lignes et 10 variables.

1.1.1 Qu’est ce qu’une unité statistique dans notre étude ?

Dans notre étude, une unité statistique est tout véhicule ayant souscrit une garantie dommages en assurance automobile sur la période 2007-2011 à Chanas Assurances. Pour chacun des véhicules, on a observé l’année de souscription d’une garantie dommage, la catégorie d’usage du véhicule, la garantie dommage souscrite, la zone géographique de circulation ré- gulière, le nombre de sinistres observés sur l’année, le coût total des sinistres observés durant l’année, la valeur neuve ou la valeur vénale, et la proporion du coût des sinistres durant l’année par rapport à la valeur neuve ou vénale du véhicule.

1.1.2 Description des variables

Les variables observées sont au nombre de dix (10) dont quatre (04) qualitatives et six (06) quantitatives.

1

(28)

PRESENTATION ET ANALYSE DESCRIPTIVE DES DONNEES 2 1. Variables qualitatives

(a) ANNEE :années des observations des unités statistiques, c’est-à-dire les années 2007 à 2011

(b) USAGE :variable permettant d’identifier la catégorie d’usage du véhicule. Elle a 03 modalités codées numériquement :

– 1 : véhicule de Tourisme ;

– 2 : véhicule de Transport Public de Marchandise (TPM) avec charge utile inférieure à 3,5 tonnes ;

– 3 : véhicule de Transport Public de Marchandise (TPM) avec charge utile supérieure à 3,5 tonnes.

(c) GARANTIES :ce sont les garanties dommages proposées aux assurés à Chanas.

Elle comporte 08 modalités codées aussi numériquement : – 20 : Dommages Accidents ;

– 30 : Dommages Collision ; – 40 : Vol Total ;

– 41 : Vol Total & Partiel ; – 50 : Incendie ;

– 51 : Incendie & Risques Electriques ; – 60 : Bris de Glaces ;

– 95 : Vol par Braquage.

(d) ZONEGEO : elle identifie la zone géographique de circulation des véhicules assurés. Le découpage est fait en trois (03) grandes zones :

– A : cette zone est essentiellement constituée des villes Bafoussam, Bamenda, Douala, Garoua, Yaoundé et les chefs-lieux de départements ou d’arrondisse- ments situés au plus à 25 KM de ces villes ;

– B : cette zone est constituée des autres chefs lieux de départements ; – C : cette zone est constituée des autres localités du pays (Cameroun).

2. Variables quantitatives

(a) id :variable entière identifiant les unités statistiques (véhicule ayant souscrit une garantie dommage). Notons qu’une valeur de la variable "id" peut apparaître plusieurs fois dans le tableau de données, mais ne peut apparaître qu’une seule fois pour la même année.

(b) NBRE_SINISTRE : c’est le nombre de sinistres observés sur chaque unité statistique pendant une année de l’étude. Il vaut 0 ou 1 dans nos données.

(c) COUT_SINISTRE : c’est la valeur totale du règlement d’un sinistre.Il est strictement positif.

(29)

PRESENTATION ET ANALYSE DESCRIPTIVE DES DONNEES 3 (d) VALEUR_NEUVE : c’est la valeur neuve actualisée du véhicule au moment

de la souscription d’une garantie dommages.

(e) VALEUR_VENALE : c’est la valeur vénale du véhicule au moment de la souscription d’une garantie dommages.

(f) COUT_RELATIF : c’est le rapport entre le coût d’un sinistre et la valeur neuve ou vénale du véhicule sinistré.

Notons que le coût relatif des sinistres se détermine de deux manières en fonction du type de garantie :

1. Si nous avons affaire aux garanties Dommages Accidents, Dommages Collision et Bris de Glaces, le coût relatif d’un sinistre est égale au rapport du coût du sinistre sur la valeur neuve actualisée du véhicule sinistré.

2. Par contre, si nous avons affaire aux garanties vol et incendie, le coût relatif d’un sinistre est le rapport du coût du sinistre sur la valeur vénale du véhicule sinistré.

Remarque

Le nombre d’observation strictement positive de la variable COUT_RELATIF est égale au nombre de sinistres observés (608) sur la période 2007-2011 en dommage automobile à Chanas.

