1 ère Ch 1 : Probabilités conditionnelles

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Ch 1 : Probabilités conditionnelles

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Exercice 1 :

On lance un dé à 8 faces ( numérotées de 1 à 8 ). On s'intéresse au numéro obtenu.

1. Donner l'univers  ce cette expérience aléatoire :  = { ………. }

2. Considérons les évènements suivants : A : " obtenir un chiffre pair " et B : " obtenir un chiffre inférieur ou égal à 3 "

Indiquer les issues contenues dans l'évènement A : A = { ………} ; dans l'évènement B : B = { ………}

3. a. Décrire en français les évènements A et B :

A : ………. ; B : ……….

b. Indiquer les issues contenues dans A puis celles contenues dans B :

A = { ……….} ; B = { ……….}

4. a. Décrire en français les évènements A ∩ B et A



A ∩ B : ………. ; A



b. Indiquer les issues contenues dans A ∩ B puis celles contenues dans A



A ∩ B = { ……….} ; A



5. Considérons l'évènement C : " obtenir un multiple de 4" . Que pouvez-vous dire de l'évènement B ∩ C ?

Remarque : lorsque deux évènements n'ont pas d'issues en commun ( c'est-à-dire lorsque leur intersection est vide ), alors on dit que ces deux évènements sont incompatibles. C'est le cas des évènements B et C ci-dessus.

Ce "jeu" est appelée une expérience aléatoire car on ne peut pas prévoir en avance le résultat de ce jeu puisqu'il dépend du hasard.

On appelle issue chaque résultat possible d'une expérience aléatoire.

On appelle univers et on note  (se lit « oméga ») l'ensemble des issues de cette expérience aléatoire.

On appelle évènement une partie de l'univers Définition 1

Considérons une expérience aléatoire d'univers . Notons A et B deux évènements de cette expérience aléatoire.

L'évènement contraire de A, noté A est l'ensemble des issues de  qui n'appartiennent pas à l'évènement A.

L'intersection des évènements A et B, noté A ∩ B ( on lit " A inter B " ) est l'ensemble des issues de  appartenant à la fois aux évènements A et B.

La réunion des évènements A et B, noté A ∪B ( on lit " A union B " ) est l'ensemble des issues de  appartenant à l'évènement A ou à l'évènement B ou aux deux à la fois.

Définition 2

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Considérons une urne contenant 10 boules : trois boules vertes portant les numéros 1,2 et 3 ( notées V1, V2 et V3 ), quatre boules rouges portant les numéros 1,2,3 et 4, deux boules bleues ( 1 et 2 ) et une boule jaune (1) comme symbolisé ci-contre.

On suppose que les boules sont indiscernables au toucher et on tire au hasard une boule de cette urne.

On considère les évènements suivants :

V : " la boule tirée est verte " R : " la boule tirée est rouge "

B : " la boule tirée est bleue " J : " la boule tirée est jaune "

P : la boule tirée porte un numéro pair " I : " la boule tirée porte un numéro impair "

1. Quelle est la probabilité de l'évènement V ?

Cette probabilité se note p (V). On a donc : p (V) = … 2. Déterminer les probabilités suivantes :

p (R) = … p (B) = … p (J) = … p (P) = … p (I) = …

3. Traduire en français l'évènement V : ……….

Que vaut p ( V ) ? p ( V ) = ………

Que peut-on remarquer entre p (V) et p ( V ) ?

4. Traduire en français les évènements R ∩ I : ………. et R



Compléter : p (R ∩ I ) = ……… et p (R



Comparer p (R



Remarque : dans le cas où A et B sont incompatibles, alors on a p (A ∩ B ) = 0 et donc p (A



p ( A ) = ……..

p (A



Propriétés 3

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Exercice 3 :

Considérons un damier comportant 24 cases dont certaines sont grises. On choisit au hasard une case et on note : G l'évènement : " la case choisie est grise " ;

L1 l'évènement : " la case choisie est sur la ligne 1 " ( on définit de la même façon les évènements L2, L3 et L4 )

C1 l'évènement : " la case choisie est sur la colonne 1 " ( on définit de la même façon les évènements C2, C3, …. , C6 )

1. Préciser la valeur de chacune des probabilités suivantes :

C1 C2 C3 C4 C5 C6

L1

L2

L3

L4

a ) Probabilité de choisir une case grise : p (G) = …….

b) Probabilité de choisir une case sur la 1^ère ligne : p (L1) = …….

c ) Probabilité de choisir une case sur la 6^ème colonne : p (C6) = …….

d ) Probabilité de choisir une case qui soit sur la 6^ème colonne et qui soit grise : p (C6 ∩ G )= …….

e ) Probabilité de choisir ……….……….. : p (G ∩ L₁ )= …….

f ) Probabilité de choisir ……….……….. : p (G ∩ C6 ) = …….

