Dès le XVIe siècle, les progrès en astronomie et en navigation ont engendré des calculs extrêmement compliqués. De nombreux mathématiciens se sont alors lancés dans des recherches visant à simplifier les calculs : l'idée retenue a été de transformer des multiplications en additions. Le mathématicien John Neper a publié en 1614 une table de calcul. Une application actuelle qui nous touche davantage est le son. En effet, le niveau sonore d'un baladeur atteint 100 décibels, alors que celui d'une conversation est de 50 décibels. L'intensité sonore du baladeur est de 100 000 fois plus grande que celle d'une conversation. Quant à l'intensité sonore dans une discothèque, elle est un million de fois supérieure à celle d'une conversation ! Comme ces grands nombres sont peu maniables car trop grands, il a été choisi une unité de niveau sonore faisant intervenir le logarithme de l'intensité sonore, qui permet de remplacer une multiplication par une addition et une élévation à la puissance par une multiplication.
E1 Découvrons la fonction logarithme.
N ° 1
1 ) Parmi les touches de la calculatrice, repérer la touche ln.
Elle correspond à la fonction logarithme népérien notée ln. Vérifier que ln ( 16 ) ≈ 2,7725887.
2 ) a ) Compléter le tableau suivant en arrondissant à 10-1 près.
x -20 -5 0 0,25 0,5 0,75 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
ln ( x )
b ) Quelle conjecture peut-on faire sur l'ensemble de définition de la fonction ln ? 3 ) a ) Tracer la courbe sur votre cahier.
b ) On considère le point A de coordonnées ( 2 ; ln ( 2 ) ).
Tracer la droite d'équation y = 1 2 x.
Constater que cette droite est parallèle à la tangente à la courbe en A.
Déduire la valeur de f ' ( 2 ).
1 Définition.
Il existe une unique fonction, appelée fonction logarithme népérien, notée ln, définie et dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ telle que ln ( 1 ) = 0 et ln ' ( x ) = 1
x .
E2 Savoir dériver la fonction ln.
Pour chaque fonction suivante, déterminer la fonction dérivée f ' de la fonction f.
N ° 2 f ( x ) = ln ( x ) + 2007 N ° 3 f ( x ) = 2ln ( x ) + 6 N ° 4 f ( x ) = 1990 − 3 ln ( x ) N ° 5 f ( x ) = ln ( x ) + x N ° 6 f ( x ) = 15 x + ln ( x ) N ° 7 f ( x ) = 3 x² + 6 ln ( x )
2 Sens de variation, signe et courbe représentative.
La fonction ln est une fonction strictement croissante sur ] 0 ; + ∞ [.
Autrement dit ln ( a ) et ln ( b ) sont rangés dans le même ordre que a et b.
Notation : a < b ⇔ ln ( a ) < ln ( b ).
Démonstration : voir feuille annexe.
Tableau de variation : voir feuille annexe.
Courbe représentative : voir feuille annexe.
Propriété : ln ( a ) = ln ( b ) ⇔ a = b.
Démonstration : voir feuille annexe.
Tableau de signes de la fonction ln : voir feuille annexe.
Exemples : Résoudre l'équation ln ( 3 − 2x ) = 0.
Résoudre l'inéquation ln ( x + 2 ) > 0. Voir feuille annexe.
E3 Savoir résoudre des équations.
Résoudre dans les équations suivantes.
N ° 8 ln ( x − 1 ) = 0 N ° 9 ln ( x² + 1 ) = 0
N ° 10 ln ( x² ) = 0 N ° 11 ln ( 3 − x ) = 0
N ° 12 ln ( 2x + 3 ) = ln ( 6 ) N ° 13 ln ( 5 − x ) = ln ( 7 ).
E4 Savoir résoudre des inéquations.
Résoudre dans les inéquations suivantes.
N ° 14 ln ( x + 2 ) > 0 N ° 15 ln ( 1 − 4x ) < 0
N ° 16 ln ( 7x ) ≥ 0 N ° 17 ln ( x² + 2 ) ≤ 0
N ° 18 ln ( x + 4 ) < ln ( 3 ) N ° 19 ln ( 1 − 2x ) > ln ( 4 ).