On présente ci-dessous, quelques lignes de notre tableau de données.

(30)

PRESENTATION ET ANALYSE DESCRIPTIVE DES DONNEES 4

id ANNEE ZONEGEO USAGE GARANTIES NBRE_SINISTRE COUT_SINISTRE VAL_NEUVE VAL_VENALE COUT_RELATIF

5553 2008 A 1 41 0 0

31 2007 A 3 30 0 0

3541 2008 A 2 20 1 299.200 12.243.000 10.529.000 0,02

4784 2008 A 3 50 0 0

Tab. 1.1 – Quelques lignes du tableau de données.

1.2 Analyse descriptive des données

Il sera question ici, de faire une analyse descriptive des données. Ce qui nous permettra de mieux nous familiariser avec les données. Dans un premier temps, nous allons faire une répartition des unités statistiques sur les modalités de chaque variable ; ensuite, nous allons faire un croisement des modalités des variables qualitatives deux à deux et présenter la répartition de la fréquence des sinistres sur les différentes modalités ; enfin nous allons faire une répartition des coûts et de la proportion des sinistres sur les différentes variables.

1.2.1 Distributions empiriques des variables qualitatives

La variable ANNEE

2007 2008 2009 2010 2011

5401 (21,2%) 5295 (20,8%) 5110 (20,1%) 4976 (19,5%) 4699 (18,4%)

Tab. 1.2 – Répartition du nombre de souscriptions des garanties dommages automobile de l’étude sur les années 2007 à 2011.

La variable ZONEGEO

A B C

25031 (98,23%) 350 (1,37%) 100 (0,40%)

Tab. 1.3 – Répartition du nombre de souscriptions des garanties dommages automobile de l’étude dans les trois zones géographiques.

(31)

PRESENTATION ET ANALYSE DESCRIPTIVE DES DONNEES 5 La variable USAGE

1 2 3

17056 (66,9%) 3279 (12,9%) 5146 (20,2%)

Tab. 1.4 – Répartition du nombre de souscriptions des garanties dommages automobile de l’étude dans les trois différentes catégories d’usages de véhicule.

La variable GARANTIES

20 30 40 41 50 51 60 95

1627 (6,39%) 278 (1,09%) 5827 (22.9%) 4045 (15,9%) 5959 (23,4%) 3871 (15,2%) 1080 (4,2%) 2794 (11%)

Tab. 1.5 – Répartition des différentes garanties dommage de l’étude dans notre jeu de données.

Sur la variableANNEE, on constate que le nombre d’unités statistiques observées chaque année de notre étude ne varie pas beaucoup, même si on peut observer une certaine diminu- tion progressive.

Sur la variable ZONEGEO, la zone A représente environ 98,2% des souscriptions des garanties dommages. La zone B environ 1,4% et la zone C 0,4% des souscriptions. Les véhicules ayant donc souscrit une garantie dommages à Chanas circulent le plus dans la zone A. Ce qui n’est pas du tout surprenant, car Chanas n’est présente que dans quatre grandes villes du pays. Au regard de ces chiffres, on peut dire qu’il n’y a pas un grand intérêt de considérer cette variable dans notre étude.

Pour ce qui concerne les catégories d’usage des véhicules, ce sont les véhicules à usage touristique qui souscrivent plus de contrats dommages dans l’entreprise.

Pour ce qui est desgaranties souscrites, on peut dire que les garanties vols et incendies sont celles là qui intéressent le plus les clients.

1.2.2 Croisement des modalités des variables USAGE et GARAN- TIES

La figure 1.1 nous permet de visualiser le nombre de souscriptions de garanties dommages automobile sur la période 2007 à 2011 en croisant les modalités des variables USAGE et GARANTIES.

Les véhicules à usage touristique qui représentent plus de 64% des souscriptions, ont plus de contrats dans les garanties vol et incendie. Il est donc important pour l’entreprise d’avoir des tarifs très compétitifs dans cette catégorie de véhicule.

(32)

Fig.1.1 – Nombre de garanties souscrites en croisant les modalités des variables USAGE et GARANTIES

(33)

1.2.3 Quelques résumés des variables quantitatives

Le tableau ci dessous, décrit les variables quantitatives.

