CH VII : Ensembles et applications

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CH VII : Ensembles et applications

I. Ensembles

I.1. Notion intuitive d’ensemble

Définition

• On utilisera la définition intuitive d’ensemble, à savoir qu’un ensemble est une réunion d’objets.

• Les objets appartenant à un ensemble sont appelés ses éléments.

On utilise la notation :

× x∈E : pour indiquer quex est un élément de l’ensembleE.

× x /∈E : pour indiquer quex n’est pas un élément deE.

• L’ensemble ne comportant aucun élément est appelé ensemble vide.

Il est noté ∅.

• Deux ensembles sont ditségaux s’ils ont les mêmes éléments.

Remarque

Nous n’avons pas défini rigoureusement la notion d’ensemble. On se contente de dire qu’un ensemble est bien défini dès que l’on connaît tous ses éléments.

Exemple

• On appelle intervalle réel tout ensemble de la forme [a, b], [a, b[, ]a, b[, ]a, b]oùaetb sont deux réels tels que a < b.

On rappelle que [a, b[désigne l’ensemble contenant tous les réels contenus entrea (inclus) etb (exclu).

• On appelleintervalle entier et on noteJm, nKl’ensemble contenant tous les entiers de l’intervalle [m, n], oùmetnsont des entiers tels quem < n.

En particulier, pourn∈N^∗, on a : J1, nK= {i∈N |16i6n}

| {z } sous forme compréhensive

= {1,2, . . . , n}

| {z } sous forme extensive Vocabulaire

• Un ensemble ne contenant qu’un seul élément est appelé un singleton.

× {1} est le singleton dont le seul élément est1.

× {{1}} est le singleton dont le seul élément est l’ensemble {1}.

× {{∅,{1},{1,2}}} est le singleton dont l’unique élément est l’ensemble {∅,{1},{1,2}}(cet ensemble contient lui-même trois éléments : les ensembles∅,{1} et{1,2}).

• De manière générale, un ensembleEcontenant unnombre finid’éléments est appelé ensemble fini.

Ce nombre est appelécardinal de E et notéCard(E).

Card({∅,{1},{1,2}}) = 3 et Card({{∅,{1},{1,2}}}) = 1 (on donnera une définition plus rigoureuse de la notion de cardinal dans le chapitre suivant)

I.2. Comparaison d’ensembles : l’inclusion

I.2.a) Définition Définition

SoitA etE deux ensembles.

• On dit que A est inclus dans E, et on notera A ⊂E ou A ⊆E, si tout élément de A est un élément deE.

A⊂E ⇔ ∀x∈A, x∈E

• Lorsque A ⊂ E, on dit que A est un sous-ensemble de E ou encore une partie de E.

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Représentation graphique.

SoientA etB deux parties d’un ensembleE.

A

B E

A E B

A6⊆B A⊆B

Remarque

• Le plus petit (en terme d’inclusion) sous-ensemble deEest l’ensemble vide.

• Le plus grand (en terme d’inclusion) est E lui-même.

I.2.b) Modèle de rédaction pour démontrer A⊂B Soit x∈A.

...démonstration ...

Alors x∈B. On a donc démontré A⊂B.

I.2.c) Propriétés de l’inclusion Propriété

SoientA,B etC des parties d’un ensemble E.

1) ∅⊂A

2) A⊂A (réflexivité)

3) (A⊂BETB ⊂A) ⇒ A=B (antisymétrie) 4) (A⊂BETB ⊂C) ⇒ A⊂C (transitivité)

Démonstration.

1) Tout élément de∅(il n’y en a aucun !) est élément de A.

2) Soitx∈Aalorsx∈A.

3) Supposons queA⊂B ETB⊂Aet montrons A=B i.e. queA etB ont mêmes éléments.

• Comme A⊂B, tout élément xde A, est aussi élément deB.

• De même, comme B ⊂A, si x∈B alorsx∈A.

Tout élément deA est élément deB et inversement.

On en déduit que A=B.

4) Supposons queA⊂BETB ⊂C et démontrons que A⊂C.

Soit x∈A. Montrons que x∈C.

Comme x∈A etA⊂B, on en déduit quex∈B.

Or B⊂C. Comme x∈B, on en déduit quex∈C.

Lecture de ces propriétés

Il faut bien comprendre que les propriétés énoncées sont vérifiées pour A,B etC des parties quelconques de E.

Autrement dit, ces propriétés sont universellement quantifiées.

Par exemple, la propriété de transitivité comme suit.

∀A∈ P(E),∀B ∈ P(E),∀C ∈ P(E), (A⊂BETB ⊂C)⇒A⊂C (A∈ P(E) signifie que A est une partie de E)

Cette présentation, un peu lourde, rend difficile la lecture des propriétés.

Nous l’éviterons donc dans les énoncés suivants.

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Démontrer l’égalité de deux ensembles

• Par définition, A=B siA etB ont les mêmes éléments. Ainsi, si A=B, tout élémentx de Aest élément deB (d’oùA⊂B) et tout élément de B est élément de A(d’où B ⊂A). La propriété3) est donc une équivalence.

A=B ⇔ (A⊂B ETB⊂A)

Cette équivalence fournit une méthode de démonstration. Pour montrer que A=B, on procédera généralement pardouble inclusion.

Démontrons que A=B.

(⊂) Soit x∈A.

Alors x∈B. On a donc démontré A⊂B.

(⊃) Soit x∈B.

Alors x∈A. On a donc démontré B ⊂A.