E5 Découvrons une propriété des logarithmes.
N ° 20 Compléter le tableau suivant en arrondissant vos résultats à 10-3 près.
a b ab ln ( a ) ln ( b ) ln ( a ) + ln ( b) ln ( ab )
2 3
5 7
9 13
14 14
10 100
Quelle propriété des logarithmes pouvez vous déduire de ce tableau ?
3 Propriétés de la fonction logarithme népérien.
Le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes.
Pour tous les nombres réels a et b strictement positifs, ln ( ab ) = ln ( a ) + ln ( b ).
Le logarithme d'un quotient est égal à la différence des logarithmes.
Pour tous les nombres réels a et b strictement positifs, ln ( a
b ) = ln ( a ) − ln ( b ).
Autres propriétés :
Pour tout nombre b réel strictement positif, on a ln ( 1
b ) = − ln ( b ).
Pour tout nombre a réel strictement positif, et pour tout nombre n relatif, on a ln ( an ) = n ln ( a ).
On a aussi, ln ( a ) = 1
2 ln ( a ).
Démonstrations : voir feuille annexe.
E6 Savoir exprimer un nombre en fonction d'un autre.
N ° 21 Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de ln ( 2 ).
A = ln ( 8 ).
B = 5 ln ( 4 ).
C = − 6 ln ( 16 ).
D = ln ( 2 ) − ln ( 4 ).
E = ln ( 16 ) − 3 ln ( 2 ).
N ° 22 Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de ln ( 3 ).
F = ln ( 9 ).
G = ln ( 27 ).
H = ln ( 1 81 ).
I = − ln ( 33 ) − ln ( 3 ).
N ° 23 Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de ln ( 2 ) et de ln ( 5 ).
J = ln ( 10 ).
K = ln ( 40 ).
L = ln ( 100 ).
M = 3 ln ( 4 5 ).
N = ln ( 106 ).
P = ln ( 25 8 ).
4 Dérivée de la fonction f ( x ) = ln ( ax + b ).
Soient a et b deux nombres réels avec a ≠ 0.
Soit I l'ensemble des valeurs de x telles que ax + b > 0.
Soit f la fonction définie sur I par f ( x ) = ln ( ax + b ).
Alors f est dérivable sur I et pour tout x de I, on a f ' ( x ) = b ax
a+ .
Exemple : f ( x ) = ln ( 3x − 5 ). Déterminer Df . Etudier le sens de variation de f sur Df. Puis dresser son tableau de variation sur Df. Voir feuille annexe.
E7 Savoir étudier une fonction où figure la fonction logarithme.
N ° 24 Etudier les fonctions suivantes.
f ( x ) = x² + 2 ln ( x ).
f ( x ) = x ln ( x ).
f ( x ) = ln ( x − 1 ).
f ( x ) = ln ( 2 − x ).
f ( x ) = ln ( 2x − 3 ).
E8 Transformation d'une suite géométrique en une suite arithmétique.
N ° 25 La population de la ville Loga est égale à p0 en 2007. Cette population augmente chaque année de 3 %.
On désigne par pn la population en ( 2007 + n ).
1 ) Démontrer que la suite ( pn ) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
2 ) Soit ( un ) la suite définie par un = ln ( pn ).
a ) Exprimer un en fonction de p0 et de n.
b ) En déduire que ( un ) est une suite arithmétique. Préciser le premier terme et la raison.
c ) On suppose p0 = 17 000. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que un > ln ( 2 p0 ).
En déduire la première année où la population de Loga sera supérieure au double de la population en 2007.
E9 Faites attention à vos oreilles.
N ° 26 Le niveau sonore d ( I ), en décibels ( db ) d'un son d'intensité I est donné par la formule d ( I ) =
) 10 ln(
10 × ( ln ( I ) − ln ( I0 ) ) où I0 est l'intensité du seuil d'audibilité de l'oreille humaine.