2. Considérons uniquement les cases de la 1^ère ligne L₁.

Il y a alors 3 cases sur 6 qui sont grises; la probabilité de tomber sur une case grise est donc de 3

6 c'est-à-dire 1 2. On écrit cela p

L₁(G) = 1

2 et on dit qu'il s'agit d'une probabilité conditionnelle ( il s'agit de " la probabilité qu'une case soit grisée à condition qu'elle soit située sur la 1^ère ligne " ou encore " la probabilité qu'une case soit grisée sachant qu'elle est sur la 1^ère ligne ") Préciser la valeur de chacune des probabilités conditionnelles suivantes :

pL₂(G) = ……. p

C₂(G) = ……. p

C₅(G) = ……. p

G (L4) = ……. p

G (C6) = …….

3. a. A l'aide des résultats de la question 1, calculer :

p (G ∩ C6)

p (G) = p (G ∩ L1)

p (L1) = b. Quelle remarque pouvez-vous faire entre p (G ∩ C6)

p (G) et p

G (C6) ? entre p (G ∩ L1) p (L1) et p

L₁(G) ?

L'exercice 3 met en évidence la définition suivante :

Soient A et B deux évènements d'une expérience aléatoire avec p (B)  0.

On note p

B (A) la probabilité que l’événement A soit réalisé sachant que l’événement B est réalisé.

On dit que c'est une probabilité conditionnelle et on a p

B (A) = p (A ∩ B) p(B) Définition 4

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* On a vu dans la question 1 que p (C6 ∩ G ) et p (G ∩ C6 ) étaient égaux. Plus généralement, étant donnés deux évènements A et B d'une expérience aléatoire, p (A ∩ B ) = p (B ∩ A )

* On a vu dans la question 2 que p_L

1

(G) = 1 2 .

En utilisant la définition 4, calculer p_G(L1) . Les probabilités p_L

1

(G) et p_G (L1) sont-elles égales ? Attention !

 L’exercice précédent met en évidence que si A et B sont deux événements, alors p (A ∩ B ) = p (B ∩ A ) (l’intersection est commutative) ; par contre p_A(B) et p_B(A) sont en général des nombres différents. (la condition n’est pas commutative).

 Il ne faut pas confondre p (A ∩ B), p

A(B) et p

B(A) . Il faut donc bien savoir reconnaître une probabilité conditionnelle dans un énoncé. Les expressions « sachant que ... », « quand ... », « lorsque ... », « parmi ... » sont souvent utilisées pour donner une probabilité conditionnelle. En effet, ces expressions annoncent qu'on ne se place plus dans l'univers tout entier mais seulement dans une partie de celui ci. C'est ce "nouvel" univers qui est alors noté en indice.

Exercice 4 :

Dans un lycée, on propose aux élèves entrant en seconde deux options : Association Sportive ( AS ) et Latin. Un sondage préalable a permis d'établir que :

* 40 % des élèves souhaitent suivre l'option AS ( et donc …… % ne le souhaitent pas ).

* 30 % des élèves souhaitent suivre l'option Latin.

* 8 % des élèves souhaitent suivre les 2 options.

On choisit un élève au hasard et on note :

* A l'évènement " l'élève choisi souhaite suivre l'AS ",

* L l'évènement " l'élève choisi souhaite suivre le Latin ".

1. A l'aide des données de l'énoncé, préciser : p (A) = …. p ( A ) = …. p (L) = …. p ( L ) = …. p (A ∩ L) = ….

2. a. On aimerait déterminer p

A (L) ( cette probabilité est la probabilité qu'un élève ………..………….

sachant que cet élève……….. ).