• Par ailleurs, Aest différent de B (noté A6=B) peut s’écrire comme suit : A6=B ⇔ NON(A⊂B ETB ⊂A)

⇔ NON(A⊂B)OU NON(B ⊂A)

⇔ (∃x∈A, x6∈B)OU(∃x∈B, x6∈A)

• On dit que A est inclus strictement dans B, et on note A B, lorsque A⊂B etA6=B :

A B ⇔ A⊂B ETB6⊂A

⇔ (∀x∈A, x∈B)ET(∃x∈B, x /∈A)

Notion de relation d’ordre

• Les points2),3),4) définissent la notion de relation d’ordre.

La relation binaire 6(récip. >) est une relation d’ordre sur R. La relation binaire ⊂est, quant à elle, une relation d’ordre sur P(E).

• Il est à noter queRest totalement ordonné par la relation6, ce qui signifie :

∀(x, y)∈R×R, (x6y) OU (y6x)

• Par contre, la relation⊂n’est pas totale sur P(E) :

∃(A, B)∈ P(E)× P(E), (A6⊂B) ET (B6⊂A) (c’est la négation de la propriété précédente)

I.2.d) L’ensemble des parties des éléments de E Notation

On noteP(E) l’ensemble composé de toutes les parties deE.

Remarque

• P(E) est un ensemble dont les éléments sont des ensembles.

C’est donc un ensemble d’ensembles.

• Tout sous-ensemble A de E vérifie A ⊂E. Mais comme A est une partie de E, cette propriété peut aussi s’écrire :A∈ P(E).

A⊂E ⇔ A∈ P(E) Propriétés immédiates

• SiE =∅, on aP(E) ={∅}.

• SiE ={a}, on aP(E) ={∅,{a}}.

• SiE ={a, b}, on aP(E) ={∅,{a},{b},{a, b}}.

On peut d’ailleurs démontrer que siEcomptenéléments, alorsP(E)compte 2ⁿ éléments.

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Exercice

On considère A={{1,2},3,∅}.

a. Combien d’éléments possède A? b. Détailler P(A).

Démonstration.

a. L’ensemble A possède 3 éléments. Le premier, noté a1 = {1,2}, est un ensemble ; le deuxième, a₂ = 3, est un réel ; le troisième,a₃ = ∅, est un ensemble.

b. Détaillons P(A)en utilisant les notations précédentes.

P(A) = { ∅,

{a₁},{a₂},{a₃},

{a₁, a2},{a₁, a3},{a₂, a3}, {a₁, a2, a3} } Enfin, en remplaçant lesa_i par leur valeurs, on obtient :

P(A) = { ∅,

{{1,2}},{3},{∅},

{{1,2},3},{{1,2},∅},{3,∅}, {{1,2},3,∅} } L’ensembleP(A) contient8 éléments (= 2³).

I.3. Opérations ensemblistes I.3.a) Réunion de parties de E Définition

• On appelle réunionde A et deB et on note A∪B l’ensemble suivant.

A∪B ={x∈E |(x∈A)OU(x∈B)}

• Autrement dit, pour x∈E, on a :x∈A∪B ⇔ (x∈A)OU(x∈B).

A

B E

A∪B Propriétés élémentaires

1) Propriétés de la loi∪ : a. A∪B =B∪A

(la loi ∪est commutative) b. A∪∅ = ∅∪A=A

(l’ensemble vide est l’élément neutre de la loi ∪) c. A∪E = E∪A=E

(l’ensemble E est l’élément absorbant de la loi∪) d. A∪A = A

(tout élément A est idempotent pour la loi ∪) e. (A∪B)∪C=A∪(B∪C)

(la loi ∪est associative) 2) Propriétés liant ∪et⊂:

a. A⊂A∪B et B ⊂A∪B b. A⊂B ⇒ A∪C⊂B∪C c. A⊂B

C⊂D

⇒ A∪C⊂B∪D d. A∪B =A ⇔ B⊂A

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Démonstration.

La seule difficulté de la démonstration réside dans la rédaction.

À titre d’illustration, développons les points 2)c.et2)d.

c. Supposons A⊂B etC ⊂D et démontronsA∪C ⊂ B∪D.

Soitx∈A∪C.

Ceci signifie quex∈A oux∈C. Deux cas se présentent alors :

× si x∈A : alors, commeA⊂B, on ax∈B.

Or B B∪D. On en déduit, commex∈B quex∈B∪D.

× si x6∈A : alors, commex∈A∪C, on a forcémentx∈C.

Or C⊂D⊂B∪D. Commex∈C, on en déduit quex∈B∪D.

On en déduit quex∈B∪D.

On remarque au passage que la propriété 2)b. est un cas particulier de cette propriété 2)c. En effet, il suffit d’appliquer 2)c. avec D =C pour obtenir la propriété 2)b.

d. Il s’agit ici de démontrer une équivalence.

On raisonne par double implication.

(⇒) Supposons A∪B =A et démontronsB ⊂A.

Soitx∈B.

CommeB ⊂A∪B =A, alors x∈A.

(⇐) Supposons B ⊂A et démontronsA∪B =A.

Il s’agit ici de démontrer une égalité. On procède par double inclusion.

(⊂) Soitx∈A∪B.

Ceci signifie quex∈A oux∈B. Deux cas se présentent alors :

× si x∈A : alors on a bienx∈A.

× si x6∈A : alors, commex∈A∪B, on a forcémentx∈B.

Or B⊂A. Comme x∈B, on en déduit quex∈A.

(⊃) A∪B ⊃A (c’est la2^ème propriété).

