3 Représentation d'un état de spin sur la sphère de Riemann

Université Joseph Fourier. Master 1 Physique TD de mécanique quantique

TD n^o5 Solutions

Spin 1/2

1 Algèbre du spin

1. Si~u∈R³,k~uk= 1, on obtient

(~σ.~u)²= (σxux+σyuy+σzuz)²=u²_x+u²_y+u²_z=k~uk²= 1

Donc(~σ.~u)ⁿ= 1si npair, et(~σ.~u)ⁿ =~σ.~usi nimpair. On utilise la série convergentee^X =P

n≥0 1 n!Xⁿ, pour écrire

exp (iα~σ.~u) =X

n≥0

1

n!(iα)ⁿ(~σ.~u)ⁿ=



 X

k≥0

1

(2k)!(iα)^2k



Iˆ+ (~σ.~u)



 X

k≥0

1

(2k+ 1)!(iα)^2k+1





= (cosα) ˆI+i(~σ.~u) sinα

Ensuite, dans la base |+zi,|−zi,Sˆy ≡^~₂σy donc Rˆy(θ) = exp

−i

~θSˆy

≡exp

i

−θ 2

σy

= cosθ

2−iσysinθ 2 =

cos^θ₂ −sin^θ₂ sin^θ₂ cos^θ₂

Finalement, |+θi= ˆRy(θ)|+zi= cos^θ₂|+zi+ sin^θ₂|−zi, et|−θi= ˆRy(θ)|−zi=−sin^θ₂|+zi+ cos^θ₂|−zi. 2. On écritSˆθ= ˆRy(θ) ˆSzRˆ⁻¹_y (θ), avecSˆz≡ ^~₂σz, et on développe le produit de matrices. On obtient

Sbθ≡ ~ 2

cosθ sinθ sinθ −cosθ

On vérie par exemple, que pourθ =π/2, Sbθ ≡ ^~₂

0 1 1 0

= ˆSx. L'opérateurSˆθ correspond à l'axez transformé par la rotationR_y(θ). CommeSb_z|+_zi=^~₂|+_zion déduit que

Sb_θ|+_θi= ˆR_y(θ) ˆS_zRˆ_y⁻¹(θ)

Rˆ_y(θ)|+_zi

=~ 2

Rˆ_y(θ)|+_zi= ~ 2|+_θi et de mêmeSbθ|−θi=−^~₂|−θi.

2 Mesure du spin. Délocalisation et recombinaison d'une particule

1. D'après l'exercice 1,

|+zi= cosθ

2|+θi −sinθ 2|−θi

Cette décomposition donne l'amplitude des deux faisceaux. On déduit les probabilités, en prennant les modules carrés, et en normalisant (ce qui est inutile ici car l'état est déjà normalisé) :

P_+,θ=

cosθ 2

2

, P_−,θ=

sinθ 2

2

,

Donc aprèsN mesures, la mécanique quantique prédit

N_+θ N−θ

→N→∞

P_+,θ P−,θ

=

cotgθ 2

²

1

2. Après recombinaison, on re-obtient l'état

|+zi= cosθ

2|+θi −sinθ

2|−θi= 1|+zi+ 0|−zi et donc les probabilités sont P_D= 1,P_E= 0.

3. Si on place un absorbeur en A, alors après recombinaison, il sort seulement l'état −sin^θ₂|−θi

, qui lui même se décompose dans le dernier appareil comme

|−_θi=−sinθ

2|+_zi+ cosθ 2|−_zi et donc les probabilités sontP_D=

sin^θ₂sin^θ₂

2,P_E=

sin^θ₂cos^θ₂

2. En particulier dans le casθ=π/2, on obtient PD= ¹₄,PE =¹₄ (la somme ne fait pas 1 car il y a probabilité 1/2 que la particule soit absorbée en A). Le paradoxe est que en rajoutant un absorbeur dans le dispositif, le ux en E augmente. Cela ne peut pas se produire si les faisceaux étaient un ux de particules classiques. Ici le résultat est lié à l'aspect ondulatoire, et resulte d'interférences.

3 Représentation d'un état de spin sur la sphère de Riemann

1. Soit un état de spin 1/2 quelconque noté :

|ψ >=a|+z>+b|−z>

avec a, b ∈ C. Si b 6= 0, alors on écrit |ψ >= b|ϕi avec |ϕi = z|+z > +|−z > et z = a/b. De façon très générale, les probabilités associées au résultat d'une mesure sur un état quantique, ne change pas si l'état est multiplié par une constante complexe. Plus précisement, si|ψ >=b|ϕi, etAˆest une observable (opérateur) :

hψ|A|ψiˆ hψ|ψi = |b|²

|b|²

hϕ|A|ϕiˆ

hϕ|ϕi = hϕ|A|ϕiˆ hϕ|ϕi Par conséquent|ψiet |ϕidécrivent les même états physiques 2. On calcule

s_x= hψ|Sb_x|ψi

hψ|ψi = 1

|a|²+|b|²

~

2 a, b 0 1

1 0 a b

=~ 2

2<(z) 1 +|z|² de même :

sy= hψ|Sby|ψi hψ|ψi =−~

2 2=(z)

1 +|z|², sz=hψ|Sby|ψi hψ|ψi = ~

2

|z|²−1 1 +|z|² Doncs²=s²_x+s²_y+s²_z= ^~₂²

. (Ne pas confondres²=hSxi²+hSyi²+hSzi²avec S²

=~^{2 1}_{2 1}

2+ 1 ).

3. En coordonnées sphériques(s, θ, ϕ),sx= ^~₂sinθcosϕ, sy= ^~₂sinθsinϕ, sz= ^~₂cosθ, on obtient zz=1 + 2^sz

~

1−2^sz

~

=1 + cosθ

1−cosθ =cotg²θ 2

et

z=

1 +|z|² sx

~

−isy

~

=1

2 1 +cos^2θ₂ sin^2θ₂

!

(cosϕ−isinϕ) sinθ

doncz=cotg^θ₂e^−iϕ. 4. D'après les schémas :

2