Les données de l'énoncé ne nous donnent pas directement cette probabilité. On va donc déterminer cette probabilité grâce à la définition 4 ci-dessus. On peut écrire : p_A (L) = p (………….)

p (…..) . Donc p_A (L) = ……..

b. Interprétations : le résultat obtenu ci-dessus peut être interprété avec deux formulations différentes :

la probabilité qu'un ……… sachant que cet élève ………

………. vaut …………. . ou

parmi les élèves qui ………, ……. % souhaitent suivre

……… .

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On choisit au hasard une personne dans une population. On considère les évènements suivants :

H : " la personne choisie est un homme " M : " la personne choisie est majeure "

1. Associer à chacune des propositions de gauche une des probabilités de droite

40 % des hommes sont majeurs p ( H ) = ……

58 % des personnes sont majeures p (H ∩ M)

22 % des personnes sont des hommes majeurs p_H (M)

45 % des personnes sont des femmes

p (M )

H

Parmi les majeurs, 38 % sont des hommes p (H ∩ M )

80 % des femmes sont majeures p_M (H)

Près d'un tiers des personnes sont des hommes mineurs p (M)

2. A l'aide des informations précédentes, calculer la probabilité que la personne choisie soit un homme sachant qu'elle est mineure.

Exercice 6 :

Une plateforme de jeux vidéos propose en téléchargement 9600 titres différents dont certains sont gratuits.

Les jeux sont rangés en deux catégories : les jeux d'action et les autres jeux.

Le tableau ci-dessous ( appelé tableau croisé ou tableau à double entrée ) en donne la répartition : Jeux payants Jeux gratuits Total

Jeux d'action 1728 1104 ….

Autres Jeux 3456 ….. …..

Total ……. ……. 9600

1. Compléter les données manquantes de ce tableau.

2. On choisit un jeu au hasard et on considère les évènements suivants :

A : le jeu choisi est un jeu d'action G : le jeu choisi est gratuit a. Déterminer la probabilité p (A) que le jeu choisi soit un jeu d'action.

b. Déterminer la probabilité p (G) que le jeu choisi soit gratuit.

c. Ecrire en fonction de A et de G la probabilité que le jeu choisi soit un jeu d'action gratuit puis calculer cette probabilité.

d. Paul a téléchargé un jeu gratuit. On veut savoir la probabilité que ce soit un jeu d'action. Ecrire cette probabilité en fonction de A et de G puis calculer cette probabilité.

e. Théo a téléchargé un jeu d'action. On veut savoir la probabilité que ce soit un jeu gratuit. Ecrire cette probabilité en fonction de A et de G puis calculer cette probabilité.

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Un magasin propose deux fruits en promotion : des ananas et des bananes. On sait que parmi les 200 clients venus un certain jour, 92 ont acheté des ananas, 113 ont acheté des bananes et 61 ont profité des deux promotions.

On peut schématiser cette situation de deux façons : à l'aide d'un tableau à double entrée ou d'un diagramme comme ci-dessous:

Achat ananas

Pas d'achat

ananas Total

Achat

bananes …… ………. ………..

Pas d'achat

bananes …………. ……… …………..

Total ………….. ………. …………

1. Compléter le tableau et le schéma ci-dessus en utilisant les données de l'énoncé.

2. On interroge un client au hasard et on considère les deux évènements suivants :

A : le client a acheté des ananas. B : le client a acheté des bananes.

a. Déterminer les probabilités p (A) et p (B). En déduire p ( A ) et p ( B ).

b. Déterminer la probabilité p (A ∩ B) et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.

c. Déterminer la probabilité p

A (B ) et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.

d. Le client interrogé nous dit qu'il n'a pas acheté d'ananas. On cherche la probabilité qu'il ait acheté des bananes. Ecrire cette probabilité en fonction de A et de B puis calculer cette probabilité.

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Exercice 8 :

Une trousse contient 8 crayons de trois couleurs différentes : 5 sont verts ( V), 2 sont bleus (B) et 1 est rouge (R).

On choisit un crayon au hasard et on s'intéresse à sa couleur.

