Problèmes de courant continu

(1)

Problèmes de courant continu

I. Capteur résistif de température.

Variation de la résistance d’une thermistance en fonction de la température.

La résistance d’une thermistance, formée d’un matériau semi-conducteur, varie avec la température absolue T suivant la loi

R

0 0

exp B B

R R

T T

⎛ ⎞⎟

= ⎜⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎟⎠ où B, R0 = 12000 Ω et T₀ = 298 K sont des constantes.

1) Que représente la constante R0 ?

2) Exprimer le coefficient de température ¹^dR

α= R dT en fonction de B et T.

3) Calculer B sachant que α (T = 298 K) = – 4,135.10^–2 K^–1. 4) Calculer R aux températures 0 °C et 100 °C.

5) Le coefficient de dilatation linéaire du semi-conducteur est ¹d 10 ⁵K λ = dTA = ⁻ ⁻

A

1. Comparer les variations de résistance avec la température dues à la variation de la résistivité ρ d'une part et aux variations de dimensions d'autre part. Conclure.

Pour mesurer une température, on utilise un capteur résistif. On mesure un signal électrique, en général une tension, qui traduit les variations de la résistance avec la température. Un montage, alimenté par une source de tension comprend la résistance à mesurer et d'autres résistances constantes. Le circuit de mesure ainsi constitué est appelé conditionneur du thermomètre.

v1 Rd

R R1 – r e

r Montage potentiométrique.

Celui-ci est représenté sur la figure ci-contre. Le générateur a pour fem e et pour résistance interne r ; le voltmètre de résistance interne Rd mesure la tension aux bornes de la résistance thermométrique R qui dépend de v1 T.

6) Exprimer en fonction de Rv1 ₁, R, Rd, et e.

7) Comment doit-on choisir Rd pour que la tension ne dépende pas trop du voltmètre utilisé ? Quelle est alors l’expression de ? On suppose cette condition désormais réalisée.

v1

source voltmètre 8) À T = T0, la résistance thermométrique R a pour valeur R0 et la tension de mesure la valeur . Ces conditions

définissent un point moyen de fonctionnement. Lorsque R varie de ∆R, varie de . Exprimer en fonction de ∆R, Ro, R

v1

v1 ∆v₁ ∆v₁

1 et e, en se limitant au cas où ∆RR₀. 9) On définit la sensibilité du conditionneur par v¹

S R

= ∆

∆ . Pour quelle valeur de R1, cette sensibilité est-elle maximale au voisinage de T = T0 ? Calculer cette sensibilité maximale.

Application numérique. Sachant que e = 10,0 V, R0 = 109,8 Ω, r = 20 Ω, que le voltmètre peut déceler une variation v1

∆ de 0,01 volt, calculer la valeur de R1 – r qui donne la sensibilité maximale et la valeur ∆R que l'on peut alors tout juste déceler.

10) Alors que le conditionneur a sa sensibilité maximale, la fem e du générateur fluctue entre e – ∆e et e + ∆e.

Calculer la variation de correspondant à une variation ∆e de e. Comparer l'influence de ∆R et de ∆e. Quel est le niveau tolérable de fluctuations de la fem de la source dans ce dispositif ?

v1

Pont de Wheatstone. e

Le voltmètre V, de résistance interne Rd très supérieure aux autres résistances, mesure la d.d.p. v2 = vB – vA. La résistance interne de la source est négligeable (figure 2).

C

B A

R4

R3

R2

R(T) V 11) Exprimer v2 en fonction de e et des résistances

12) L'équilibre du pont (v2 = 0) est réalisé pour R = R0, T = T0. Quelle relation lie alors R2, R3, R4, et Ro ?

13) Calculer v2 en fonction de R, R2, R0 et e.

14) On suppose ∆R = R – R₀ << R0. Pour quelle valeur de R2 la sensibilité est-elle maximale ? Calculer celle-ci.

2/

S =v ∆R D

15) Comparer la sensibilité du pont de Wheatstone et du montage potentiométrique dans les deux cas :

- le voltmètre n’est utilisé que sur le calibre immédiatement supérieur à e ; - on peut aussi utiliser des calibres plus petits.