VARIABLES MIN MAX MOYENNE ECART-TYPE DONNEES MANQUANTES

NBRE_SINISTRE 0 1 0,0239 0,15517 0

COUT_SINISTRE (FCFA) 19.260 36.800.000 1.357.215 3.063.264 0 VAL_NEUVE (FCFA) 1.500.000 100.400.000 22.130.000 17.013.997 99 (17%) VAL_VENALE (FCFA) 250.000 40.000.000 10.650.000 8.377.488 0

Tab. 1.6 – Résumés des variables quantitatives

Le nombre total de sinistres observés dans notre jeu de données est de 608.

1.2.4 Analyse descriptive de la sinistralité

Nombre et fréquence moyenne des sinistres

Rappelons que la fréquence moyenne des sinistres dans cette étude, est le nombre moyen de sinistre sur la période 2007-2011. En d’autres termes, c’est le rapport entre le nombre de sinistres et le nombre de contrats souscrits sur toute la période 2007-2011.

Ci-dessous, nous allons faire quelques représentations graphiques pour avoir une meilleure description de la sinistralité.

(34)

PRESENTATION ET ANALYSE DESCRIPTIVE DES DONNEES 8 Le graphe de la fréquence moyenne des sinistres nous montre clairement que la distribution de la sinistralité dans les différentes catégories d’usages de véhicules n’est pas la même.

Il est donc évident que l’usage du véhicule a une influence considérable sur la sinistralité.

Notons également qu’on observe plus de sinistres dans la catégorie de véhicules à usage touristique. Ce qui est normal, car c’est dans cette catégorie de véhicule qu’on enregistre le plus dans les contrats. Mais la fréquence des sinistres dans cette catégorie est relativement faible par rapport à la catégorie d’usage 2.

Observons maintenant le comportement de la sinistralité dans les différentes garanties.

(35)

Fig.1.2 – Nombre et fréquence moyenne des sinistres observés dans les différentes catégories d’usages de véhicules.

(36)

Fig.1.3 – Nombre et fréquence moyenne des sinistres observés dans les garanties souscrites La fréquence moyenne des sinistres est élevée dans les garanties Dommages Accidents, Dommages Collision et Bris de Glaces. Il apparaît également sur la figure 1.3 que la distribution de la sinistralité n’est pas la même dans les différentes garanties.

Observons la fréquence des sinistres en croisant les modalités des variables USAGE et GA- RANTIES.

(37)

Fig. 1.4 – Fréquence moyenne des sinistres en croisant les modalités des variables USAGE et GARANTIES

De la figure 1.4 ci-dessus, il ressort que :

– Dans la garantie Dommages Accidents (20), la fréquence moyenne des sinistres est plus élevée sur les véhicules à catégorie d’usage 2 (près de 40%), et sur les véhicules à catégorie d’usage 1 (environ 33%).

– Dans la garantie Dommages Collision (30), la fréquence moyenne des sinistres est plus élevée sur les véhicules de catégorie d’usage 2 (12%).

– Dans les garanties vols (40,41 et 95), et incendie (50 et 51), la fréquence moyenne des sinistres est très faible quelque soit la catégorie d’usage du véhicule.

– Dans la garantie Bris de Glaces (60), la fréquence moyenne des sinistres est plus élevée dans les catégories de véhicules d’usage 1 et 2.

Bref, il est clair que pour la plupart des garanties, la fréquence moyenne des sinistres varie

(38)

PRESENTATION ET ANALYSE DESCRIPTIVE DES DONNEES 12 en fonction de l’usage du véhicule ou bien, la distribution de la fréquence moyenne des sinistres dans les différentes garanties n’est pas la même pour toutes les catégories d’usages de véhicules.

Proportion moyenne du coût des sinistres sur les valeurs des véhicules sinistrés Notons que sur chaque ligne i du tableau de données où la variable NBRE_SINISTRE prend la valeur 1, on a une observation pi de la variable COUT_RELATIF.

