Kilo Wavlngth

(1)

Interférométrie

(2)

Le principe de l’interférométrie I

• problème de l’antenne unique: résolution spatiale Θ ∼ λ/ D (D: diamètre du télescope)

• idée: remplacer le diamètre du télescope par la distance entre deux télescopes

• en interférométrie: un télescope va échantillonner le champ d’onde electromagnétique

• une seule source ponctuelle: champ electromagnétique cohérent

• une source qui comprend deux sous sources ponctuelles émet deux champs d’onde sépares qui n’interagissent pas -> ils sont incohérents

• cela est reconnu par un interféromètre

(3)

La cohérence spatiale

α

∆ x d

d < λ D/S Θ=λ /d > S/D=taille apparente source ponctuelle S: taille physique de la source

Θ : résolution spatiale

D

(4)

Le principe de l’interférométrie II

• il faut mesurer la cohérence des signaux

• en principe un interféromètre ne

fonctionne que correctement si le champ electromagnétique peut être décrit par une onde de longueur d’onde, fréquence,

phase etc. bien définis

• résolution spatiale: Θ ∼ λ/Β (Β: ligne de

base maximum)

(5)

La fonction de coh´ erence I

pour décrire une onde électromagnétique on a besoin de 4 paramètres:

param`etres de Stokes: I, U, Q, V

simplification: on ne prend que le Stokes I

1. onde plane monochromatique (ν = _2π^ω = ν0):

U(t) = U0exp(−iωt+ϕ) U0: amplitude

ϕ: phase

si U0 et ϕ sont connu à un point P1, ils sont déterminé au point P2 une fois qu’on a déterminé ∆ϕ →

l’´emission est coh´erente

2. ondes polychromatiques al´eatoires:

l’´emission est incoh´erente

hypoth`ese: ´emission stationnaire

mesure de la coh´erence: fonction de coh´erence Γ:

Γ(P1, P2, τ) = lim

T→∞

1 2T

Z T

−T U(P1, t)U^∗(P2, t+τ)dt =< U(P1)U^∗(P2, t+τ) >

→ crosscorrelation

(6)

onde plane monochromatique: l’amplitude de γ est 1 onde poly chromatique aléatoire: l’amplitude de γ est 0

La fonction de coh´ erence II

intensit´e (Stokes I): I(P) = Γ(P, P,0) =< U(P, t)U^∗(P, t) >

On suppose:

U(P, t) = U0exp(i(kz−ωt))

o`u P = (x, y, z), k = 2π/λ =const et ω = 2πν = const

→

Γ(P1, P2, τ) =|U0|²exp(i(k(z1−z2) +ωτ))

La fonction de coh´erence a la mˆeme longueur d’onde que les ondes initiales, mais c’est une onde stationnaire

si τ = 0 et z1−z2 = 0 → Γ est maximum

normalisation:

γ(P1, P2, τ) = Γ(P1, P2, τ)

qI(P1)I(P2)

|γ(P1, P2, τ)| ≤1

(7)

maintenant: superposition de deux champs d’ondes monochromatiques

qui se propagent dans deux directions différentes

(8)

Le th´ eor` eme de van Cittert-Zernike I

deux directions de propagation diff´erentes: s~a, s~b

Ua = U0aexp(i(k ~sa·~x−ωt) Ua =U0bexp(i(k ~sb·~x−ωt)

U = Ua+Ub

Γ(P1, P2, τ) =< U(P1, t1)U^∗(P2, t2)>=

<(Ua(P1, t1) +Ub(P1, t1))(Ua(P2, t2) +Ub(P2, t2))^∗ >=

< Ua(P1, t1)U_a^∗(P2, t2)> + < Ub(P1, t1)U_b^∗(P2, t2)> +

< Ua(P1, t1)U_b^∗(P2, t2) > +< Ub(P1, t1)U_a^∗(P2, t2)>

si Ua et Ub ne sont pas correl´es:

< Ua(P1, t1)U_b^∗(P2, t2) >=< Ub(P1, t1)U_a^∗(P2, t2) >= 0

→

Γ(P1, P2, τ) = |U0a|²exp(i(k ~sa·~u+ωτ) +|U0b|²exp(i(k ~sb·~u+ωτ) o`u ~u =x~1−x~2

seule la diff´erence de distances entre dans le probl`eme

(incohérents)

(9)

Le th´ eor` eme de van Cittert-Zernike II

maintenant |U0a| =|U0b|= |U0|:

γ(~u, τ) = cos(k

2(s~a−s~b)·~u) exp(i(k

2(s~a+s~b)·~u+ωτ))

→ l’amplitude varie lentement avec la position

perte de coh´erence pour k

2(s~a−s~b)·~u= (2n+ 1)π 2 pour plusieurs composantes:

U(P, t) =^X

n Un(P, t)

→

Γ(~u, τ) =< U(P1, t)U^∗(P2, t+τ)>=^X

n |U0n|²exp(i(k ~sn·~x+ωτ)) pour la limite n→ ∞:

U(P, t) = ^Z ^Z U(~s) exp(i(k~s·~x−ωt))dΩ Γ(~u, τ) =^Z ^Z I(~s) exp((i(k~s·~x+ωτ))dΩ avec

I(~s) =^Z ^Z U(~s)U^∗(~s)dΩ

si on peut mesurer Γ(~u, τ), on peut d´eterminerI(~s) par inversion U(s+σ)U*(s+σ)dσ

u

onde stationnaire

u

ds ds

condition pour source ponctuelle

(10)

L’interf´ erom` etre ` a deux ´ el´ ements

2 t´elescopes: T₁ et T₂

U1 ∝Ecos(ωt) U₂ ∝ Ecos(ω(t−τ))

interf´erom`etre de correlation:

fonction de cross-correlation int´egr´ee:

R(τ)∝ E² T

Z T

0 cos(ωt) cos(ω(t−τ))dt o`u T ≫ 2π/ω

la moyenne sur T sin moyenne sur une p´eriode 2π/ω R(τ) ∝ ω

2πE²

Z 2π/ω

0 cos(ωt) cos(ω(t−τ))dt

∝ ω

2πE²( cos(ωτ)^Z ^2π/ω

0 cos²(ωt)dt+sin(ωτ)^Z ^2π/ω

0 sin(ωt) cos(ωt)dt)

→ R(τ)∝ 1

2E²cos(ωτ)

(11)

interf´erom`etre d’addition (total power):

U₁ ∝E₁exp(iωt) U₂ ∝E₂exp(ω(t−τ))

I =< (U₁+U₂)(U₁+U₂)^∗ >=< U₁U₁^∗ > + < U₂U₂^∗ > + < U₁U₂^∗ > + < U₂U₁^∗ >

o`u< U₁U₁^∗ >= I₁, < U₂U₂^∗ >= I₂, < U₁U₂^∗ >=√

I₁I₂exp(iωτ),

< U₁U₂^∗ >= √

I₁I₂exp(−iωτ)

→ I =I₁+I₂+ 2√

I₁I₂cos(ωτ)

Le retard τ est la somme du retard g´eometrique τg et instru- mental τi:

τ = τg+τi = 1

cB~ ·~s−τi

(12)

L’effet d’une largeur de bande finie

cross-correlation entre deux signaux monochromatiques x et y:

Rxy(τ) =< x(t)y(t−τ) >

dans le domaine de fr´equences: Sxy(ν, τg) = X(ν)Y^∗(ν) = A(~s)Sexp(−i2πντg) S: flux; A(~s): surface effective du t´elescope.

largeur de bande finie:

gating function Π(ν)

< Sxy(τg)>= ^R_−∞^∞ Sxy(ν, ~s)Π(ν)dν = ^R_ν^ν₀⁰₋^+B/2_B/2 A(ν, ~s)S(ν) exp(−i2πντg)dν A(ν, ~s) ∼ const. = A(ν0, ~s) , S(ν)∼ const. = S(ν0)

→ < Sxy(τg)>= A(ν0, ~s)S(ν0)Bexp(−i2πν0τg) sinc(Bτg)

→ necessit´e d’introduction de τi

« delay beam »

(13)

Etendue finie de la source radio

le t´elescope suit la source: phase tracking center: s~0

Sxy(ν0, ~s0 +~σ) = A(s~0 +~σ)Iν(s~0 +~σ)Bexp(i2πν0(τg −τi))dΩ signal du correlateur:

Sxy(s~0) = B^R4πA(~σ)Iν0(~σ) exp(i2πν0(τg −τi))dΩ =

= B^R_4πA(~σ)Iν0(~σ) exp(i2πν0(c⁻¹B~ ·(s~0 +~σ)−τi))dΩ On suppose que τi = ¹_cB~ ·s~0:

Sxy(s~0) = B^R4πA(~σ)I˜ ν(~σ) exp(i2πνc⁻¹B~ ·~σ)dΩ Rappel:

Sxy(ν, τg) = X(ν)Y^∗(ν) Rxy(τ) =< x(t)y(t−τ) >

D´efinition:

Visibilit´e:

Vij =^R A(σ)I˜ ν(σ) exp(i2π~bij,λ·~σ)dΩ = |Vij|exp(iϕij) o`u~b_ij,λ =~b_ij/λ

en r´ealit´e la mesure est: ˜Vij =GijVij + bruit

avecGij = gig^∗_jgij est le gain complex, o`u gi est le gain complexe d’un t´elescope

B: largeur de bande

(14)

Les visibilités

Interférometrie avec les VLTs

(Ohnaka et al. 2006)

(15)

Synthèse d’ouverture

Very Large Array (VLA, USA)

Australia Telescope Compact Array (ATCA)

Plateau de Bure mm interferometer

(France)

(16)

Synthèse d’ouverture

(17)

Synth` ese d’ouverture

réponse d’un interféromètre:

R(B) =~ ^Z

S Z

A(~s)I_ν(~s) exp (iω(1

cB~ ·~s−τ_i))d~sdν o`u A(~s): antenna power pattern

Synth`ese d’ouverture: resoudre cette ´equation en mesurantR(B)~ afin d’obtenir I_ν(~s) pour un ensemble d’orientations B.~

maintenant: vecteur d’unit´e s = s0 + σ o`u s0 est le centre de pointage.

R(B~) = exp (iω(1

cB~ ·s~₀ −τ_i))dν^Z

S Z

A(~σ)I_ν(~σ) exp (iω

cB~ ·~σ)d~σ

d´efinition: fonction de visibilit´e:

V(B) =~ ^Z

S Z

A(~σ)I_ν(~σ) exp (iω

cB~ ·~σ)d~σ surface effective

(18)

nouveau syst`eme de coordonn´ees:

ω

2πcB~ = (u, v, w)

V(u, v, w) = ^R_−∞^∞ ^R_−∞^∞ A(x, y)I(x, y) exp(i2π(ux+vy+w√

1−x²−y²))√^dxdy

1−x²−y²

o`u on suppose que A(x, y) = 0 pour x² +y² > l² < 1 o`u l est la HPBW.

Si l’on observe seulement une petite r´egion dans le ciel:

√1−x²−y² ∼ const ∼1

V(u, v, w) exp(−i2πw) =

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞A(x, y)I(x, y) exp(i2π(ux+vy)dxdy V(u, v, w) exp(−i2πw)∼ V(u, v,0)

transform´ee de Fourier:

Γ(x, y) = A(x, y)I(x, y) = ^Z ^∞

−∞

Z ∞

−∞V(u, v,0) exp(−i2π(ux+vy))dudv

(19)

Synthesis mapping

Le plan UV: u – direction est; v – direction nord; w – direction de la source

(20)

Couverture dans le plan UV

V vs U for 19971106.C_BAND.1 Source:1331+305 Ants * - * Stokes RR IF# 1 - 2 Chan# 1

Freq = 4.8851 GHz, Bw = 50.000 MHz

Kilo Wavlngth

-15 -10 -5 0 5 10 15

15

10

5

0

-5

-10

-15

VLA observation courte (« snapshot »)

(21)

Couverture dans le plan UV

beam VLA+

Pie town 1 snapshot

3 snapshots

9 snapshots

(22)

Utilisation de la rotation de la terre (Supersynth` ese)

probl`eme: w n’est pas constant

solution: les vecteurs B~i se trouvent seulement dans un plan si les antenne sont align´ees est–ouest,

on choisi l’axe w en direction du pˆole nord → w = 0.

A(x, y)I(x, y)

√1−x²−y² = ^Z ^∞

−∞

Z ∞

−∞V(u, v) exp(−i2π(ux+vy)dudv pour un alignement est-ouest:

u= νL

c cost , v = ν

cLsintsinδ0

où L = |B~| est la longueur de la ligne de base, t est l’angle horaire du centre du champ observé et δ0 est la declinaison du centre du champ observé. (l’angle horaire est mesuré par rap- port au méridien (système zenith–nord–sud))

dans le plan U V: pour δ0 =±90^◦: circle pour δ0 = 0^◦: ligne sinon: ellipse

(23)

Couverture dans le plan UV

« full track » = 12h d’observation d’angles horaires de -6h a +6h

déclinaison = 80 degrés

déclinaison = 20 degrés

(24)

Interféromètre d’alignement est-ouest

Westerbork Synthesis Radio Telescope (WSRT, Pays Bas)

(25)

La tranformation de la fonction de visibilit´ e

I^′(x, y) =A(x, y)I(x, y)

tranformation de Fourier directe (“dirty” map):

I^′′(x, y) = ^X

k

g(uk, vk)V(Uk, vk) exp(−i2π(ukx+vky)) o`u g(u, v) est une fonction de ponderation

propri´et´es:

I^′′(x, y) = PD(x, y)∗I^′(x, y) o`u

PD = ^X

k

g(uk, vk) exp(−i2π(ukx+vky))

est la reponse de l’interféromètre à une source ponctuelle;

la distribution des lobes secondaires d´epend de la distribution des (uk, vk) (“dirty” beam).