DS : problèmes de courant continu, page 1 Figure 2

(2)

16) La sensibilité maximale étant obtenue, on tient maintenant compte des fluctuations ∆e de e (|∆e| << e). Comparer l’influence respective de ∆R et de ∆e sur v₂. Conclure.

II₃₄. Pont de Wheatstone.

0. Préliminaire : montrer que ₂

( )

y dx x dy d x

x y x y

⎛ ⎞⎟ −

⎜ ⎟=

⎜ ⎟

⎜⎝ + ⎠ + .

1. Une jauge de contrainte J1est constituée par un fil cylindrique de longueur l, de section s et de résistivité ρ . Elle est collée longitudinalement sur une poutre isolante fixée par son extrémité inférieure (fig. 1). Lorsque la poutre est rectiligne, la résistance du fil est R₁. Sous l'action d'une force F horizontale, l'extrémité libre B de la poutre fléchit et la poutre se courbe. La température étant constante, le fil subit un très faible allongement relatif

l

∆l

ε= . Il en résulte une très faible variation de résistance

l K l R

R = ∆

∆

1

1 . Au cours

de la déformation, les variations relatives de la section s et de la résistivité ρ sont respectivement

l l s

s =− ∆

∆ 2σ et

V c∆V

∆ = ρ

ρ _,

σ et étant deux constantes dépendant de la nature du conducteur et V son volume. Exprimer le coefficient

c

K en fonction de c et σ .

Figure 1

Application numérique : c=1,13, σ =0,3 ; calculer K. En déduire la variation de résistance pour une force

R1

∆ F exercée de 10N, sachant que K F

l l

= 1

∆ (avec K₁=10⁻⁵N⁻¹) et que R₁=350Ω lorsque le fil est au repos.

2. Le fil cylindrique précédent constitue l'une des branches d'un pont de Wheatstone (fig. 2). Les résistances sont tout d'abord considérées comme constantes. Seule varie en fonction de la force appliquée.

Entre les bornes de sortie A et C du pont est placé un appareil de mesure (M) de résistance interne infinie. Ce pont est alimenté par un générateur de f.e.m.

4 3 2,R ,R

R R₁

E constante et de résistance interne négligeable.

Figure 2 2.a. Exprimer la différence de potentiel U_AC =V_A −V_C en

fonction de E,R₁,R₂,R₃,R₄.

2.b. On suppose qu’initialement R₁=R₂ =R₃ =R₄ =R ; variant d'une quantité très petite devant , exprimer la variation correspondante . Calculer numériquement

R1

∆ R₁

UAC

∆ ∆U_AC

si E=2V, ∆R₁ =0,1Ω et R=350Ω.

3. Afin d'améliorer la sensibilité du dispositif, c'est-à-dire d'obtenir une différence de potentiel entre A et C plus im en fonction de la force appliquée, on dispose de 4 jauges identiques J

portante ,R R .

3.a. Initialeme . En supposant que la

placé entre A et C est

1, J2, J3, J4 de résistances respectives R₁,R₂, nt

4 3

R R R R

R₁ = ₂ = ₃ = ₄ =

résistance de (M) infinie, exprimer la

d.d.p. ∆U_AC en fonction de E,∆R₁,∆R₂,∆R₃,∆R₄ et R.

3.b. Préciser comment il faut coller les 4 jauges sur la po treu pour que le dispositif soit le plus sensible.

Ω 1 ,

4 0

3 2

1 = ∆ = ∆ = ∆

∆R R R R

3.c. Calculer numériquement dans l’hypothèse précédente ∆U_AC si E=2V, = et

4. On utili résistances qu’on croit égales , mais en réalité elles sont

on intervertit les jauges J et J2 ;

en e

Ω

=350

R .

se des R₁ =R₂ =R₃ =R₄ =R =1000Ω

légèrement différentes. Le pont étant équilibré, 1 pour rétablir l’équilibre du pont, il faut mettre en série avec R₃ une résistance additionnelle r =6Ω. Montrer que R₁ ≠R₂. Exprimer fonction de r et calculer R₁ −R₂ t R₃ −R₄.

