CPGE 1 ; kholle 11
1. Déterminer le rang de la matrice 𝐴 =
1 −2 0 1 0 1 −1 1 3 0
0 0 0 1 1
1 0 2 5 0
;
Déduire la résolution du système
𝑥 − 2𝑦 + 𝑡 = 0 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 3𝑡 = 0
𝑡 + 𝑢 = 0 𝑥 + 2𝑧 + 5𝑡 = 0
2. Soit 𝐴 =
1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1
et 𝐼 =
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
Déterminer la matrice 𝐵 telle que 𝐴 = 𝐼 + 𝐵 Calculer 𝐵² puis 𝐵3 puis 𝐵𝑛 pour n ≥ 4 Déduire 𝐴² puis 𝐴3
3. Discuter selon les valeurs du paramètre 𝑚 la résolution du système 𝑚𝑥 + 2𝑚𝑦 = 3𝑚 + 4 2𝑥 + 𝑚𝑦 = 2𝑚
1. La matrice 𝐴 =
1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3
est-elle inversible ?
2. On pose 𝑀 =
𝑎 −𝑏 −𝑐 −𝑑
𝑏 𝑎 𝑑 −𝑐
𝑐 −𝑑 𝑎 𝑏
𝑑 𝑐 −𝑏 𝑎
avec 𝑎𝑏𝑐𝑑 ≠ 0 ;
Calculer 𝑀 𝑀𝑡 ; déduire que M est inversible et donner 𝑀−1
3. Discuter selon les valeurs du paramètre m la résolution du système :
𝑚𝑥 + 𝑚 + 1 𝑦 − 3𝑧 = 3 𝑥 + 𝑚𝑦 − 2𝑧 = 1
−𝑥 + 3 − 𝑚 𝑦 − 𝑧 = 5
1. Résolution du système :
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 + 𝑡 = 1 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 − 𝑡 = −1 3𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 − 2𝑡 = 2
2. Déterminer les réels x, y et z de sorte que la matrice 𝑀 =
1 𝑥 𝑥² 1 𝑦 𝑦² 1 𝑧 𝑧²
soit inversible
3. Soit 𝐴 =
1 0 0 2 0 1 2 0 0 2 1 0 2 0 0 1
et 𝐼 =
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
Déterminer la matrice 𝐽 telle que 𝐴 = 𝐼4+ 2𝐽 Calculer 𝐽2 ; déduire 𝐴2 puis 𝐴3
Déterminer des réels ∝ , 𝛽 𝑒𝑡 𝛾 tels que 𝐴3+ ∝ 𝐴²+ 𝛽 𝐴 + 𝛾 𝐼4 = 04 Déduire que la matrice A est inversible et calculer 𝐴−1
Retrouver ce résultat en inversant un système