Posons A = {i= 1. . .25481/N BRE_SIN IST REi = 1}. Alors ∀i ∈ A, pi se calcul de la manière suivante :

p_i =

( _{COU T}_SIN IST REi

V AL_N EU V Ei si GARAN T IE_i = 20,30,60

COU T_SIN IST REi

V AL_V EN ALEi si GARAN T IE_i = 40,41,50,51,95 (1.1) Notons que pour i /∈A,p_i = 0

Rappelons que nous devons avoir normalement608observations de la variable COUT_RELATIF, car c’est le nombre total de sinistres observés sur la période 2007-2011. Mais étant donnée

qu’il y a 99 obsevations manquantes sur la variable VAL_NEUVE, on a donc au total 509 observations sur la variable COUT_RELATIF.

Par souci d’une bonne gestion des analyses sur la variable COUT_RELATIF, nous avons extrait les données du tableau de base où la variable NBRE_SINISTRE prend la valeur 1, deux tableaux de même structure que celle du tableau de données de base. De telle sorte que l’un des tableaux est constitué uniquement des garanties 20, 30, 60, et l’autre des garanties 40, 41, 50, 51, 95.

Le coût relatif moyen des sinistres n’est rien d’autres que la moyenne arithmétique des coûts relatifs des sinistres strictements positives dans le jeu de données.

Observons le coût relatif moyen des sinistres sur les variables USAGE et GARANTIES (figure 1.5).

(39)

Fig.1.5 – Proportion moyenne du coût des sinistres sur chaque catégorie d’usage de véhicules et de garanties

Il apparaît sur la figure 1.5 que le coût relatif des sinistres dans les garanties vol (40/95) et incendie (50) est élevée et proche de 1. Par contre, pour les garanties Dommages Accidents, Collision et Bris de Glaces, le coût relatif moyen des sinistres est relativement faible.

Au terme de cette analyse descriptive des données, il en ressort que :

– la segmentation des données en zones géographiques n’apporte pas grande chose dans l’analyse de la sinistralité car plus de 98% des observations se trouvent dans la zone géographique A ;

– les véhicules à usage touristique représentent plus de 66% du portefeuille ;

– les garanties les plus souscrites sont le Vol Total (23%), le Vol Total & Partiel (16%), l’Incendie (23%), l’Incendie & Risques Electriques (15%) et le Vol par Braquage (11%) ; – la fréquence moyenne des sinistres est fonction de l’usage du véhicule et de la garantie

(40)

PRESENTATION ET ANALYSE DESCRIPTIVE DES DONNEES 14 souscrite ;

– la fréquence moyenne des sinistres est plus élevée sur les véhicules de transport de marchandises (7% environ) avec une charge utile inférieure à 3,5 tonnes ;

– la fréquence moyenne des sinistres est plus élevée dans la garantie Dommages Accidents (plus de 30%) ;

– les véhicules de catégories d’usage 1 et 2 ont une fréquence moyenne de sinistres élevée dans la garantie Dommages Accidents ;

– le coût relatif moyen des sinistres est plus élevée dans les garanties Vol et Incendie.

Remarque

La sinistralité dans les garanties Dommages Accidents, vol Total & Partiel, et Incendie

& risques électriques sera amélioré et revue à la hausse juste parce qu’implicitement, elles couvrent d’autres garanties. Si un individu a une garantie Dommages Accidents et a plus tard un sinistre Bris de Glaces, l’entreprise se doit de régler le sinistre. De même, un individu ayant souscrit la garantie Vol Total & Partiel est totalement couvert de la garantie Vol Total. C’est pareil pour la garantie Incendie & Risques Electriques. Or dans notre analyse descriptive de la sinistralité, on se rend compte que les garanties que nous avons énumérées ci-dessus ont une sinistralité faible par rapport aux garanties qu’elles englobent. Ce qui s’explique par le fait qu’on enregistre plutôt dans la base de données la garantie correspondante au sinistre.

C’est-à-dire qu’un individu ayant souscrit uniquement la garantie Vol Total & Partiel, et qui plus tard a un sinistre vol total, au moment de l’enregistrement du sinistre, c’est le code de la garantie vol total qui sera saisi. Ce qui laissera croire qu’il n’y a pas eu de sinistres dans la garantie Vol Total & partiel. Pour résoudre ce problème, nous allons faire une majoration du taux de prime pure (surprime) dans ces garanties (Confert chapitre 3).

(41)

Chapitre 2

METHODES STATISTIQUES

Dans ce chapitre, il est question de présenter et de développer les outils statistiques qui vont nous permettre de résoudre le problème de notre étude.