1. L'arbre ci-contre donne toutes les issues possibles.

En déduire les probabilités suivantes :

p (V) = …… p (B) = …… p (R) = ……

2. Afin de réduire la taille de l'arbre précédent ( imaginez que la trousse contienne 100 crayons !!), on ne va garder que 3 branches, chacune correspondant à une couleur. Comme les probabilités d'obtention de ces couleurs ne sont pas les mêmes, on va indiquer sur chaque branche la probabilité correspondante comme on a commencé à le faire ci-contre.

Compléter ce nouvel arbre.

Dans cet arbre, chaque branche a un "poids" différent, c'est pour cela qu'on parle d'arbre pondéré.

3. Choisissons désormais successivement deux crayons dans la trousse, sans remettre le premier. Considérons les évènements suivants :

V1 : le 1^er crayon est vert

V2 : le 2^ème crayon est vert

B1 : le 1^er crayon est bleu

B2 : le 2^ème crayon est bleu

R1 : le 1^er crayon est rouge

R2 : le 2^ème crayon est rouge a. On a commencé sur l'arbre pondéré ci-contre à illustrer cette situation.

Expliquer pourquoi on a inscrit 4

7 sur la branche "allant de V1 à V2 " ? Cette probabilité correspond à la probabilité

(

)

1

V

p

7 sur cet arbre ? c. Compléter les probabilités manquantes sur cet arbre.

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Par définition on a :

(

)

1

V

p

(

)

1

V

p

e. Compléter l'arbre en rajoutant toutes les issues avec leurs probabilités comme commencé :

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* Information 1 : 60 % des acheteurs potentiels souhaitent que le véhicule soit équipé d'un GPS,

* Information 2 : parmi ceux qui souhaitent un GPS, 80 % souhaitent la climatisation,

* Information 3 : parmi ceux qui ne souhaitent pas de GPS, 30 % ne souhaitent pas non plus la climatisation.

On considère les évènements suivants :

G : " l'acheteur potentiel souhaite le GPS "

C : " l'acheteur potentiel souhaite la climatisation "

1. Traduire les 3 informations de l'énoncé en terme de probabilité.

2. On va traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré. Compléter cet arbre.

3. On souhaiterait calculer la probabilité qu'un client pris au hasard souhaite la climatisation, c'est-à-dire que l'on souhaite calculer p (C).

a. Cette probabilité se trouve-t-elle dans l'arbre pondérée ?

b. Parmi les 4 issues de l'arbre, quelles sont celles qui réalisent l'évènement C ? c. Calculer alors p (C)

4. On souhaiterait calculer p

C(G) ( c'est-à-dire la probabilité qu'un client ... sachant que ce client ... ).

a. Cette probabilité se trouve-t-elle dans l'arbre pondérée ?

b. En utilisant la définition d'une probabilité conditionnelle, compléter p

C(G) = ...

... c. Calculer alors p

C(G) ( on donnera un arrondi au millième du résultat ).

 On indique sur chaque branche la probabilité correspondante.

 La somme des probabilités inscrites sur les branches partant d'un même nœud vaut 1.

 En "sorties" d'arbre se trouvent les intersections des évènements; pour déterminer leurs probabilités, on multiplie les probabilités des branches qui conduisent à cette issue.

 Pour trouver la probabilité d'un évènement, on ajoute les probabilités de chaque issue composant cet évènement.

Règles de construction d'un arbre pondéré

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A et B sont deux évènements. On sait que

p ( A )  0 , 35

p

( B )  0 , 42

p ( B )  0 , 37

A

On se propose de dessiner un arbre pondéré illustrant cette situation. Il existe deux arbres possibles :

1. Un seul de ces deux arbres peut convenir. Lequel ? Expliquez pourquoi l'autre arbre ne convient pas.

2. Recopier l'arbre que vous avez choisi et remplissez-le avec les données de l'énoncé.

3. Calculer alors les probabilités suivantes : p (A ∩ B ) ; p (B) et p B(A) Exercice 11 :

Une école organise en cours d'année un test de langue vivante. Tous les étudiants doivent étudier l'anglais et l'espagnol.

Le jour de l'épreuve, l'étudiant tire un sujet au hasard parmi les sujets préparés.