Traiter une hypothèse du type x∈A∪B

• Une hypothèse de la forme x ∈ A∪B signifie soit que x ∈ A, soit que x ∈ B (éventuellement x appartient à la fois à A et à B). Pour traiter correctement ce type d’hypothèse, on réalise une disjonction de cas.

...début de démonstration ...

Ainsi x∈A∪B. Deux cas se présentent alors :

× si x∈A :

× si x6∈A : alors, comme x∈A∪B, on a x∈B. ...démonstration ...

• Autrement dit, on étudie le cas x ∈ A puis le cas x ∈ B. La rédaction précédente met en avant le caractère exhaustif de l’étude de cas.

Ceci signifie qu’il n’y a pas d’autre cas à considérer.

I.3.b) Intersection de parties de E Définition

• On appelleintersectiondeAetB et on noteA∩B l’ensemble suivant.

A∩B ={x∈E |(x∈A)ET(x∈B)}

• Autrement dit, pour x∈E, on a :x∈A∩B ⇔ (x∈A)ET(x∈B).

• Deux ensembles AetB sont disjointssiA∩B =∅.

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A

B E

A∩B Propriétés élémentaires

1) Propriétés de la loi ∩: a. A∩B =B∩A

(la loi ∩est commutative) b. A∩E = E∩A=E

(l’ensembleE est l’élément neutre de la loi ∩) c. A∩∅ = ∅∩A=∅

(l’ensemble vide est l’élément absorbant de la loi ∩) d. A∩A = A

(tout élémentA est idempotent pour la loi ∩) e. (A∩B)∩C =A∩(B∩C)

(la loi ∩est associative) 2) Propriétés liant ∩et⊂:

a. A∩B ⊂A et A∩B ⊂B b. A⊂B ⇒ A∩C⊂B∩C c. A⊂B

C⊂D

⇒ A∩C⊂B∩D d. A∩B =A ⇔ A⊂B

I.3.c) Passage au complémentaire Définition

Soit Aune partie d’un ensembleE.

• On appelle complémentaire de A dans E et on note —E

A l’ensemble suivant.

—E

A ={x∈E |x6∈A}

(le B.O. recommande d’utiliser la notation A, moins précise, mais plus agréable, lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté sur l’ensemble de travail E)

• Autrement dit, pour x∈E, on a :x∈ —E

A ⇔ NON(x∈A).

SoitA une partie d’un ensembleE.

A E

—E

A Propriétés élémentaires

Soit E un ensemble.

Soit Aune partie de E.

—E

A

=A —E

E =∅

—E

∅ =E

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I.3.d) Propriétés combinant les opérateurs de réunion, intersection et passage au complémentaire

Propriétés liant ∪,∩ et passage au complémentaire SoientA,B etC des parties d’un ensemble E.

• A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)

(la loi ∩ est distributive par rapport à la loi ∪)

• A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)

(la loi ∪ est distributive par rapport à la loi ∩)

• (A∩B) = A ∪ B et (A∪B) = A ∩ B

(lois de de Morgan)

• A ∪ A=E et A ∩ A=∅

Remarque

• La définition des opérateurs ensemblistes fait apparaître un lien fort entre ceux-ci et les connecteurs logiques usuels. Mettons en avant ces liens.

ET(noté aussi ∧) ←→ ∩ OU(noté aussi ∨) ←→ ∪ NON(a)(noté aussi ¯a) ←→ A¯

⊂ ←→ ⇒

= ←→ ⇔

∅ ←→ f aux

E ←→ vrai

• Ce dictionnaire permet de traduire les propriétés énoncés au-dessus en des propositions logiques. On retrouve notamment les lois de de Morgan énoncées dans le CH I.

• Il est à noter que l’inclusion se traduit par une implication.

Ceci provient du fait que :

A⊂B ⇔ (∀x∈E, (x∈A) ⇒ (x∈B))

I.3.e) Partition d’un ensemble E Définition

Soit I ⊂Net(A_i)i∈I une famille de parties d’un ensembleE.

• On dit que la famille (A_i)i∈I est une partition de l’ensemble E si les propriétés suivantes sont vérifiées :

(i) ∀i∈I, A_i6=∅,

(ii) ∀(i, j)∈I×I, i6=j ⇒ A_i∩A_j =∅, (les ensembles sont deux à deux disjoints) (iii) E = S

i∈I

Ai.

Soit(Ai)i∈J1,7K une famille de parties d’un ensembleE.

A₁

A₂

A₃ A₄ A5

A₆ A7

E

Partition de l’ensemble E E =

7

S

i=1

Ai

Remarque

La notion de partition est à rapprocher de celle de puzzle.

Les pièces sont les ensembles A_i de la partition. Posées les unes à côté des autres, ces pièces forment l’image à reconstitueri.e. l’ensembleE.

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Notation La notation S

i∈I

Ai désignel’ensemble des éléments qui sont dans au moins un des Ai, pouri∈I. Plus précisément :

• n

S

i=1

A_i = A₁∪. . .∪A_n = {x∈E | ∃i∈J1, nK, x∈A_i}

• +∞

S

i=1

A_i = {x∈E | ∃i∈N^∗, x∈A_i}

• De manière générale : S

i∈I

A_i = {x∈E | ∃i∈I, x∈A_i}

I.3.f ) Différence ensembliste de parties de E Définition

SoientA,B des parties d’un ensemble E.

• On appelledifférence ensemblistedeAetB et on noteA\B l’ensemble suivant.

