Examen de Mécanique Quantique

ECPM 1ère année

Examen de Mécanique Quantique

14 novembre 2013 Durée de l’épreuve : 2h

Tous les documents ainsi que les calculatrices sont interdits.

Le barème proposé est uniquement indicatif.

1. Questions de cours notées sur 9 points a) [3 pts] Soit (r, t) = 0 e^~i

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la fonction d’onde décrivant une particule libre de masse m et de quantité de mouvement p, 0 étant une constante. Montrer qu’elle vérifie l’équation de Schrödinger dépendante du temps.

b) [1.5 pts] Soit Ï(x) la fonction d’onde décrivant une particule se déplaçant sur l’axe des x. Quel sens physique donne-t-on à l’intégrale^⁄

Rx|Ï(x)|²dx? Justifiez votre réponse.

c) [1.5 pts] Montrer que les valeurs propres d’un opérateur hermitien sont réelles. Pourquoi la propriété d’hermiticité d’un opérateur est fondamentale en mécanique quantique ?

d) [2 pts] Soit | (t)Íl’état, à l’instant t, d’un système quantique dont on suppose que l’hamiltonienHˆ ne dépend pas du temps. Soit Aˆ un opérateur quelconque indépendant du temps. Démontrer le théorème d’Ehrenfest :

d

dtÈ (t)|Aˆ| (t)Í= 1

i~È (t)|[ ˆA,H]ˆ | (t)Í.

e) [1 pt] D’après l’équation de Schrödinger, la valeur moyenne de l’énergie cinétique de l’électron1sdans un atome hydrogénoïde de numéro atomique Z s’écrit 1

2(Z–)²m_ec² où m_e est la masse de l’électron, c la vitesse de la lumière dans le vide et – ¥1/137 la constante de structure fine. Que peut-on conclure quand à la validité de l’équation de Schrödinger pour les molécules contenant des éléments lourds (Z élevé) ? Détaillez votre réponse.

1

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2. Problème noté sur 11 points : états de spin de l’électron en présence d’un champ magnétique

La rotation de l’électron sur lui même ("spin" en anglais) peut être mise en évidence en plongeant, par exemple, un atome d’hydrogène dans un champ magnétique uniforme de norme B₀. On s’intéresse ici aux états quantiques|+Íet|≠Í correspondant au mouvement de spin de l’électron autour de l’axe deszdans le sens direct et indirect, respectivement, comme illustré dans la Fig. 1. Les états|+Íet|≠Í forment une base orthonormée de l’espace des états quantiques de spin de l’électron.

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Figure 1: Représentation schématique des états de spin |+Í et|≠Í.

a) [1 pt] On admet que si le champ magnétique est dirigé suivant l’axe des z, l’hamiltonien de l’électron est représenté comme suit dans la base {|+Í,|≠Í}:

ËHˆ^È= S WU

~Ê₀

2 0

0 ≠~Ê₀ 2

T XV,

où Ê₀= eB₀

m_e est la pulsation dite de Larmor (e est la charge élémentaire de l’électron (en valeur absolue) et m_e sa masse). On suppose qu’à l’instant t = 0 l’électron est dans l’état de spin |+Í. Quelle est la probabilité que l’électron soit dans l’état|≠Ílorsque t >0. Justifiez votre réponse.

b) [3 pts] On suppose dans la suite du problème que le champ magnétique est désormais dirigé suivant l’axe des x. Dans ce cas, l’hamiltonien de l’électron est représenté comme suit dans la base{|+Í,|≠Í} :

ËHˆ^È= S

WU 0 ~Ê₀

~Ê₀ 2

2 0

T XV.

2

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Vérifier que les états propres de Hˆ s’écrivent |1Í= 1 Ô2

1|+Í ≠|≠Ͳet|2Í= 1 Ô2

1|+Í+|≠Ͳ , qu’ils sont

associés respectivement aux énergies≠~Ê₀

2 et ~Ê₀

2 , et qu’ils forment une base orthonormée.

c) [2 pts] Soit| (t)Í=C₁(t)|1Í+C₂(t)|2Í l’état quantique de l’électron à l’instantt écrit dans la base des états propres de l’hamiltonien. Démontrer que C₁(t) =C₁(0)e^iÊ20t etC₂(t) =C₂(0)e^≠iÊ20t.

d) [1 pt] On suppose qu’à l’instantt= 0, l’électron est dans l’état |+Í. En déduireC₁(0)et C₂(0).

e) [2 pts] Montrer, en calculantP+(t) =|È+| (t)Í|², que l’état de spin de l’électron oscille entre les états

|+Í et|≠Íavec une pulsation égale à celle de Larmor.

f) [2 pts]Expliquer, à l’aide du théorème d’Ehrenfest, pourquoi la valeur moyenne de l’énergie de l’électron liée à son spin È (t)|Hˆ| (t)Í ne varie pas au cours du temps. Quelle est sa valeur ?

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