GALILEE A LA TOUR DE PISE
Trois siècles avant notre ère, Aristote affirmait qu’une masse tombe d’autant plus vite qu’elle est grosse...
Vers 1560, Galilée prétend avoir réalisé une série d’expériences du haut du sommet de la tour de Pise pour démontrer l’inexactitude des conceptions d’Aristote. La tour mesure 100 coudées (50 mètres). L’expérience consiste à lâcher du haut de la tour une boule de fer de 100 livres et une boule de fer de 1 livre, et observer leur ordre d’arrivée.
Galilée écrit : « Aristote déclare qu’une boule de fer de 100 livres est déjà descendue d’une hauteur de 100 coudées quand une boule de 1 livre a parcouru seulement une coudée. J’affirme que les deux boules arrivent ensemble. Si vous faites l’expérience, vous verrez que l'écart est de deux largeurs de doigts seulement. Vous ne retrouverez pas avec ces deux doigts les 99 coudées d’écart prévues par Aristote ».
1) On considère tout d’abord les actions de l'air comme négligeables par rapport au poids. On montre alors que le temps de chute libre est indépendant de la masse de l’objet. Galilée aurait donc probablement raison contre Aristote.
2) Galilée trouve cependant un écart « de deux doigts » lors de la chute des deux boules. Il s’agit donc de prendre en compte la force de frottement de l’air et de montrer que l’accélération dépend alors de la masse de l’objet.
3) Modèle plus élaboré (la poussée d'Archimède est négligée dans tous les cas) La force de frottement avec l’air est donnée par la relation f = ½ C S V2 avec
: masse volumique de l’air en kg m-3;
C : coefficient sans unité caractérisant la forme de l’objet (ici une sphère) ; S : section équatoriale de la sphère en m2 ;
V : vitesse de la sphère
On considère les trois boules de fer suivantes B1, B2, B3 dont on donne la forme, la section équatoriale S et la masse m. P désigne le poids (donnée : g = 10 m s-2). La valeur de f donnée pour B1 a été calculée pour une vitesse de 10 m s-1 ; cette donnée permet de déterminer f pour les deux autres boules. On constate alors que la force de frottement est négligeable au moins au centième près pour l’une des boules
Boule B1 B2 B3
Forme pleine (100 livres)
pleine et petite (1 livre)
de même taille que B1 mais creuse (1 livre)
S (m2) 4 10-2 2 10-3 4 10-2
m (kg) 50 0,5 0,5
P (N)
f (N) 1,0
4) Etude du cas où la force de frottement n’est pas négligeable
Dans le cas où la force de frottement n’est pas négligeable, la vitesse de la boule devient pratiquement constante après un certain temps de chute. Il s’agit de retrouver ce résultat par une étude théorique qui permet de montrer que cette vitesse limite s’exprime sous la forme : Vlim = (2 m g / C S).
5) Simulation numérique des mouvements
On a réalisé une simulation numérique approximative des mouvements de chute sans vitesse initiale des trois boules B1, B2 et B3 et obtenu les graphes ci-joints. On peut ainsi déterminer les temps de chute des trois boules du haut de la Tour de Pise (x = 50 m).
L’étude numérique donnerait pour résultats les valeurs suivantes des vitesses limites :
Boule B1 B2 B3
Vlim (m s-1) 195 88 19
Les représentations graphiques sont cohérentes avec ces résultats.
6) Conclusion
Les affirmations de Galilée semblent partiellement correctes ; encore faut-il nuancer le propos selon les conditions d’étude.
Graphes 1 x(t) pour B1, B2 et B3
Graphes 2 V(t) pour B1, B2 et B3
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
0 1 2 3 4 5
x (m)
t (s)
V (ms-1)
t (s) B1
B2
B3
B1
B2
B3