(3)

III17.

Une locomotive électrique est alimentée en courant continu.

L'alimentation est réalisée par des sous-stations Si distantes de L. Ces sous-stations relient les rails FG, portés au potentiel nul, à la caténaire AB, c’est-à-dire à un fil électrique situé au dessus de la locomotive sur lequel vient frotter son pantographe. Chaque source Si sera représentée par une source de tension de force électromotrice E, la borne positive étant du côté de la caténaire.

La motrice M est branchée entre les rails et le contact C entre le pantographe et la caténaire. On supposera que son moteur doit être alimenté par un courant constant I. La motrice peut donc être schématisée par une source de courant de courant électromoteur I = 800 A. De plus la caténaire présente une résistance linéique (rapport de la résistance à la longueur) de valeur r = 5.10^–5 Ω.m^–1, alors que la résistance des rails est négligeable.

1) On considère une section de ligne de longueur L alimentée par deux sous-stations. On note x = AC la longueur de caténaire séparant la motrice de la sous-station S1 et U la tension aux bornes de la motrice.

Exprimer la chute de tension ∆U = E – U en fonction de E, r, x, L et I.

Déterminer la limitation sur la distance L entre les deux sous-stations pour que ∆U ne dépasse pas ∆U_M = 45 V.

2) Une section de longueur L est maintenant alimentée par une seule station S située à son extrémité. La caténaire est constituée de deux fils identiques AB et A'B' de longueurs L et de résistances linéiques r, reliés à leurs extrémités. Le pantographe n’est en contact qu’avec un des deux fils..

Exprimer de nouveau ∆U = E – U en fonction des données et calculer la valeur maximale de la distance L pour limiter la chute de tension à ∆UM = 45 V.

3) On revient à un système de deux stations S1 et S2, mais avec une caténaire à deux fils connectés par leurs extrémités et leur milieu. Le pantographe n’est en contact qu’avec un des deux fils.

Exprimer ∆U = E – U en fonction des données et calculer, comme précédemment, la valeur maximale de L.

4) Conclusion : quel est le montage le plus avantageux ?

5) Comment traiter la configuration de la première question si la résistance des rails n’est pas négligeable ?

Réponses

I ; 1) valeur de R à T₀ ; 2) α=−B T/ ² ; 3) B =3672 K ; 4) ^R

(

^{0 C}^°

)

⁼^{37 089}^Ω ; ^R

(

^{100 C}^°

)

⁼¹⁰⁰⁷^Ω ; 5) la variation de la résistance est due essentiellement à la variation de la résistivité ;

6) 1 ₍ ₎

1 1 1/ 1/ _d

v e

R R R

= + + ; 7) R_d R ; ₁

1

v eR

R R

= + ; 8)

( )

1 1

1 2

v eR

S R R R

=∆ ≈

∆ + ; 9) R₁ =R₀ ; 4 0

M

S e

= R ; R1−r =89, 8Ω; ¹ 0, 44

M

R v S

∆ = ∆ = Ω ; 10) à sensibilité est maximale, , donc ; doit être inférieur à 0,02 V ; 11)

1 / 2

v =e

1 / 2

v e

∆ =∆ ∆e ( ) ( )

2 ( )

2 4 3

1 1

1 /

B v A e

R R T R R

⎛ ⎞⎟

⎜

= − = ⎜⎜⎝ + − + ⎟⎟⎠

v v ; 12)

2

0 3

R R

R = R⁴ ; 13) 2

2 2

1 1

1 R /R 1 R /R₀

⎛ ⎞⎟

= ⎜⎜⎜⎝ + − + ⎟⎟⎠

v e ; 14) R2 =R0 ;

4 0

M e

S ; 16)

= R 2

0 4

v R e R

∆ =∆ ∆ . II. 1) K =(c+1)−2 (σc−1)=2, 05 ∆R₁ =R KK F₁ ₁ =0, 07Ω ; 2.a)

1 2

1 4 2 3

AC

R R

U E

R R R R

⎡ ⎤

= ⎢ − ⎥

+ +

⎢ ⎥

⎣ ⎦ ; 2.b) ¹ 1, 4.10 V⁴

AC 4 U E R

R

∆ −

∆ = = ; 3.a)

1 3 4

(

AC 4

E R R R R

U R

∆ +∆ − ∆ − ∆

∆ = ²)

; 3.b) coller J1 et J3 du coté où la poutre est en extension et J2 et J4 du coté où la poutre est en compression ; 3.c)∆U_AC = 5, 7.10 V⁻⁴ ; 4) R1 −R2 r/ 2=3Ω ;R₃ R₄ / 2 3 .

