1  izz Exercice3

(1)

Lycée Majida Boulila Sfax Série n°3 M JARRAYA MAHER

2010/2011 4 sciences Nombres complexes

Exercice n°1

Pour chacune des questions, une seule des trois propositions est exacte. Justifiiez.

Dans tout l’exercice, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct(O u v; , )  . 1. Le pointMest situé sur le cercle de centreA(−2 ; 5) et de rayon 3. Son affixezvérifie :

a. z 2 5i² 3 ; b. z 2 5i² 3 ; c. z 2 5i 3.

2. On considère trois pointsA,BetCd’affixes respectivesa,betc, deux à deux distincts et tels que le triangleABCn’est pas équilatéral. Le pointMest un point dont l’affixezest telle que les nombres complexes ^z ^b

c a



 et ^z ^c

b a



 sont imaginaires purs.

a.Mest le centre du cercle circonscrit au triangleABC;

b.Mappartient aux cercles de diamètres respectifs [AC] et [AD] ; c.Mest l’orthocentre du triangleABC.

Exercice n°2

Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Aucune justification n’est demandée.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct d’origineO.

1. Une solution de l’équation 2z  z 9 i est :

a. 3 b.i c. 3 +i

2. Soitzun nombre complexe ; zi est égal à :

a. z 1 b. z1 c. iz1

3. Soitzun nombre complexe non nul d’argument. Un argument de ¹ ⁱ ³

z

  est :

a.   3 b. ²

3  c. ²

3 

4. Soitnun entier naturel. Le complexe



³^ⁱ



ⁿ est un imaginaire pur si et seulement si : a.n= 3 b.n= 6k+ 3, aveckrelatif c.n= 6kaveckrelatif

5. SoientAetBdeux points d’affixe respectiveiet−1. L’ensemble des pointsMd’affixezvérifiant

1 z i z est :

a. la droite (AB) b. le cercle de diamètre [AB] c. la droite perpendiculaire à (AB) passant parO

6. Soit le point d’affixe1i.

L’ensemble des pointsMd’affixe z x iy vérifiant z  1 i 34i a pour équation : a. y  x 1 b. ^x¹²^y²  ⁵ c. z  1 i 5ieⁱ^ avec  réel

7. SoientAetBles points d’affixes respectives 4 et 3i. L’affixe du pointCtel que le triangleABCsoit isocèle avec



^{ }^{AB AC}^,



^^₂ ^{est :}

a. 14i b. 3i c. 74i

8. L’ensemble des solutions dansℂde l’équation ²

1

z z

z

 

 est :

a. ¹^ⁱ b. L’ensemble vide c. ¹^ⁱ^{; 1}^ⁱ

Exercice 3^.

Pour chaque question, une seule des 4 propositions est exacte. Vous devez cocher la case correspondante.

Aucune justification n’est demandée.

1. SoitzC vérifiantz z62i. L’écriture algébrique dezest : i

3 2

8  2i

3

8 2i

3

8 2i

3 8



2. Dans le plan complexe, l’ensemble des pointsMd’affixez=x+i yvérifiant z1 zi est la droite d’équation :

(2)

y=x– 1 y=x y=x+ 1 y=x

3. Soitnun entier naturel. Le nombre



^1ⁱ ³



ⁿest réel si et seulement si,ns’écrit sous la forme (avec kun entier naturel) :

3k+ 1 3k+ 2 3k 6k

4. Soit l’équation (E) :

z z z



  3

6 (zC). une solution de (E) est :

2i 2 2 +i 2 1i 1i

5. Soit deux pointsAetBd’affixes respectifszA=ietzB= 3 dans un repère orthonormé (O, u, v).

L’affixezCdu pointCtel queABCsoit un triangle équilatéral avec (





AB ,





AC ) = 3

 est :

i 2i 3 +i 3 +2i

6. Dans le plan complexe, l’ensemble des pointsMd’affixez=x+i yvérifiant la relation

arg 2 2

2



 







 i z

z est inclus dans :

la droite d’équationy=x

Le cercle de centreI(1 ; 1) et de rayonr= 2 la droite d’équationy= x

Le cercle de diamètre [AB],AetBétant les points d’affixes respectiveszA=2 etzB= 2i.