1 ) La voix du cousin Loga produit un son dont l'intensité I est égale à 106 × I0. Calculer le niveau sonore de la voix du cousin Loga.
2 ) Compléter le tableau suivant :
Intensité = Niveau sonore en décibels
Avion au décollage 1017 × I0
F1 en course 1012 × I0
Concert 1011 × I0
Baladeur à puissance maximale 1010 × I0
Moto 109 × I0
Voiture 108 × I0
3 ) Soient I1 et I2 deux intensités quelconques telles que I1 ≤ I2. a ) Démontrer que d ( I2 ) − d ( I1 ) =
) 10 ln(
10 × ( ln ( I2 ) − ln ( I1 ) )
b ) Calculer d ( I2 ) − d ( I1 ) avec I2 = 2 I1. Interpréter votre résultat.
c ) Déterminer
1 2
I
I lorsque d ( I2 ) − d ( I1 ) = 10. Interpréter votre résultat.
5 Equation f ( x ) = k.
Le but de ce paragraphe est d' utiliser le tableau de variation d'une fonction monotone dans un intervalle pour en déduire l'existence et l'unicité de la solution de l'équation f ( x ) = k.
Soit f une fonction définie sur un intervalle D.
Soit k un nombre réel.
Soit I un intervalle inclus dans l'intervalle D.
Résoudre l'équation f ( x ) = k d'inconnue x consiste à déterminer l'ensemble des nombres x appartenant à l'intervalle I tels que f ( x ) = k.
Théorème :
Soit [ a ; b ] un intervalle inclus dans D.
Si la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [ a ; b ], Si le nombre k appartient à l'intervalle [ f ( a ) ; f ( b ) ],
Alors l'équation f ( x ) = k admet une solution unique dans l'intervalle [ a ; b ].
Théorème :
Soit [ a ; b ] un intervalle inclus dans D.
Si la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle [ a ; b ], Si le nombre k appartient à l'intervalle [ f ( b ) ; f ( a ) ],
Alors l'équation f ( x ) = k admet une solution unique dans l'intervalle [ a ; b ].
Exemple :
Soit f une fonction définie sur l'intervalle [ - 4 ; 4 ] dont on donne le tableau de variation :
x −4 -2 2 4
21 21
f
-11 - 11
Démontrer que l'équation f ( x ) = 10 admet une unique solution dans l'intervalle [ - 2 ; 2 ].
Résolution : voir feuille annexe.
E10 Exercice type Bac.
N ° 27 L'entreprise Loga fabrique un produit, en quantités x, exprimée en milliers de tonnes.
Le coût total de fabrication est donné par C ( x ) = 4
x + 9² 2 ln ( x + 1 ) pour 0 ≤ x ≤ 5.
Les coûts sont exprimés en millions d'euros.
Partie A
On considère la fonction f définie que [ 0 ; 5 ] par f ( x ) = 2 x + ²
1 x
x
9+ − 9 ln ( x + 1 ).
1. Calculer f ' ( x ). Démontrer que l'on peut écrire : f ' ( x ) =
)² 1 x (
) 4 x )(
2 x ( x
+ +
− .
2. Etudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.
3. Démontrer que l'équation f ( x ) = 0 possède une unique solution, notée α, dans l'intervalle [ 3 ; 4 ].
A l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de α, d'amplitude 0,01.
4. En déduire le signe de f ( x ) suivant la valeur de α.
Partie B : étude du coût moyen Cm.
La fonction coût moyen Cm est définie sur ] 0 ; 5 ] par Cm ( x ) = x
) x ( CT
= x 4 + 9
2 [ x ) 1 x ln( + ].
1. Calculer C'm ( x ). Vérifier que l'on peut écrire C'm ( x ) = 1 2×
² x
) x (
f où f est la fonction de la partie A.
2. Etudier le sens de variation de Cm ; dresser son tableau de variation.
3. Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un coût moyen minimal ? ( on arrondira le résultat à 0,01 milliers de tonnes ). Déterminer ce coût.