(26)

Grating response (la r´ eponse de l’echantillinnage)

s’il y a une regularité dans l’espacement des antennes (une fréquence spatialle préférée), cela se retrouve dans la structure des lobes secondaires.

par exemple:

array est–ouest: distances constantes (∆L) entre les antennes:

→ ellipses discr`etes dans le plan U V avec des axes: kc/ν∆L et kc/ν∆Lsinδ0.

solution: proc´edure de “CLEANing”.

(27)

Fast Fourier Transform Inversion, Aliasing

pour une transformation de Fourier rapide (FFT) les visibilités devraient être mesurées sur une grille equidistante

interpolation afin d’obtenir une fonction de visibilit´es echantil- lonn´ee (gridded visibility function):

V^′(u, v) = III(u, v)(G(u, v)∗V(u, v))

où V(u, v) est la fonction de visibilités mesurée sur une grille irrégulière (ui, vi) et G(u, v) est une fonction de convolution, Sha-function:

III(u, v) = ∆u∆v ^X^∞

j,k=−∞

δ(u−j∆u)δ(v−k∆v)

transformation de Fourier:

III(x, y) = ^X^∞

i,j=−∞

δ(x−i/∆u)δ(y−j/∆v)

→

I(x, y) = III(x, y)∗(g(x, y)I^′(x, y))

oùg(x, y) est la transformée de Fourier deG(u, v) (qui détermine le beam)

si l’echantillonnage n’est reste pas z´ero en dehors des limites de la carte, le rayonnement en dehors de la carte est “alias´e”

dans la carte.

Si G(u, v) est une boite → g(x, y) = sincxsincy.

afin de reconnaitre le aliasing: re-echantillonage de la grille

(28)

Fast Fourier Transform Inversion, Aliasing

I^′(x, y) est une version déformée de la vraie distribution d’intensité amélioration:

CLEAN algorithme (H¨ogbom):

approximer la vraie distribution d’intensit´e (inconnue) par une superposition d’un nombre fini de sources ponctuelles de fluxA_i

`a des positions (xi, yi):

“dirty” map I^′ with beam PD: I^′(x, y) =^X

i

A_iPD(x−x_i, y−y_i) +IR(x, y)

IR est l’intensit´e r´esiduelle. Remplacement de PD par un beam

“propre” (Gaussien).

(29)

Calibration

calibration avec une source ponctuelle d’un flux important

S_ν

:

V_jk

=

S_ν

exp(i

ω

cB~_jk

(~s

−s~₀

))

si l’on ne retrouve pas les

V_jk, il faut introduire des facteurs de

calibration

C_jk

(t) afin que

C_jk

(t)V

_jk^′

=

V_jk

o` u

V_jk^′

sont les visi- bilit´es observ´ees. Ces facteurs sont des nombres complexes.

unit´es de la densit´e de flux: Jansky per beam (Jy/beam, 1 Jy=10

⁻²⁶

W m

⁻²

Hz

⁻¹

)

flux int´ egr´ e

F_ν

:

source ponctuelle:

F_ν

=

S_ν

source ´etendue:

Fν

=

^R Sν

dΩ unit´e = Jy puissance re¸cue d’une source de flux

Sν

:

P_ν

= 1

2

AeS_ν

=

λ²

2 (

S_ν

Ω

A

) =

kTA

=

ηRkTb

→

Tb

= 1

η_R

λ²

2k (

S_ν

Ω

_A

)

Tb

= 3.62

×

10

⁻²

1

η_R

(

λ

m

2

)(

S_ν/Jy

Ω

_A/sr

)

1

2^′ ≃

84.62

×

10

⁻⁹

sr

(30)

Observer avec un interféromètre

• pointage et focus des antennes uniques (voir cours précèdent)

• au début et a la fin: observation d’une source de calibration de flux et de

polarisation si nécessaire

• en alternance: observation de la source et

du calibrateur de phase

(31)