A\B = {x∈E |(x∈A)ET(x /∈B)}

= A ∩ —E

B

A

B E

A\B

Propriété

Soit E un ensemble et Aune partie de E.

—E

A =E\A

I.4. Produit cartésien de deux ensembles Définition

SoientE etF deux ensembles.

• Le produit cartésiende E etF, notéE×F, est l’ensemble des couples (x, y) avecx élément de E ety élément de F.

E×F = {(x, y) |x∈E, y ∈F}

• Ainsi, tout élémentude l’ensembleE×F s’écrit sous la formeu= (u1, u2) avec u₁ ∈E etu₂ ∈F.

Remarque

• On a utilisé dans cette définition la notion intuitive de couple. Un couple est une paire ordonnéed’éléments. Ainsi le couple(x, y) ne doit pas être confondu avec (y, x). Plus précisément, on a :

(x₁, y₁) = (x₂, y₂) ⇔ (x₁ =x₂ ETy₁=y₂)

• Lorsque E=F, on note E×E ou tout simplement E². Ainsi, on écrira sans distinction R×R ouR².

• Cette définition se généralise à nensembles.

L’ensembleE1×E2×. . .×Enest constitué des n-uplets(x1, . . . , xn) où chaque xi ∈Ei.

Dans le cas oùE₁=. . .=E_n, on écrit sans distinctionEⁿouE×. . .×E.

En particulier : Rⁿ=R× · · · ×R.

• SiE apéléments etF aq éléments, l’ensembleE×F comptepqéléments.

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Exercice

SoientA une partie de E (A⊂E) etB une partie deF (B ⊂F).

Montrer que : A×B ⊂ E×F. Démonstration.

Soitu∈A×B.

Cela signifie qu’il existe u1 ∈A etu2 ∈B tels queu= (u1, u2).

• Comme u1 ∈A etA⊂E, on en déduit queu1∈E.

• Comme u2 ∈B etB ⊂F, on en déduit queu2 ∈F.

Ainsi, on a u= (u1, u2)∈E×F.

II. Applications

II.1. Notion d’application Définition

Une applicationf deE dansF (notée f :E →F) est un procédé permet- tant d’associer à chaque élémentx de l’ensemble E, un et un seul élémenty de l’ensembleF.

• L’élémenty de cette définition est alors appelé l’imagedexpar l’application f et est notéy =f(x).

• E s’appelle l’ensemble de départde l’application.

• F s’appelle l’ensemble d’arrivéede l’application.

• Siy∈F, deux cas se présentent.

× Soit il existe au moins un élémentxde E donty est l’image.

On dit dans ce cas que xest un antécédentde y parf.

× Soity n’admet pas d’antécédent par l’applicationf.

• On appelle image de f et on note Imf, l’ensemble des éléments y de F qui admettent des antécédents par f.

Imf ={y∈F | ∃x∈E, y=f(x)}

• Par définition, on a toujours Imf ⊂ F mais pas forcément égalité.

• On noteA(E, F) l’ensemble des applications deE dansF.

• Enfin, siE =F, l’application qui à chaquexélément deEassocie ce même élémentx est appelée l’identité surE et se noteidE.

id_E : E → E x 7→ x

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SoientE etF deux ensembles etf :E →F.

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

y5

y6

E F

f

Différence entre application et fonction.

• La définition d’application stipule que tout élément x de E admet une unique image par f, ce qui s’écrit :

∀x∈E,∃!y∈F, y=f(x) (à ne pas confondre avec la notion de bijectivité !)

• Sur le schéma précédent, cela signifie que d’un élément xi part forcément une flèche mais seulement une.

• Dans la définition de fonction, on relâche cette contrainte en exigeant seulement qu’un élément x de E admet au plusune image par f.

D’un élément x∈E peut ne pas partir de flèche, ce qui signifie alors que la fonction f n’est pas définie en x.

• Par exemple, on peut parler de la fonction inverse (notée f :x7→ ¹_x) sans préciser son ensemble de départ et son ensemble d’arrivée et déterminer, dans un second temps, son ensemble de définition.

• Plus précisément, l’objet f suivant :

f : R → R x 7→ 1 x

est une fonction mais pas une application puisque f n’est pas définie en0.

Le domaine de définition de f est R\ {0}.

Égalité de deux applications

• Deux applicationsf :E₁ →F₁ etg:E₂→F₂ sont égales si :

× elles ont même ensemble de départ :E₁ =E₂,

× même ensemble d’arrivéeF₁ =F₂,

× et vérifient :∀x∈E₁, f(x) =g(x).

• Par exemple, les objets f₁ etf₂ suivants : f1 : R^+∗ → R^+∗

x 7→ 1 x

f2 : R^−∗ → R^−∗

x 7→ 1 x

sont des applications différentes et ce même si elles sont construites à l’aide du même procédé x7→ _x¹.

Définition

SoientE etF deux ensembles et soit A⊂E.

Soit f :E→F.

• L’image (directe) de l’ensemble A par l’application f, notée f(A), est l’ensemble des images par f des éléments deA. Autrement dit :

f(A) = {y∈F | ∃x∈A, y=f(x)} = {f(x) |x∈A} ⊂ F

• En particulier, on a : f(E) = Im(f)

Soit f :E →F une application. Il ne faut pas confondre :

• Im(f) l’image de l’application f.

(l’ensemble des images :Im(f) ={f(x) |x∈E})

• F l’ensemble d’arrivée de l’applicationf.

Comme déjà précisé : Im(f)⊂F mais pas forcémentIm(f) =F.

