GALILEE A LA TOUR DE PISE
Trois siècles avant notre ère, Aristote affirmait qu’une masse tombe d’autant plus vite qu’elle est grosse...
Vers 1560, Galilée prétend avoir réalisé une série d’expériences du haut du sommet de la tour de Pise pour démontrer l’inexactitude des conceptions d’Aristote. La tour mesure 100 coudées (50 mètres). L’expérience consiste à lâcher du haut de la tour une boule de fer de 100 livres et une boule de fer de 1 livre, et observer leur ordre d’arrivée.
Galilée écrit : « Aristote déclare qu’une boule de fer de 100 livres est déjà descendue d’une hauteur de 100 coudées quand une boule de 1 livre a parcouru seulement une coudée. J’affirme que les deux boules arrivent ensemble. Si vous faites l’expérience, vous verrez que l'écart est de deux largeurs de doigts seulement. Vous ne retrouverez pas avec ces deux doigts les 99 coudées d’écart prévues par Aristote ».
1) On considère tout d’abord les actions de l'air comme négligeables par rapport au poids.
En appliquant les lois de la mécanique, montrer que le temps de chute libre d’une boule lâchée sans vitesse initiale d’une hauteur h est indépendant de sa masse m (il n’est pas demandé d’application numérique). Pourquoi Galilée a-t-il probablement raison contre Aristote ?
2) Galilée trouve cependant un écart « de deux doigts » lors de la chute des deux boules.
a) Donner, à une date t quelconque, la direction et le sens de la force de frottement de l’air intervenant en réalité dans l'expérience de Galilée,
b) En utilisant les lois de la dynamique, montrer que l’accélération d’une boule s’exprime sous la forme : a = g – f/m.
3) Modèle plus élaboré (la poussée d'Archimède est négligée dans tous les cas) La force de frottement avec l’air est donnée par la relation f = ½ C S V2 avec
: masse volumique de l’air en kg m-3;
C : coefficient sans unité caractérisant la forme de l’objet (ici une sphère) ; S : section équatoriale de la sphère en m2 ;
V : vitesse de la sphère
a) Montrer que l’expression de f est cohérente du point de vue de l’analyse dimensionnelle.
b) La force de frottement est elle constante au cours du mouvement de chute ? Justifier sans aucun calcul.
c) On considère les trois boules de fer suivantes B1, B2, B3 dont on donne la forme, la section équatoriale S et la masse m : compléter le tableau suivant avec les valeurs du poids P (donnée : g = 10 m s-2). Calculer les valeurs manquantes de f à partir de celle donnée pour B1 (elle a été calculée pour une vitesse de 10 m s-1). Dans quel(s) cas la force de frottement est-elle négligeable au moins au centième près ?
Boule B1 B2 B3
Forme pleine (100 livres)
pleine et petite (1 livre)
de même taille que B1 mais creuse (1 livre)
S (m2) 4 10-2 2 10-3 4 10-2
m (kg) 50 0,5 0,5
P (N)
f (N) 1,0
4) Etude du cas où la force de frottement n’est pas négligeable
Dans le cas où la force de frottement n’est pas négligeable, la vitesse de la boule devient pratiquement constante après un certain temps de chute. On se propose de retrouver ce résultat par une étude théorique.
a) Quelle est la valeur de l’accélération a de la boule lorsque la vitesse devient constante ?
b) En utilisant le résultat de la question 2) b), montrer que l’expression de cette vitesse limite constante est de la forme : Vmax = (2 m g / C S).
5) Simulation numérique des mouvements
On a réalisé une simulation numérique approximative des mouvements de chute sans vitesse initiale des trois boules B1, B2 et B3 et obtenu les graphes ci-joints
a) Graphes 1 :
- déterminer graphiquement les temps de chute des trois boules du haut de la tour de Pise (pour x = 50 mètres).
- lorsque B1 est arrivée au sol quelle distance approximative a été parcourue par les boules B2 et B3 ? b) Graphes 2 :
- L’étude numérique de la question 4) b) donnerait pour résultats les valeurs suivantes des vitesses limites :
Boule B1 B2 B3
Vmax (m s-1) 195 88 19
Les représentations graphiques sont elles cohérentes avec ces résultats ? Justifier soigneusement.
6) Conclusion
Les affirmations de Galilée vous semblent elles correctes ? Quelles sont les conditions d’étude qui doivent être précisées ?
Graphes 1 x(t) pour B1, B2 et B3
Graphes 2 V(t) pour B1, B2 et B3
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
0 1 2 3 4 5
x (m)
t (s)
V (ms-1)
t (s) B1
B2
B3
B1
B2
B3