La probabilité que ce soit un sujet d'anglais est 0,8

Si c'est un sujet d'anglais, la probabilité que ce soit sur un texte connu est 0,3 Si c'est un sujet d'espagnol, la probabilité que ce soit sur un texte inconnu est 0,4 On note A l'évènement " le sujet tiré est un sujet d'Anglais "

et C l'évènement : " le sujet tiré porte sur un texte connu "

1. Reproduire et compléter l'arbre ci-contre par les probabilités qui conviennent ( ne pas oublier les issues )

2. Traduire l'évènement A ∩ C par une phrase puis calculer sa probabilité.

3. Calculer p (C) et interpréter le résultat obtenu.

4. En utilisant la définition d'une probabilité conditionnelle, calculer p C(A)

5. On considère l'évènement A



Exercice 12 ( d'après sujet Bac )

Un fabricant produit des pneus de deux catégories, la catégorie « pneu neige » et la catégorie « pneu classique ».

Sur chacun d’eux, on effectue des tests de qualité pour améliorer la sécurité.

On dispose des informations suivantes sur le stock de production :

* le stock contient 40 % de pneus neige ;

* parmi les pneus neige, 92 % ont réussi les tests de qualité ;

* parmi les pneus classiques, 96 % ont réussi les tests de qualité.

Un client choisit un pneu au hasard dans le stock de production. On note :

* N l’évènement : « Le pneu choisi est un pneu neige » ;

* C l’évènement : « Le pneu choisi est un pneu classique » ;

* Q l’évènement : « Le pneu choisi a réussi les tests de qualité ».

Dans tout cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.

1. Construire un arbre de probabilités représentant la situation et le remplir avec les données de l'énoncé ( ne pas oublier les issues ).

2. Calculer la probabilité de l’évènement N ∩ Q et interpréter ce résultat par une phrase.

3. Montrer que p (Q)= 0,944.

4. Sachant que le pneu choisi a réussi les tests de qualité, quelle est la probabilité que ce pneu soit un pneu neige ?

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Julie se déplace à vélo ou en transport en commun. Lorsque la journée est ensoleillée, elle se déplace en vélo 9 fois sur 10. Sinon elle ne se déplace en vélo que 6 fois sur 10.

Notons p la probabilité qu'une journée soit ensoleillée dans la ville où habite Julie. Pour une journée donnée, on considère les évènements suivants :

E : la journée est ensoleillée V : Julie se déplace à vélo

1. Recopier et compléter l'arbre pondéré donné ci-contre à l'aide des données de l'énoncé.

2. Démontrer que la probabilité que Julie se déplace à vélo est : p (V) = 0,3 p + 0,6 3. a. On constate que Julie se déplace à vélo dans 67,5 % des cas.

En déduire la valeur de p.

b. Hier, Julie s'est déplacée à vélo. Calculer la probabilité qu'il s'agissait d'une journée ensoleillée.

Exercice 14

Dans un centre hospitalier, les prises de sang peuvent être effectuées dans trois services : l'hématologie, la diabétologie et l'urologie.

Les seringues utilisées pour ces prises de sang sont fournies soit par le laboratoire Clamex, soit par le laboratoire Spara.

On choisit un patient au hasard et on considère les évènements suivants : H : la prise de sang a été effectuée dans le

service hématologie.

D : la prise de sang a été effectuée dans le service diabétologie.

U : la prise de sang a été effectuée dans le service urologie.

C : la seringue utilisée a été fournie par Clamex S : la seringue utilisée a été fournie par Spara L'arbre ci-contre modélise cette situation.

1. Interpréter les probabilités 0,2 et 0,48 dans le contexte de l'exercice.

2. On s'intéresse à la probabilité que le patient ait subi une prise de sang dans le service hématologie avec une seringue fournie par Spara.

a. Ecrire cette probabilité avec les évènements définis dans l'énoncé.

b. Calculer cette probabilité.

3. On s'intéresse à la probabilité que le patient ait subi une prise de sang avec une seringue fournie par Spara.

a. Ecrire cette probabilité avec les évènements définis dans l'énoncé.

b. Calculer cette probabilité.

4. On choisit un patient au hasard parmi ceux ayant subi une prise de sang avec une seringue de chez Spara. Calculer la probabilité que la prise de sang ait été effectuée dans le service diabétologie.