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Exercice

Soientf :E7→F une application et A1 etA2 des parties deE.

a. Démontrer que : f(A₁∪A₂) =f(A₁)∪f(A₂).

b. Démontrer que : f(A₁∩A₂)⊂f(A₁)∩f(A₂).

c. A-t-on égalité ? Démonstration.

a. On procède par double inclusion.

(⊂) Soity∈f(A1∪A2).

Alors il existex∈A₁∪A₂ tel quey=f(x).

Ceci signifie quex∈A₁ oux∈A₂. Deux cas se présentent alors :

× six∈A1 : alors on ay=f(x)∈f(A1).

× six6∈A₁ : alors, commex∈A₁∪A₂, on a forcément x∈A₂. On en déduit que y=f(x)∈f(A₂).

Ainsi,y∈f(A1∪A2).

(⊃) Soity∈f(A1)∪f(A2).

Ceci signifie que y ∈ f(A₁) ou y ∈ f(A₂). Deux cas se présentent alors :

× siy ∈f(A1): il existe doncx∈A1 tel quey =f(x).

Or A₁⊂A₁∪A₂. Ainsi,x∈A₁∪A₂. D’où y∈f(A₁∪A₂).

× si y 6∈ f(A1) : alors comme y ∈ f(A1) ∪f(A2), on a forcément y∈f(A₂). Il existe doncx∈A₂ tel que y=f(x).

Or A₂⊂A₁∪A₂. Ainsi,x∈A₁∪A₂. D’où y∈f(A1∪A2).

Ainsi,y∈f(A1∪A2).

b. Soit y∈f(A₁∩A₂).

Alors il existe x∈A₁∩A₂ tel que y=f(x).

• CommeA1∩A2 ⊂A1, on a :x∈A1 et donc f(x)∈f(A1).

• De même,A₁∩A₂ ⊂A₂, et doncf(x)∈f(A₂).

On en déduit que f(x)∈f(A₁)∩f(A₂).

c. Il n’y a pas égalité. Il suffit d’exhiber un contre-exemple pour s’en convaincre.

Par exemple, on prend A1 =R⁻,A2=R⁺ etf :x7→ |x|.

On a alors :

• f(A₁∩A₂) =f(R⁻∩R⁺) =f({0}) ={0}

• f(A₁) =f(R⁻) =R⁺ etf(A₂) =f(R⁺) =R⁺. D’oùf(A1)∩f(A2) =R⁺∩R⁺ =R⁺.

II.2. Restriction Définition

SoientE etF deux ensembles etA une partie deE.

Soit f :E→F une application.

• La restrictionde f à A, notéef _A, est l’application deAdans F définie par :

f _A : A → F x 7→ f(x)

• Autrement dit, on a : ∀x∈A, f _A(x) = f(x)

• On a alors : Imf _A=f(A)

Soit x∈E etA⊂E.

Il ne faut pas confondre les objets f(x) etf(A) qui sont de nature très différente :

× f(x) est un élément de F,

× f(A) est un ensemble (sous-ensemble de F).

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II.3. Composée de deux applications Définition

SoientE,F etGtrois ensembles.

Soit f :E →F une application.

Soit g:F →Gune application.

• La composéede f parg, notéeg◦f, est l’application : g◦f : E → G

x 7→ g(f(x))

• Autrement dit, on a : ∀x∈E, (g◦f)(x) =g(f(x)) Représentation graphique.

SoientE,F etG des ensembles et f :E →F,g:F →G des applications.

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

y5

z1

z2

z3

z4

z5

z6 z7

E F

G f

g

Remarque

Les ensembles de départ et d’arrivée des applicationsf :E →Fetg:F →G ont un rôle crucial pour la bonne définition deg◦f. Plus précisément :

g◦f est bien définie ⇔ f(E)⊂F

La loi ◦n’est pascommutative.

Ceci signifie que, de manière générale,f ◦g 6= g◦f.

Deux raisons possibles à cela.

1) D’après la remarque précédente,g◦f peut-être définie sans que f ◦gle soit (et inversement).

2) Même si f ◦g et g◦f sont bien définies (c’est par exemple le cas lorsque E = F = G), les applications f ◦g et g◦f sont généralement différentes.

Exemple

Considérons les applications suivantes : f : R → R

x 7→ x+ 1 et g : R → R x 7→ x² Les applications f◦g etg◦f sont bien définies. Toutefois, on a :

(f ◦g)(x) = f(g(x))

= f(x²)

= x²+ 1

(g◦f)(x) = g(f(x))

= g(x+ 1)

= (x+ 1)² Les deux applicationsf◦g etg◦f sont différentes.

Exercice

On considère les deux applications f et g de J1,9K dans lui-même définies par leurs tables de valeurs :

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) 6 4 7 8 9 3 5 1 2

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 g(x) 1 2 7 4 5 6 3 8 9 Représenter de la même façon les applicationsg◦g,g◦f,f◦f,f◦g.

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Les applications g◦g,g◦f,f◦f,f ◦g sont données par : x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

g◦g(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 g◦f(x) 6 4 3 8 9 7 5 1 2 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f◦f(x) 3 8 5 1 2 7 9 6 4

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f ◦g(x) 6 4 5 8 9 3 7 1 2 Propriété

SoientE etF deux ensembles etf :E→F une application.

f ◦ idE = f id_F ◦ f = f Propriété

SoientE,F,Gtrois ensembles.

Soit h:G→H une application.