Le taux de prime pure étant le produit entre la fréquence moyenne des sinistres et le coût relatif moyen des sinistres, pour l’estimer, il suffit d’estimer la fréquence moyenne des sinistres et le coût relatif moyen des sinistres. C’est pourquoi dans un premier temps pour obtenir une estimation de la fréquence moyenne des sinistres, nous allons utiliser le modèle derégression de Poisson sur les données longitidunales. En effet la variable NBRE_SINISTRE caractérisant la fréquence des sinistres peut prendre ses valeurs dans l’ensemble des entiers naturels. C’est pourquoi la régression de Poisson est indiquée ici. Ensuite pour obtenir une estimation du coût relatif moyen des sinistres, la moyenne empirique sera utiliser. Enfin une estimation des intervalles de confiances des différents taux de primes pures sera proposé à partir de la méthode de simulation Bootstrap.

2.1 La régression de Poisson

Cette section présente une introduction à la régression de Poisson. En premier la loi de Poisson et ses différentes propriétés seront énoncées. Ensuite les modèles linéaires généralisés seront introduits, pour enfin faire place au sujet principal : la régression de Poisson.

2.1.1 Définitions et hypothèses

Soient y₁, . . . , y_n les réalisations des variables aléatoires indépendantesY₁, . . . , Y_n, où l’on suppose que la loi de probabilité de Y_i (i = 1, . . . , n) a deux paramètres θ_i (paramètre naturel) et φ (paramètre de dispersion), de densité (discrète ou continue),

f(y_i|θ_i, φ) =exp

y_iθ_i −b(θ_i)

φ −c(y_i, φ)

(2.1) La fonction de vraisemblance est définie comme étant,

n

Y

i=1

f(yi|θi, φ)

15

(42)

METHODES STATISTIQUES 16 où n est le nombre d’observations ou d’individus. Ainsi, pour une loi de probabilité ayant une densité sous la forme (2.1),

L(y|θ, φ) =

n

Y

i=1

exp

y_iθ_i−b(θ_i)

φ −c(y_i, φ)

=exp ( _n

X

i=1

y_iθ_i−b(θ_i)

φ −

n

X

i=1

c(y_i, φ)

) (2.2)

où y = [y1,· · · , yn]⁰ et θ = [θ1,· · · , θn]⁰. Quant à la fonction de log-vraisemblance, elle s’obtient en prenant le logarithme naturel de la fonction de vraisemblance. Donc,

l(y|θ, φ) = ln{L(y|θ, φ)}=

n

X

i=1

y_iθ_i−b(θ_i)

φ −

n

X

i=1

c(y_i, φ) (2.3) Etant donné que dans notre étude pour modéliser la fréquence moyenne des sinistres nous allons supposer que la variable NBRE_SINISTRE suit une loi de Poisson, dans ce qui suit nous allons présenter la loi de Poisson et ses propriétés.

2.1.2 La loi de Poisson

On dit que Y suit une loi de Poisson de paramètreµ si sa fonction de probabilité est P[Y =y] =

( e^{−µ µ}_y!^y si y= 0,1,2, . . . ,

0 sinon. (2.4)

oùµ est un nombre réel positif.

La fonction de répartition de Y est alors donnée par : P[Y ≤y] =

( e^−µP[y]

t=0 µ^t

t! siy≥0 0 sinon.

où [y] correspond à la partie entière dey.

Suite à une transformation de la fonction de probabilité (2.4), on montre qu’elle peut se mettre sous la forme (2.1) de la manière suivante :

P[Y =y] = e^{−µ+yln(µ)} e^ln(y!)

=exp

yln(µ)−µ

1 −ln(y!)

Alors, les paramètres de (2.1) sont donnés dans ce cas par : θ =ln(µ)

b(θ) =exp(θ) =exp(ln(µ)) =µ φ = 1

c(y, φ) =ln(y!)

(43)

METHODES STATISTIQUES 17 a. La fonction génératrice des moments de la loi de Poisson

La fonction génératrice de la loi de Poisson notée MY(t), est utile afin de trouver le moment d’ordrek, oùE[Y^k] =M_Y^(k)(t)|t=0. On définit cette fonction génératrice des moments comme étant E[e^tY]. On a

M_Y(t) = E[e^tY] =

∞

X

y=0

e^tye^−µµ^y

y! =e^−µ

∞

X

y=0

(µe^t)^y y!