E

E I

x S1 M

L

x

S1 S2

E I

M L

Question 3 Question 2 E I

S1 S2

E M

L

x

A B C

Question 1

F G

J1

J3

J2

J4

− −r =− Ω III. 1) U ^{rIx L}⁽ ^x⁾

L

∆ = − ; 4

4500 m UM

L rI

< ∆ = ; 2) ⁽2 ⁾

2 x L x rI

U L

∆ = − ; L <2250 m ; 3) (2 3 )

2 L x xrI

U L

∆ = − ; 6

6750 m UM

L ; 4) la configuration 1 est préférable ; 5) considérer ^r ^r . rI

< ∆ = = ₁+r₂

(4)

Corrigés

I.

1) R0 représente la valeur de à R T =T₀.

2) 0

0

lnR lnR ^B ^B

T T

= + − ; en dérivant cette relation par rapport à T : 1dR B₂ R dT T α= =− . 3) B =−αT² =4,135 10× ⁻²×298² =3672 K.

4) ^R

(

^{0 C}^°

)

⁼^{12 000 exp}^⎛^⎜^⎜⎜⎜⎝^{3 672}₂₇₃ ⁻^{3 672}₂₉₈ ^⎞⎟^⎟⎟⎟⎠⁼^{37 089}^Ω ; ^R

(

^{100 C}^°

)

⁼^{12 000 exp}^⎛^⎜^⎜⎜⎜⎝^{3 672}₃₇₃ ⁻^{3 672}₂₉₈ ^⎞⎟^⎟⎟⎟⎠⁼¹⁰⁰⁷^Ω.

5) R ^L

=ρS ; d'où : dlnR dln dlnL dlnS

dT dT dT dT

= ρ+ − .

Si la dilatation est isotrope, ln ln

2 2

d S d L

dT = dT = λ, soit dln

dT α= ρ− λ.

Comme et , la variation de la résistance est due essentiellement à la variation de la résistivité, la variation des dimensions produisant un effet négligeable.

4.10⁻2

α ≈ − λ=10⁻⁵

6) C'est un montage diviseur de tension : le même courant parcourt r +(R₁−r) et R R& _d. D'où :

1

1 d d

e v

R R R =R R

+ & & , soit ₁

1 1 1 1

1 1

d d

e e

v R

R R R R R

= + & = + ⎛⎜⎜⎜⎝ + ⎞⎟⎟⎟⎠ .

7) ne dépend pas de v₁ R_d si R_d R, ce qui est assez facilement réalisé. Alors ₁

1 1

1

e eR

v R R R

R

= =

+ +

.

8) En dérivant la relation précédente, on obtient

( )

1 1

1 2

dv eR

dR = R R + . En assimilant les petites variations à des différentielles :

( )

1 1

1 2

v eR

S R R R

=∆ ≈

∆ + .

9) ₂

0/ 1 2 0 1

S e

R R R R

= + + est maximum quand est minimum ; or il s'agit de la somme de deux nombres de produit déterminé ; cette somme est minimum quand les deux termes sont égaux, soit quand .

02/ 1

R R +R₁

02

R R₁ =R₀

La sensibilité maximale est alors

4 0 M

S e

= R . AN : R₁−r =89, 8Ω; S_M =0, 0229 V/Ω. On détecte tout juste ¹ 0, 01

0, 44 0, 0229

M

R v S

∆ =∆ = = Ω.

10) Dans des conditions quelconques, ₁

1

v R e R R

∆ = ∆

+ . Si la sensibilité est maximale, v₁ =e/ 2, donc ∆v₁ =∆e/ 2.