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Une agence de voyages spécialisée dans les séjours au Maghreb propose exclusivement 3 destinations : l'Algérie, le Maroc et la Tunisie.

50 % des clients choisissent l'Algérie, 30 % le Maroc et les autres ont choisi la Tunisie.

Au retour de leur voyage, tous les clients répondent à un questionnaire de satisfaction qui montre que 90 % des clients ayant choisi le Maroc sont satisfait de leur voyage, de même que 80 % des clients ayant choisi la Tunisie.

On prélève au hasard un questionnaire dans la pile des questionnaires recueillis et on considère les évènements suivants :

A : le client avait choisi l'Algérie. M : le client avait choisi le Maroc. T : le client avait choisi la Tunisie.

S : le client est satisfait de son voyage.

1. L'arbre pondéré ci-dessous ( page suivante ) illustre cette situation.

Commencer à compléter cet arbre avec les données de l'énoncé ( ne pas oublier de remplir les issues ) 2. Calculer la probabilité qu'un client ait choisi le Maroc et soit satisfait.

3. a. L'enquête montre que 72 % des clients sont satisfaits, c'est-à- dire que p (S) = 0,72. En déduire p (A ∩ S).

b. En déduire alors la probabilité p

A (S). Interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.

c. Compléter alors l'arbre pondéré.

4. Le questionnaire prélevé est celui d'un client mécontent. Il a oublié de préciser quelle destination il avait choisie. Quelle est la probabilité qu'il ait choisi le Maroc ?

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Exercice 16 :

Une enquête effectuée auprès des employés d'une entreprise a donné les résultats suivants :

Salaire < 1500 € Salaire  1500 € Total

Femmes 600 200 …..

Hommes 900 300 …..

Total ….. ….. …..

1. Compléter le tableau à double entrée ci-dessus.

2. On choisit un employé au hasard et on appelle I et F les évènements suivants :

I : l'employé a un salaire inférieur à 1500 € F : l'employé est une femme.

a. Calculer les probabilités suivantes :

p (I) = p_F (I) = p (F) = p_I (F) =

b. Que constatez-vous ?

On remarque donc que, par exemple, p (I) et p

F (I) sont égaux. Cela signifie que le fait de savoir que F soit réalisé n'a aucune influence sur la probabilité de I. On dit alors que les évènements F et I sont indépendants.

Remarques :

1 . Dans cet exercice, c'est le calcul des probabilités qui a permis de démontrer que les évènements I et F étaient indépendants; dans certains cas, l'indépendance peut découler des conditions de l'expérience aléatoire : par exemple, si l'on prélève successivement dans une boîte, avec remise, on obtient des résultats indépendants ( ce n'est pas le cas si les tirages se font sans remise ).

2 . On sait que par définition p_B (A) = p (A ∩ B)

p(B) ; dans le cas où les évènements A et B sont indépendants, comme p_B (A) = p (A), on en déduit : p(A) = p (A ∩ B)

p(B) et donc p (A ∩ B ) = p(A)  p(B) . On obtient alors la propriété ci-dessous : Soient A et B deux évènements tels que p (A)  0 et p (B)  0

On dit que A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l'un ne dépend pas de la réalisation de l'autre;

c'est-à-dire que l'on a : p_A (B) = p (B) ( ou encore p_B (A) = p (A) ) Définition 5

Soient A et B deux évènements tels que p (A)  0 et p (B)  0 A et B sont indépendants si et seulement si p (A ∩ B ) = p(A)  p(B)

Propriété 6

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Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A :

On considère l'urne ci-contre ( les boules de la 1^ère rangée sont rouges et portent les numéros 2,2,3,4 et 6; celles de la 2^ème rangée sont bleues et portent les numéros 5,6,6,8 et 8 ). On prélève une boule au hasard et on considère les deux évènements suivants :

A : " la boule tirée est rouge " B : " la boule tirée porte un numéro impair. "

1. a. Calculer p (A) , p(B), p (A ∩ B) et p B (A) .

b. Démontrer de deux manières que les évènements A et B sont indépendants.