=e^−µ+µe^t

=e^µ(^e^t⁻¹)

(2.5)

A l’aide de cette fonction génératrice des moments, l’espérance et la variance de la loi peuvent être calculées :

E[Y] =µ et

V ar[Y] =E[Y²]−E²[Y] =µ

On obtient donc une propriété intéressante de la loi de Poisson, appelée propriété d’équi- dispersion, impliquant que E[Y] = V ar[Y]. Notons qu’une loi est équidispersée dans le cas où son espérance et sa variance sont égales ; elle est surdispersée (sousdispersée) dans le cas où son espérance est inférieure (supérieure) à sa variance. Les propriétés de dispersion des lois discrètes communes sont présentées au Tableau ci-dessous.

On mentionne que si Y_j suit une loi de Poisson de paramètre µ_j (j = 1,2, . . .), que les Y_j sont des variables aléatoires indépendantes et que P∞

j=1µ_j < ∞ , alors Z_Y =P∞

j=1Y_j suit une loi de Poisson de paramètre P∞

j=1µ_j.

Loi Espérance Variance Propriété Binomiale(n, p) np np(1−p) Sousdispersion si0< p≤1

Equidispersion sip= 0 Binomiale négative(m, p) ^m_p ^m(1−p)

p² Sousdispersion sip >¹₂ Equidispersion sip=¹₂ Surdispersion sip <¹₂

Poisson(µ) µ µ Equidispersion

Tab. 2.1 – Propriétés de certaines lois discrètes

b. Les fonctions de vraisemblance et de log-vraisemblance de la loi de Poisson Soient Y₁, . . . , Y_n, des observations mutuellement indépendantes telles que Y_i suit une loi de Poisson de paramètre µ_i, i = 1, . . . , n. Ainsi, on a θ_i = ln(µ_i), b(θ_i) = µ_i, a(φ) = 1 et

(44)

METHODES STATISTIQUES 18 c(y_i, φ) = ln(y_i!). En substituant ces valeurs dans les équations (2.2) et (2.3), on obtient

L(θ|y;φ) =exp ( _n

X

i=1

yiln(µi)−µi

1 −

n

X

i=1

ln(y_i!) )

=exp ( _n

X

i=1

(y_iln(µ_i)−µ_i−ln(y_i!)

!) (2.6)

et

l(θ|y;φ) =

n

X

i=1

y_iln(µ_i)−µ_i−

n

X

i=1

ln(y_i!)

!

(2.7) oùθ = [ln(µ1), . . . , ln(µn)]⁰ = [θ1, . . . , θn]⁰.

2.1.3 Les modèles linéaires généralisés

Un modèle linéaire généralisé (abrégé en anglais GLM, pour Generalized Linear Model) est une extension du modèle de régression linéaire, permettant à la variable endogène de suivre n’importe quelle loi de probabilité ayant une densité sous la forme (2.1).

a. Quand utilise-t-on un GLM plutôt qu’un modèle linéaire ?

Dans le cas où la variable réponse n’est pas continue, le modèle linéaire n’est pas appro- prié.

Une autre raison expliquant le fait qu’un modèle linéaire n’est pas approprié est tout simplement le cas où la relation entre la variable endogène et la (les) variable(s) exogène(s) n’est pas linéaire. Une fonction de lien adéquatement choisie permet de mieux modéliser l’effet des variables exogènes sur la variable endogène dans un GLM.

b. Les composantes d’un GLM

Un modèle linéaire généralisé est composé de trois éléments, à savoir :

1. la variable à expliquer Y, composante aléatoire à laquelle est associée une loi de pro- babilité de densité sous forme (2.1) ;

2. les variables explicatives X₁, . . . , X_p, p ∈ ℵ^∗ utilisées comme prédicteurs dans le mo- dèle ;

3. le lien qui décrit la relation fonctionnelle entre la combinaison linéaire des variables X₁, . . . , X_p et l’espérance mathématique de la variable à expliquer Y.

Nous allons maintenant étudier la régression de Poisson qui est un cas particulier d’un GLM.