∆e doit être inférieur à 0,02 V pour que n'excède pas 0,01 V et n'influence pas la mesure. Il faut donc une tension d'alimentation très stable pour faire des mesures valables.

v1

∆

11) Les branches R T R^{( )}, ₂ d'une part, R R₃, ₄ d'autre part, sont des diviseurs de tension :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 1 2

v C v A e e

v C v A R

R T R T R

R T

− = ⇒ − =

+ + ;

( ) ( )

3 3 4 4

3

1

v C v B e e

v C v B

R R R R

R

− = ⇒ − =

+ + .

En retranchant membre à membre, il vient : ^{( )} ^{( )}

( )

2 2 4

3

1 1

v v B v A e R R

R T R

⎛ ⎞⎟

= − = ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ + − + ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .

12) est nul si v₂ ² ⁴

0 3

R R

R = R . 13) ₂

2 2

0

1 1

v e R R

R R

⎛ ⎞⎟

= ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ + − + ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

(5)

14) En dérivant la relation précédente, on obtient

( )

2 2

dv eR

S = dR = R R

+ qui est semblable à la relation trouvée dans la question 8. La sensibilité est donc maximale pour R₂ =R₀ et vaut alors

4 0

e R .

15) Avec un seul calibre, les deux méthodes ont même sensibilité. Si des calibres nettement inférieurs à e sont disponibles, le pont de Wheastone permet de les utiliser, car à l'équilibre est nul ; le capteur est alors plus sensible v₂ monté sur un pont de Wheatstone que sur un montage potentiométrique.

16) De la relation de 13), on déduit ⁽ ⁾

( )( )

0 2

2 0 0 2

e R R R

v , d'où

R R R R

= −

+ + ² ₀ 4

v R e R

∆ ∆ ∆ . L'influence des fluctuations de est beaucoup plus faible que dans le cas du montage potentiométrique si ∆ est petit.

=

e R

II. Pont de Wheatstone.

0. En utilisant ^d

( )

^u ^{v du} ²^{u dv}, on obtient :

v v

= − ( ) (₂ ) ₂

( ) ( )

x y dx x dx dy y dx x dy

d x .

x y x y x y

+ − + −

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟= =

⎜ ⎟

⎜⎝ + ⎠ + +

1. ¹ ¹

( )

1

(ln ) (ln ln ln )

dR d dl ds dV dl ds dl ds dl ds

d R d l s c c

R l s V l s

ρ ρ

= = + − = ρ + − = + − = + + −

l s l s

Comme V =ls, dV

dl ds et V ⁼ l ⁺ s

1 1

5

1 1 1

( 1) ( 1) [( 1) 2 ( 1)]

( 1) 2 ( 1) 2,13 2 0, 3 0,13 2, 05 350 2, 05 10 10 0, 07

dR dl ds dl

c c c c

R l s

K c c

R R KK F

σ σ

−

= + + − = + − −

= + − − = − × × =

∆ = = × × × = Ω

l

= =E

2. a. Supposons V N ; alors V P . Appliquons le théorème de Millman aux points A et C :

( ) 0 ( )

4 1 3

1 4 2

1 4 2 3

1 2

1 4 2 3

( ) ( )

1 1 1 1

AC

E E

R ER R ER

V A V C

R R R R

R R

U E

R R R R

= = = =

+ +

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= −

⎢ + + ⎥

⎣ ⎦

2 3

2.b. La relation du préliminaire montre que

4 1 1 4

2

1 4

2 0,1

1, 4.10 V

( ) 4 4 350

AC AC

R dR E R

dU E U

R R R

∆ × −

= ∆ = = =

+ ×

. F

3.a. En utilisant la relation du préliminaire,

4 1 1 4 3 2 2 3

2 2

1 4 2 3

1 3 4 2

( ) ( )

( )

4

AC

R dR R dR R dR R dR

dU E

R R R R

E R R R R

U R

− −

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢⎣ + − + ⎥⎦

∆ +∆ − ∆ − ∆

∆ =

J1

J3

J2

J4

igure 2

3.b. Il faut coller J1 et J3 du coté où la poutre est en extension et J2 et J4 du coté où la poutre est en compression.