2. On considère l'événement C : " la boule tirée porte un numéro inférieur ou égal à 5 ".

Les évènements B et C sont-ils indépendants ? Partie B :

On lance simultanément deux dés équilibrés à 6 faces, l'un rouge, l'autre vert et on considère les évènements suivants : S: " la somme des nombres obtenu est 7 " F : " on a obtenu le 3 au moins une fois "

3. Justifier que p (S) = 1

6 et que p (F) = 11 36 4. Les évènements S et F sont-ils incompatibles ? 5. Les évènements S et F sont-ils indépendants ? Exercice 18 :

Pour se rendre sur son lieu de travail, Benjamin rencontre deux feus tricolores sur son trajet. Ces deux feux ne sont pas synchronisés et ont le même cycle ( vert, orange, rouge ) de 100 secondes. Le feu vert dure 55 secondes et le feu orange dure 5 secondes.

On s'intéresse à la couleur de chaque feu tricolore ( vert (V), orange (O) ou rouge (R).

1. Expliquer pourquoi la situation peut être assimilée à une succession de deux épreuves indépendantes.

2. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

3. Calculer la probabilité que Benjamin rencontre deux feux verts.

4. En France, le code de la route stipule que l'on doit s'arrêter lorsque le feu est orange ou rouge.

a. Calculer la probabilité p₁ que Benjamin doive s'arrêter à deux reprises.

b. Calculer la probabilité p₂ que Benjamin ne doive s'arrêter qu'une seule fois sur son trajet.

Exercice 19 :

Une entreprise produit des composants électroniques en grande quantité. Une étude statistique a permis d'estimer que la probabilité qu'un composant électronique pris au hasard ait une durée de fonctionnement supérieure à 1000 heures est de 0,9.

On prélève au hasard deux composants électronique au hasard. Les durées de fonctionnement de ces deux composants sont supposées indépendantes.

On note F1 et F2 les évènements :

F1 : le 1^er composant a une durée de fonctionnement supérieure à 1000 heures.

F2 : le 2^nd composant a une durée de fonctionnement supérieure à 1000 heures.

Document disponible sur : vh-dellac.webnode.fr

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Ch 1 : Probabilités conditionnelles

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2. Dans un circuit électronique, les deux composants sont montés en série comme indiqué dans le schéma ci-contre.

Pour que le circuit fonctionne, il faut que les 2 éléments soient en état de marche.

Déterminer la probabilité p1 que l'ensemble fonctionne plus de 1000 heures.

3. Dans un autre circuit électronique, les deux composants sont montés en parallèle comme indiqué dans le schéma ci-contre.

Pour que le circuit fonctionne, il faut qu'au moins un des deux éléments soient en état de marche.

Déterminer la probabilité p2 que l'ensemble fonctionne plus de 1000 heures.

--- Objectif n° 5 : Pour aller plus loin ….

Exercice 20 :

Un centre de loisirs destiné aux jeunes de 11 ans à 18 ans compte 60 % de collégiens et 40 % de lycéens.

Le directeur a effectué une étude statistique sur la possession de téléphones portables.

Cette étude a montré que 86 % des jeunes possèdent un téléphone portable et que, parmi les collégiens, 80 % en possèdent un.

On choisit au hasard un jeune du centre de loisirs et on s’intéresse aux évènements suivants :

* C : « le jeune choisi est un collégien » ;

* L : « le jeune choisi est un lycéen » ;

* T : « le jeune choisi possède un téléphone portable ».

1. En utilisant les données de l'énoncé, donner les probabilités : p (C), p (L), p (T ), p C (T ).

2. Faire un arbre de probabilités représentant la situation et commencer à le renseigner avec les données de l’énoncé.

3. Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien possédant un téléphone portable.

4. Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien sachant qu’il possède un téléphone portable.

5. a. Calculer p (T ∩ L), en déduire p L(T ).

b. Compléter l’arbre construit dans la question 2.

Exercice 21 : pour les plus ambitieux…..

Dans une caisse, il y a des billes en verre et des billes en plastique.

* 40 % des billes en verre sont bleues, les autres billes en verre sont rouges.

* 30 % des billes en plastiques sont bleues, les autres billes en plastique sont rouges

* On sait de plus que 20 % des billes bleues sont en plastique.

On tire au hasard une bille de cette caisse. Quelle est la probabilité qu'elle soit en verre ?