Cours 06 – Géométrie analytique

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Cours 06 : Géométrie analytique

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0 I

J

i→ J→

0 I

J

i→ J→

0 I

J

i→

J→

0 I

J

i→

J→

0 I

J

i→

J→

0 I

J

i→

J→

Seconde – Lycée Desfontaines - Melle

Cours 06 – Géométrie analytique

I. Bases et repères dans le plan

Définitions :

Soient O ; I et J trois points non alignés du plan. On dit que le triplet (O;I;J) est un repère du plan.

° O est l’origine du repère.

° La droite (OI) est appelée « axe des abscisses ».

° La droite (OJ) est appelée « axe des ordonnées ».

Posons ÄOI=Åi et ÄOJ=Åj

O, I et J étant non alignés, les vecteurs Åi et Åj ne sont pas colinéaires.

On peut alors aussi parler du repère

(

^O;Åi;Åj

)

. Le vecteur Åi indique la direction et l’unité sur l’axe des abscisses, tandis que le vecteur Åj indique la direction et l’unité sur l’axe des ordonnées. Le couple de vecteurs

(

^Åi;Åj

)

s’appelle une base.

Cas particuliers :

° Lorsque les axes sont perpendiculaires, on dit que le repère

(

^O;Åi;Åj

)

est orthogonal. La base

(

^Åi;Åj

)

est alors dite orthogonale.

° Lorsque les axes sont perpendiculaires et que

║ ║

^Åi =

║ ║

^Åj =1, on dit que le repère

(

^O;Åi;Åj

)

est orthonormal ou orthonormé. La base

(

^Åi;Åj

)

est alors dite orthonormale ou orthonormée.

Repère orthogonal

Repère orthonormal ou orthonormé

II. Coordonnées d’un point et d’un vecteur

Remarque : On exprime les coordonnées d’un point dans un repère et celles d’un vecteur dans une base. Cependant, par abus de langage, on parle parfois des coordonnées d’un vecteur dans le rep ère

(

^O,Åi;Åj alors qu’on devrait dire dans la base

) (

^Åi;Åj

)

. Dans un repère

(

^O;Åi;Åj

)

, dire que le point M a pour coordonnées le couple (x;y)

signifie que ÄOM=xÅi+yÅj.

On note alors M(x;y) ; x est l’abscisse de M et y est l’ordonnée de M.

Soit un vecteur Åu et le point M tel que ÄOM=Åu.

Soit (x;y) les coordonnées du point M. Alors : Åu=ÄOM=xÅi+yÅj On dit que le vecteur Åu a pour coordonnées (x;y)

On note Åu

 

 

x

y ou Åu(x;y).

Remarque : Les coordonnées d’un point M dans le repère

(

^O;Åi;Åj

)

sont celles du vecteur ÄOM.

Ainsi, dans un repère

(

^O;Åi;Åj

)

,



 

^M_Ä^{(x;y)ñÄOM=xÅi+yÅj}

O M

 

 

x y

ñÄOM=xÅi+yÅj Åu

 

 

x

y ñÅu=xÅi+yÅj

O i^→ J→

OM→

M

xi→ x

yj→ y

O i^→ J→

OM→

M

xi→ x

yj→ y

O i^→ J→

u→

M

xi→ x

yj→ u y

→

xi→

yj→

O i^→ J→

u→

M

xi→ x

yj→ u y

→

xi→

yj→

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Cours 06 : Géométrie analytique

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III. Opérations avec les coordonnées

a. Règles de calcul

Dans un repère

(

^O;Åi;Åj

)

, soient deux vecteurs Åu

 

 

x y et Åv

 



x′



y′ et k un réel, alors : Åu=Åvñ



x=x′

y=y′ ; Åu+Åv

 



x+x′



y+y′ ; kÅu

 

 

kx ky

b. Critère de colinéarité ° Åu

 

 

x y et Åv

 



x′



y′ sont colinéaires si et seulement si xy′−x′y=0.

c. Norme d’un vecteur On considère un vecteur Åu(x;y).

° Si le repère

(

^O;Åi;Åj

)

est orthonormé alors

║ ║

^Åu = x²+y²

IV. Applications

1- Calcul des coordonnées du vecteur ÄAB. Théorème :

Dans un repère

(

^O;Åi;Åj

)

; soient deux points A et B de coordonnées respectives

(

^xA;y_A

)

et

(

^xB;y_B

)

. Alors, le vecteur ÄAB a pour coordonnées :

  

 



x_b−x_A y_B−y_A 2- Calcul des coordonnées du milieu d’un segment Théorème :

Dans un repère

(

^O;Åi;Åj

)

, soient deux points A et B de coordonnées respectives

(

^xA;y_A

)

et

(

^xB;y_B

)

. Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées

 

 

x_A+x_B

2 ;^yA+yB 2 3- Calcul de la longueur d’un segment

Théorème :

Dans un repère orthonormé

(

^O;Åi;Åj

)

, soient deux points A et B de coordonnées respectives

(

^xA;y_A

)

et

(

^xB;y_B

)

. Alors la longueur du segment [AB], notée AB ou

║ ║

^ÄAB est AB=

║

^ÄAB

║

=

(

^xB−x_A

)

²+

(

^yB−y_A

)

².

Preuve : A

(

^xA;y_A

)

et B

(

^xB;y_B

)

alors ÄAB

  

 



x_B−x_A

y_B−y_A d’où AB=

║

^ÄAB

║

=

(

^xB−x_A

)

²+

(

^yB−y_A

)

²

V. Exercices

Exercice 1

Dans un repère

(

^O;Åi;Åj

)

, placer les points A(2;-3) et B(0;4).