On a alors : h◦(g◦f) = (h◦g)◦f (la loi ◦ est associative)

Remarque

Avec les notations précédentes, on a :

• h◦g:F →H,

• g◦f :E→G,

• h◦g◦f :E →H.

(la notation h◦g◦f est autorisée du fait de l’associativité de la loi ◦)

II.4. Caractère injectif, surjectif, bijectif des applications

II.4.a) Injectivité Définition

• Une applicationf :E →Festinjectivesi tout couple d’éléments distincts de E fournit deux images distinctes parf.

∀(x₁, x2)∈E², x1 6=x2 ⇒ f(x1)6=f(x2)

SoientE,F des ensembles et f :E→F une application.

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

y5

E F

f

Exemple d’application injective et non injective.

1) L’application f : R → R

x 7→ x est injective.

En effet, si x1 et x2 sont deux éléments de E tels que x1 6= x2, alors f(x1) =x1 6=x2 =f(x2).

2) L’application g : R → R

x 7→ x² est non injective.

En effet, −16= 1 etg(−1) = 1 =g(1).

3) Par contre,g _R+ est bien injective.

(14)

Propriété

f injective ⇔ Tout élémenty∈F admet au plus un antécédent parf Démonstration.

On raisonne par double implication.

(⇒) Supposons par l’absurde que f est injective et qu’il existe un élément y∈F admettant strictement plus d’un antécédent parf.

Alors il existe(x₁, x₂)∈E² tel que x₁ 6=x₂ etf(x₁) =y=f(x₂).

Ceci contredit l’injectivité def.

(⇐) Supposons que tout élémenty∈F admet au plus un antécédent parf. Soit (x1, x2)∈E² tel que x1 6=x2. Notonsy1 =f(x1) ety2=f(x2).

Alors on a forcément y₁ 6=y₂ car sinony₁ posséderait deux antécédents distinctsx₁ etx₂.

Démontrer qu’une application est injective

On peut utiliser la définition équivalente, stipulant qu’une application est injective si et seulement si :

∀(x₁, x2)∈E², f(x1) =f(x2)⇒x1 =x2

Cette définition est l’écriture contraposée de la définition initiale.

(on a même : f(x₁) =f(x₂)⇔x₁=x₂)

Démontrons que f :E→F injective.

Soit (x₁, x₂)∈E².

On suppose que f(x1) =f(x2). ...démonstration ...

Alors x₁ =x₂.

On a donc démontré que f est injective.

Propriété

SoientE,F,Gdes ensembles.

f est injective g est injective

⇒ g◦f :E→G est injective

Autrement dit, la composée de deux applications injectives est injective.

Démonstration.

Supposonsf etg injectives et démontrons que g◦f :E→G est injective.

Soit(x₁, x₂)∈E² tel que g◦f(x₁) =g◦f(x₂).

Autrement dit :g(f(x₁)) =g(f(x₂)).

Or, commeg est injective, on en déduit que :f(x1) =f(x2).

Or, commef est injective, on en déduit que : x₁ =x₂. Ainsig◦f est injective.

Propriété

g◦f est injective ⇒ f injective Démonstration.

Supposonsg◦f injective et démontrons quef :E→F est injective.

Soit(x1, x2)∈E² tel que f(x1) =f(x2).

On a alors :g(f(x1)) =g(f(x2)).

(égalité obtenue en composant chaque membre de l’égalité précédente par g) Autrement dit :g◦f(x₁) =g◦f(x₂).

Or, commeg◦f est injective, on en déduit que : x1 =x2. Ainsif est injective.

(15)

Propriété

Soit f :R→R une application.

f strictement croissante ⇒ f est injective Démonstration.

Soit(x₁, x₂)∈R² tels quex₁ 6=x₂.

Quitte à renommerx1 etx2, on peut supposer que : x1 > x2.

Or, la fonction f est strictement croissante. On a donc : f(x₁)> f(x₂).

Ainsi :f(x₁)6=f(x₂).

On en conclut quef est injective.

II.4.b) Surjectivité Définition

• Une applicationf deE dansF estsurjectivesi tout élément deF admet au moins un antécédent par f.

∀y∈F,∃x∈E, y=f(x)

• Autrement dit,f surjective si : Imf =F Représentation graphique.

SoientE,F des ensembles etf :E→F une application surjective.

x1

x2

x3

x4

x5

y1

y2

y3

y4

E f F

Exemple d’application surjective et non surjective.

x 7→ x est surjective. En effet, tout élément y de Rest atteint parf puisque y=f(y).

x 7→ x² est non surjective. En effet,−1ne peut s’écrire comme le carré d’un réel (il n’existe pas dex∈Rtel que−1 =x²).

3) Par contre, h : R → R⁺

x 7→ x² est bien surjective. En effet, touty∈R⁺ peut s’écrire sous la formey=h(√

y). On a bien h(R) =R⁺. Démontrer qu’une application est surjective

La propriété définissant la surjectivité fournit le schéma de rédaction suivant.

Démontrons que f :E→F surjective.

Soit y∈F.

Exhibons x∈E tel que y=f(x).

Alors y =f(x).

On a donc démontré que f est surjective.

Remarque

• L’élément y nommé au début de la démonstration est un élément de l’en- sembleF. Le but de la démonstration est de démontrer qu’il existex∈E tel que y=f(x), ce qui signifie quey∈Im(f)(=f(E)).

• On démontre donc que tout élément y∈F vérifiey ∈Im(f).

Autrement dit : F ⊂Im(f).

• Comme on a toujours Im(f)⊂F, on démontre ainsi : Im(f) =F.