3.c. La tension est le quadruple de celle de la question 2.b :∆U_AC = 5, 7.10 V⁻⁴ . 4. Les deux équilibres impliquent ¹ ⁴ ² ⁴

2 3 1 3

R R R R

R = R R = R +r Le quotient membre à membre donne :

2

1 3

2 3

R R

+r

⎟ =

⎝ ⎟⎟⎟⎠ ≠

⎛ ⎞

⎜⎜⎜ qui montre que R₁ R₂ ;

1 2

2 3 3 3

1 1

2 2 2

R r r rR r

R R

R = +R + R − = R =3Ω

On en tire ⁴ ¹ 3 4

3 2 3

1 3

2 2

R R r r

R R

R =R + R − − =− Ω III.

(6)

1)

( )

₍ ₎

( )

1 2

1 1

2 0 si 2 U xri L x ri

U L

I i i

r x L x rx L x rIx L x

U L

d U rI L x L

dx L x

∆ = = −

∆ ∆

= + = + =

− −

∆ = −

∆ −

= > <

U

= qui montre que ∆U x⁽ ⁾ est maximum pour x =L/ 2. Alors ∆U rLI/ 4

I

i1 i2

E E

Remarques

a) on peut abréger le calcul en écrivant la loi des nœuds en fonction des potentiels :

( )

E U E U

rx r L x I

− + − =

−

b) le produit de deux nombres, et L , dont la somme L est déterminée est maximum quand ils sont égaux : .

x −x / 2

x =L

On veut donc que ⁴ ⁴ ₅ ⁴⁵ 4500 m

4 5.10 800

M M

rLI U

U L L

rI ⁻

∆ ×

<∆ ⇒ < = <

×

2) Le raisonnement est similaire : ^∆Û ⁼^xri¹ ⁼(²^L⁻^{x ri}) ² Î ⁼ⁱ¹ ⁺ⁱ² ⁼ ^∆_rÛ

(

¹_x ⁺₂_L¹₋_x

)

Il suffit de reprendre les résultats de la question 1 et d’y remplacer par L 2L, donc 2L <4500 m L <2250 m 3) Les trois courants marqués i sur la figure sont égaux, car ce sont les

courants dans des résistances égales rL dont les bornes sont au même potentiel.

2

/ 2

( )

( ) ( )

( )

1 2 2

1 2

2 3 2

3 2

3 2 3 2 3

2 3

2

L L

U xri x r i ri

U U L U

I i i

xr L x r L x xr

L x xrI

U L

∆ = = − +

∆ ∆ ∆

= + = + =

− −

∆ = −

est maximum quand ⁽ est maximum

∆U 2L−3x x)

( )

( 2 3 )

2 6 0 si 3

d L x x L

L x x

dx

− = − > < , donc ∆U est maximum quand 3 x =L. Alors

5

6 6 45

6750 m

6 5.10 800

M M

rLI U

U U L L

rI ⁻

∆ ×

∆ = <∆ ⇒ < = <

×

On peut aussi utiliser le fait que le produit de 2L−3x par 3x est maximum quand ces nombres sont égaux.

4) La configuration 2 est désavantageuse par rapport à la configuration 1, car elle nécessite le même nombre de sous- stations et deux fois plus de câble.

La comparaison entre les configurations 1 et 3 dépend du coût des sous-stations, que 3 économise et du coût du câble, que 1 économise ; on peut aussi tenir le raisonnement suivant : au lieu de prendre un câble de longueur double comme dans la configuration 3, on pourrait réaliser la configuration 1 en doublant la section d'un câble unique, sans changer la quantité de métal employé, ce qui permettrait de diviser par 2 la résistance linéique, donc de doubler

l'espacement des sous-stations ; la distance des sous-stations, 9000 m, serait alors plus performante que 6750 m, donc la configuration 1 est préférable.

3i2 i2

i1

E E I

i2 i2

E

r1x

r2x

équivaut à E

(r1 + r2)x 5) Il suffit de considérer que ^r est la somme des résistances

linéiques r de la caténaire et r des rails pour se ramener au problème précédent :

1 2