rencontre du non-lin´eaire 2016 1
Instabilit´ e visco´ elastique dans le r´ egime K´ epl´ erien comme analogue de l’instabilit´ e magn´ eto-rotationnelle
Innocent MUTABAZI, Yang BAI & Olivier CRUMEYROLLE
Laboratoire Ondes et Milieux Complexes, UMR 6294, CNRS-Universit´e du Havre, 76058 Le Havre Cedex innocent.mutabazi@univ-lehavre.fr
L’instabilit´e magn´etorotationnelle (MRI) d’un fluide conducteur dans un champ magn´etique a fait l’objet de plusieurs ´etudes th´eoriques depuis que Balbus et Hawley [1] ont montr´e qu’elle ´etait l’un des m´ecanismes susceptibles d’expliquer le transport de moment turbulent dans les disques d’accr´etion en Astrophysique. De r´ecents travaux d’Ogilvie et collaborateurs [2,3] ont ouvert une possibilit´e de r´ealisation d’une exp´erience analogique permettant d’illustrer cette instabilit´e en utilisant les liquides visco´elastiques. En effet, l’´etirement de longues cha´enes polym´eriques est ´equivalent ´e celui des lignes de champ magn´etique ; et les ´equations d´ecrivant les ´ecoulements des liquides visco´elastiques dans le mod´ele d’Oldroyd-B sont identiques ´e celles de la magn´etohydrodynamique dans la limite des grands nombres de WeissenbergW i et de Reynolds magn´etique Rm. Boldyrev [4] ont men´e une exp´erience pr´eliminaire mais dans des conditions ´eloign´ees de la th´eorie d´ev´elopp´ee par Ogilvie et al. [3].
Nous rapportons les r´esultats d’une ´etude syst´ematique exp´erimentale et th´eorique de l’instabilit´e d’un liquide visco´elastique (de masse volumiqueρet de viscosit´eµ0) dans le syst´eme de Couette-Taylor de longueur L et de largeur d lorsque les deux cylindres de rayons a et b = a+d sont en corotation de type Kepl´erien avec des vitesses angulaires Ω1 et Ω2 respectivement. Nous avons utilis´e des solutions de polym´eres avec des temps de relaxation λ qui ont une viscosit´e totale quasi-constante vis-´e-vis du cisaillement, mimant le mod´ele d’Oldroyd-B. Les param´etres de contr´ele variables du syst´eme sont le nombre de TaylorT a= [ρ|Ω1−Ω2|ad/µ] (d/a)1/2, le nombre ´elastiqueE =λµ/(ρd2) et le rapport des viscosit´esS =µp/mu0 o´eµp est la contribution du polym´ere ´e la viscosit´e du solvant. L’exp´erience est r´ealis´ee dans un syst´eme de rapport d’aspect Γ =L/d= 45 et de rapports de rayonsη=a/b= 0.8.
Pour chaque solution de polym´ere, nous avons d´etect´e l’apparition d’une instabilit´e et mesur´e les prin- cipaux param´etres caract´erisant le motif correspondant : valeur seuil de T a, spectre de longueur d’onde et de fr´equence. Une ´etude de stabilit´e lin´eaire a permis de d´eterminer les diff´erents seuils d’instabilit´e pour diff´erentes solutions ´etudi´ees et un diagramme d’´etats critiquesT ac(ES)a ´et´e ´etabli. Les principaux r´esultats obtenus sont les suivants : lorsque les cylindres sont en corotation Kepl´erienne, pour une valeur donn´ee de ES, l’´ecoulement devient instable et le seuilT ac d´ecro´et avec ES; la nature de l’instabilit´e d´epend de la valeur du produitES. Pour de valeurs deE >1 quelque soit S, l’instabilit´e est de nature purement ´elastique avec un large spectre de nombres d’onde et de fr´equences. Pour de faibles valeurs deE, l’instabilit´e se manifeste soit sous forme de vortex axisym´etriques stationnaires ou de vortex non axisym´etriques oscillants.
Une analyse th´eorique a permis d’´etendre le mod´ele d’Ogilvie par la g´en´eralisation du crit´ere de stabilit´e de Rayleigh aux fluides visco´elastiques, ainsi que la construction de champs de vecteurs ´e partir du tenseur de contraintes visco´elastiques. Ces champs de vecteurs jouent un r´ele analogue ´e celui du champ magn´etique. Cette extension a permis de consid´erer que les vortex asisym´etriques observ´es dans l’exp´erience sont les analogues de l’instabilit´e magn´etorotationnelle azimutale alors que les vortex non axisym´etriques seraient les analogues de l’instabilit´e magn´etorotationnelle h´elico´edale [?].
R´ ef´ erences
1. S.A. Balbus and J.F. Hawley,Rev. Mod. Phys.,70, 1 (1998).
2. G.I. Ogilvie and A. T. Potter,Phys. Rev.Lett.,100, 074503 (2008).
3. G.I. Ogilvie and M.R.E. Proctor,J. Fluid Mech.,476, 389 (2003).
4. S. Boldyrev, D.Huynh and V. Pariev,Phys.Rev. E,80, 066310 (2009).
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