On l’a déjà dit : il ne faut pas confondre F etIm(f).

Ces deux ensembles ne sont égaux que si f est surjective.

(16)

Propriété

f est surjective g est surjective

⇒ g◦f :E →G est surjective

Autrement dit, la composée de deux applications surjectives est surjective.

Démonstration.

Supposonsf etg surjectives et démontrons que g◦f est surjective.

Soit y∈G.

Démontrons qu’il existex∈E tel que y=f(x).

Comme g:F →Gest surjective, il existeu∈F tel que y=g(u).

Comme f :E →F est surjective, il existex∈E tel que u=f(x).

On a alors : y=g(u) =g(f(x)) =g◦f(x).

Ainsig◦f est surjective.

Propriété

g◦f est surjective ⇒ g surjective Démonstration.

Supposonsg◦f surjective et démontrons que gest surjective.

Soit y∈G.

Démontrons qu’il existex∈E tel que y=g(x).

Comme g◦f est surjective, il existeu∈E tel que y=g◦f(u) =g(f(u)).

Notons x=f(u). Alorsx∈F etx vérifie y=g(x).

Ainsif est surjective.

Propriété

SoientE etF deux ensembles etf :E →F une application.

Alors l’application f˜ : E → f(E)

x 7→ f(x) est surjective.

Démonstration.

Soit y∈f(E) ={f(x) |x∈E}.

Alors, par définition de f(E), il existex∈E tel que y=f(x) = ˜f(x).

Ainsif˜est surjective.

Remarque

• C’est une manière classique de rendre une fonction surjective.

• Cette propriété est notamment utilisé dans le théorème de la bijection.

Plus précisément, si f : [a, b]→Rest telle que :

× f est strictement croissante sur [a, b],

× f est continue sur [a, b],

alorsf est une bijection de [a, b]surf([a, b]). En effet : a) Comme f est strictement croissante, elle est injective.

b) On rend alors cette fonction surjective modifiant son ensemble d’arrivée.

Plus précisément, f : [a, b]→f([a, b])est surjective.

• Notez que nous n’avons pas eu besoin dans la démonstration précédente du caractère continue de la fonction f. Dès lors, à quoi sert cette hypothèse ? (i) Si f est continue, alors f([a, b]) est l’image d’un intervalle par une

fonction continue. C’est donc un intervalle.

(ii) Sous l’hypothèse de continuité de f on a la propriété : f injective ⇒ f strictement monotone

La réciproque étant toujours vérifiée, on obtient une caractérisation des applications strictement monotones. Sif est continue, on a :

f injective ⇔ f strictement monotone

(17)

II.4.c) Bijectivité Définition

• On dit que l’applicationf :E→F estbijectiveou définit unebijection de E dans F sif est injective et surjective.

• Ainsi, l’application f :E →F estbijectivesi tout élémenty ∈F admet un et un seul antécédentx∈E parf. Autrement dit :

∀y∈F,∃!x∈E, y=f(x) Remarque

Sif :E →F est une application bijective :

× f est une application : donc à tout élément x de E correspond un et un seul élémenty de F,

× f est bijective : donc à tout élémenty deF est associé un unique élément xde E parf (x est l’antécédent dey parf).

On en conclut qu’il y a « autant » d’éléments dans E que dans F.

Définition

Soit f :E →F une application bijective.

• La (bijection) réciproque associée àf, notéef⁻¹ :F →E, est l’application de F dansE qui, à chaquey deF, associe son unique antécédent xparf.

• On a alors : ∀x∈E,∀y∈F, x=f⁻¹(y) ⇔ y=f(x) (f⁻¹(y) est l’unique antécédent de y par f)

SoientE,F des ensembles et f :E→F une application bijective.

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

E f F

f⁻¹

Exemple d’application bijective et non bijective.

x 7→ x est bijective car elle est à la fois injective et surjective.

x 7→ x² n’est pas bijective. En fait, elle n’est ni injective ni surjective.

3) Par contre, t : R⁺ → R⁺

x 7→ x² est bien bijective puisqu’elle est à la fois injective est surjective. Touty∈R⁺ s’écrit d’une unique manière comme un carré :y= (√

y)²=t(y).

Propriétés

Soit f :E→F une applicationbijective.

a. L’application réciproque f⁻¹ est bijective et f⁻¹−1

=f b. 1) ∀x∈E,∀y∈F, (y =f(x) ⇔ x=f⁻¹(y))

2) ∀y∈F, f(f⁻¹(y)) = y 3) ∀x∈E, f⁻¹(f(x)) = x

(18)

Proposition 1.

Soient E et F deux ensembles.

Soit f :E →F et g:F →E des applications.

g◦f = id_E f◦g= idF

⇒ f et g sont bijectives.

De plus : g=f⁻¹ etf =g⁻¹ Démonstration.

a. On sait que g◦f = idE. OridE est une bijection deE dansE.

Doncg◦f est bijective. On en déduit queg◦f est notamment surjective.

Ainsi gest surjective.

De même, f◦g= id_F. Orid_F est une bijection deF dansF.

Donc f◦g est bijective. On en déduit quef ◦g est notamment injective.

Ainsi gest injective.

On en déduit que g est bijective.

On démontre de la même manière que f est bijective.

b. La réciproque def est par définition l’application qui ày∈F associe son unique antécédent par f.

Soit y∈F. Alorsf(g(y)) =f ◦g(y) = id_F(y) =y.

L’élément g(y)est un antécédent dey parf.

Comme f est bijective, cet élément est unique. D’où g(y) =f⁻¹(y).