Exprimer les vecteurs ÄOA et ÄOB en fonction de Åi et Åj.

On considère les points C et D tels que ÄOC=-Åi+2Åj et ÄOD=3Åi . Déterminer les coordonnées des points C et D dans le repère

(

^{O; Åi; Åj}

)

. Exercice 2

Dans un repère

(

^O;Åi;Åj

)

, on donne les vecteurs Åu=-3Åi+Åj, Åv=2Åi+3Åj et Åw=Åi−Åj.

Déterminer dans ce repère, les coordonnées des vecteurs Åu, Åv et w Å puis celles des vecteurs U, Å V et Å W définis par : Å

U=2Å Åu, ÅV=Åu+Åv et W= Å 1

2Åu−Åv+3w. Å Exercice 3

Déterminer les coordonnées des vecteurs ci-contre :

i→ j→

u→ u→

x y x

y

2 -1

-2 -3

2 3 4 5 6

0 1

1

i→ j→

u→ u→

i→ j→

r→ s→

t→

u→

v→

w→ i→ j→

r→ s→

t→

u→

v→

w→

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Cours 06 : Géométrie analytique

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Exercice 4

Soit

(

^O;Åi;Åj

)

un repère et a et b sont deux réels.

Dans le repère

(

^O;Åi;Åj

)

, on considère les vecteurs Åu(1;-2), Åv(-a+1;2b+3), Åw(2;3) et Åt(-4;1).

1. Déterminer a et b tels que Åv=Åu.

2. Déterminer les coordonnées dans le repère

(

^O;Åi;Åj

)

des vecteurs Åw+Åt ; -3Åt et -3Åt+2Åw.

Exercice 5

Dans un repère

(

^O;Åi;Åj

)

, on considère les vecteurs Åu(-6;2), Åv(4;-3) et Åw(3;-1).

Les vecteurs Åu et Åv sont-ils colinéaires ? Les vecteurs Åu et Åw sont-ils colinéaires ? Exercice 6

1- Dans un repère orthonormé

(

^O;Åi;Åj

)

, on donne le vecteur Åu

 





2

-3 . Déterminer

║ ║

^Åu .

2- Dans un repère

(

^O;Åi;Åj

)

orthonormal, on considère les vecteurs Åu(-2;4), Åv=3Åu et Åw=-2Åu.

Calculer

║ ║

^Åu et en déduire

║ ║

^Åv et

║ ║

^Åw . Exercice 7

Dans un repère

(

^O;Åi;Åj

)

, on donne A(-2;3), B(1;4) et C(4;-5).

Déter miner d a ns c haq ue cas les co o rd o n nées

(

^xM;y_M

)

du point M vérifiant : 1. ÄBM=ÄAB

2. M est le milieu de [AC]

3. 2ÄAB+3ÄCM=Å0

4. ABCM est un parallélogramme

5. ÄBM= 1

2

(

^ÄBA+ÄBC

)

6. M est l’image de C par la symétrie de centre B.

Exercice 8

Dans un repère orthonormé

(

^O;Åi;Åj

)

, on considère les points A(2;1), B(5;4), C(-1;4).

1. Faire une figure.

2. Calculer les coordonnées des vecteurs ÄAB, ÄAC et ÄBC. 3. Les points A, B et C sont ils alignés ? Justifier.

4. Montrer que le triangle ABC est rectangle isocèle en A.

5. Soit I le milieu de [BC] et soit D le point tel que ÄAD=1

3ÄBC+8 3ÄAI. (a) Déterminer les coordonnées du point I. Placer I.

(b) Démontrer que D a pour coordonnées (0;9). Placer D.

(c) Démontrer que les droites (AC) et (BD) sont parallèles.

6. Soit E le point tel que ÄBE

 



-3



3 . ( a ) P l a c e r E.

(b) Déterminer la nature du quadrilatère ACEB. Exercice 9

Dans un repère

(

^O;Åi;Åj

)

, M(x;y) ⇔ÄOM=xÅi+yÅj Soient A, B et D trois points non alignés.

Alors les vecteurs ÄAB et ÄAD sont non colinéaires.

On peut alors considérer le repère

(

^A;ÄAB;ÄAD

)

(A joue le rôle de l’origine, ÄAB joue le rôle du vecteur Åi et ÄAD celui du vecteur Åj ).

Dans le repère

(

^A;ÄAB;ÄAD

)

^{, M(x;y) ñ ÄAM=xÄAB+yÄAD}

Soit ABCD un parallélogramme non aplati de centre O, I est le milieu de [BC], J est le milieu de [AB], G est le point tel que ÄAG=2

3ÄAI et K est le point tel que ÄAK=5 2ÄAD.

Déterminer les coordonnées des points A, B, C, D, O, I, J, G et K dans le repère

(

^A;ÄAB;ÄAD

)

puis dans le repère

(

^B;ÄBA;ÄBC

)

. Exercice 10

Soient trois points non alignés A, B et C. P est le milieu de [AC], R est le symétrique de B par rapport à C.

Les points Q, L et S vérifient ÄAQ=1

3ÄAB, ÄBL=2

3ÄAB−1

3ÄAC et ÄRS=-2 3ÄAR. 1- Quelles sont les coordonnées des points A, B, C, P,

Q, R, L et S dans le repère

(

^A;ÄAB;ÄAC

)

2- Les points P, B et L sont-ils alignés ?

3- Les points P, Q et R sont-ils alignés ?

4- Les droites (QS) et (BR) sont-elles parallèles ?