Ainsi : ∀y∈F, g(y) =f⁻¹(y).

Autrement dit : g=f⁻¹. Proposition 2.

Soient E, F et Gdes ensembles.

Soit g:F →G une application.

• Si f :E→F etg:F →Gsont deux bijections,

alors la composée g◦f :E →G est une bijection, et on a : (g◦f)⁻¹=f⁻¹◦g⁻¹

Démonstration.

Le caractère associatif de la loi ◦ (parenthésage comme bon nous semble) nous permet d’écrire :

(g◦f)◦(f⁻¹◦g⁻¹)

= g◦f◦f⁻¹◦g⁻¹

= g◦(f ◦f⁻¹)◦g⁻¹

= g◦idF ◦g⁻¹

= (g◦id_F)◦g⁻¹

= g◦g⁻¹ = idG

(f⁻¹◦g⁻¹)◦(g◦f)

= f⁻¹◦g⁻¹◦g◦f

= f⁻¹◦(g⁻¹◦g)◦f

= f⁻¹◦idF ◦f

= (f⁻¹◦id_F)◦f

= f⁻¹◦f = idE

D’après la proposition1,g◦f est bijective, de réciproque f⁻¹◦g⁻¹. Méthodologie : déterminer la réciproque d’une application

• Par une étude théorique : via la proposition 1.

Exercice

Soit f :E →E une application vérifiant f◦f◦f = id_E. Montrer que f est bijective et déterminer son inverse.

• Par calcul : en inversant l’égalité y=f(x) Exercice

On considère l’application :

g: R\{−5} → R\{2}

x 7→ 2x−3 x+ 5

a. Démontrer que gest une bijection et déterminer sa réciproque.

b. Répondre aux mêmes questions pourh:

R → ]−1,1[

x 7→ x 1 +|x|

(19)

Exercice

Soitf :E→E une application vérifiantf ◦f◦f = idE. Montrer que f est bijective et déterminer son inverse.

Démonstration.

Il suffit de remarquer que : (f ◦f)◦f = idE

f◦(f◦f) = idE

.

Par la proposition1, on en conclut quef est bijective et quef⁻¹ = f◦f.

Exercice

On considère l’application :

g: R\{−5} → R\{2}

x 7→ 2x−3 x+ 5

a. Démontrer que g est une bijection et déterminer sa réciproque.

On souhaite démontrer que :

∀y∈R\ {2},∃!x∈R\ {−5}, y=g(x)

Soit y∈R\ {2}. On résout l’équationy=g(x)d’inconnue x∈R\ {−5}.

Pour ce faire, on raisonne par équivalence :

y = g(x) (1)

⇔ y = 2x−3

x+ 5 ⁽²⁾

⇔ y(x+ 5) = 2x−3 (3)

⇔ x(y−2) = −3−5y (4)

⇔ x = 3 + 5y

2−y ⁽⁵⁾

Soit y∈R\ {2}.

Notonsx= 3 + 5y 2−y .

• Alorsx6=−5. En effet, on aurait sinon : −5 = 3 + 5y 2−y .

Et donc −10 + 5y= 3 + 5y et ainsi−10 = 3 ce qui est impossible.

• D’autre part, on a : g(x) = 2x−3

x+ 5 = 2 ^3+5y_2−y −3

3+5y

2−y + 5 =

2(3+5y)−3(2−y) 2−y 3+5y+5(2−y)

2−y

= 13y

2−y × 2−y 13 =y L’unicité de xest donnée par le raisonnement par équivalence précédent.

Ainsi, g:R\{−5} →R\{2} est bijective.

Sa bijection réciproque est :

g⁻¹ : R\ {2} → R\ {−5}

x 7→ 3 + 5x

2−x b. Répondre aux mêmes questions pourh:

R → ]−1,1[

x 7→ x 1 +|x|

On souhaite démontrer que :

∀y∈]−1,1[,∃ !x∈R, y=h(x)

Soit y ∈ ]−1,1[. On résout l’équation y = h(x) d’inconnue x. Pour ce faire, on raisonne par équivalence :

y = h(x) (1)

⇔ y = x

1 +|x| ⁽²⁾

⇔ y(1 +|x|) = x (3)

⇔ |x|y−x = −y (4)

⇔ x(sgn(x) y−1) = −y (5)

⇔ x = −y

sgn(x) y−1 ⁽⁶⁾

(20)

On a introduit la fonction signequi est définie par :

sgn : R → R

x 7→







1 six >0 0 six= 0

−1 six <0 (en particulier, on a : sgn(x) x = |x| pour toutx∈R) On remarque enfin que, comme 1 +|x| > 0, si y = x

1 +|x| alors on a sgn(y) = sgn(x).

On en déduit que :

y=h(x) ⇔ x= −y

sgn(y)y−1 = −y

|y| −1

Soit y∈]−1,1[.

Notonsx= −y

|y| −1. On a alors : h(x) = x

1 +|x| =

−y

|y|−1

1 +

−y

|y|−1

= −y

|y| −1× 1

1 +_||y|−1|^|−y| = −y

|y| −1× 1 1 +_1−|y|^|y|

= −y

|y| −1× 1

1 1−|y|

= −y

−1 =y (||y| −1|= 1− |y| car|y|<1)

L’unicité dexest donnée par le raisonnement par équivalence précédent.

Ainsi,h:]−1,1[→R est bijective.

Sa bijection réciproque est :

h⁻¹ : R → ]−1,1[

x 7→ −x

|x| −1